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第七章第二節(jié)萬有引力定律——精剖細解學習講義知識點:萬有引力定律1、行星與太陽間的引力行星繞太陽的運動可以看作勻速圓周運動。行星做勻速圓周運動時,受到一個指向圓心(太陽)的引力,正是這個引力提供了向心力,由此可推知太陽與行星間引力的方向沿著二者的連線,如下圖所示:設行星的質量為m,運動線速度為v,地球到太陽的距離為r,太陽的質量為M。則行星繞太陽做勻速圓周運動的向心力為:,①天文觀測可以測得行星公轉的周期T,并據此可求出行星的速度:,②由①②得:.③又由開普勒第三定律:,④由③④式得,⑤因而可以說太陽對行星的引力F與行星的質量m成正比,與r2成反比,則有。⑥根據牛頓第三定律,力的作用足是相互的,且等大反向,因此地球對太陽的引力F′也應與太陽的質量成正比,且F′=F,即。⑦比較⑥⑦式不難得出,寫成等式,式中G是比例系數,與太陽、行星無關。2、月——地檢驗猜想:地球與月球之間的引力F=Geq\f(m月m地,r2),根據牛頓第二定律a月=eq\f(F,m月)=Geq\f(m地,r2),地面上蘋果自由下落的加速度a蘋=eq\f(F′,m蘋)=Geq\f(m地,R2),由于r=60R,所以eq\f(a月,a蘋)=eq\f(1,602)。利用開普勒第三定律進行驗證:已知蘋果自由落體加速度a蘋=g=9.8m/s2;月球中心距地球中心的距離r=3.8×108m;月球公轉周期T=27.3d≈2.36×106s,則a月=(eq\f(2π,T))2r=2.7×10-3m/s2,則eq\f(a月,a蘋)=2.8×10-4≈eq\f(1,602)。結論:地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力,與太陽、行星間的引力,遵從相同的規(guī)律。3、萬有引力定律1、內容:自然界中任何兩個物體都相互吸引,引力的方向在它們的連線上,引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成正比,與它們之間距離r的二次方成反比。2、表達式:F=Geq\f(m1m2,r2),其中G叫做引力常量,。牛頓得出了萬有引力與物體質量及它們之間距離的關系,但沒有測出引力常量G。家卡文迪什通3、適用條件:適用于質點間的相互作用;兩個質量分布均勻的球體可視為質點或者一個均勻球體與球外一個質點,r是兩球心間的距離或者球心到質點間的距離;兩個物體間的距離遠遠大于物體本身的大小,r為兩物體質心間的距離。4、對萬有引力定律的理解:宏觀性質量巨大的星球間或天體與附近的物體間,它的存在才有宏觀的物理意義。在微觀世界中,由于粒子的質量都非常小,萬有引力可以忽略不計。普適性萬有引力是普遍存在宇宙中任何兩個有質量的物體間的相互吸引力,它是自然界中的基本相互作用之一。相互性兩個物體相互作用的引力是一對作用力和反作用力,它們大小相等,方向相反,分別作用在兩個物體上。在勻質球殼的空腔內任意位置處,質點受到球殼的萬有引力的合力為零;在勻質球體內部距離球心r處的質點(m)受到的萬有引力等于球體內半徑為r的同心球體(M′)對其的萬有引力,即F=Geq\f(M′m,r2)。5、重力與萬有引力的關系:如下圖所示,在地表上某處,物體所受的萬有引力為F=,M為地球的質量,m為地表物體的質量。由于地球一直在自轉,因此物體隨地球一起繞地軸自轉所需的向心力為F向=mRcos·ω2,方向垂直于地軸指向地軸,這個力由物體所受到的萬有引力的一個分力提供,根據力的分解可得萬有引力的另一個分力就是重力mg。根據以上的分析可得:①在赤道上:Geq\f(Mm,R2)=mg1+mω2R。②在兩極上:Geq\f(Mm,R2)=mg2。③在一般位置:萬有引力Geq\f(Mm,R2)可分解為兩個分力:重力mg與向心力F向。