甘肅岷縣二中2020-2021學(xué)年高二第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

高二數(shù)學(xué)期中試題一．選擇題（共12小題）1．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若B＝30°，C＝45°，b＝2，則c＝（）A．2 B．3 C．4 D．2．已知△ABC的內(nèi)角∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，則等于（）A． B．4 C． D．33．△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，已知A＝105°，C＝45°，c＝，則b＝（）A．1 B． C． D．24．各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，若S10＝10，S30＝70，則S20＝（）A． B．30或﹣20 C．30 D．405．在等差數(shù)列{an}中，a1＝3，a5＝﹣5，則公差d＝（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣26．已知等比數(shù)列{an}中，a3＝1，a5＝2，則首項(xiàng)a1＝（）A． B． C． D．07．在等差數(shù)列{an}中，a5＝7，則a3+a4+a6+a7＝（）A．21 B．28 C．35 D．428．等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a2a12＝16，則a7＝（）A．8 B．﹣4 C．4 D．±49．在等比數(shù)列{an}中，a2＝3，a5＝24，則公比q＝（）A． B． C．2 D．410．不等式＞2的解集為（）A．{x|x＜1或x＞2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＜1} D．{x|x＞1}11．不等式2x+y﹣4≤0表示的平面區(qū)域是（）A． B． C． D．12．不等式組構(gòu)成的區(qū)域面積為（）A．8 B．6 C．4 D．2二．填空題（共4小題）13．在△ABC中，已知A＝30°，外接圓半徑為R＝1，則a＝．14．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且A：B：C＝1：1：2，則＝．15．在等比數(shù)列a，2a+2，3a+3，…中，a＝．16．不等式（x+2）（x+1）2（x﹣1）3（x﹣2）≤0的解集為．三．解答題（共6小題）17．解下列不等式：（1）﹣x2+2x＜﹣3；（2）x2﹣2x+1≤0．18．已知△ABC的面積三邊長(zhǎng)分別為AB＝8，BC＝5，AC＝7．（1）求cosB；（2）求△ABC的面積．19．已知等比數(shù)列{an}的公比q＞0，且a3＝4，a5＝16．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝an﹣3，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．20．已知等差數(shù)列{an}中，a1+a3+a5＝18，a5+a7＝0．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求{an}的前n項(xiàng)和Sn．21．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且∠A＝45°，，．（Ⅰ）求b，c；（Ⅱ）求BC邊上的高．22．在約束條件下，求z＝f（x，y）＝x+2y的最小值．高二數(shù)學(xué)期中試題參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）1．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若B＝30°，C＝45°，b＝2，則c＝（）A．2 B．3 C．4 D．【分析】由已知利用正弦定理即可求解．【解答】解：因?yàn)锽＝30°，C＝45°，b＝2，所以由正弦定理，可得c＝＝＝4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．已知△ABC的內(nèi)角∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，則等于（）A． B．4 C． D．3【分析】根據(jù)正弦定理可得sinA＝4a，sinB＝4b，sinC＝4c，代入即可求解．【解答】解：由正弦定理，＝＝，即sinA＝4a，sinB＝4b，sinC＝4c，則＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理的應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)邊角互化是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．3．△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，已知A＝105°，C＝45°，c＝，則b＝（）A．1 B． C． D．2【分析】由已知利用三角形內(nèi)角和定理可求B的值，進(jìn)而根據(jù)正弦定理即可求解b的值．【解答】解：因?yàn)锳＝105°，C＝45°，c＝，可得B＝180°﹣A﹣C＝30°，由正弦定理，可得b＝＝＝1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．4．各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，若S10＝10，S30＝70，則S20＝（）A． B．30或﹣20 C．30 D．40【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比數(shù)列，從而10，S20﹣10，70﹣S20成等比數(shù)列，由此能求出S20的值．