《事件的關(guān)系和運(yùn)算》教學(xué)設(shè)計(jì)、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算》教學(xué)設(shè)計(jì)【教材分析】本節(jié)《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書(shū)-必修二（人教A版）第九章《10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算》，事件的關(guān)系與運(yùn)算是繼隨機(jī)事件的后續(xù)部分,本節(jié)課提出了事件的關(guān)系、事件的運(yùn)算等兩部分.學(xué)生將通過(guò)新舊知識(shí)的對(duì)比學(xué)習(xí)來(lái)進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，同時(shí)通過(guò)共同探討來(lái)理解和掌握新知識(shí)的實(shí)際含義.由于事件的抽象性，所以教學(xué)時(shí)將大量采用“韋恩圖”幫助學(xué)生理解事件的關(guān)系，同時(shí)強(qiáng)調(diào)區(qū)分事件關(guān)系、運(yùn)算與集合的關(guān)系、運(yùn)算的區(qū)別與聯(lián)系.為概率的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。并加深對(duì)概率思想方法的理解。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.理解并掌握時(shí)間的關(guān)系和運(yùn)算．B.能夠?qū)⑹录倪\(yùn)算關(guān)系知識(shí)靈活運(yùn)用到實(shí)際事件中．1.數(shù)學(xué)建模：事件關(guān)系的運(yùn)用2.邏輯推理：事件運(yùn)算與集合運(yùn)算的聯(lián)系與區(qū)別3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：事件運(yùn)算4.數(shù)據(jù)分析：在具體事例中分析事件關(guān)系與運(yùn)算【教學(xué)重點(diǎn)】：件運(yùn)算關(guān)系的實(shí)際含義．【教學(xué)難點(diǎn)】：事件運(yùn)算關(guān)系的應(yīng)用.【教學(xué)過(guò)程】教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、情境與問(wèn)題從前面的學(xué)習(xí)中可以看到,我們?cè)谝粋€(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中可以定義很多隨機(jī)事件。這些事件有的簡(jiǎn)單,有的復(fù)雜,我們希望從簡(jiǎn)單事件的概率推算出復(fù)雜事件的概率,所以需要研究事件之間的關(guān)系和運(yùn)算.例如：Ci=“點(diǎn)數(shù)為i”,i=1,2,3,4,5,6;D1=“點(diǎn)數(shù)不大于3”；D2=“點(diǎn)數(shù)大于3”；E1=“點(diǎn)數(shù)為1或2”；E2=“點(diǎn)數(shù)為2或3”；F=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”；G=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”；請(qǐng)用集合的形式表示這些事件，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算,你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？引例：在擲骰子試驗(yàn)中，觀察骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，可以定義許多隨機(jī)事件用集合的形式表示事件C1=“點(diǎn)數(shù)為1”和事件G=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”,它們分別是C1={1}和G={1,3,5}.顯然,如果事件C1發(fā)生,那么事件G一定發(fā)生,事件之間的這種關(guān)系用集合的形式表示,就是{1}?{1,3,5},即C1?G.這時(shí)我們說(shuō)事件G包含事件C1.；一般地,事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生,這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中,或者在事件B中,我們稱(chēng)這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件(或和事件）,記作AUB(或A+B).可以用圖中的綠色區(qū)域和黃色區(qū)域表示這個(gè)并事件.一般地,事件A與事件B同時(shí)發(fā)生,這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中,也在事件B中,我們稱(chēng)這樣的一個(gè)事件為事件A與事件B的交事件(或積事件）,記作A∩B(或AB).藍(lán)色區(qū)域表示交事件用集合的形式表示事件C3=“點(diǎn)數(shù)為3”和事件C4=“點(diǎn)數(shù)為4”.它們分別C3={3},C4={4}.顯然,事件C3與事件C4不可能同時(shí)發(fā)生,用集合的形式表示這種關(guān)系,就是{3}∩{4}=Φ,即C3∩C4=Φ,這時(shí)我們稱(chēng)事件C3與事件C4互斥.一般地,如果事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生,也就是說(shuō)A∩B是一個(gè)不可能事件,即A∩B=Φ,則稱(chēng)事件A與事件B互斥(或互不相容）.