預(yù)習(xí)02導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（七大考點(diǎn)）

預(yù)習(xí)02導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算一、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)（為常數(shù)）2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若存在，則有：加減運(yùn)算乘法運(yùn)算除法運(yùn)算，則．3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為：二、求切線方程1.求曲線“在”點(diǎn)處的切線方程：第一步：計(jì)算切點(diǎn)的縱坐標(biāo)；第二步：計(jì)算切線斜率；第三步：計(jì)算切線方程.切線過(guò)切點(diǎn)，切線斜率；第四步：根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.2.求曲線“過(guò)”點(diǎn)處的切線方程第一步：設(shè)切點(diǎn)為；第二步：求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；第三步：利用Q在曲線上和，解出及；第四步：根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.考點(diǎn)01基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【方法點(diǎn)撥】（1）若求導(dǎo)函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式,則直接利用公式求解.（2）對(duì)于不能直接利用公式的類型,一般遵循“先化簡(jiǎn),再求導(dǎo)”的基本原則,避免不必要的運(yùn)算失誤.【例1】已知，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再代入計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：C【例2】下列導(dǎo)數(shù)公式不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式直接判斷即可．【詳解】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可知，ABD正確；C錯(cuò)誤，應(yīng)為.故選：C.【變式11】下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式即可結(jié)合選項(xiàng)求解.【詳解】對(duì)于A,,故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，故B正確，對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D,,故D錯(cuò)誤，故選：B【變式12】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求解；（2）利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求解.【詳解】（1）.（2）.【變式13】已知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，若存在使得，則稱是的一個(gè)“巧值點(diǎn)”.下列四個(gè)函數(shù)中，沒(méi)有“巧值點(diǎn)”的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求導(dǎo)，然后直接解方程可判斷ACD；根據(jù)函數(shù)與的圖象是否有交點(diǎn)可判斷B.【詳解】對(duì)于A：，由解得或，所以存在“巧值點(diǎn)”；對(duì)于B：，作函數(shù)與的圖象，由圖可知存在“巧值點(diǎn)”；對(duì)于C：，由得，解得，所以存在“巧值點(diǎn)”；對(duì)于D：，因?yàn)?，所以無(wú)實(shí)數(shù)解，所以不存在“巧值點(diǎn)”.故選：D考點(diǎn)02導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則【方法點(diǎn)撥】應(yīng)用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則可迅速解決一些簡(jiǎn)單函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題,要透徹理解函數(shù)求導(dǎo)法則的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),熟記公式,還要注意挖掘知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律.注意:當(dāng)不易直接應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式時(shí),應(yīng)先對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),再求導(dǎo).【例3】已知函數(shù)，則（

）A．12 B． C．28 D．【答案】A【分析】由題意對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分別代入求值即可.【詳解】由題意得，，所以.故選：A.【例4】（多選）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式以及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)果.【詳解】由基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可得：對(duì)A，，A正確；對(duì)B，，B錯(cuò)誤；對(duì)C，，C錯(cuò)誤；對(duì)D，，D正確.故選：AD【變式21】設(shè)函數(shù)．若，則．【答案】【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合，列出方程，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因?yàn)?，可得，即，解?故答案為：.【變式22】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)(2)(3)(4)(5)；(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】利用基本函數(shù)的求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得結(jié)果.【詳解】（1）.（2）.（3）因?yàn)椋?（4）.（5）.（6）因?yàn)?，所?【變式23】設(shè)，且，則，．【答案】10【分析】先求導(dǎo)，再代入解方程組得出結(jié)果.【詳解】，由，得解得.故答案為：1；0．考點(diǎn)03復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【方法點(diǎn)撥】求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟：①選擇中間變量,寫出構(gòu)成它的內(nèi)、外層函數(shù)；②分別求各層函數(shù)對(duì)相應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)；③把上述求導(dǎo)的結(jié)果相乘；④把中間變量回代【例5】（多選）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則，可得答案.【詳解】對(duì)于A：，A正確；對(duì)于B：，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，D正確；故選：AD.【例6】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算求解即可；（2）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算求解即可；（3）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算求解即可；（4）誘導(dǎo)公式和二倍角公式先化簡(jiǎn)，再直接求導(dǎo)；（5）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算求解即可；（6）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）由，則.（2）由，則.（3）由，則.（4）由，則.（5）由，則.（6）由，則.【變式31】（多選）下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BCD【分析】由導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算.【詳解】對(duì)A,若，則，A選項(xiàng)不正確；對(duì)B,若，則，B選項(xiàng)正確；對(duì)C,若，則，C選項(xiàng)正確．對(duì)D,若，則，D選項(xiàng)正確．故選：BCD【變式32】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)(2)【答案】(1)；(2).【分析】（1）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)加減、乘法及簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)求法求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；（2）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)除法法則求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).【詳解】（1）（2）【變式33】若函數(shù)滿足，則（