忽略地球自轉影響,在地球表面附近,物體所受重力近似等于地球對它的吸引力,即mg=Geq\f(Mm,R2),化簡可得GM=gR2,該式稱為黃金代換式,適用于自轉可忽略的其他星球。6、應用:在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉):mg=Geq\f(mM,R2),得g=eq\f(GM,R2)。在地球表面上,mg=eq\f(GMm,R2),在h高度處mg′=eq\f(GMm,R+h2),所以eq\f(g,g′)=,隨高度的增加,重力加速度減小,在計算時,這個因素不能忽略。1.下列關于萬有引力定律的說法中,正確的是()①萬有引力定開普勒在實驗室發(fā)現的②對于相距很遠、可以看成質點的兩個物體,萬有引力定律中的r是兩質點間的距離③對于質量分布均勻的球體,公式中的r是兩球心間的距離④質量大的物體對質量小的物體的引力大于質量小的物體對質量大的物體的引力.A.①③ B.②④ C.②③ D.①④【答案】C【詳解】①萬有引力定律是牛頓發(fā)現的,①錯誤;②對于相距很遠、可以看成質點的兩個物體,萬有引力定律中的r是兩質點間的距離,②正確;③對于質量分布均勻的球體,公式中的r是兩球心間的距離,③正確;④物體之間的萬有引力是作用力和反作用力,不論質量大小,兩物體之間的萬有引力總是大小相等,④正確。故選C。2.已知地球半徑為R,質量為M,萬有引力常量為G,一位質量為m的探險家乘坐熱氣球到達離地面h高處,他受到地球的萬有引力大小為(
)A. B. C. D.【答案】B【詳解】軌道半徑為r=R+h根據萬有引力公式,有故B正確,A、C、D錯誤;故選B。3.2012年2月25日,我國成功發(fā)射了第11顆北斗導航衛(wèi)星,標志著北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)建設又邁出了堅實一步.若衛(wèi)星質量為m、離地球表面的高度為h,地球質量為M、半徑為R,G為引力常量,則地球對衛(wèi)星萬有引力的大小為()A. B. C. D.【答案】D【詳解】由萬有引力公式,兩者間的距離為R+h,因此引力為,D正確4.關于萬有引力,下列說法中正確的是(
)A.萬有引力定律是卡文迪許提出的B.萬有引力常量是牛頓通過實驗測出的C.萬有引力定律是伽利略提出的D.萬有引力常量是卡文迪許通過實驗測出的【答案】D【詳解】AC.萬有引力定律是牛頓提出的,故AC錯誤;BD、萬有引力恒量是由卡文迪許通過實驗測定的,故B錯;D正確;本題選:D5.關于萬有引力和萬有引力定律的理解正確的是(
)A.不能看作質點的兩物體間不存在相互作用的引力B.只有能看作質點的兩物體間的引力才能用計算C.由知,兩物體間距離r減小時,它們之間的引力增大D.引力常量G的數值是理論推導出來的【答案】C【詳解】A.萬有引力定律適應于兩個質點之間的作用,即使不能看作質點的兩物體間也存在相互作用的引力,選項A錯誤;B.萬有引力定律的公式適用于質點間的萬有引力,非質點間的引力也可以用這個公式來算,但是不能直接得到引力,需要用微分的思想來對物體分割計算萬有引力,故B錯誤;C.由知,兩物體間距離r減小時,它們之間的引力增大,選項C正確;D.引力常量G的數值是根據實驗測得的,不是理論推導出來的,選項D錯誤。故選C。6.如圖所示,是卡文迪什測量萬有引力常數的實驗示意圖,根據胡克定律及轉動理論可知,兩平衡球受到的等大反向且垂直水平平衡桿的水平力F與石英絲N發(fā)生扭轉的角度成正比,即,k的單位為,可以通過固定在T形架上平面鏡M的反射點在弧形刻度尺上移動的弧長求出來,弧形刻度尺的圓心正是光線在平面鏡上的入射點,半徑為R。已知兩平衡球質量均為m,兩施力小球的質量均為,與對應平衡球的距離均為r,施加給平衡球的力水平垂直平衡桿,反射光線在弧形刻度尺上移動的弧長為,則測得萬有引力常數為(平面鏡M扭轉角度為時,反射光線扭轉角度為)(