可以用圖表示這兩個(gè)事件互斥.其含義是,事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生．用集合的形式表示事件F=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”、事件G=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”,它們分別是F={2,4,6},G={1,3,5}.在任何一次試驗(yàn)中,事件F與事件G兩者只能發(fā)生其中之一,而且也必然發(fā)生其中之一.事件之間的這種關(guān)系,用集合的形式可以表示為{2,4,6}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5,6},即F∪G=Ω,且{2,4,6}∩(1,3,5}=Φ,即F∩G=Φ.此時(shí)我們稱(chēng)事件F與事件G互為對(duì)立事件.事件D1與D2也有這種關(guān)系.一般地,如果事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生,即A∪B=Ω,且A∩B=Φ,那么稱(chēng)事件A與事件B互為對(duì)立.其含義是：事件A與事件在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生．事件A的對(duì)立事件記為,可以用圖表示為.1.拋挪一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：Ci=“點(diǎn)數(shù)為i”，其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“點(diǎn)數(shù)不大于2”，D2=“點(diǎn)數(shù)大于2”，D3=“點(diǎn)數(shù)大于4”；E=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，F(xiàn)=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”。判斷下列結(jié)論是否正確.(1)C1與C2互斥；(2)C2,C3為對(duì)立事件;(3)C3?D2;(4)D3?D2;(5)D1∪D2=Ω,D1D2=Φ;(6)D3=C5∪C6;(7)E=C1∪C3∪C5;(8)E,F為對(duì)立事件；(9)D2∪D3=D2;(10)D2∩D3=D3.答案：（2）錯(cuò)，其余都對(duì)綜上所述,事件的關(guān)系或運(yùn)算的含義,以及相應(yīng)的符號(hào)表示如下事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號(hào)表示包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B并事件(和事件)A與B至少一個(gè)發(fā)生AUB或A+B交事件(積事件)A與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B=Φ互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生A∩B=Φ,AUB=Ω類(lèi)似地,我們可以定義多個(gè)事件的和事件以及積事件.例如,對(duì)于三個(gè)事件A,B,C,AUBUC(或A+B+C)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C中至少一個(gè)發(fā)生,A∩B∩C(或ABC)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C同時(shí)發(fā)生,等等.例5如圖,由甲、乙兩個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)電路,每個(gè)元件可能正?；蚴?設(shè)事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正?！?(1)寫(xiě)出表示兩個(gè)元件工作狀態(tài)的樣本空間；(2)用集合的形式表示事件A,B以及它們的對(duì)立事件；(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并說(shuō)明它們的含義及關(guān)系.分析：注意到試驗(yàn)由甲、乙兩個(gè)元件的狀態(tài)組成,所以可以用數(shù)組(x1,x2)表示樣本點(diǎn).這樣,確定事件A,B所包含的樣本點(diǎn)時(shí),不僅要考慮甲元件的狀態(tài),還要考用乙元件的狀態(tài).解：(1)用x1,x2分別表示甲、乙兩個(gè)元件的狀態(tài),則可以用(x1,x2)表示這個(gè)并聯(lián)電路的狀態(tài),以1表示元件正常,0表示元件失效,則樣本空間為Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.(2)A={(1,0),(1,1)},B={(0,1),(1,1)},,(3)用x1,x2分別表示甲、乙兩個(gè)元件的狀態(tài),則可以用(x1,x2)表示這個(gè)并聯(lián)電路的狀態(tài),以1表示元件正常,0表示元件失效.A∪B={(0,1),(1,0),(1,1)},A∩B={(0,0)};A∪B表示電路工作正常,表示電路工作不正常；A∪B和互為對(duì)立事件.例6一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球,其中有2個(gè)紅色球(標(biāo)號(hào)為1和2),2個(gè)綠色球(標(biāo)號(hào)為3和4),從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球.