全真模擬卷一（教師版）-2023年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（上海）

全真模擬卷一（教師版）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.下列函數(shù)中，函數(shù)值y隨自變量X的值增大而增大的是（）.

2

A.y=-2x+lB.y-——C.y-1xD.y-xl

X

【答案】C

【分析】根據(jù)一次函數(shù)，反比例函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行逐項(xiàng)分析即可

【詳解】A.y=-2x+l,一次項(xiàng)系數(shù)為-2<0,函數(shù)值y隨自變量X的值增大而減小，故不符合題意；

2

B.y=—,比例系數(shù)為—2<0,當(dāng)x<0時，函數(shù)值y隨自變量X的值增大而增大；當(dāng)x>0時，函數(shù)值y

X

隨自變量X的值增大而增大：而不是函數(shù)值y隨自變量X的值增大而增大，故不符合題意；

c.y=2x,一次項(xiàng)系數(shù)為2>0,函數(shù)值y隨自變量X的值增大而增大，故符合題意；

D.y=x2,二次項(xiàng)系數(shù)為1，故函數(shù)開口向上，且對稱軸為X=0,當(dāng)x<0時，函數(shù)值y隨自變量X的值增

大而減??；當(dāng)x>0時，函數(shù)值y隨自變量X的值增大而增大；而不是函數(shù)值y隨自變量X的值增大而增大，

故不符合題意；

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握各類函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的

關(guān)鍵

2.如圖，在四邊形ABCO中，已知NAOC=∕BAC,那么補(bǔ)充下列條件后不能判定ZVLDC和BAC相似

的是（）

A.CAZBCDB.ZDAC=ZABCC.AC2=BCCDD.—=—

ABAC

【答案】C

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A選項(xiàng)，若C4平分4Ba>,則NDC4=NACB,又NAOC=NBAC,滿足兩組對角相等，可

以判定Z?ADC和A84C相似，不合題意；

B選項(xiàng)，若NDAC=NABC,又NAoC=NBAC,滿足兩組對角相等，可以判定Z?AOC和，54C相似，不

合題意；

C選項(xiàng)，若AC2=8C?a),則空=段，兩組對應(yīng)邊成比例，但兩邊的夾角不相等，不能判定ZW)C和

BCAC

B4C相似，符合題意:

"空=空，又NADC=?C，滿足兩組對應(yīng)邊成比例且兩邊的夾角相等，可以判定ZVlDC和

D選項(xiàng)，4=1

ABAC

一BAC相似，不合題意;

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

3

3.如圖，在：ABC中，ZC=90o,AC=16cm,AB的垂直平分線用N交AC于。,連接3D,若CoSNBoC=g,

則BC的長為()

C.6cmD.IOcm

【答案】B

3

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AQ=再由COS/8OC=：,可設(shè)CD=3x,BZ)=5x,從而得

到3C=4x,AC=CD+AD=8x,再由AC=16cm,即可求解.

【詳解】解：：MN垂直平分48,

?*?AD=BD，

3

??ZC=90o,cosZBDC=-,

?CD3

??—―，

BD5

可設(shè)CD=3x,BD=5x,

?'?BC=√BD2-CD2=4x>AC=CD+AD=Sx,

?.βAC=16Cm,

**-8x=16,即％=2,

：?BC=4x=8cm.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，熟練掌握線段垂直平分線的

性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

4.已知點(diǎn)C是線段48上的一個點(diǎn)，且BC是AC和A3的比例中項(xiàng)，則下列式子成立的是（）

λBC√5-ldBC√5-l?AC√5-lCAC√5+l

AB2AC2AB2BC2

【答案】A

【分析】設(shè)AB=1,BC=X,則AC=I—X,由比例中項(xiàng)得出BC,=AC?AB，代入解一元二次方程即可解

答.

【詳解】解：設(shè)AB=I,BC=x,則AC=I-X,

：BC是AC和AB的比例中項(xiàng)，

.,?BC-=AC.AB,即Y=i-χ,

?'?X2+x-l=O,

解得：χ↑=~r~>χι=—~^（舍去），即BC=^^~~->

229

...生=苴二1,故A符合題意；

AB2

變二@二三立=立里，故B不符合題意；

AC222

ZG=三正，故C不符合題意；

AB2

生二1二1,故D不符合題意；

BC2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查比例中項(xiàng)、線段的比、解一元二次方程，熟知比例中項(xiàng)的定義是解答的關(guān)鍵.

