廣東省汕頭市高三上學(xué)期普通高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題

汕頭市2020～2021學(xué)年度普通高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試題數(shù)學(xué)考生注意：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號、姓名等信息填涂在答題卡相應(yīng)位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷選擇題一、單項選擇題：本題共8小題．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，則（）A．1 B． C． D．3．中國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家之一，古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形較短的直角邊為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦，其三邊長組成的一組數(shù)據(jù)成為勾股數(shù)，現(xiàn)有一組勾股數(shù)3，4，5，則由這組勾股數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，能被2整除的概率為（）A． B． C． D．4．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．5．愛美之心，人皆有之健身減肥已成為很多肥胖者業(yè)余選擇的項目．為了了解運(yùn)動健身減肥的效果，某健身房調(diào)查了100名肥胖者，健身之前他們的體重（單位：kg）情況如柱狀圖1所示，經(jīng)過六個月的健身后，他們的體重情況如柱狀圖2所示．對比健身前后，關(guān)于這100名肥胖者，下面結(jié)論不正確的是（）柱狀圖1 柱狀圖2A．他們健身后，體重在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)增加了10個B．他們健身后，原來體重在區(qū)間內(nèi)的肥胖者體重都有減少C．他們健身后，體重在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)沒有改變D．因為體重在內(nèi)所占比例沒有發(fā)生變化，所以說明健身對體重沒有任何影響6．的展開式中的系數(shù)為（）A． B． C．120 D．2007．已知定義在的函數(shù)滿足以下條件：①對任意都有；②對任意且都有；③，則不等式的解集為（）A． B．C． D．8．運(yùn)用祖暅原理計算球的體積時，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意一個平面所截，若截面面積都相等，則這兩個幾何體的體積相等．構(gòu)造一個底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖1）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖2），用任何一個平行于底面的平面去截它們時，可證得所截得的兩個截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等現(xiàn)將橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖3），類比上述方法，運(yùn)用祖暅原理可求得其體積等于（）圖1 圖2 圖3A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9．已知數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列，，數(shù)列前項和為，下面選項中正確的是（）A． B．小值為C．時的最小值為7 D．前項之積最大值4010．下列不等式正確的有（）A．當(dāng)時，函數(shù)的最小值為B．若恒成立，則C．函數(shù)的最小值為D．已知實(shí)數(shù)，滿足且，則的最小值是411．已知函數(shù)的部分圖象如上圖所示，現(xiàn)將的圖象向左平移個單位，得到的圖象，下列說法錯誤的是（）A．該圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D．函數(shù)在上單調(diào)遞增12．如圖，棱長為1的正方體中，為線段上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A．平面平面B．三棱錐體積最大值為C．當(dāng)為中點(diǎn)時，直線與直線所成的角的余弦值為D．直線與所成的角不可能是第Ⅱ卷非選擇題三、填空題：本題共4小題．13．設(shè)向量，，且，則______．14．已知的三個頂點(diǎn)分別為，，，則頂點(diǎn)到邊上中線所在直線的距離為______．15．如圖，一輛汽車以每秒20米的速度在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側(cè)一山頂在西偏北15°的方向上，行駛到達(dá)處時，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為60°，已知山的高度米，則汽車從到行駛了______小時．16．直三棱柱的頂點(diǎn)都在一個半徑為3的球面上，底面是等腰，且，當(dāng)直三棱柱的體積最大時，此時它的高的值為______．四、解答題：本大題共6小題．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．在①，②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面問題的橫線中，并解答．已知中，角，，的對邊分別是，，，且滿足______，求面積．