設(shè)事件R1=“第一次摸到紅球”,R2=“第二次摸到紅球”,R=“兩次都摸到紅球”,G=“兩次都摸到綠球”,M=“兩個(gè)球顏色相同”,N=“兩個(gè)球顏色不同”(2)事件R與R1,R與G,M與N之間各有什么關(guān)系？(3)事件R與事件G的并事件與事件M有什么關(guān)系？事件R1與事件R2的交事件與事件R有什么關(guān)系？用數(shù)組(x1,x2)表示可能的結(jié)果,x1是第一次摸到的球的標(biāo)號(hào),x2是第二次摸到的球的標(biāo)號(hào)Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}R={(1,2),(2,1)}G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}(2)因?yàn)镽?R1,所以事件R1包含事件R因?yàn)镽∩G=Φ,所以事件R與事件G互斥；因?yàn)镸∪N=Ω,M∩N=Φ,所以事件M與事件N互為對(duì)立事件.(3)因?yàn)镽∪G=M,所以事件M是事件R與事件G的并事件；因?yàn)镽1∩R2=R,所以事件R是事件R1與事件R2的交事件.由具體事例出發(fā)，提出問(wèn)題，讓學(xué)生了解事件關(guān)系和運(yùn)算與集合運(yùn)算的聯(lián)系。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過(guò)聯(lián)系集合運(yùn)算和韋恩圖幫助學(xué)生理解事件關(guān)系及其運(yùn)算。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過(guò)實(shí)例分析，讓學(xué)生掌握分析事件關(guān)系的方法加深對(duì)概念的理解，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模及邏輯推理的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“至少一次中靶”互為對(duì)立的是().(A)至多一次中靶(B)兩次都中靶(C)只有一次中靶(D)兩次都沒(méi)有中靶解析：“至少一次中靶”的對(duì)立事件是“兩次都沒(méi)有中靶”，所以選D2.同時(shí)拋擲兩枚硬幣,向上面都是正面為事件M,向上面至少有一枚是正面為事件N,則有()A.M?NB.M?NC.M=ND.M<NA3.拋擲一枚均勻的正方體骰子,事件P＝{向上的點(diǎn)數(shù)是1},事件Q＝{向上的點(diǎn)數(shù)是3或4},M＝{向上的點(diǎn)數(shù)是1或3},則P∪Q＝,M∩Q＝_______________________.{向上的點(diǎn)數(shù)是1或3或4}{向上的點(diǎn)數(shù)是3}4.在30件產(chǎn)品中有28件一級(jí)品,2件二級(jí)品,從中任取3件,記“3件都是一級(jí)品”為事件A,則A的對(duì)立事件是________．至少有一件是二級(jí)品5.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽．判斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件，如果是，再判別它們是不是對(duì)立事件．(1)恰有一名男生與恰有2名男生；(2)至少有1名男生與全是男生；(3)至少有1名男生與全是女生；(4)至少有1名男生與至少有1名女生．[解析]判別兩個(gè)事件是否互斥，就是考查它們是否能同時(shí)發(fā)生；判別兩個(gè)互斥事件是否對(duì)立，就要考查它們是否必有一個(gè)發(fā)生且只有一個(gè)發(fā)生．(1)因?yàn)椤扒∮?名男生”與“恰有2名男生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們是互斥事件；當(dāng)恰有兩名女生時(shí)它們都不發(fā)生，所以它們互斥不對(duì)立事件．(2)因?yàn)椤扒∮袃擅猩卑l(fā)生時(shí)，“至少有一名男生”與“全是男生”同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件．(3)因?yàn)椤爸辽儆幸幻猩迸c“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們互斥；由于它們必有一個(gè)發(fā)生，所以它們互斥對(duì)立．(4)由于選出的是“一名男生一名女生”時(shí)，“至少有一名男生”與“至少有一名女生”同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件．[點(diǎn)評(píng)]判斷兩個(gè)互斥事件是否對(duì)立要依據(jù)試驗(yàn)的條件，考慮事件關(guān)系必須先考慮條件．本題條件若改成“某小組有3名男生1名女生，任取2人”，則“恰有1名男生”與“恰有2名男生”便是對(duì)立事件．通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)事件的關(guān)系或運(yùn)算的含義,以及相應(yīng)的符號(hào)表示如下事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號(hào)表示包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B并事件(和事件)A與B至少一個(gè)發(fā)生AUB或A+B交事件(積事件)A與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B=Φ互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生A∩B=Φ,AUB=Ω(1)包含關(guān)系、相等關(guān)系的判定①事件的包含關(guān)系與集合的包含關(guān)系相似；②兩事件相等的實(shí)質(zhì)為相同事件，即同時(shí)發(fā)生或同時(shí)不發(fā)生．