物理人教版必修2學(xué)案第五章曲線運動末整合提升

末整合提升[構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)]eq\a\vs4\al(曲線運動)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(曲線運動\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(曲線運動的速度方向：軌跡的切線方向,曲線運動的條件：合外力方向與初速度方向不在一條直線上)),運動的合成與分解\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(分運動與合運動具有獨立性、等時性、等效性,速度、位移、加速度的合成遵循平行四邊形定則)),平拋運動\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(水平方向：勻速運動，vx＝v0，x＝v0t，ax＝0,豎直方向：自由落體運動，vy＝gt，y＝\f(1,2)gt2，ay＝g,合運動：v＝\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))，s＝\r(x2＋y2))),圓周運動\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(描述規(guī)律的物理量\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(線速度：v＝\f(s,t)＝\f(2πr,T),角速度：ω＝\f(θ,t)＝\f(2π,T),周期：T＝\f(2πr,v)＝\f(2π,ω),向心加速度：a＝\f(v2,r)＝ω2r＝\f(4π2r,T2),向心力：F＝m\f(v2,r)＝mω2r＝m\f(4π2r,T2))),勻速圓周運動\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(特點：線速度大小不變,條件：合力大小不變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心)),非勻速圓周運動：合外力不僅改變速度大小，還改變速度方向)),生活中的圓周運動\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(火車拐彎：設(shè)軌道傾角為α，則有mgtanα＝m\f(v2,r),拱形橋：過凸形橋頂部時m\f(v2,r)＝mg－FN，過凹形橋底部有m\f(v2,r)＝FN－mg,航天器中的失重現(xiàn)象,離心運動\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(其實質(zhì)是物體具有慣性的表現(xiàn),離心運動的條件：提供的向心力小于需要的向心力))))))[要點專題突破]專題一運動的合成與分解1．合運動與兩個分運動的關(guān)系(1)利用運動的合成或分解，可以簡化復(fù)雜運動，是分析曲線運動的方法和手段．合運動是物體的實際運動，與分運動具有等效性和等時性，這是合成和分解運動的基本依據(jù)．合運動與分運動滿足平行四邊形定則．(2)合理地分解運動分解運動時，不僅要遵從分解法則，還要注意各分運動的實際意義及效果，按照效果將運動進行分解．2．船渡河運動的分解v1為水流速度，v2為船相對靜水的速度，θ為v2與v1的夾角，d為河寬．(1)沿水流方向：船的運動是速度為v1＋v2cosθ的勻速直線運動．(2)沿垂直河岸方向：船的運動是速度為v2sinθ的勻速直線運動．(3)船垂直河岸渡河時：渡河位移最小，有l(wèi)min＝d.在水流方向上有v1＋v2cosθ＝0，即船頭指向上游，滿足cosθ＝－eq\f(v1,v2).(4)船頭垂直河岸渡河時：渡河時間最短，有tmin＝eq\f(d,v2).[例1]如圖所示，有一只小船正在過河，河寬d＝300m，小船在靜水中的速度v2＝3m/s，水的流速v1＝1m/s.小船以下列條件過河時，求過河的時間．(1)以最短的時間過河；(2)以最短的位移過河．