第08講 向量基本定理及坐標(biāo)表示（十二大題型）（解析版）

第08講向量基本定理及坐標(biāo)表示【題型歸納目錄】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：平面向量基本定理1、平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使，稱為的線性組合．①其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；②平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線向量的方向分解為兩個(gè)向量的和，并且這種分解是唯一的．這說(shuō)明如果且，那么．③當(dāng)基底是兩個(gè)互相垂直的單位向量時(shí)，就建立了平面直角坐標(biāo)系，因此平面向量基本定理實(shí)際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐標(biāo)的基礎(chǔ)，它保證了向量與坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的，在應(yīng)用時(shí)，構(gòu)成兩個(gè)基底的向量是不共線向量．2、如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面內(nèi)任意一個(gè)向量可以寫(xiě)成任意兩個(gè)不共線的向量的線性組合．（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直線形圖形，都可以表示成某些向量的線性組合，這樣在解答幾何問(wèn)題時(shí)，就可以先把已知和結(jié)論表示為向量的形式，然后通過(guò)向量的運(yùn)算，達(dá)到解題的目的．（2）在解具體問(wèn)題時(shí)，要適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量能夠用基底來(lái)表示．選擇了不共線的兩個(gè)向量、，平面上的任何一個(gè)向量都可以用、唯一表示為=+，這樣幾何問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為只含有、的代數(shù)運(yùn)算．知識(shí)點(diǎn)二：平面向量的坐標(biāo)表示1、正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．知識(shí)點(diǎn)詮釋：如果基底的兩個(gè)基向量、互相垂直，則稱這個(gè)基底為正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事實(shí)上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．2、平面向量的坐標(biāo)表示如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底，對(duì)于平面上的一個(gè)向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使得=．這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作=，x叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)．把叫做向量的坐標(biāo)表示．給出了平面向量的直角坐標(biāo)表示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一有序數(shù)對(duì)唯一表示，從而建立了向量與實(shí)數(shù)的聯(lián)系，為向量運(yùn)算數(shù)量化、代數(shù)化奠定了基礎(chǔ)，溝通了數(shù)與形的聯(lián)系．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）由向量的坐標(biāo)定義知，兩向量相等的充要條件是它們的坐標(biāo)相等，即且，其中，．（2）要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)區(qū)別開(kāi)來(lái)．相等的向量的坐標(biāo)是相同的，但始點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同．比如，若，，則；若，，則，，顯然A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)各不相同．（3）在直角坐標(biāo)系中有雙重意義，它既可以表示一個(gè)固定的點(diǎn)，又可以表示一個(gè)向量．知識(shí)點(diǎn)三：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、平面向量坐標(biāo)的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算坐標(biāo)語(yǔ)言加法與減法記，，實(shí)數(shù)與向量的乘積記，則2、如何進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先將平面向量用坐標(biāo)的形式表示出來(lái)，再根據(jù)向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．在求一個(gè)向量時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo)．但同時(shí)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)是有區(qū)別的，平面向量的坐標(biāo)與該向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，只有起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與終點(diǎn)的坐標(biāo)才相等．（2）進(jìn)行平面向量坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，先要分清向量坐標(biāo)與向量起點(diǎn)、終點(diǎn)的關(guān)系．（3）要注意用坐標(biāo)求向量的模與用兩點(diǎn)間距離公式求有向線段的長(zhǎng)度是一樣的．（4）要清楚向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)．知識(shí)點(diǎn)四：平面向量平行（共線）的坐標(biāo)表示1、平面向量平行（共線）的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量，則，即，或．知識(shí)點(diǎn)詮釋：若，則不能表示成因?yàn)榉帜赣锌赡転?．2、三點(diǎn)共線的判斷方法判斷三點(diǎn)是否共線，先求每?jī)牲c(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定，即已知，，若則A，B，C三點(diǎn)共線．知識(shí)點(diǎn)五：向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示1、已知兩個(gè)非零向量，，2、設(shè)，則或3、如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么（平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式）．知識(shí)點(diǎn)六：向量在幾何中的應(yīng)用（1）證明線段平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行（共線）的充要條件（2）證明垂直問(wèn)題，常用垂直的充要條件（3）求夾角問(wèn)題，利用（4）求線段的長(zhǎng)度，可以利用或【典型例題】題型一：平面向量基本定理的理解【例1】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】對(duì)于A：零向量與任意向量均共線，所以此兩個(gè)向量不可以作為基底；對(duì)于B：因?yàn)?，，所以，所以此兩個(gè)向量不可以作為基底；對(duì)于C：設(shè)，即，則，所以無(wú)解，所以此兩個(gè)向量不共線，可以作為一組基底；對(duì)于D：設(shè)，，所以，所以此兩個(gè)向量不可以作為基底；故選：C.【變式1-1】（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學(xué)?？计谀┰O(shè)是平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，則下列不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【解析】對(duì)于A，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，和共線，不能作為一組基底，C正確；對(duì)于D，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，D錯(cuò)誤.故選：C.【變式1-2】（2024·山東·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【解析】不共線的向量可以作為基底，所以不能作為基底的便是共線向量，顯然選項(xiàng)B中，，所以和共線.故選:B.題型二：用基底表示向量【例2】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）在中，為邊上的中線，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以由已知可得，，所以，，所以?故選：A.【變式2-1】（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高一河南省濟(jì)源第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，P是線段BD上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，又，∴，∵B，P，D三點(diǎn)共線，∴，∴.故選：A.【變式2-2】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，和相交于點(diǎn)．記，，則（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】在平行四邊形中，和相交于點(diǎn)，所以，又是的中點(diǎn)，所以，所以，所以.故選：A【變式2-3】（2024·陜西·高一校聯(lián)考期末）如圖，在中，設(shè)，，，，則（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意,故選：D．題型三：平面向量的坐標(biāo)表示【例3】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，設(shè)為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，用這組標(biāo)準(zhǔn)正交基分別表示向量，，，，并求出它們的坐標(biāo)．