(2)判斷事件是否互斥的兩個(gè)步驟第一步，確定每個(gè)事件包含的結(jié)果；第二步，確定是否有一個(gè)結(jié)果發(fā)生會(huì)意味著兩個(gè)事件都發(fā)生，若是，則兩個(gè)事件不互斥，否則就是互斥的．(3)判斷事件是否對(duì)立的兩個(gè)步驟第一步，判斷是互斥事件；第二步，確定兩個(gè)事件必然有一個(gè)發(fā)生，否則只有互斥，但不對(duì)立．五、課時(shí)練通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。【教學(xué)反思】本節(jié)課通過(guò)對(duì)具體事例，提出了事件的關(guān)系、事件的運(yùn)算等兩部分.學(xué)生將通過(guò)新舊知識(shí)的對(duì)比學(xué)習(xí)來(lái)進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，同時(shí)通過(guò)共同探討來(lái)理解和掌握新知識(shí)的實(shí)際含義.由于事件的抽象性，所以教學(xué)時(shí)將大量采用“韋恩圖”幫助學(xué)生理解事件的關(guān)系，同時(shí)強(qiáng)調(diào)區(qū)分事件關(guān)系、運(yùn)算與集合的關(guān)系、運(yùn)算的區(qū)別與聯(lián)系.教學(xué)中要注重學(xué)生的主體地位，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)?！?0.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握時(shí)間的關(guān)系和運(yùn)算．2．能夠?qū)⑹录倪\(yùn)算關(guān)系知識(shí)靈活運(yùn)用到實(shí)際事件中．【教學(xué)重點(diǎn)】：件運(yùn)算關(guān)系的實(shí)際含義．【教學(xué)難點(diǎn)】：事件運(yùn)算關(guān)系的應(yīng)用.【知識(shí)梳理】一、溫故知新1.隨機(jī)試驗(yàn)：把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱(chēng)為_(kāi)________(簡(jiǎn)稱(chēng)試驗(yàn))，常用字母E表示．特點(diǎn):可重復(fù)性;可預(yù)知性;隨機(jī)性2.樣本點(diǎn)和樣本空間定義字母表示樣本點(diǎn)我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱(chēng)為樣本點(diǎn)用表示樣本點(diǎn)樣本空間全體樣本點(diǎn)的集合稱(chēng)為試驗(yàn)E的樣本空間用表示樣本空間有限樣本空間如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱(chēng)樣本空間Ω={ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間Ω={ω1，ω2，…，ωn}隨機(jī)事件我們將樣本空間Ω的子集稱(chēng)為E的隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱(chēng)事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱(chēng)為基本事件，隨機(jī)事件一般用大寫(xiě)字母A，B，C等表示.在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱(chēng)為事件A發(fā)生必然事件Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以Ω總會(huì)發(fā)生，我們稱(chēng)Ω為必然事件不可能事件空集?不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生.我們稱(chēng)?為不可能事件3.三種事件的定義在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件.在一定條件下必然要發(fā)生的事件叫必然事件.在一定條件下不可能發(fā)生的事件叫不可能事件【學(xué)習(xí)過(guò)程】一、情境與問(wèn)題從前面的學(xué)習(xí)中可以看到,我們?cè)谝粋€(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中可以定義很多隨機(jī)事件。這些事件有的簡(jiǎn)單,有的復(fù)雜,我們希望從簡(jiǎn)單事件的概率推算出復(fù)雜事件的概率,所以需要研究事件之間的關(guān)系和運(yùn)算.例如：Ci=“點(diǎn)數(shù)為i”,i=1,2,3,4,5,6;D1=“點(diǎn)數(shù)不大于3”；D2=“點(diǎn)數(shù)大于3”；E1=“點(diǎn)數(shù)為1或2”；E2=“點(diǎn)數(shù)為2或3”；F=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”；G=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”；請(qǐng)用集合的形式表示這些事件，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算,你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？引例：在擲骰子試驗(yàn)中，觀察骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，可以定義許多隨機(jī)事件用集合的形式表示事件C1=“點(diǎn)數(shù)為1”和事件G=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”,它們分別是C1={1}和G={1,3,5}.