)A. B. C. D.【答案】D【詳解】所施加的力為萬有引力,即根據平面鏡反射定律及幾何關系可知,石英絲N發(fā)生扭轉的角度根據得到故選D。7.2021年2月24日,“天問一號”探測器進入火星停泊軌道,并于5月15日成功著陸于火星烏托邦平原。若火星半徑為R,質量為M,引力常量為G,著陸前質量為m的“天問一號”距火星表面高度h,則此時火星對“天問一號”的萬有引力大小為()A. B. C. D.【答案】A【詳解】由萬有引力公式可得火星對“天問一號”的萬有引力大小為故A正確,BCD錯誤。故選A。8.圖甲是未來空間站的構思圖。在空間站中設置個如圖乙繞中心軸旋轉的超大型圓管作為生活區(qū),圓管的內、外管壁平面與轉軸的距離分別為R1、R2。當圓管以一定的角速度ω轉動時,在管中相對管靜止的人(可看作質點)便可以獲得個類似在地球表面的“重力”,以此降低因長期處于失重狀態(tài)對身體健康造成的影響。已知地球質量為M,地球半徑為R,萬有引力常量為G,地球自轉周期為T。當空間站在地球靜止同步軌道上運行時,管道轉動的角速度ω大小為()A. B.C. D.【答案】B【詳解】人靠在外管壁上隨圓管一起做圓周運動,由題意可知解得故選B。9.如圖所示,兩球間的距離為r,兩球的質量分布均勻,質量大小分別為、,半徑大小分別為、,則兩球間的萬有引力大小為()A. B. C. D.【答案】D【詳解】兩球質量分布均勻,可認為質量集中于球心,由萬有引力公式可知兩球間的萬有引力大小為故選D。10.地質勘探發(fā)現某地區(qū)表面的重力加速度發(fā)生了較大的變化,懷疑地下有空腔區(qū)域,進一步探測發(fā)現在地面P點的正下方有一球形空腔區(qū)域儲藏有天然氣,如圖所示,假設該地區(qū)巖石均勻分布且密度為ρ,天然氣的密度遠小于ρ,可忽略不計,如果沒有該空腔,地球表面正常的重力加速度大小為g;由于空腔的存在,現測得P點處的重力加速度大小為kg(k<1),已知引力常量為G,球形空腔的球心深度為d,則此球形空腔的體積是()A. B. C. D.【答案】D【分析】萬有引力定律的適用條件:(1)公式適用于質點間的相互作用,當兩個物體間的距離遠遠大于物體本身的大小時,物體可視為質點;(2)質量分布均勻的球體可視為質點,r是兩球心間的距離,如果將空腔填滿,地面質量為m的物體的重力為mg,沒有填滿時是kmg,故空腔填滿后引起的引力為,根據萬有引力定律求解?!驹斀狻咳绻麑⒔乇淼那蛐慰涨惶顫M密度為ρ的巖石,則該地區(qū)重力加速度便回到正常值,因此,如果將空腔填滿,地面質量為m的物體的重力為mg,沒有填滿時是kmg,故空腔填滿后引起的引力為,由萬有引力定律有解得球形空腔的體積故選D。11.已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零。若地球是半徑為、質量分布均勻的球體,假設一人掉進一個完全穿過地球中心的洞中,B點為地球中心。不考慮摩擦和旋轉效應,則下列說法正確的是(
)A.人在A點速度最大 B.人在B點速度最大C.人在C點速度最大 D.人在D點速度最大【答案】B【詳解】根據萬有引力的推論,在勻質的空腔內任意位置處,質點受到球殼的引力合力為零,即人往下運動的過程中,球殼越來越厚,對人有引力的中間球體部分越來越小。設人下落過程中離地心的距離為R,根據牛頓第二定律有得加速度可知人在往地心掉落的過程中,中間球體部分的半徑R減小,加速度減小,在地心處加速度為零,速度最大。故選B。12.如圖所示,一個質量均勻分布的半徑為R的球體對球外質點P的萬有引力為F,如果在球體中央挖去半徑為r的一部分球體,且,則球體剩余部分對質點P的萬有引力大小為()A. B. C. D.【答案】D【詳解】設球體質量為,挖去的中央球體的質量為,球體的密度為,質點P的質量為,質點P距球心的距離為,則根據題意可得,可知兩個球體對質點的萬有引力分別為,可知,當將中央球體挖去后剩余部分對質點P的萬有引力大小為故選D。多選題13.任何有質量的物體周圍都存在引力場,萬有引力是通過引力場發(fā)生作用的.引入“引力場強度”A來表示引力場的強弱和方向,質量為m的物體在距離地心r處(r大于地球半徑)受到的萬有引力為F,則地球在該處產生的引力場強度A=,以下說法正確的是(
