（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 第1講 幾何證明選講提升訓(xùn)練 理（選做部分）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第1講幾何證明選講1．(2013·江蘇卷)如圖，AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，AC經(jīng)過(guò)圓心O，且BC＝2OC.求證：AC＝2AD. 證明連接OD.因?yàn)锳B和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，所以∠ADO＝ ∠ACB＝90°. 又因?yàn)椤螦＝∠A，所以Rt△ADO∽R(shí)t△ACB. 所以eq\f(BC,OD)＝eq\f(AC,AD). 又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.2.(2012·江蘇卷)如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使BD＝DC，連接AC，AE，DE. 求證：∠E＝∠C. 證明連接OD，因?yàn)锽D＝DC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D∥AC，于是∠ODB＝∠C.因?yàn)镺B＝OD，所以∠ODB＝∠B于是∠B＝∠C. 因?yàn)辄c(diǎn)A，E，B，D都在圓O上，且D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，所以∠E和∠B為同弧所對(duì)的圓周角， 故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.3.(2011·江蘇卷)如圖，圓O1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A，其半徑分別為r1與r2(r1＞r2)，圓O1的弦AB交圓O2于點(diǎn)C(O1不在AB上)． 求證：AB∶AC為定值． 證明如圖，連接AO1并延長(zhǎng)，分別交兩圓于點(diǎn)E和點(diǎn)D.連接BD，CE.因?yàn)閳AO1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A，所以點(diǎn)O2在AD上，故AD，AE分別為圓O1，圓O2的直徑．從而∠ABD＝∠ACE＝eq\f(π,2).所以BD∥CE，于是eq\f(AB,AC)＝eq\f(AD,AE)＝eq\f(2r1,2r2)＝eq\f(r1,r2).所以AB∶AC為定值．4.(2010·江蘇卷)AB是圓O的直徑，D為圓O上一點(diǎn)，過(guò)D作圓O的切線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，若DA＝DC，求證：AB＝2BC. 證明連接OD，則OD⊥DC，又OA＝OD，DA＝DC，所以∠DAO＝∠ODA＝∠DCO，∠DOC＝∠DAO＋∠ODA＝2∠DCO，所以∠DCO＝30°，∠DOC＝60°，所以O(shè)C＝2OD，即OB＝BC＝OD＝OA，所以AB＝2BC.5．(2015·全國(guó)Ⅱ卷)如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，⊙O與△ABC的底邊BC交于M、N兩點(diǎn)，與底邊上的高AD交于點(diǎn)G，且與AB、AC分別相切于E、F兩點(diǎn)． (1)證明：EF∥BC； (2)若AG等于⊙O的半徑，且AE＝MN＝2eq\r(3)，求四邊形EBCF的面積． (1)證明由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分線． 又因?yàn)椤袿分別與AB，AC相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，所以AE＝AF，故AD⊥EF. 從而EF∥BC. (2)解由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分線，又EF為⊙O的弦，所以O(shè)在AD上．連接OE，OM，則OE⊥AE. 由AG等于⊙O的半徑得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等邊三角形． 因?yàn)锳E＝2eq\r(3)，所以AO＝4，OE＝2. 因?yàn)镺M＝OE＝2，DM＝eq\f(1,2)MN＝eq\r(3)，所以O(shè)D＝1. 于是AD＝5，AB＝eq\f(10\r(3),3).所以四邊形EBCF的面積為eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10\r(3),3)))eq\s\up12(2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)×(2eq\r(3))2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(16\r(3),3).6．如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點(diǎn)．若CF∥AB. 證明：(1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD. 證明(1)如圖，因?yàn)镈，E分別為AB，AC的中點(diǎn)， 所以DE∥BC. 又已知CF∥AB， 故四邊形BCFD是平行四邊形， 所以CF＝BD＝AD. 而CF∥AD，連接AF， 所以四邊形ADCF是平行四邊形， 故CD＝AF. 因?yàn)镃F∥AB， 所以BC＝AF， 故CD＝BC. (2)因?yàn)镕G∥BC， 故GB