顯然,如果事件C1發(fā)生,那么事件G一定發(fā)生,事件之間的這種關(guān)系用集合的形式表示,就是{1}?{1,3,5},即C1?G.這時(shí)我們說(shuō)事件G包含事件C1.；一般地,事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生,這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中,或者在事件B中,我們稱(chēng)這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件(或和事件）,記作AUB(或A+B).可以用圖中的綠色區(qū)域和黃色區(qū)域表示這個(gè)并事件.一般地,事件A與事件B同時(shí)發(fā)生,這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中,也在事件B中,我們稱(chēng)這樣的一個(gè)事件為事件A與事件B的交事件(或積事件）,記作A∩B(或AB).藍(lán)色區(qū)域表示交事件用集合的形式表示事件C3=“點(diǎn)數(shù)為3”和事件C4=“點(diǎn)數(shù)為4”.它們分別C3={3},C4={4}.顯然,事件C3與事件C4不可能同時(shí)發(fā)生,用集合的形式表示這種關(guān)系,就是{3}∩{4}=Φ,即C3∩C4=Φ,這時(shí)我們稱(chēng)事件C3與事件C4互斥.一般地,如果事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生,也就是說(shuō)A∩B是一個(gè)不可能事件,即A∩B=Φ,則稱(chēng)事件A與事件B互斥(或互不相容）.可以用圖表示這兩個(gè)事件互斥.其含義是,事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生．用集合的形式表示事件F=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”、事件G=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”,它們分別是F={2,4,6},G={1,3,5}.在任何一次試驗(yàn)中,事件F與事件G兩者只能發(fā)生其中之一,而且也必然發(fā)生其中之一.事件之間的這種關(guān)系,用集合的形式可以表示為{2,4,6}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5,6},即F∪G=Ω,且{2,4,6}∩(1,3,5}=Φ,即F∩G=Φ.此時(shí)我們稱(chēng)事件F與事件G互為對(duì)立事件.事件D1與D2也有這種關(guān)系.一般地,如果事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生,即A∪B=Ω,且A∩B=Φ,那么稱(chēng)事件A與事件B互為對(duì)立.其含義是：事件A與事件在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生．事件A的對(duì)立事件記為,可以用圖表示為.1.拋挪一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：Ci=“點(diǎn)數(shù)為i”，其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“點(diǎn)數(shù)不大于2”，D2=“點(diǎn)數(shù)大于2”，D3=“點(diǎn)數(shù)大于4”；E=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，F(xiàn)=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”。判斷下列結(jié)論是否正確.(1)C1與C2互斥；(2)C2,C3為對(duì)立事件;(3)C3?D2;(4)D3?D2;(5)D1∪D2=Ω,D1D2=Φ;(6)D3=C5∪C6;(7)E=C1∪C3∪C5;(8)E,F為對(duì)立事件；(9)D2∪D3=D2;(10)D2∩D3=D3.綜上所述,事件的關(guān)系或運(yùn)算的含義,以及相應(yīng)的符號(hào)表示如下事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號(hào)表示包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B并事件(和事件)A與B至少一個(gè)發(fā)生AUB或A+B交事件(積事件)A與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B=Φ互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生A∩B=Φ,AUB=Ω類(lèi)似地,我們可以定義多個(gè)事件的和事件以及積事件.例如,對(duì)于三個(gè)事件A,B,C,AUBUC(或A+B+C)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C中至少一個(gè)發(fā)生,A∩B∩C(或ABC)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C同時(shí)發(fā)生,等等.例5如圖,由甲、乙兩個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)電路,每個(gè)元件可能正?；蚴?設(shè)事件A=“甲元件正?！?B=“乙元件正常”.