【解析】由圖可知：，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為；，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為；，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為；，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為.【變式3-1】（2024·全國(guó)·高一課堂例題）設(shè)為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，已知，，．若，求在基下的坐標(biāo)．【解析】因?yàn)?，又，所以．因此在基下的坐?biāo)為．【變式3-2】（2024·全國(guó)·高一課堂例題）如圖，設(shè)，，，P（x，y）是平面直角坐標(biāo)系中的4個(gè)點(diǎn)，且，．求在基下的坐標(biāo)．

【解析】，分別是x軸和y軸上的單位向量，并且相互垂直，因此不共線，則，組成平面上的一組基．在軸上取與橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)，則與軸平行或共線．在軸上取與縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)，則與軸平行或共線．因此．由，的坐標(biāo)可知，，因此，即在基下的坐標(biāo)為．【變式3-3】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知向量，，，求，并用標(biāo)準(zhǔn)正交基表示.【解析】因?yàn)橄蛄浚?，，所以，所以根?jù)向量坐標(biāo)概念易知.題型四：平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示【例4】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知，，求，，的坐標(biāo)．【解析】由題意，，，.【變式4-1】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知向量、的坐標(biāo)，求、的坐標(biāo)．(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【解析】（1）因?yàn)椋?，則，.（2）因?yàn)椋?，則，.（3）因?yàn)?，，則，.（4）因?yàn)?，，則，.題型五：平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示【例5】（2024·湖北恩施·高一利川市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）過(guò)，的直線與x軸交于點(diǎn)P，設(shè)，則【答案】【解析】設(shè)，則，，則，得，，故答案為：【變式5-1】（2024·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)?？计谀┮阎苯亲鴺?biāo)平面上兩點(diǎn)、，若滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)，，所以，，因?yàn)椋?，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為故答案為：【變式5-2】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)點(diǎn)，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【解析】設(shè)，則，，因?yàn)辄c(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，所以，即，所以，解得，所以.故答案為：【變式5-3】（2024·山東淄博·高一?？计谀┮阎蛄浚?，，且，則.【答案】【解析】，由可知解得故．故答案為：題型六：向量共線的判定【例6】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）判斷下列各組三點(diǎn)是否共線：(1)，，；(2)，，；(3)，，.【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以與不共線，所以A，B，C三點(diǎn)不共線.（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)橹本€DE與DF有公共點(diǎn)D，所以D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.（3）因?yàn)椋?，因?yàn)橹本€GH與GL有公共點(diǎn)G，所以G，H，L三點(diǎn)共線.【變式6-1】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知、、三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，判斷向量與是否共線．【解析】已知、、，所以，，，則，所以，向量與共線.【變式6-2】（2024·全國(guó)·高一課堂例題）設(shè)，是平面內(nèi)的一組基底，，，，求證：A，B，D三點(diǎn)共線．【解析】證明：因?yàn)椋耘c共線．又因?yàn)榕c有公共的起點(diǎn)A，所以A，B，D三點(diǎn)共線．題型七：利用向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù)【例7】（2024·遼寧大連·高一大連二十四中?？计谀┤粝蛄?，，且，則實(shí)數(shù)x的值為．【答案】/【解析】因?yàn)橄蛄?，，且，所以，解得?故答案為：.【變式7-1】（2024·貴州貴陽(yáng)·高一貴陽(yáng)市民族中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，三點(diǎn)、、共線，則．【答案】【解析】因?yàn)?，三點(diǎn)、、共線，則，且，，所以，，解得.故答案為：.【變式7-2】（2024·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）向量，，，，若，則.【答案】6或【解析】因?yàn)椋栽O(shè)，則，若不共線，則，則，無(wú)實(shí)根，不符合題意；則共線，因?yàn)橄蛄?，，所以，解得?故答案為：6或題型八：定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式及應(yīng)用【例8】（2024·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考期末）已知，，點(diǎn)P是線段MN的一個(gè)三等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)M，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【答案】【解析】由題可知，設(shè)，則，，，∴.故答案為：.【變式8-1】（2024·湖北·高一宜昌市夷陵中學(xué)校聯(lián)考期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，當(dāng)P是線段靠近的一個(gè)四等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【答案】/【解析】因?yàn)镻是線段靠近的一個(gè)四等分點(diǎn)，所以，設(shè)，則有，故答案為：【變式8-2】（2024·浙江寧波·高一寧波市北侖中學(xué)?？计谀┮阎獌牲c(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】或/或；【解析】若點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上，又因?yàn)?，則有，設(shè)，則，所以，解得，即；若點(diǎn)在線段上，又因?yàn)?，則有設(shè)，則，所以，解得，即；若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，又因?yàn)椋瑒t顯然不成立；故答案為:或.題型九：數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算【例9】（2024·廣東陽(yáng)江·高一廣東兩陽(yáng)中學(xué)校考期末）已知，，若，則x等于（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】由題意，，，，，解得：.故選：C.【變式9-1】（2024·江西萍鄉(xiāng)·高一萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)?？计谀┮阎矫嫦蛄?，，，若∥，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，因?yàn)椤?，，所以，解得，所以，所以，故選：C【變式9-2】（2024·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則（