5.2011年，國際數(shù)學(xué)協(xié)會正式宣布，將每年的3月14日設(shè)為國際數(shù)學(xué)節(jié)，這與圓周率π有關(guān).下列表

述中，不正確的是（）

A.π=3.14;B.π是無理數(shù)；

C.半徑為ICm的圓的面積等于πcm?；d.圓周率是圓的周長與直徑的比值.

【答案】A

【分析】根據(jù)圓周率的定義即可求出答案.

【詳解】解：（A）π≈3.14,故A錯誤；

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查無理數(shù)，解題的關(guān)鍵是正確理解π,本題屬于基礎(chǔ)題型.

6.在等腰三角形、等腰梯形、平行四邊形、矩形中任選兩個不同的圖形，那么下列事件中為不可能事件

的是（）

A.這兩個圖形都是軸對稱圖形

B.這兩個圖形都不是軸對稱圖形

C.這兩個圖形都是中心對稱圖形

D.這兩個圖形都不是中心對稱圖形

【答案】B

【分析】直接利用軸對稱圖形以及中心對稱圖形的定義、結(jié)合不可能事件的定義分析即可得出答案.

【詳解】解：4等腰三角形和等腰梯形都是軸對稱圖形，是可能的，因此選項(xiàng)4不符合題意；

B.等腰三角形、等腰梯形、平行四邊形、矩形中有3個圖形是軸對稱圖形，故這兩個圖形都不是軸對稱

圖形是不可能事件，因此選項(xiàng)3符合題意；

C.平行四邊形和矩形都是中心對稱圖形，是可能的，因此選項(xiàng)C不符合題意；

D.等腰三角形和等腰梯形都不是中心對稱圖形，是可能的，因此選項(xiàng)。不符合題意；

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題涉及到了軸對稱圖形、中心對稱圖形、不可能事件等的相關(guān)知識，考察了學(xué)生對常見圖形的

理解；解題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念，理解并掌握等腰三角形、等腰梯形、平行四邊形、矩形的特征等，明

白不可能事件的含義，逐項(xiàng)排查，即可得出正確選項(xiàng)，對學(xué)生的綜合分析和邏輯思維能力有一定的要求.

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.方程X-J2x+5=-1的解是.

【答案】x=2

【分析】方程移項(xiàng)后兩邊平方，化無理方程為整式方程，求解并檢驗(yàn)即可.

【詳解】解：移項(xiàng)，得x+l=√2x+5,

兩邊平方，W<+2x+l=2x+5,

整理，得d=4,

所以X=+V4=+2-

經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是原方程的解.

故答案為：x=2.

【點(diǎn)評】本題考查了無理方程，解題的關(guān)鍵是掌握解無理方程的一般步驟，同時注意驗(yàn)根.

.時，式子J=

8.當(dāng)X有意義.

?∣x

【答案】>0##大于O

【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0,分母不等于0列式計算即可.

【詳解】由題意得，x≥0fix≠0,

.?.X>O,

故答案為：>0.

【點(diǎn)睛】本題考查分式和二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式有意義，分母不為0,二次

根式有意義，被開方數(shù)大于等于0?

9.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：X5-4Λ-2=.

【答案】x2(x-4)

【分析】原式提取公因式即可得到結(jié)果.

【詳解】解：X3-4X2

=X-X2-4-X2

=X2(X-4).

故答案為：X2(X-4).

【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.

10.如圖，已知/4=ND,BC=2,CD=4,EC=3,則AC=

【分析】先證明6AC83CE,得出工常根據(jù)BC=2'8=4,EC=3,即可求出結(jié)果.

【詳解】解：：ZA=ZD,ZACB=ZDCE,

：.ACBSDCE,

.BCAC

CECD

2AC

H嗎Π=丁，

Q

解得：AC=∣.

Q

故答案為：I

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明JasDCE,得出箓=告

11.JIBC中，NMC=90。，點(diǎn)G是√IBC的重心，連接AG?若AG=4,則BC長為.