[解析](1)當(dāng)小船的船頭方向垂直于河岸時，即船在靜水中的速度v2的方向垂直于河岸時，過河時間最短，則最短時間tmin＝eq\f(d,v2)＝eq\f(300,3)s＝100s.(2)因為v2＝3m/s>v1＝1m/s，所以當(dāng)小船的合速度方向垂直于河岸時，過河位移最短．此時合速度方向如圖所示，則過河時間t＝eq\f(d,v)＝eq\f(d,\r(v\o\al(2,2)－v\o\al(2,1)))≈106.1s.[答案](1)100s(2)106.1s[例2]在光滑水平面上，一個質(zhì)量為2kg的物體從靜止開始運動，在前5s內(nèi)受到一個沿正東方向、大小為4N的水平恒力作用；從第5s末到第15s末改受正北方向、大小為2N的水平恒力作用．求物體在15s內(nèi)的位移和15s末的速度．[解析]如圖所示，物體在前5s內(nèi)由坐標(biāo)原點開始沿正東方向做初速度為0的勻加速直線運動，其加速度a1＝eq\f(F1,m)＝eq\f(4,2)m/s2＝2m/s2.5s內(nèi)物體沿正東方向的位移x1＝eq\f(1,2)a1teq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)×2×52m＝25m.5s末物體的速度v1＝a1t1＝2×5m/s＝10m/s，方向向正東．5s末物體改受正北方向的外力F2，則物體同時參與了兩個方向的運動，合運動為曲線運動．物體在正東方向做勻速直線運動，5s末到15s末沿正東方向的位移x1′＝v1t2＝10×10m＝100m.5s后物體沿正北方向分運動的加速度a2＝eq\f(F2,m)＝eq\f(2,2)m/s2＝1m/s2，5s末到15s末物體沿正北方向的位移y＝eq\f(1,2)a2teq\o\al(2,2)＝50m.15s末物體沿正北方向的分速度v2＝a2t2＝10m/s.根據(jù)平行四邊形定則可知，物體在15s內(nèi)的位移l＝eq\r(x1＋x1′2＋y2)≈135m，方向為東偏北θ角，tanθ＝eq\f(y,x1＋x′1)＝eq\f(2,5).物體在15s末的速度v＝eq\r(v\o\al(2,1)＋v\o\al(2,2))＝10eq\r(2)m/s，方向為東偏北α角，由tanα＝eq\f(v2,v1)＝1，得α＝45°.[答案]物體15s內(nèi)的位移為135m，方向為東偏北θ角，且tanθ＝eq\f(2,5)15s末的速度為10eq\r(2)m/s，方向為東偏北45°角總結(jié)提能本題中物體的運動分為兩個階段，前5s內(nèi)沿正東方向做初速度為0的勻加速直線運動，后10s內(nèi)物體同時參與了兩個方向(正東和正北)的運動．根據(jù)運動的合成與分解的方法，分別求出兩個方向上的分位移和分速度，然后利用矢量運算法則求解即可．專題二平拋運動的解題方法平拋運動是典型的勻變速曲線運動，它的動力學(xué)特征是：水平方向有初速度而不受外力，豎直方向只受重力而無初速度．因此抓住了平拋運動的這個初始條件，也就抓住了它的解題關(guān)鍵．現(xiàn)將常見的幾種解題方法介紹如下：(1)利用平拋運動的時間特點解題平拋運動可分解成水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，只要拋出的時間相同，下落的高度和豎直分速度就相同．(2)利用平拋運動的軌跡解題平拋運動的軌跡是一條拋物線，已知拋物線上的任意一段，就可求出初速度和拋出點，其他物理量也就迎刃而解了．設(shè)如圖為某小球做平拋運動的一段軌跡，在軌跡上任取兩點A和B，分別過A點作豎直線，過B點作水平線，兩直線相交于C點，然后過BC的中點D作垂線交軌跡于E點，過E點再作水平線交AC于F點，則小球經(jīng)過AE和EB的時間相等，設(shè)為單位時間T.由豎直方向上的勻加速直線運動得eq\x\to(FC)－eq\x\to(AF)＝gT2，所以T＝eq\r(\f(\a\vs4\al(\x\to(FC)－\x\to(AF)),g))，由水平方向上的勻速直線運動得v0＝eq\f(\x\to(EF),T)＝eq\x\to(EF)eq\r(\f(g,\a\vs4\al(\x\to(FC)－\x\to(AF))))，由于小球從拋出點開始在豎直方向上做自由落體運動，在連續(xù)相等的時間內(nèi)滿足h1h2h3…＝135…因此，只要求出eq\f(\a\vs4\al(\x\to(AF)),\a\vs4\al(\x\to(FC)))的值，就可以知道AE和EB是在哪個單位時間段內(nèi)．