）

A．11 B．7 C．3 D．【答案】C【解析】以向量的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，所以.故選：C.【變式9-3】（2024·重慶·高一西南大學(xué)附中?？计谀┰诰匦沃?，，，點(diǎn)是AB中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系.由易知可得，，，，，，設(shè)，則，，.所以，，則，所以.所以，.故選：A.題型十：平面向量的模【例10】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知向量，，，若，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，，所以，則.故選：C【變式10-1】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知向量，且，則等于（

）A．5 B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以，解?所以，，.故選：A【變式10-2】（2024·云南昆明·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量，，，則（

）A． B． C． D．10【答案】C【解析】，故，又，，故，解得.故選：C題型十一：平面向量的夾角、垂直問(wèn)題【例11】（2024·河北邢臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，且，的夾角為鈍角，則的取值范圍為【答案】【解析】向量，，且，的夾角為鈍角且，不共線，則,解得：且，故答案為：.【變式11-1】（2024·云南昆明·高一校考階段練習(xí)）設(shè)x，，向量，，，且，，則向量與的夾角大小為．【答案】【解析】由題意得，解得，故，，則，因?yàn)?，所?故答案為：【變式11-2】（2024·陜西榆林·高一校考期末）已知向量.(1)求；(2)設(shè)的夾角為，求的值；(3)若向量與互相垂直，求的值.【解析】（1）因?yàn)椋?；?）的夾角為，則；（3）因?yàn)?，所以，，由向量與互相垂直得，，所以，化簡(jiǎn)得，解得.【變式11-3】（2024·陜西西安·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量，，，且，(1)求與；(2)若，，求向量，夾角的大小.【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)椋瑒t，所以，；（2）因?yàn)椋?，所以，設(shè)與向量的夾角為，則，因?yàn)椋?，即與的夾角為.【變式11-4】（2024·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽(yáng)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，，，，且，，設(shè)與交于點(diǎn)．(1)求；(2)求．【解析】（1）因?yàn)?，因?yàn)椋礊榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以，所以；（2）由題意知等于向量和的夾角，因?yàn)?，所以；因?yàn)椋?；所以．題型十二：平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用【例12】（2024·浙江臺(tái)州·高一溫嶺中學(xué)?？计谀┮阎沁呴L(zhǎng)為2的正六邊形內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，過(guò)作于，則，當(dāng)與同向時(shí)為正，當(dāng)與反向時(shí)為負(fù)，分別過(guò)作，，為垂足，則得當(dāng)與重合（即與重合）時(shí)，取得最大值，當(dāng)與重合（即與重合）時(shí)，取得最小值，是正六邊形，因此以為軸，為建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，是中點(diǎn)，則，，，，，，所以的范圍是，故選：B．【變式12-1】（2024·江蘇蘇州·高一江蘇省昆山中學(xué)?？计谀┮阎?，是邊（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)若點(diǎn)為與的交點(diǎn)，請(qǐng)用表示；(2)若點(diǎn)使得，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，則，又A、O、P三點(diǎn)共線，有，，又，即有，而C、O、Q三點(diǎn)共線，于是，解得，所以.（2）由（1）知，，而，設(shè)，則，由，得，即，整理得，即，于是，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，所以的取值范圍.【變式12-2】（2024·天津·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)校聯(lián)考期末）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足.