【答案】12

【分析】延長AG交BC于點(diǎn)。，根據(jù)點(diǎn)G是ABC的重心，得到。為BC的中點(diǎn)，以及AG=20G,進(jìn)而

求出Ao的長度，根據(jù)Ao是直角三角形斜邊卜.的中線，從而求出8C的長.

???點(diǎn)G是.4?C的重心，AG=4,

???。為8C的中點(diǎn)，且AG=2OG=4,

：?DG=2,

???AD=AG+DG=6,

?/NBAC=90。，

：.BC=2AD=12:

故答案為：12.

【點(diǎn)睛】本題考查重心的性質(zhì)，以及直角三角形斜邊上的中線.熟練掌握重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊

中點(diǎn)的距離之比為2:1,以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵.

12.定義：給定關(guān)于X的函數(shù)y,對于該函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)(x∕,y∕),(X2,y2),當(dāng)x∕=-X2時，都有y/

=”，稱該函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)以上定義，可以判斷下面所給的函數(shù)中，是偶函數(shù)的有_(填上所有正確

答案的序號).

①y=2x；②y=7+l;③y=/；@y=-?；

X

【答案】③.

【分析】根據(jù)所給的定義，把Xl和X2分別代入函數(shù)解析式進(jìn)行判斷即可.

【詳解】在①中，yι=2xι,y2=2x2=-2xι,此時y∕≠y2,?'?y=2x不是偶函數(shù)，

在②中,y∣=-Λ∕+1,”=-x2+l=R∕+l,此時y∕≠y2,Jy=-x+1不是偶函數(shù)，

在③中，yι=χι2>y2=x22=(-X/)2=χ∕2,此時y∕=y2,,y=χ2是偶函數(shù)，

_1Ill1

在④中，yι=--，y2=--=--=一，此時yι≠y2,Jy=—-不是偶函數(shù)，

?iX?—Xl玉X

是偶函數(shù)的為③，

故答案為：③.

【點(diǎn)睛】本題為新定義題目，理解題目中偶函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

13.一個封閉平面圖形上及其內(nèi)部任意兩點(diǎn)距離的最大值稱為該圖形的“直徑”，封閉圖形的周長與直徑的

比值稱為該圖形的‘'周率"，如果正三角形、正方形和圓的周率依次記為a、b、c,那么將a、b、C從小到

大排列為.

【答案】h<a<c

【分析】根據(jù)“周率”和“直徑”的含義求出氏C即可作答.

【詳解】根據(jù)“周率”的含義求出正三角形和正方形的“周率”，圓的圓周率是C=JT,

設(shè)正方形的邊長為1,則周長為4,正方形的“直徑”為忘，則〃=爰=2&,

設(shè)正三角形的邊長為1,則周長為3,正三角形的“直徑”為1,則“=3,

則有：b<a<c,

故答案為：b<a<c.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，根據(jù)題意求出。、氏C是解答本題的關(guān)鍵.

DF

冬，那么4。BE?CF,這個命題是命題(填“真”或“假”

EF

Annp

【分析】當(dāng)B是AC的中點(diǎn)，E是DF的中點(diǎn)時，受=蕓，但Ao不平行BE,也不平行C尸，從而得出

BCEF

是假命題.

【詳解】解：是假命題，理由如下:

ARΓ)p

當(dāng)8是AC的中點(diǎn)，E是。尸的中點(diǎn)時，—,但4。不平行8E,也不平行CF,所以這是個假命題;

BCEF

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段成比例定理和命題的真假，注意找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系，得出正確答案

15.如圖，在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)E是Ao邊上的點(diǎn)，BE、AC相交于點(diǎn)。，若咎=2,則%≡=

七D'AEOC

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到*AOES,COB,利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，得到

SAOE和S的關(guān)系，利用相似三角形的高線比等于相似比，推出S△??與Sg的關(guān)系，進(jìn)而推出SeE和

SACOB的關(guān)系，即可得解.