[例3]在離地某一高度的同一位置處，有A、B兩個小球，A球以vA＝3m/s的速度水平向左拋出，同時B球以vB＝4m/s的速度水平向右拋出，那么當(dāng)兩個小球的速度方向垂直時，它們之間的距離為多大？[解析]如圖所示，由于兩個小球是在同一高度同一時刻拋出，它們始終在同一水平位置上，且有vAy＝vBy＝gt，設(shè)vA′、vB′的方向和豎直方向的夾角分別為α和β，則vAy＝vAcotα，vBy＝vBcotβ，且α＋β＝90°.則vAyvBy＝veq\o\al(2,Ay)＝vAvBcotαcotβ＝vAvB.得vAy＝eq\r(vAvB)，則時間t＝eq\f(vAy,g)＝eq\f(\r(vAvB),g)，故距離s＝(vA＋vB)t＝eq\f(vA＋vB\r(vAvB),g)≈2.47m.[答案]2.47m[例4]下圖是某同學(xué)根據(jù)實驗畫出的平拋小球的運動軌跡，O為平拋的起點，在軌跡上任取三點A、B、C，測得A、B兩點豎直坐標(biāo)y1為5.0cm、y2為45.0cm，A、B兩點水平間距Δx為40.0cm.則平拋小球的初速度v0為________m/s，若C點的豎直坐標(biāo)y3為60.0cm，則小球在C點的速度vC＝________m/s(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字，g取10m/s2)．[解析]由y＝eq\f(1,2)gt2得，t1＝eq\r(\f(2y1,g))＝0.10s，t2＝eq\r(\f(2y2,g))＝0.30s，因此小球平拋運動的初速度為v0＝eq\f(Δx,t2－t1)＝eq\f(0.40,0.20)m/s＝2.0m/s.小球在C點時豎直方向的分速度vy3＝eq\r(2gy3)＝eq\r(2×10×0.60)m/s＝2eq\r(3)m/s，因此C點速度vC＝eq\r(v\o\al(2,y3)＋v\o\al(2,0))＝4.0m/s.[答案]2.04.0總結(jié)提能平拋運動在水平方向上是勻速直線運動，在豎直方向上是自由落體運動．由軌跡分析問題時要注意坐標(biāo)原點是否為拋出點，即在應(yīng)用豎直方向的規(guī)律時要注意使用條件．專題三圓周運動問題1．圓周運動的運動學(xué)分析(1)正確理解描述圓周運動快慢的物理量及其相互關(guān)系線速度、角速度、周期和轉(zhuǎn)速都是描述圓周運動快慢的物理量，但意義不同．線速度描述物體沿圓周運動的快慢．角速度、周期和轉(zhuǎn)速描述做圓周運動的物體繞圓心轉(zhuǎn)動的快慢．由ω＝eq\f(2π,T)＝2πn，知ω越大，T越小，n越大，則物體轉(zhuǎn)動得越快，反之則越慢．三個物理量知道其中一個，另外兩個也就成為已知量．(2)對公式v＝ωr及an＝eq\f(v2,r)＝ω2r的理解①由v＝ωr，知r一定時，v與ω成正比；ω一定時，v與r成正比；v一定時，ω與r成反比．②由an＝eq\f(v2,r)＝ω2r，知v一定時，an與r成反比；ω一定時，an與r成正比．2．圓周運動的動力學(xué)分析勻速圓周運動是一種變加速曲線運動，處理勻速圓周運動應(yīng)抓住合力充當(dāng)向心力這一特點，由牛頓第二定律來分析解決，此時公式F＝man中的F是指向心力，an是指向心加速度，即ω2r或eq\f(v2,r)或其他的用轉(zhuǎn)速、周期、頻率表示的形式．圓周運動中應(yīng)用牛頓第二定律的解題步驟：(1)確定研究對象，確定圓周運動的平面和圓心位置，從而確定向心力的方向．(2)選定向心力的方向為正方向．(3)受力分析(不要把向心力作為一種按性質(zhì)命名的力進行分析)，利用直接合成法或正交分解法確定向心力的大?。?4)選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧剑膳ｎD第二定律列方程．(5)求解未知量并說明結(jié)果的物理意義．