【數(shù)學 】函數(shù)的單調(diào)性課件-2023-2024學年高二下學期人教A版（2019）選擇性必修第二冊

5.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用

在必修第一冊中，我們通過圖象直觀，利用不等式、方程等知識，研究了函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性以及最大(?。┲档刃再|(zhì).在本章前兩節(jié)中,我們學習了導數(shù)的概念和運算，知道導數(shù)是關(guān)于瞬時變化率的數(shù)學表達，它定量地刻畫了函數(shù)的局部變化.能否利用導數(shù)更加精確地研究函數(shù)的性質(zhì)呢?本節(jié)我們就來討論這個問題.5.3.1函數(shù)的單調(diào)性

我們先來研究前面學習過的高臺跳水問題.

下右圖是某高臺跳水運動員的重心相對于水面的高度h隨時間t變化的函數(shù)h(t)=-4.9t2+4.8t＋11的圖象，下左圖是跳水運動員的速度v隨時間t變化的函數(shù)v(t)=h'(t)=-9.8t＋4.8的圖象.a=，b是函數(shù)h(t)的零點.

運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別?如何從數(shù)學上刻畫這種區(qū)別?一、探究新知

觀察圖象可以發(fā)現(xiàn):

(1)從起跳到最高點，運動員的重心處于上升狀態(tài)，離水面的高度h隨時間t的增加而增加，即h(t)單調(diào)遞增．相應地，

v(t)=h'(t)>0.

(2)從最高點到入水，運動員的重心處于下降狀態(tài)，離水面的高度h隨時間t的增加而減小，即h(t)單調(diào)遞減．相應地,

v(t)=h'(t)<0.一、探究新知

我們看到，函數(shù)h(t)的單調(diào)性與h'(t)的正負有內(nèi)在聯(lián)系．那么，我們能否由h'(t)的正負來判斷函數(shù)h(t)的單調(diào)性呢?

對于高臺跳水問題,可以發(fā)現(xiàn):

當t∈(0，a)時，h'(t)>0，函數(shù)h(t)的圖象是“上升”的，函數(shù)h(t)在(0，a)上單調(diào)遞增；

當t∈(a，b)時，h'(t)<0，函數(shù)h(t)的圖象是“下降”的，函數(shù)h(t)在(a,b)上單調(diào)遞減.

這種情況是否具有一般性呢?一、探究新知一、探究新知

觀察下面函數(shù)的圖象,探討函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的正負的關(guān)系.一、探究新知

如下圖，導數(shù)f'(x0)表示函數(shù)y=f(x)的圖象在點(x0，f(x0))處的切線的斜率．可以發(fā)現(xiàn):

在x=x0處，f'(x0)>0，切線是“左下右上”的上升式,函數(shù)f(x)的圖象也是上升的，函數(shù)f(x)在x=x0附近單調(diào)遞增；

在x=x1處，f'(x1)<0，切線是“左上右下”的下降式,函數(shù)f(x)的圖象也是下降的，函數(shù)f(x)在x=x1附近單調(diào)遞減.二、函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)

一般地，函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導函數(shù)f'(x)的正負之間具有如下的關(guān)系:

在某個區(qū)間(a，b)上，如果f'(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增；

在某個區(qū)間(a，b)上，如果f'(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減.

如果在某個區(qū)間上恒有f'(x)=0，那么函數(shù)f(x)有什么特性?三、典型例題例1

利用導數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性:

(1)f(x)=x3+3x

(2)f(x)=sinx-x，x∈(0,π)

(3)f(x)=ex-x+1(4)三、典型例題例2

已知導函數(shù)f'(x)的下列信息:

當1<x<4時,f'(x)>0；

當x>4或x<1時,f'(x)<0；

當x=4或x=1時，f'(x)=0.

試畫出函數(shù)f(x)的圖象的大致形狀.Oxy14y=f(x)三、典型例題

請同學們回顧一下函數(shù)單調(diào)性的定義，并思考在某個區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)y=f(x)的平均變化率的幾何意義與f'(x)的正負的關(guān)系.例3

求函數(shù)f(x)=

x3-x2-2x＋1的單調(diào)區(qū)間.

如果不用導數(shù)的方法，直接運用單調(diào)性的定義，你如何求解本題?

運算過程麻煩嗎?你有什么體會?三、典型例題三、典型例題

一般情況下,我們可以通過如下步驟判斷函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性:

第1步，確定函數(shù)的定義域;

第2步，求出導數(shù)f'(x)的零點;

第3步，用f'(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f'(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.三、典型例題

研究對數(shù)函數(shù)y=lnx與冪函數(shù)y=x3在區(qū)間(0，+∞)上增長快慢的情況.

冪函數(shù)y=x3的導數(shù)為y'=3x2>0(x∈(0，+∞))，所以y=x3在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增.

當x越來越大時，y'=3x2越來越大，函數(shù)y=x3遞增得越來越快，圖象上升得越來越“陡峭”(如右圖).

對數(shù)函數(shù)y=Inx的導數(shù)為y'=

>0(x∈(0，+∞))，所以y=Inx在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增.

當x越來越大時，y'=

越來越小，所以函數(shù)y=lnx遞增得越來越慢，圖象上升得越來越“平緩”(如右圖).

一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較快，這時函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下);

反之，函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較慢，函數(shù)圖象就比較“平緩”.二、典型例題例4

設x>0,f(x)=Inx,g(x)=1-,兩個函數(shù)的圖象如下右圖所示,

判斷f(x)、g(x）的圖象與C1、C2之間的對應關(guān)系.三、典型例題例5

試討論函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1-的單調(diào)性.三、典型例題例6

已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1.

(1)若f(x)在實數(shù)集R上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍；

(2)是否存在實數(shù)a,使f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減?若存在,求出

a的取值范圍;若不存在,請說明理由.四、課堂小結(jié)1.一般地，函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導函數(shù)f'(x)的正負之間具有如下的關(guān)系:

在某個區(qū)間(a，b)上，如果f'(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增；

在某個區(qū)間(a，b)上，如果f'(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減.2.一般情況下,可以通過如下步驟判斷函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性:

第1步，確定函數(shù)的定義域;

第2步，求出導數(shù)f'(