【詳解】解：四邊形ABCz）是平行四邊形,

G,H,過點(diǎn)E作EFSBC,垂足為:

'.O,G,H:點(diǎn)共線，GH=EF,

.OG_AE2

*βOH^BC^3,

.OHOH3

**EF^GH^5,

?SABoC_OH_3

??EF^5,

?SABoC=3

I==

,2

.?SAoEC=§SABoC，

...S*起*2；

EoC3,

SA∣5ΔBOC

故答案為：?∣.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握平行四邊形對邊平行且相等，相似三角形對應(yīng)邊上

的高線比等于相似比，面積比等于相似比的平方，是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，已知點(diǎn)A(0,8)和點(diǎn)B(4,8),點(diǎn)B在函數(shù)y=：(x>0)的圖像上，點(diǎn)C是AB的延長線上一點(diǎn)，過

點(diǎn)C的直線交X軸正半軸于點(diǎn)E、交雙曲線于點(diǎn)D.如果CD=DE,那么線段CE長度的取值范圍是.

【答案】8≤EC<8√5

【分析】由題意可得AB〃x軸，利用待定系數(shù)法確定出反比例函數(shù)的解析式，過點(diǎn)。作QF_LoA于點(diǎn)凡

則得。尸〃A8,利用梯形的中位線定理可得AF=OF=ToA=4,則點(diǎn)Q縱坐標(biāo)可得，利用反比例函數(shù)解

析式可求點(diǎn)。坐標(biāo)；分兩種情況得到線段CE的極值：當(dāng)EC_LX軸時，EC最??；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時EC

最大，利用點(diǎn)。坐標(biāo)即可求得兩種情況下的EC的值，結(jié)合已知條件即可得出結(jié)論.

【詳解】解：VΛ(0,8),B(4,8),

.?.A8〃X軸.

Y點(diǎn)8在雙曲線y=-(χ>O)上,

Λ*=32.

過點(diǎn)。作。尸J_OA于點(diǎn)R如圖,

則DF//AB.

VA(0,8),

ΛOA=8.

?：CD=DE,

.".AF=OF=OA=4,

二點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4,

Y點(diǎn)。在雙曲線y=三32上，

?X

Λx=8.

：.D(8,4).

當(dāng)ECL%軸時,此時EC最小,EC=OA=S;

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時，此時EC最大，

'JCD=DE,

：.點(diǎn)C(16,8).

ΛEC=8√5.

:點(diǎn)E在X軸正半軸，

Λ8<EC<8√5,

故答案為：8≤EC<8√5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法，梯形的中位線，一次函數(shù)圖象

上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，勾股定理，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度

是解題的關(guān)鍵.

17.當(dāng)0≤x≤2時，函數(shù)y=(2-Qx-3A+7的值恒大于0,則實(shí)數(shù)Z的取值范圍是.

【答案】T

【分析】先根據(jù)一次函數(shù)的圖象是一條直線可知要使函數(shù)y=(2-k)χ-3k+7的值恒大于0,則需要兩個端

點(diǎn)值都大于0;再驗(yàn)證當(dāng))，是常函數(shù)，即當(dāng)&=2時是否滿足題意即可.

【詳解】解：???當(dāng)0≤x≤2時，函數(shù)y=(2-Z)x-3Z+7的值恒大于0,

當(dāng)A=O和x=2時，y=(2-k)x-3k+7的值都大于0,

當(dāng)x=0時，y=-3k+7,

當(dāng)x=2時，y=2(2-Z)-3Z+7=-5Z+11,

∫-3?+7>0

解得：?<y.

[-5?+H>0

當(dāng)氏=2時，y=-3×2÷7=l>0,

.?.實(shí)數(shù)改的取值范圍是A<曰.

故答案為：?<—.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖像是一條直線是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，在_A8C中，ZAeB=90。，AC=0，8C=2√5,將ABC繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，QEC,

連接A。，BE,直線A。，BE相交于點(diǎn)尸，連接C尸，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段C產(chǎn)的最大值為

【答案】√10

【分析】取AB的中點(diǎn)"連接C4、FH,設(shè)EC,DF交于點(diǎn)G,在AABC中，由勾股定理得到AB=√∏J,

由旋轉(zhuǎn)可知：△DCE0AACB,從而∕Z)CA=∕BCE,NADC=NBEC,由/OGC=/EGF,可得NAFB=90。，

由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得FH=CH=；AB=叵,在AFC”中，當(dāng)RC、H在一

22

條直線上時，b有最大值為何.