）A．0 B．1 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則兩邊分別求導(dǎo)，再賦值計(jì)算即得.【詳解】由兩邊分別求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：A考點(diǎn)04解析式中含【方法點(diǎn)撥】注意是一個(gè)數(shù)字，不是一個(gè)函數(shù)【例7】已知函數(shù)，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則，求導(dǎo)代入即可求解.【詳解】對(duì)求導(dǎo)可得，所以，所以，故選：C【例8】已知函數(shù)，則（

）A．－12 B．12 C．－26 D．26【答案】C【分析】求出導(dǎo)數(shù)，令，求出，再求出.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，令則，，解得，所以，，所以，，所以.故選：C【變式41】設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則.【答案】【分析】根據(jù)求導(dǎo)法則，建立方程，可得答案.【詳解】由題意，可得，所以，即，解得：.故答案為：.【變式42】已知函數(shù)，則.【答案】24【分析】求導(dǎo)后代入即可得，代入求解即可.【詳解】，故，解得，故，所以.故答案為：24【變式43】已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對(duì)于原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)，分別取，代入運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，則，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，解得，所以.故選：D.考點(diǎn)05求“在”點(diǎn)處的切線方程【方法點(diǎn)撥】此類問(wèn)題往往涉及切點(diǎn)、切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、切線方程三個(gè)主要元素，其他的條件可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而轉(zhuǎn)化為這三個(gè)要素間的關(guān)系.【例9】已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，由點(diǎn)斜式得切線方程，再由直線方程不受參數(shù)的影響找到定點(diǎn).【詳解】因?yàn)?，所以，則，又，直線過(guò)，則直線方程為，即，令，得，即直線不受參數(shù)的影響，恒過(guò)定點(diǎn).故選：A.【例10】已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】求導(dǎo)得切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，由點(diǎn)斜式求解切線方程，求出截距即可求解面積.【詳解】，則，切點(diǎn)坐標(biāo)為，又，則切線斜率，所以曲線在點(diǎn)處的切線是，即，取，得，取，得，故切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為：.故選：C.【變式51】求函數(shù)在處的切線的斜率及切線的方程．【答案】斜率，切線方程為【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再由點(diǎn)斜式求出切線方程.【詳解】函數(shù)，則，，所以，所以函數(shù)在處的切線的斜率，切線的方程為，即.【變式52】函數(shù)的圖象在處的切線在x軸上的截距為．【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求得切線方程為，再令求解即可.【詳解】記函數(shù)的圖象在處的切線的斜率為，因?yàn)椋?，所以切線方程為，即，令得.故答案為：．【變式53】已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且.(1)求，的值；(2)求曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題目條件列出方程組求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，再求直線在坐標(biāo)軸上的截距即可求三角形面積.【詳解】（1）由，得，由題意可得，，解得；（2）由（1）得，，，∴，，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.取，得，取，得.∴曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.考點(diǎn)06求“過(guò)”點(diǎn)處的切線方程【方法點(diǎn)撥】注意題意中的點(diǎn)并不是切點(diǎn)，需假設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)【例11】已知函數(shù)，過(guò)點(diǎn)作該函數(shù)曲線的切線，則該切線方程為（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，于是，解得，則，所以所求切線方程為，即.故選：D【例12】已知函數(shù)的零點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導(dǎo)得到切線方程，將原點(diǎn)代入切線方程，求出，再由，計(jì)算出.【詳解】，切點(diǎn)為，則切線方程為，因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)，所以，解得，則，由，可得，故.故選：B【變式61】過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，請(qǐng)寫出切線的方程.【答案】或【分析】設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)并寫出切線方程，代入點(diǎn)求出值即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，而，所以切線的斜率，故切線方程為，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，，化簡(jiǎn)可得或，則切點(diǎn)為或，則代入得切線方程為：或，故答案為：或.【變式62】已知曲線，過(guò)點(diǎn)作該曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則.【答案】3【分析】設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線的切線方程，將點(diǎn)代入，整理可得，而是此方程的兩個(gè)實(shí)根，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由，得，則切線的斜率為，所以切線為，又切線過(guò)點(diǎn)，所以，整理得，而是此方程的兩個(gè)實(shí)根，所以.故答案為：3【變式63】已知函數(shù).(1)求在點(diǎn)處的切線方程；(2)過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，求的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線的方程.（2）設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)求得切線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程，再將點(diǎn)代入切線方程，求出，進(jìn)而求得切線方程.【詳解】（1），因此，所以在點(diǎn)處的切線方程為：，即.（2）設(shè)切點(diǎn)，則切線的斜率為，切線為過(guò)，所以整理得，從而斜率，所以切線的方程為.考點(diǎn)07已知切線（斜率）求參數(shù)【例13】已知直線與曲線相切，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)切點(diǎn)在直線上求出的值.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由得，因?yàn)橹本€與曲線相切，所以，解得，，所以，又在直線上，所以，解得.故選：B.【例14】若直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B．0 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析運(yùn)算．【詳解】，則，設(shè)直線l與曲線的切點(diǎn)，則直線l的斜率，由于直線斜率為，則，解得，所以，即切點(diǎn)為，故，解得．故選：A.【變式71】已知曲線的一條切線的斜率是，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，，得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：【變式72】已知函數(shù)在處的切線方程為，則．【答案】/【分析】求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)切線方程得到，解得答案.【詳解】，，函數(shù)在處的切線方程為，即，則，解得或（舍），故.故答案為：【變式73】若直線與曲線相切于點(diǎn)，則．【答案】【分析】將代入得到關(guān)于，的方程，當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)的值為，聯(lián)立解方程即可．【詳解】直線與曲線相切于點(diǎn)，則，故．又，當(dāng)時(shí)，，所以，則．故答案為：3一、單選題1．若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即可得.【詳解】，則.故選：B.2．已知是奇函數(shù)，則在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)得，根據(jù)奇函數(shù)的以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可求解，求導(dǎo)得切線斜率，即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解方程.【詳解】為奇函數(shù)，所以，解得，所以，，故，故，故，解得，由于，所以，所以，定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，符合題意，故，則，切點(diǎn)為，故，故切線方程為.故選：A3．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析求解.【詳解】由題意可得：，則，可知：所求切線的斜率為2，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：B.4．已知函數(shù)滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，代入，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，則，所以，.故選：A.5．以正弦曲線上一點(diǎn)P為切點(diǎn)得切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是（