18．已知公比不為1的等比數(shù)列，其前項和為，，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．19．已知邊長為2的等邊（圖1），點(diǎn)和點(diǎn)分別是邊、上的中點(diǎn)，將沿直線折到的位置，使得平面平面（圖2），此時點(diǎn)和點(diǎn)分別是邊、上的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．圖1 圖220．當(dāng)前新冠肺炎疫情形勢依然嚴(yán)峻，防控新冠肺炎疫情需常態(tài)化，為提高防控能力以及實(shí)效，某學(xué)校為宣傳防疫知識做了大量工作，近期該校還將準(zhǔn)備組織一次有關(guān)新冠病毒預(yù)防知識競賽活動，競賽分初賽和決賽兩階段進(jìn)行．初賽共有5道必答題，答對4道或4道以上試題即可進(jìn)入決賽；決賽階段共3道選答題．每位同學(xué)都獨(dú)立答題，且每道題是否答對相互獨(dú)立．已知甲同學(xué)初賽階段答對每道題的概率為，決賽階段答對每題的概率為．（1）求甲同學(xué)進(jìn)入決賽的概率；（2）在決賽階段，若選擇答題，答對一道得4分，答錯一道扣1分，選擇放棄答題得0分，已知甲同學(xué)對于選答的3道題，選擇回答和放棄回答的概率均為．已知甲同學(xué)已獲決賽資格，求甲同學(xué)在決賽階段，得分的分布列及數(shù)學(xué)期望．21．已知橢圓：其左、右焦點(diǎn)分別為、，且離心率為，點(diǎn)為橢圓的一個頂點(diǎn)，三角形的面積為2．（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段的垂直平分線與軸相交于點(diǎn)，若為等邊三角形，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．22．已知．（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）若恒成立，求的取值范圍．汕頭市2020～2021學(xué)年度普通高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試題數(shù)學(xué)參考答案一、單項選擇題：本題共12小題．1．B 2．C 3．B 4．D 5．D 6．A 7．A 8．C二、多項選擇題：本題共4小題．9．BCD 10．CD 11．BD 12．ABC三、填空題：本題共4小題．13．0 14． 15．0.1 16．四、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．解：若選①：，由正弦定理得，又，，代入解得．∵∴∴面積．若選①：，由正弦定理得，由余弦定理得，∵∴．又，，代入解得．∴面積．若選①：，由正弦定理得，由余弦定理得，∵∴．又，，由正弦定理得，∴．∵，∴．∴．∴面積．（得到后，也可以算出邊．然后．）若選②：，由余弦定理得，整理得，下面的解答與選①的各種解法一樣若選②：，由余弦定理得，整理得，由余弦定理得，∵∴．下面的解答與選①的各種解法一樣若選②：，由正弦定理得整理得，∴，∴．下面的解答與選①的各種解法一樣（若用其他解法做對按分值和相應(yīng)步驟給分）18．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，，成等差數(shù)列所以有∴，即，且解得：，又∴，即∴．（2）由（1）可知，，得∵∴，即∴∴①－②，得∴19．（1）連接∵點(diǎn)和點(diǎn)分別是邊、上的中點(diǎn)．∴∵等邊中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)∴∴∵等邊中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)∴又∵平面∵平面平面且平面平面∴平面∴∵∴平面（2）連接的中點(diǎn)，由圖1得以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，設(shè)平面的法向量為．由，取，得；因為平面的法向量為設(shè)平面與平面所成銳二面角為所以，平面與平面所成銳二面角的余弦值為．20．解：（1）甲同學(xué)進(jìn)入決賽的概率為：．（2）依題意得，甲同學(xué)每道題選擇回答并答對的概率為，選擇回答且答錯的概率為，選擇放棄回答的概率為．的可能取值為，，，0，2，3，4，7，8，12．所以，，，，，，，，，，所以的分布列為：02347812．21．【解答】解：（1）由題意有：解得：所以橢圓的方程為：（2）方法1：設(shè)，則，且，若點(diǎn)為右頂點(diǎn)，則點(diǎn)為上（或下）頂點(diǎn)，，不是等邊三角形，不合題意，所以，．設(shè)線段中點(diǎn)為，所以，因為，所以，因為直線的斜率，所以直線的斜率，又直線的方程為，令，得到因為，所以，因為為正三角形，所以，即化簡，得到，解得，（舍）故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．方法2：設(shè)，直線的方程為．當(dāng)時，點(diǎn)為右頂點(diǎn)，則點(diǎn)為上（或下）頂點(diǎn)，，，不是等邊三角形，不合題意，所以．聯(lián)立方程，消元得，所以，所以，設(shè)線段中點(diǎn)為，所以，，所以，因為，所以，所以直線的方程為，令，得到，因為為正三角形，所以，所以，化簡，得到，解得，（舍），所以，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．方法3：設(shè)，當(dāng)直線的斜率為0時，點(diǎn)為右頂點(diǎn)，則點(diǎn)為上（或下）頂點(diǎn)，，，不是等邊三角形，不合題意，所以直線的斜率不為0．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，消元得，，所以，設(shè)線段中點(diǎn)為，所以，，所以，因為，所以，所以直線的方程為，