【詳解】解：取AB的中點(diǎn)H,連接C”、FH,設(shè)EC,DF交于點(diǎn)G,

E

D

在AABC中，NACB=90。，

?：AC=五,8C=20,

AB=AC2+BC2=√10>

由旋轉(zhuǎn)可知：ZDCaXkCB,

；.NDCE=NACB,DC=AC,CE=CB,

：.NDCA=NBCE,

VZADC=I(180o-ZACD),NBEC=；(180o-ZBCF),

二ZADC=ZBEC,

?,ZDGC=ZEGF,

：.NDCG=NE尸G=90°,

ZAFB=90o,

TH是AB的中點(diǎn)，

：.FH=AB,

'：NACB=90°,

：.CH=AB,

：.FH=CH=^AB=-,

22

在APCH中，F(xiàn)H+CH>CF,

當(dāng)RC、H在一條直線上時，CT有最大值典+叵=布,

22

???線段C/的最大值為質(zhì).

故答案為：√io

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等的性質(zhì).

三、解答題(本大題共7題，19~22小題各10分，23、24題各12分，25題14分)

]

19.計算:(-1)2022-∣2COS30°-85∣-(3-Λ?)0-

2-√3-

【答案】-4

【分析】先算零次暴、特殊角的三角函數(shù)值、分?jǐn)?shù)指數(shù)累，再進(jìn)行分母有理化、去絕對值，再去括號計算

進(jìn)行加減即可.

]

【詳解】解:(-D2022-I2COS30O-85I-(3-ΛΓ)°-

2-√3

…6(2+@

l2

?"T(2+√3)(2-√3)

=l-∣√3-2∣-l-(2+√3)

==1—(2—?∕3')~~1—2—y/3

=-2+6-2

=4

【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，能確定準(zhǔn)確的運(yùn)算順序，并能對各種運(yùn)算進(jìn)行準(zhǔn)確的計算是解答

此題的關(guān)鍵.

2(x+l)<3x+4

20?解不等式組：”并把解集在數(shù)軸上表示出來?

-101

【答案】-2X3,數(shù)軸見解析

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，先求出兩個不等式的解集，再寫出不等式組的解集即可.

【詳解】解：整一理得：O(2-x9-3xx≤<221φ②

由①得：x>-2

由②得：爛3

不等式組的解集為：-2X3.

在數(shù)軸上表示為：

6?---1-

34

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組：分別求出不等式組各不等式的解集，然后根據(jù)“同大取大，同

小取小，大小小大中間找，大大小小找不到''確定不等式組的解集，也考查了用數(shù)軸表示不等式的解集.

21.如圖，點(diǎn)。在.ABC的邊BC上，M=2CD,點(diǎn)E在AO的延長線上，CE//AB,已知Akα,AC=h?

(1)試用〃、Z?分別表示AE=，BE=；

(2)在圖中作出。8分別在〃、b上的分向量.(寫出結(jié)論，不要求寫作法).

1--1--

【答案】⑴-QCI+b

22

(2)做出的圖形中，BD在a、匕上的分向量分別為?.

【分析】(1)由CE〃/IB,BD=2CD,根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得CE，繼而求得AE，又

因?yàn)?E=AE-A5，即可求得BE;

22

(2)做出的圖形中，BD在a、b上的分向量分別為-b.

【詳解】(1)VCE//AB,BD=2CD,

.CECD

??麗一防-5'

,CE=-AB,

2

YCE與AB方向相同，

11

：.CE=-AB=-a,

22

AE=AC+CE=bτ—a,

2

.?.BE=AE-AB=b+-a-a=--a+b.

22

故答案為：—ci+b,——a+b

22

(2)8。在。、6上的分向量如圖所示:

作法：（1）將AC向上平移使得點(diǎn)A與點(diǎn)8重合，平移后的向量記為BF

（2）過點(diǎn)。作。0〃AB，交BF與點(diǎn)、M,BA/為BO在6上的分向量；

（3）過點(diǎn)。作QN〃3尸，交AB與點(diǎn)、N,BN為Bo在α上的分向量；

22

做出的圖形中，8。在°、6上的分向量分別為一：叫j?.

故答案為：作出的圖形中，8。在°、。上的分向量分別為j??