）A．∪ B．C． D．∪【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解點(diǎn)的斜率，然后結(jié)合三角函數(shù)與直線傾斜角范圍判斷；【詳解】因?yàn)?，所以，∴切線的斜率范圍是，∴傾斜角的范圍是∪，故選：A.6．在平面直角坐標(biāo)系中，若曲線（，為常數(shù)）過(guò)點(diǎn)，且該曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】由題意將點(diǎn)代入得，求導(dǎo)得，由題意將點(diǎn)代入得，聯(lián)立即可得解.【詳解】∵函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，∴曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，由兩直線平行可得①.又∵點(diǎn)在曲線上，∴②，由①②解得，.故選：C.二、多選題7．下列求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】分析函數(shù)的構(gòu)成，利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式逐一判斷即可．【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)：令，則，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式得：，故C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)：利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式得：，故D不正確．故選：AB．8．定義在上的函數(shù)滿足，則的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)已知，令，可得，即函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，變形為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得，即，即可得出原函數(shù)（為常數(shù)），即，即可對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，可得，則，所以（為常數(shù)），所以，選項(xiàng)A，C，D分別符合，故選：ACD.9．若曲線（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值可以是（

）A． B． C．0 D．1【答案】AD【分析】設(shè)切點(diǎn)為，求導(dǎo)得出斜率，利用點(diǎn)斜式得到切線方程，因?yàn)榍芯€過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，可得到，有兩條切線轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等的實(shí)根，即可求出a的取值范圍，進(jìn)而得到正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，所以切線的斜率，則此曲線在P處的切線方程為，又此切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，由此推出有兩個(gè)不等的實(shí)根，所以，解得或，故選：AD．三、填空題10．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則的解集為．【答案】【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求解不等式.【詳解】，則，即，解得：或，舍去，所以不等式的解集為.故答案為：11．若，則曲線在處的切線方程為