(1)寫(xiě)出表示兩個(gè)元件工作狀態(tài)的樣本空間；(2)用集合的形式表示事件A,B以及它們的對(duì)立事件；(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并說(shuō)明它們的含義及關(guān)系.例6一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球,其中有2個(gè)紅色球(標(biāo)號(hào)為1和2),2個(gè)綠色球(標(biāo)號(hào)為3和4),從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球.設(shè)事件R1=“第一次摸到紅球”,R2=“第二次摸到紅球”,R=“兩次都摸到紅球”,G=“兩次都摸到綠球”,M=“兩個(gè)球顏色相同”,N=“兩個(gè)球顏色不同”(2)事件R與R1,R與G,M與N之間各有什么關(guān)系？(3)事件R與事件G的并事件與事件M有什么關(guān)系？事件R1與事件R2的交事件與事件R有什么關(guān)系？【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“至少一次中靶”互為對(duì)立的是().(A)至多一次中靶(B)兩次都中靶(C)只有一次中靶(D)兩次都沒(méi)有中靶2.同時(shí)拋擲兩枚硬幣,向上面都是正面為事件M,向上面至少有一枚是正面為事件N,則有()A.M?NB.M?NC.M=ND.M<N3.拋擲一枚均勻的正方體骰子,事件P＝{向上的點(diǎn)數(shù)是1},事件Q＝{向上的點(diǎn)數(shù)是3或4},M＝{向上的點(diǎn)數(shù)是1或3},則P∪Q＝,M∩Q＝_______________________.4.在30件產(chǎn)品中有28件一級(jí)品,2件二級(jí)品,從中任取3件,記“3件都是一級(jí)品”為事件A,則A的對(duì)立事件是________．5.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽．判斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件，如果是，再判別它們是不是對(duì)立事件．(1)恰有一名男生與恰有2名男生；(2)至少有1名男生與全是男生；(3)至少有1名男生與全是女生；(4)至少有1名男生與至少有1名女生．【課堂小結(jié)】事件的關(guān)系或運(yùn)算的含義,以及相應(yīng)的符號(hào)表示如下事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號(hào)表示包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B并事件(和事件)A與B至少一個(gè)發(fā)生AUB或A+B交事件(積事件)A與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B=Φ互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生A∩B=Φ,AUB=Ω(1)包含關(guān)系、相等關(guān)系的判定①事件的包含關(guān)系與集合的包含關(guān)系相似；②兩事件相等的實(shí)質(zhì)為相同事件，即同時(shí)發(fā)生或同時(shí)不發(fā)生．(2)判斷事件是否互斥的兩個(gè)步驟第一步，確定每個(gè)事件包含的結(jié)果；第二步，確定是否有一個(gè)結(jié)果發(fā)生會(huì)意味著兩個(gè)事件都發(fā)生，若是，則兩個(gè)事件不互斥，否則就是互斥的．(3)判斷事件是否對(duì)立的兩個(gè)步驟第一步，判斷是互斥事件；第二步，確定兩個(gè)事件必然有一個(gè)發(fā)生，否則只有互斥，但不對(duì)立．參考答案：知識(shí)梳理1隨機(jī)試驗(yàn)特點(diǎn):可重復(fù)性;可預(yù)知性;隨機(jī)性學(xué)習(xí)過(guò)程1.答案：（2）錯(cuò)，其余都對(duì)例5分析：注意到試驗(yàn)由甲、乙兩個(gè)元件的狀態(tài)組成,所以可以用數(shù)組(x1,x2)表示樣本點(diǎn).這樣,確定事件A,B所包含的樣本點(diǎn)時(shí),不僅要考慮甲元件的狀態(tài),還要考用乙元件的狀態(tài).解：(1)用x1,x2分別表示甲、乙兩個(gè)元件的狀態(tài),則可以用(x1,x2)表示這個(gè)并聯(lián)電路的狀態(tài),以1表示元件正常,0表示元件失效,則樣本空間為Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.(2)A={(1,0),(1,1)},B={(0,1),(1,1)},,(3)用x1,x2分別表示甲、乙兩個(gè)元件的狀態(tài),則可以用(x1,x2)表示這個(gè)并聯(lián)電路的狀態(tài),以1表示元件正常,0表示元件失效.A∪B={(0,1),(1,0),(1,1)},A∩B={(0,0)};A∪B表示電路工作正常,表示電路工作不正常；A∪B和互為對(duì)立事件.例6用數(shù)組(x1,x2)表示可能的結(jié)果,x1是第一次摸到的球的標(biāo)號(hào),x2是第二次摸到的球的標(biāo)號(hào)Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}R={(1,2),(2,1)}G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}(2)因?yàn)镽?R1,所以事件R1包含事件R因?yàn)镽∩G=Φ,所以事件R與事件G互斥；因?yàn)镸∪N=Ω,M∩N=Φ,所以事件M與事件N互為對(duì)立事件.(3)因?yàn)镽∪G=M,所以事件M是事件R與事件G的并事件；因?yàn)镽1∩R2=R,所以事件R是事件R1與事件R2的交事件.