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的知識和平行線分線段成比例定理.解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

22.如圖，C地在A地的正東方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要繞行B地，已知B地位于A地北偏

東67。方向，距離A地260km,C地位于3地南偏東30。方向，若打通穿山隧道，可建成兩地直達(dá)，求從A

地到C地之間線路比原線路節(jié)省多少千米.（結(jié)果保留根號）

12512

（參考數(shù)據(jù)：sin67o≈—,cos670??,tan67o≈—）

13135

【答案】（20+*叵j（km）

【分析】過點(diǎn)B作BDJ?AC于點(diǎn)Q,利用銳角三角函數(shù)的定義求出4。及8的長，再求得BC,然后用

AB+8C-AC得出結(jié)論.

【詳解】如圖，過點(diǎn)B作BDLAC于點(diǎn)O,

?.?B地位于A地北偏東67。方向，距離A地26Okm,

，ZABD=67°,

∣25

，AD=AB?sin67?！?60x—=240(km),BD=AB?cos67≈260x—=100(km).

?/C地位于B地南偏東30。方向,

???NCBD=30,

CD=BD-tan30=?00×-=(to),BC=2CD≈200^

答：從A地到C地之間線路比原線路節(jié)省20+

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用：方向角問題，解題關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形.

23.如圖，在等腰三角形ABC中，AB^AC,以AC為直徑作圓。，與BC交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作a_L/W,

垂足為點(diǎn)。，

(1)求證：DE為:。的切線；

(2)過。點(diǎn)作EC的垂線，垂足為“，求證：EHBE=BD-CO.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)連接。E，根據(jù)等邊對等角，由ΛB=AC得到NB=NC,再由半徑OC與。E相等得到

NC=NCEO,利用等量代換得到NB=NCEO,由同位角相等兩直線平行，得到AB〃EO,再根據(jù)兩直

線平行內(nèi)錯角相等，由/皿組為直角得到NOEO為直角，又Eo為。的半徑，根據(jù)切線的判斷方法得到

DE為I。的切線；

(2)根據(jù)垂徑定理，由0"1BC,得到H為EC中點(diǎn)即C"與E"相等，然后由兩對角相等的兩三角形相

似得到ZWDEsZiCWO,得到對應(yīng)邊成比例，把CH換為E”即可得證.

【詳解】(1)(1)證明：連接0E,,：AB=AC,.?.NB=NC

?：OC=OE,：.ZC=NCEO,

，乙B=乙CEO,：.AB//EO,

VDEJ.AB,ΛEOVDE,

?；Eo為O的半徑，

；?OE為，。的切線.

(2)(2)解：,：OHlBC,：.EH=HC,ZOHC=90°

??ZB=NC,ΛBDE=ACHO=90°

/.ΔJBDE^ΛCHO.

.BDBE

,，C77^CO

?.?EH=HC,

...EHBE=BDCO.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)和判定、垂徑定理及相似三角形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用.證明切線的方法

有兩種：有連接圓心與這點(diǎn)，證明夾角為直角；無點(diǎn)作垂線，證明垂線段長等于半徑.

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系XOy中，拋物線y=-χ2+w+c與X軸的兩個交點(diǎn)分別為A(-1,0),8(3,0),

與y軸相交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)連接AC、BC,求NACB的正切值;

(3)點(diǎn)P在拋物線上，且N∕%8=NAC8,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】⑴y=-V+2x+3

(2)2

⑶(1,4)或(5,-⑵

【分析】(1)將點(diǎn)A，B坐標(biāo)代入拋物線y=-χ2+fex+c即可;

(2)如圖1,過點(diǎn)A作AHLBC于H,分別證△(9BC和.Λ∕∕B是等腰直角三角形，可求出C4,A”的長,

可在RtANC中，直接求出NACB的正切值;

(3)此間需分類討論，當(dāng)443=NAeB時，過點(diǎn)P作PMJ_x軸于點(diǎn)M,設(shè)P(a,-Y+2a+3),由同角

的三角函數(shù)值相等可求出。的值；由對稱性可求出第二種情況.