(1)求角B的大小；(2)若，且，，求的面積；(3)如圖，平面四邊形ABCP中，，，，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段BC，CP上運(yùn)動(dòng)，且，，求的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，所以，又，所以，又，所?（2）因?yàn)?，且，，所以，，在中，由余弦定理得，即，解得，或（舍），所以的面積；（3）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AP所在直線為x軸，垂直AP的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，由得，因?yàn)?，，，所以設(shè)，，由得，由得，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，當(dāng)或時(shí)，取得最大值，最大值為，所以的取值范圍是.【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·遼寧·高一沈陽(yáng)二中校聯(lián)考期末）已知，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，且，所以，即，解?故選：B2．（2024·遼寧遼陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選：B.3．（2024·新疆阿克蘇·高一?？计谀┮阎蛄?，，則（

）A． B．5 C． D．4【答案】B【解析】因?yàn)?，所?故選：B4．（2024·西藏林芝·高一校考期末）已知向量，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】向量，，則.故選:C5．（2024·四川資陽(yáng)·高一統(tǒng)考期中）已知，，，則（

）A．A，B，D三點(diǎn)共線 B．A，B，C三點(diǎn)共線C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線【答案】A【解析】對(duì)于A，，又，所以，則與共線，又與有公共點(diǎn)B，所以A、B、D三點(diǎn)共線，A正確；對(duì)于B，令，即，所以，不存在，所以與不共線，即A，B，C三點(diǎn)不共線，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，即，所以，不存在，所以與不共線，即B，C，D三點(diǎn)不共線，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，令，即，所以，不存在，所以與不共線，即A，C，D三點(diǎn)不共線，D錯(cuò)誤.故選：A．6．（2024·重慶銅梁·高一統(tǒng)考期末）在中，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若存在實(shí)數(shù)和，使得，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，，且，而，所以，即，由已知，則，選項(xiàng)D正確.故選：D7．（2024·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，且，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄?，，所以，解得，則，則，所以在方向上的投影向量為.故選：C8．（2024·天津·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)校聯(lián)考期末）在平行四邊形中，點(diǎn)為對(duì)角線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如下圖所示：因?yàn)?，則，所以，，，所以，，因此，，故選：D.二、多選題9．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）設(shè)向量，，則（

）A． B．C． D．與的夾角為【答案】CD【解析】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，故C正確；對(duì)于D，，因?yàn)?，所以與的夾角為，故D正確.故選：CD.10．（2024·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎蛄?，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．若，則C．在上的投影向量為 D．若∥，則【答案】AC【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，解得，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，在上的投影向量為：，故正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，∥，所以，解得，故錯(cuò)誤.故選：AC.11．（2024·山東青島·高一青島二中?？计谀┮阎矫嫦蛄浚瑒t下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．在方向上的投影向量為C．與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或D．若向量與非零向量共線，則【答案】ACD【解析】由題意知，，，則，因此A正確；在方向上的投影向量為，因此B錯(cuò)誤；與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或，因此C正確；因?yàn)?，，若向量與向量共線，則，解得，因此D正確.故選：ACD.12．（2024·浙江臺(tái)州·高一溫嶺中學(xué)?？计谀┮阎呴L(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)在四條邊上移動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)， B．當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，C．當(dāng)E在邊CD上移動(dòng)時(shí)，是定值 D．當(dāng)E在邊CD上移動(dòng)時(shí)，是定值【答案】ABD【解析】如圖1，E為BC中點(diǎn)時(shí)，選項(xiàng)A，，A正確；選項(xiàng)B，，B正確；

圖1如圖2，E在邊CD上移動(dòng)時(shí)，選項(xiàng)C，，不是定值，C錯(cuò)；選項(xiàng)D，為定值，D正確，

圖2故選：ABD．三、填空題13．（2024·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）已知中，D為的中點(diǎn)，，若，則.【答案】【解析】因?yàn)?所以,故;故答案為：.14．（2024·北京懷柔·高一統(tǒng)考期末）在