達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.解析：“至少一次中靶”的對(duì)立事件是“兩次都沒(méi)有中靶”，所以選D2.A3.{向上的點(diǎn)數(shù)是1或3或4}{向上的點(diǎn)數(shù)是3}4.至少有一件是二級(jí)品5.[解析]判別兩個(gè)事件是否互斥，就是考查它們是否能同時(shí)發(fā)生；判別兩個(gè)互斥事件是否對(duì)立，就要考查它們是否必有一個(gè)發(fā)生且只有一個(gè)發(fā)生．(1)因?yàn)椤扒∮?名男生”與“恰有2名男生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們是互斥事件；當(dāng)恰有兩名女生時(shí)它們都不發(fā)生，所以它們互斥不對(duì)立事件．(2)因?yàn)椤扒∮袃擅猩卑l(fā)生時(shí)，“至少有一名男生”與“全是男生”同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件．(3)因?yàn)椤爸辽儆幸幻猩迸c“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們互斥；由于它們必有一個(gè)發(fā)生，所以它們互斥對(duì)立．(4)由于選出的是“一名男生一名女生”時(shí)，“至少有一名男生”與“至少有一名女生”同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件．[點(diǎn)評(píng)]判斷兩個(gè)互斥事件是否對(duì)立要依據(jù)試驗(yàn)的條件，考慮事件關(guān)系必須先考慮條件．本題條件若改成“某小組有3名男生1名女生，任取2人”，則“恰有1名男生”與“恰有2名男生”便是對(duì)立事件．《10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算》同步練習(xí)一、選擇題1．拋擲一枚骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件B，則（）A．ABB．A=BC．表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3D．表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或32．從1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)，分別有下列事件：①恰有一個(gè)是奇數(shù)和恰有一個(gè)是偶數(shù)；②至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)；③至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)；④至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù).其中，為互斥事件的是（）A．① B．②④ C．③ D．①③3．一個(gè)人連續(xù)射擊三次，事件“至少有一次擊中目標(biāo)”的對(duì)立事件是（）A．至多有一次擊中目標(biāo) B．三次都擊不中目標(biāo)C．三次都擊中目標(biāo) D．只有一次擊中目標(biāo)4．對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A={兩次都擊中飛機(jī)}，B={兩次都沒(méi)擊中飛機(jī)}，C={恰有一彈擊中飛機(jī)}，D={至少有一彈擊中飛機(jī)}，下列關(guān)系不正確的是（）A． B． C． D．5．（多選題）某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則下列各對(duì)事件中為互斥事件的是（）A．恰有一名男生和全是男生 B．至少有一名男生和至少有一名女生C．至少有一名男生和全是男生 D．至少有一名男生和全是女生6．（多選題）從裝有大小和形狀完全相同的5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球,那么下列各對(duì)事件中,互斥而不對(duì)立的是（）A．至少有1個(gè)紅球與都是紅球 B．至少有1個(gè)紅球與至少有1個(gè)白球C．恰有1個(gè)紅球與恰有2個(gè)紅球 D．至多有1個(gè)紅球與恰有2個(gè)紅球二、填空題7.某人在打靶時(shí)，連續(xù)射擊2次，事件“至少有1次不中靶”的對(duì)立事件是______.8.中國(guó)乒乓球隊(duì)中的甲、乙兩名隊(duì)員參加奧運(yùn)會(huì)乒乓球女子單打比賽，“甲奪得冠軍”為事件A，“乙?jiàn)Z得冠軍”為事件B，那么“中國(guó)隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍”用事件A與B可表示為_(kāi)____.9.從一副撲克牌（去掉大、小王，共52張）中隨機(jī)選取一張，給出如下四組事件：①“這張牌是紅心”與“這張牌是方塊”；②“這張牌是紅色牌”與“這張牌是黑色牌”；③“這張牌牌面是2，3，4，6，10之一”與“這張牌是是方塊”；④“這張牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”與“這張牌牌面是A，K，Q，J之一”.其中互為對(duì)立事件的有______________.（寫(xiě)出所有正確的編號(hào)）10．設(shè)A，B是兩個(gè)任意事件，下面關(guān)系正確的是①;②;③;④;三、解答題11．用紅、黃、藍(lán)三種不同的顏色給大小相同的三個(gè)圓隨機(jī)涂色，每個(gè)圓只涂一種顏色.設(shè)事件“三個(gè)圓的顏色全不相同”，事件“三個(gè)圓的顏色不全相同”，事件“其中兩個(gè)圓的顏色相同”，事件“三個(gè)圓的顏色全相同”.（1）寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間.