【詳解】(1)解：將點(diǎn)A(-1,0),8(3,0)代入拋物線y=-f+fer+c中,

-l-b+c=O,b-2

得-9+3""?！獾?

c=3

???拋物線的表達(dá)式為y=τ2+2χ+3;

⑵解：??在y=-/+24+3中，當(dāng)X=O時，y=3,

C(0,3),

二OC=OB=3,

C為等腰直角三角形，NoBC=45°,

?*?BC=近OC=3人，

如圖1,過點(diǎn)A作AH?BC于H,

Sl

則∕H45=∕∕∕fi4=45°,

加是等腰宜角三角形,

?.βAB=4,

.^.AH=BH=-AB=2>∣2,

2

CH=BC-BH=近,

."RtA〃C中，tanZACH=任=窄=2,

CH√2

即NACB的正切值為2；

（3）解：①如圖2,當(dāng)NB4β=Z4Cβ時，過點(diǎn)P作PM_LX軸于點(diǎn)M,

設(shè)「（々一a?+2口+3）,則Λf（0,0）,

由（1）知，tanZACB=2,

/.tanZPAM=2f

?PM_9

AM

?-cr+2〃÷3_

?.------------------=2,

4+1

解得，a∣=-?(舍去)，"2=1，

二號(1,4)；

②取點(diǎn)P(IA)關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)Q(l,-4),延長AQ交拋物線于P2,

則此時ZP2AB=NPAM=ZACB,

設(shè)直線AQ的解析式為y=h+"將A(T,0),Q(l,-4)代入,

—k?vb=Qk=-2

得,,解得,

k+b=4b=-2

???直線ΛQ的解析式為y=-2x-2,

y=-2x-2x=-lΓx=5

聯(lián)立,）=0或jy=T2

y=-x2+2x+3

.?.Q(5,-I2);

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,4）或（5,-12）.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，銳角三角函數(shù)，交點(diǎn)的坐標(biāo)等，解題關(guān)鍵是第三問要注意分類

討論思想的運(yùn)用.

25.已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點(diǎn)E是射線BC上的動點(diǎn)，以AE為直角邊在直線BC的上方

作等腰直角三角形AEF,ZAEF=90。，設(shè)8E=m.

(圖1)（備用圖）

（1）如圖1,若點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動，EF交CD于點(diǎn)P,ΛF交CD于點(diǎn)Q,連結(jié)CF,

①當(dāng)=g時，求線段CF的長;

②在VPQEC中，設(shè)邊QE上的高為〃，請用含力的代數(shù)式表示〃，并求〃的最大值;

（2）設(shè)過BC的中點(diǎn)且垂直于BC的直線被等腰直角三角形AEE截得的線段長為戶請直接寫出y與機(jī)的

關(guān)系式.

2tn3+m2+2m+1(0≤m≤?)

2∕n+2

【答案】（1）?h=-nr+m?h戰(zhàn)大衿—；(2)y=

m2+1.1、

-------(機(jī)＞一)

12"+2機(jī)-----2

【分析】（1）①過點(diǎn)F作FMLBC,交BC的延長線于點(diǎn)先證明.ABE=EMF,可得FM=g,CM=；,

進(jìn)而即可求解；②由工BAECEP,得CP=m-fn2,把AAOQ繞點(diǎn)4順時針旋轉(zhuǎn)90。得，ABG,可得EQ

=DQ+BE,利用勾股定理得OQ=P,EQ=匕無，QP=史士？，結(jié)合三角形面積公式，即可得到答案；

1÷∕Wl+∕7t1+J篦

（2）以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為X軸，建立直角坐標(biāo)系，則E（，小O）,Λ（0,I）,F（I+∕Z2,⑼，從

而求出AE的解析式為：尸-Lx+1，4尸的解析式為：y^^x+?,E尸的解析式為：y^mx-m2,再分兩種

m〃？+1

情況：①當(dāng)00脛3時，②當(dāng)〃?>/時，分別求解即可.

【詳解】解：（1）①過點(diǎn)F作FMLBC,交8C的延長線于點(diǎn)M,

o

AE=FEf在正方形ABCO中，ZB=90,

.?/BAE+/AEB=NFEM+NAEB,

：?NBAE=NFEM,

又?.?∕B=NFME,

：.^ABE=EMF,

；.FM=BE=-,EM=AB=BC

39

：.CM=BE=-

3f

：.CF=

②?：∕BAE=∕FEC,NB=NEeP=90。,

,.BAECEP,

.CP=CECP?-m

，BP：

BEABm1

β