3．利用正交分解法處理圓周運動問題由于做圓周運動的物體，其受力并不一定在它的運動平面上，所以在對物體進行受力分析時往往要進行正交分解．對圓周運動進行分析時，建立的坐標(biāo)系不是恒定不變的，而是在每一個瞬間建立坐標(biāo)系．(1)勻速圓周運動：采用正交分解法，其坐標(biāo)原點是做圓周運動的物體(視為質(zhì)點)，相互垂直的兩個坐標(biāo)軸中，一定有一個坐標(biāo)軸的正方向沿著半徑指向圓心．(2)變速圓周運動：采用正交分解法，有一個坐標(biāo)軸的正方向沿著半徑指向圓心．加速度沿半徑方向的分量an(指向圓心)即為向心加速度，其大小為an＝eq\f(v2,r)＝rω2；加速度沿軌跡切線方向的分量aτ即為切向加速度．合力沿半徑方向的分量Fn(或所有外力沿半徑方向分力的矢量和)提供向心力，其作用是改變速度的方向；其大小為Fn＝meq\f(v2,r)＝mω2r.合力沿切線方向的分力Fτ(或所有外力沿切線方向的分力的矢量和)使物體產(chǎn)生切向加速度，其作用是改變速度的大小，其大小為Fτ＝maτ.[例5]如下圖所示，質(zhì)量分別為M和m的兩個小球A、B套在光滑水平直桿P上．整個直桿被固定于豎直轉(zhuǎn)軸上，并保持水平．兩球間用勁度系數(shù)為k、原長為L的輕質(zhì)彈簧連接在一起．左邊小球被輕質(zhì)細繩拴在豎直轉(zhuǎn)軸上，細繩長度也為L.現(xiàn)使橫桿P隨豎直轉(zhuǎn)軸一起在水平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動角速度為ω，則當(dāng)彈簧長度穩(wěn)定后，細繩的拉力和彈簧的總長度各為多少？[解析]設(shè)直桿勻速轉(zhuǎn)動時，彈簧伸長量為x，A、B兩球水平方向受力如圖所示，其中FT為細繩的拉力，F(xiàn)為彈簧的彈力．[答案]Mω2L＋eq\f(2mω2kL,k－mω2)eq\f(k＋mω2,k－mω2)L總結(jié)提能處理物體系統(tǒng)的勻速圓周運動問題要充分挖掘隱含條件．首先明確各物體做圓周運動的v、ω及r是多少，向心力是由什么力提供的，然后分析各物體做圓周運動的物理量之間有什么聯(lián)系，從而建立方程求解相關(guān)問題．[例6]如圖所示，有一質(zhì)量為m的小球在光滑的半球形碗內(nèi)做勻速圓周運動，軌道平面在水平面內(nèi)．已知小球與半球形碗的球心O的連線跟豎直方向的夾角為θ，半球形碗的半徑為R，求小球做圓周運動的速度大小及碗壁對小球的彈力大小．[解析]對小球進行受力分析如圖所示，合力沿水平方向，則彈力FN＝eq\f(mg,cosθ).速度大小的計算過程如下：[答案]eq\r(gRsinθtanθ)eq\f(mg,cosθ)總結(jié)提能解決勻速圓周運動問題依據(jù)的規(guī)律是牛頓第二定律和勻速圓周運動的運動學(xué)公式．專題四水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題關(guān)于水平面內(nèi)勻速圓周運動的臨界問題，無非是臨界速度與臨界力的問題，具體來說，主要是與繩的拉力、彈簧的拉力、接觸面的彈力和摩擦力等相關(guān)．在這類問題中，要特別注意分析物體做圓周運動的向心力來源，考慮達到臨界條件時物體所處的狀態(tài)，即臨界速度、臨界角速度，然后分析該狀態(tài)下物體的受力特點，結(jié)合圓周運動知識，列方程求解．常見情況有以下幾種：(1)與繩的彈力有關(guān)的圓周運動臨界問題．(2)因靜摩擦力存在最大值而產(chǎn)生的圓周運動臨界問題．(3)受彈簧等約束的勻速圓周運動臨界問題．(4)與斜面有關(guān)的圓周運動臨界問題．[例7]如圖(1)所示，小球質(zhì)量m＝0.8kg，用兩根長均為L＝0.5m的細繩拴住并系在豎直桿上的A、B兩點．已知AB＝0.8m，當(dāng)豎直桿轉(zhuǎn)動帶動小球在水平面內(nèi)繞桿以ω＝40rad/s的角速度勻速轉(zhuǎn)動時，取g＝10m/s2，求上、下兩根繩上的張力．