)A.A的單位與加速度的單位相同B.A的方向與該處物體所受萬有引力的方向一致C.r越大,A越大D.m越大,A越小【答案】AB【詳解】AB、F為質量為m的物體在距離地心r處(r大于地球半徑)受到的萬有引力,則A=表示的就是物體的加速度,根據牛頓第二定律定律,A的方向與該處物體所受萬有引力的方向一致,故AB正確.CD、由萬有引力定律F=G知,r越大,引力F越小,則A越??;由A=知,A與m無關,故CD錯誤.14.如圖,有一衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運行。衛(wèi)星從遠地點向近地點運動過程中,下列說法正確的是()A.速率保持不變 B.速率越來越大C.所受引力越來越大 D.所受萬有引力大小不變【答案】BC【詳解】AB.衛(wèi)星從遠地點向近地點運動時,萬有引力與速度成銳角,衛(wèi)星做加速運動,速度越來越大,故A錯誤,B正確;CD.衛(wèi)星從遠地點向近地點運動時,衛(wèi)星和地球的距離逐漸變小,由則所受引力越來越大,故C正確,D錯誤;故選BC。15.下列四幅圖中,相應的說法正確的是(
)A.圖甲中多次實驗兩球均同時落地,表明平拋運動的豎直分運動是自由落體運動B.圖乙運動員要想射中靶心,必須將前頭沿水平方向瞄準靶心射出C.圖丙水杯隨轉盤一起勻速轉動,杯中水減少時,水杯仍然不會發(fā)生相對滑動D.圖丁為牛頓通過扭秤實驗測出萬有引力常量【答案】AC【詳解】A.小錘打擊彈性金屬片,A球水平拋出,同時B球被松開自由下落,兩球同時落地,可知平拋運動在豎直方向上做自由落體運動,A正確;B.射出的箭具有水平的初速度,只受重力作用,在空中做平拋運動,箭在空中運動時,豎直方向要下落一段距離,所以不能正對靶心水平射出,應高于靶心射出,才能射中靶心,B錯誤;C.水杯隨轉盤一起勻速轉動,則有f=mrω2f為靜摩擦力,其在0到μmg之間,則當m減小f和mrω2均減小,則水杯仍然不會發(fā)生相對滑動,C正確;D.卡文迪許通過扭秤實驗測出萬有引力常量,D錯誤。故選AC。16.在力學理論建立的過程中,有許多偉大的科學家做出了貢獻。關于科學家和他們的貢獻,下列說法正確的是()A.伽利略發(fā)現了行星運動的規(guī)律B.卡文迪許通過實驗測出了引力常量C.牛頓最早指出力不是維持物體運動的原因D.笛卡爾對牛頓第一定律的建立做出了貢獻【答案】BD【詳解】A.行星運動定律由開普勒、牛頓等人發(fā)現,選項A錯誤;B.卡文迪許通過實驗測出了引力常量,選項B正確;C.伽利略最早指出力不是維持物體運動的原因,選項C錯誤;D.笛卡爾對牛頓第一定律的建立做出了貢獻,選項D正確。故選BD?!军c睛】17.如圖所示,在月球附近圓軌道上運行的“嫦娥二號”,到A點時變?yōu)闄E圓軌道,B點是近月點,則()A.在A點變軌時,“嫦娥二號”必須突然加速B.在A點變軌時,“嫦娥二號”必須突然減速C.從A點運動到B點過程中,“嫦娥二號”受到月球的引力減小D.從A點運動到B點過程中,“嫦娥二號”速率增大【答案】BD【詳解】AB.在A點變軌時,需減速,使得萬有引力大于向心力,做近心運動,故A錯誤,B正確;C.根據萬有引力定律得,,r越來越小,則引力越來越大,故C錯誤;D.從A到B運動的過程中,萬有引力做正功,根據動能定理,則動能增大,即速率增大,故D正確。故選BD。18.2018年12月8日,我國探月工程“嫦娥叫號”探測器在四川西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射成功。經歷地月轉移、環(huán)月飛行、近月制動,約27天的奔月旅程后,最
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