【解答】解：各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，S10＝10，S30＝70，由等比數(shù)列的性質(zhì)得S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比數(shù)列，∴10，S20﹣10，70﹣S20成等比數(shù)列，∴（S20﹣10）2＝10（70﹣S20），解得S20＝30或S20＝﹣20，（舍），∴S20＝30．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的前20項(xiàng)的值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．在等差數(shù)列{an}中，a1＝3，a5＝﹣5，則公差d＝（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】利用等差數(shù)列的項(xiàng)之間的關(guān)系求出結(jié)果．【解答】由題設(shè)可得：d＝＝＝﹣2，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．6．已知等比數(shù)列{an}中，a3＝1，a5＝2，則首項(xiàng)a1＝（）A． B． C． D．0【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)求得結(jié)果即可．【解答】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：a1a5＝a32，∵a3＝1，a5＝2，∴a1＝＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7．在等差數(shù)列{an}中，a5＝7，則a3+a4+a6+a7＝（）A．21 B．28 C．35 D．42【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可直接求解．【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a3+a4+a6+a7＝4a5＝28，所以a5＝7故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．8．等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a2a12＝16，則a7＝（）A．8 B．﹣4 C．4 D．±4【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可知a2a12＝，從而可求a7．【解答】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a2a12＝16，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，且a2a12＝＝16，則a7＝4，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．9．在等比數(shù)列{an}中，a2＝3，a5＝24，則公比q＝（）A． B． C．2 D．4【分析】在等比數(shù)列{an}中，，由此能求出公比q．【解答】解：在等比數(shù)列{an}中，∵a2＝3，a5＝24，∴＝＝8，解得公比q＝2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查公比的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．10．不等式＞2的解集為（）A．{x|x＜1或x＞2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＜1} D．{x|x＞1}【分析】移項(xiàng)，解分式不等式即可．【解答】解：∵＞2，∴＜0，解得：1＜x＜2，故不等式的解集是（1，2），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式不等式的解法，是一道基礎(chǔ)題．11．不等式2x+y﹣4≤0表示的平面區(qū)域是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)線性規(guī)劃的知識(shí)可得，故考慮代（0，0）進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【解答】解：根據(jù)線性規(guī)劃的知識(shí)可得，考慮代（0，0）進(jìn)行檢驗(yàn)，代入得﹣4≤0，不等式2x+y﹣4≤0表示的平面區(qū)域包括原點(diǎn)，且直線2x+y﹣4＝0經(jīng)過(guò)第一、二、四象限．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二元一次不等式表示平面區(qū)域的確定，一般是找特殊點(diǎn)代入進(jìn)行檢驗(yàn)，屬于基礎(chǔ)試題．12．不等式組構(gòu)成的區(qū)域面積為（）A．8 B．6 C．4 D．2【分析】根據(jù)題意，由二元一次不等式的幾何意義分析不等式組表示的平面區(qū)域，進(jìn)而結(jié)合三角形面積公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，對(duì)于不等式組，直線y＝x+1與直線y＝﹣x+1相交于點(diǎn)（0，1），設(shè)A（0，1）；直線y＝x+1與直線y＝﹣1相交于點(diǎn)（﹣2，﹣1），設(shè)B（﹣2，﹣1）；直線y＝﹣x+1與直線y＝﹣1相交于點(diǎn)（﹣2，﹣1），設(shè)C（2，﹣1）；則不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椤鰽BC的內(nèi)部區(qū)域及邊界．又由直線AB與AC垂直，又由|AB|＝|AC|＝＝2，則S＝×|AB|×|AC|＝×2×2＝4；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次不等式組的幾何意義，涉及三角形面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．二．填空題（共4小題）13．在△ABC中，已知A＝30°，外接圓半徑為R＝1，則a＝1．