[解析]設(shè)BC繩剛好伸直無拉力時，小球做圓周運動的角速度為ω0，繩AC與桿夾角為θ，且cosθ＝eq\f(\f(0.8,2),0.5)＝0.8，則θ＝37°，如圖(2)甲所示，有mgtanθ＝mωeq\o\al(2,0)r，得ω0＝eq\r(\f(gtanθ,r))＝eq\r(\f(gtanθ,Lsinθ))＝eq\r(\f(g,Lcosθ))＝5rad/s，由ω＝40rad/s>5rad/s＝ω0，知BC繩已被拉直并有拉力，對小球受力分析建立如圖乙所示的坐標(biāo)系，將F1、F2正交分解，則沿y軸方向有F1cosθ－mg－F2cosθ＝0，沿x軸方向有F1sinθ＋F2sinθ＝mω2r，代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得F1＝325N，F(xiàn)2＝315N.[答案]325N315N總結(jié)提能本題中的ω0為角速度的臨界值，當(dāng)ω<ω0時，小球受兩個力，θ<37°；當(dāng)ω＝ω0時，小球仍受兩個力，但θ＝37°，且F1＝eq\f(mg,cosθ)；當(dāng)ω>ω0時，小球受三個力，θ＝37°.對這類有臨界狀態(tài)的問題必須先找出臨界狀態(tài)再作出判斷．[例8]有一水平放置的圓盤，上面放有一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，如圖所示，彈簧的一端固定于軸O上，另一端掛一質(zhì)量為m的物體A，物體與圓盤面間的動摩擦因數(shù)為μ，開始時彈簧未發(fā)生形變，長度為R.(1)圓盤的轉(zhuǎn)速n0多大時，物體A開始滑動？(2)分析轉(zhuǎn)速達到2n0時，彈簧的伸長量Δx是多少？[解析]若圓盤轉(zhuǎn)速較小，則靜摩擦力提供向心力，當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速較大時，彈力與摩擦力的合力提供向心力．(1)A剛開始滑動時，A所受最大靜摩擦力提供向心力，則有μmg＝mωeq\o\al(2,0)R①又因為ω0＝2πn0②由①②得n0＝eq\f(1,2π)eq\r(\f(μg,R))，即當(dāng)n0＝eq\f(1,2π)eq\r(\f(μg,R))時，物體A開始滑動．(2)轉(zhuǎn)速增加到2n0時，有μmg＋kΔx＝mωeq\o\al(2,1)r，ω1＝2π·2n0，r＝R＋Δx，整理得Δx＝eq\f(3μmgR,kR－4μmg).[答案](1)eq\f(1,2π)eq\r(\f(μg,R))(2)eq\f(3μmgR,kR－4μmg)總結(jié)提能求解有彈簧連接的物體做圓周運動的問題時，要明確各力的方向，半徑的變化，并注意彈簧與繩的區(qū)別以及靜摩擦力是可以變化的．專題五豎直平面內(nèi)圓周運動的臨界問題1．沒有物體支撐的小球(輕繩或單側(cè)軌道類)小球在最高點的臨界速度(最小速度)是v0＝eq\r(gr).小球恰能通過圓周最高點時，繩對小球的拉力為0，環(huán)對小球的彈力為0(臨界條件：FT＝0或FN＝0)，此時重力提供向心力．所以v≥eq\r(gr)時，能通過最高點；v<eq\r(gr)時，不能達到最高點．2．有物體支撐的小球(輕桿或雙側(cè)軌道類)因輕桿和管壁能對小球產(chǎn)生支撐作用，所以小球達到最高點的速度可以為0，即臨界速度v0＝0，此時支持力FN＝mg.[例9](多選)用細繩拴著質(zhì)量為m的小球，在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運動，如圖所示．則下列說法正確的是()A．小球通過最高點時，繩子張力可以為0B．小球通過最高點時的最小速度是0C．小球剛好通過最高點時的速度是eq\r(gR)D．小球通過最高點時，繩子對小球的作用力可以與球所受重力方向相反[解析]設(shè)小球通過最高點時的速度為v.由合力提供向心力及牛頓第二定律得mg＋FT＝meq\f(v2,R).當(dāng)FT＝0時，v＝eq\r(gR)，故A正確；當(dāng)v<eq\r(gR)時，F(xiàn)T<0，而繩子只能產(chǎn)生拉力，不能產(chǎn)生與重力方向相反的支持力，故B、D錯誤；當(dāng)v>eq\r(gR)時，F(xiàn)T>0，小球能沿圓弧