（2）用集合的形式表示事件.（3）事件與事件有什么關(guān)系？事件和的交事件與事件有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由.12．記某射手一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)分別為事件，，，，指出下列事件的含義：（1）；（2）；（3）.《10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．拋擲一枚骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件B，則（）A．ABB．A=BC．表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3D．表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3【答案】C【解析】由題意，可知，則，∴表示向上的點(diǎn)數(shù)為1或2或3．2．從1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)，分別有下列事件：①恰有一個(gè)是奇數(shù)和恰有一個(gè)是偶數(shù)；②至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)；③至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)；④至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù).其中，為互斥事件的是（）A．① B．②④ C．③ D．①③【答案】C【解析】①恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù)是相同的事件，故①不是互斥事件；②至少有一個(gè)是奇數(shù)包含兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)的情況，故②不是互斥事件；③至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)不能同時(shí)發(fā)生，故③是互斥事件；④至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一-個(gè)是偶數(shù)可以同時(shí)發(fā)生，故④不是互斥事件.故選：.3．一個(gè)人連續(xù)射擊三次，事件“至少有一次擊中目標(biāo)”的對(duì)立事件是（）A．至多有一次擊中目標(biāo) B．三次都擊不中目標(biāo)C．三次都擊中目標(biāo) D．只有一次擊中目標(biāo)【答案】B【解析】對(duì)于一個(gè)人連續(xù)射擊三次，事件“至少有一次擊中目標(biāo)”包含擊中一次、擊中兩次和擊中三次兩個(gè)事件，因此它的對(duì)立事件是“三次都擊不中目標(biāo)”.4．對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A={兩次都擊中飛機(jī)}，B={兩次都沒(méi)擊中飛機(jī)}，C={恰有一彈擊中飛機(jī)}，D={至少有一彈擊中飛機(jī)}，下列關(guān)系不正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,事件A包含于事件D,故A正確.對(duì)于選項(xiàng)B,由于事件B,D不能同時(shí)發(fā)生,故正確.對(duì)于選項(xiàng)C,由題意知正確.對(duì)于選項(xiàng)D,由于={至少有一彈擊中飛機(jī)},不是必然事件；而為必然事件,所以,故D不正確.故選：D5．（多選題）某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則下列各對(duì)事件中為互斥事件的是（）A．恰有一名男生和全是男生 B．至少有一名男生和至少有一名女生C．至少有一名男生和全是男生 D．至少有一名男生和全是女生【答案】AD【解析】A中兩個(gè)事件是互斥事件,恰有一名男生即選出的兩名中有一名男生一名女生,它與全是男生不可能同時(shí)發(fā)生；B中兩個(gè)事件不是互斥事件,兩個(gè)事件均可能有一名男生和一名女生；C中兩個(gè)事件不是互斥事件,至少一名男生包含全是男生的情況；D中兩個(gè)事件是互斥事件,至少有一名男生與全是女生顯然不可能同時(shí)發(fā)生.故選：AD6．（多選題）從裝有大小和形狀完全相同的5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球,那么下列各對(duì)事件中,互斥而不對(duì)立的是（）A．至少有1個(gè)紅球與都是紅球 B．至少有1個(gè)紅球與至少有1個(gè)白球C．恰有1個(gè)紅球與恰有2個(gè)紅球 D．至多有1個(gè)紅球與恰有2個(gè)紅球【答案】CD【解析】根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的定義判斷.A中兩事件不是互斥事件,事件“3個(gè)球都是紅球”是兩事件的交事件;B中兩事件能同時(shí)發(fā)生,如“恰有1個(gè)紅球和2個(gè)白球”,故不是互斥事件;C中兩事件是互斥而不對(duì)立事件;至多有1個(gè)紅球,即有0個(gè)或1個(gè)紅球,與恰有2個(gè)紅球互斥,除此還有3個(gè)都是紅球的情況,因此它們不對(duì)立,D符合題意.故選：CD二、填空題7.某人在打靶時(shí)，連續(xù)射擊2次，事件“至少有1次不中靶”的對(duì)立事件是______.【答案】2次都中靶【解析】“至少有1次中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不中革”，其對(duì)立事件是“2次都中靶”.8.中國(guó)乒乓球隊(duì)中的