【分析】由已知利用正弦定理即可求解．【解答】解：因?yàn)锳＝30°，外接圓半徑為R＝1，則由正弦定理，可得a＝2RsinA＝2×＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且A：B：C＝1：1：2，則＝．【分析】先求出A＝B＝，C＝，再根據(jù)正弦定理即可求出．【解答】解：A：B：C＝1：1：2，∴A＝B＝，C＝，∴＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理，屬于基礎(chǔ)題．15．在等比數(shù)列a，2a+2，3a+3，…中，a＝﹣4．【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)直接求解．【解答】解：在等比數(shù)列a，2a+2，3a+3，…中，（2a+2）2＝a（3a+3），解得a＝﹣4或a＝﹣1（舍），∴a＝﹣4．故答案為：﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的首項(xiàng)的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．16．不等式（x+2）（x+1）2（x﹣1）3（x﹣2）≤0的解集為（﹣∞，﹣2]∪{﹣1}∪[1，2]．【分析】根據(jù)“數(shù)軸穿根法”求解即可．【解答】解：根據(jù)題意，作出如下的圖形，由圖可知，不等式的解集為（﹣∞，﹣2]∪{﹣1}∪[1，2]．故答案為：（﹣∞，﹣2]∪{﹣1}∪[1，2]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查高次不等式的解法，掌握“數(shù)軸穿根法”的原理是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．三．解答題（共6小題）17．解下列不等式：（1）﹣x2+2x＜﹣3；（2）x2﹣2x+1≤0．【分析】對(duì)不等式左邊進(jìn)行因式分解，得到一元一次不等式組即可求解．【解答】解：（1）﹣x2+2x＜﹣3?x2﹣2x﹣3＞0?（x+1）（x﹣3）＞0，由“兩實(shí)數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”可得①，或②，解①得x＞3，解②得x＜﹣1，故﹣x2+2x＜﹣3的解集是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）；（2）x2﹣2x+1≤0?（x﹣1）2≤0，解得x＝1，故x2﹣2x+1≤0的解集是{1}．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．18．已知△ABC的面積三邊長(zhǎng)分別為AB＝8，BC＝5，AC＝7．（1）求cosB；（2）求△ABC的面積．【分析】（1）由已知利用余弦定理即可求解cosB的值；（2）由cosB＝，結(jié)合B的范圍可求B的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【解答】解：（1）∵AB＝8，BC＝5，AC＝7，∴cosB＝＝＝，（2）∵cosB＝，B∈（0，π），∴B＝，∴S△ABC＝AB?BC?sinB＝＝10．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．19．已知等比數(shù)列{an}的公比q＞0，且a3＝4，a5＝16．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝an﹣3，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．【分析】（Ⅰ）由題設(shè)條件求出公比q，即可求得an；（Ⅱ）先由（Ⅰ）中求得的an求出bn，再利用分組求和的辦法求得Sn．【解答】解：（Ⅰ）∵a3＝4，a5＝16，∴＝q2＝4，又∵q＞0，∴q＝2，∴an＝a3?qn﹣3＝4×2n﹣3＝2n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：an＝2n﹣1，∴bn＝an﹣3＝2n﹣1﹣3，∴Sn＝（1+2+22+…+2n﹣1）﹣3n＝﹣3n＝2n﹣3n﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算及分組求和法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．20．已知等差數(shù)列{an}中，a1+a3+a5＝18，a5+a7＝0．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求{an}的前n項(xiàng)和Sn．【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組，求出a1＝10，d＝﹣2，由此能求出{an}的通項(xiàng)公式．（2）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式能求出{an}的前n項(xiàng)和Sn．【解答】解：（1）等差數(shù)列{an}中，a1+a3+a5＝18，a5+a7＝0．∴，解得a1＝10，d＝﹣2，∴an＝10﹣2（n﹣1）＝12﹣2n，∴{an}的通項(xiàng)公式an＝12﹣2n．（2）由（1）可得Sn＝＝＝﹣n2+11n．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．21．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且∠A＝45°，，．（Ⅰ）求b，c；（Ⅱ）求BC邊上的高．【分析】（Ⅰ）由正弦定理可得b，c的關(guān)系，再由余弦定理可得b，c的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得B的正弦值，進(jìn)而可得BC邊上的高．【解答】解（Ⅰ）因?yàn)椋?，由正弦定理可得＝，即b＝c，又因?yàn)椤螦＝45o，，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即5＝c2+c2﹣2c?c，整理可得：