《棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積》教案、導(dǎo)學(xué)案、課后作業(yè)

《8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積》教案【教材分析】本節(jié)是在學(xué)生已從棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征和直觀圖兩個(gè)方面認(rèn)識了多面體的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步從度量的角度認(rèn)識棱柱、棱錐、棱臺，主要包括表面積和體積.【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)1．通過對棱柱、棱錐、棱臺的研究，掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積計(jì)算公式．2．能運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：棱柱、棱錐、棱臺的體積公式；2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求多面體或多面體組合體的表面積和體積；3.數(shù)學(xué)建模：數(shù)形結(jié)合，運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題.【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積計(jì)算公式和應(yīng)用；難點(diǎn)：棱臺的體積公式的理解.【教學(xué)過程】一、情景導(dǎo)入在過去的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸過一些幾何體的面積和體積的求法及公式，哪些幾何體可以求出表面積和體積？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本114-115頁，思考并完成以下問題1．怎么求柱體、錐體、棱臺的表面積？2．柱體、錐體、棱臺體的體積公式是什么？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究（一）棱柱、棱錐、棱臺的表面積1．棱柱、棱錐、棱臺的表面積棱柱、棱錐、棱臺都是由多個(gè)平面圖形圍成的多面體，因此它們的表面積等于各個(gè)面的面積之和，也就是展開圖的面積．（二）棱柱、棱錐、棱臺的表面積1．棱柱：柱體的底面面積為S，高為h，則V＝Sh.2．棱錐：錐體的底面面積為S，高為h，則V＝eq\f(1,3)Sh.3．棱臺：臺體的上、下底面面積分別為S′、S，高為h，則V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h.四、典例分析、舉一反三題型一棱柱、棱錐、棱臺的表面積例1已知如圖，四面體的棱長均為，求它的表面積．【答案】【解析】因?yàn)樗拿骟wS－ABC的四個(gè)面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個(gè)面面積的4倍．不妨求△SBC的面積，過點(diǎn)S作SD⊥BC，交BC于點(diǎn)D，如圖所示．因?yàn)锽C＝SB＝a，SD＝,所以S△SBC＝BC·SD＝a×a＝a2.故四面體S－ABC的表面積S＝4×a2＝a2.解題技巧（求多面體表面積注意事項(xiàng)）1．多面體的表面積轉(zhuǎn)化為各面面積之和．2．解決有關(guān)棱臺的問題時(shí)，常用兩種解題思路：一是把基本量轉(zhuǎn)化到梯形中去解決；二是把棱臺還原成棱錐，利用棱錐的有關(guān)知識來解決．跟蹤訓(xùn)練一1、如圖所示，有一滾筒是正六棱柱形(底面是正六邊形，每個(gè)側(cè)面都是矩形)，兩端是封閉的，筒高1.6m，底面外接圓的半徑是0.46m，問：制造這個(gè)滾筒需要________m2鐵板(精確到0.1m2)．【答案】5.6【解析】因?yàn)榇苏庵酌嫱饨訄A的半徑為0.46m，所以底面正六邊形的邊長是0.46m.所以S側(cè)＝ch＝6×0.46×1.6＝4.416(m2)．所以S表＝S側(cè)＋S上底＋S下底＝4.416＋2×eq\f(\r(3),4)×0.462×6≈5.6(m2)．故制造這個(gè)滾筒約需要5.6m2鐵板．題型二棱柱、棱錐、棱臺的體積例2如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E為線段B1C上的一點(diǎn)，則三棱錐A－DED1的體積為________．【答案】eq\f(1,6).【解析】V三棱錐A－DED1＝V三棱錐E－DD1A＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).例3如圖，一個(gè)漏斗的上面部分是一個(gè)長方體，下面部分是一個(gè)四棱錐，兩部分的高都是0.5m，公共面是邊長為1m的正方形，那么這個(gè)漏斗的容積是多少立方米（精確到）？【答案】【解析】由題意知長方體的體積，棱錐的體積，所以這個(gè)漏斗的容積.解題技巧(求棱柱、棱錐、棱臺體積的注意事項(xiàng))1．常見的求幾何體體積的方法①公式法：直接代入公式求解．②等積法：如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可．③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．2．求幾何體體積時(shí)需注意的問題柱、錐、臺的體積的計(jì)算，一般要找出相應(yīng)的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求出所需要的量，最后代入公式計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練二1、在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D為棱AA1的中點(diǎn)，若△BC1D是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為________；【答案】8eq\r(3).【解析】由題意，設(shè)AC＝a(a＞0)，CC1＝b(b＞0)，則BD＝C1D＝eq\r(a2＋\f(b2,4))，BC1＝eq\r(a2＋b2)，由△BC1D是面積為6的直角三角形，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,4)b2))×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又eq\f(1,2)×eq\f(3,2)a2＝6，∴a2＝8，∴b2＝16，即b＝4.∵S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，∴V＝eq\f(\r(3),4)×8×4＝8eq\r(3).2、如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一點(diǎn)到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積．【答案】見解析【解析】如圖，連接EB，EC.四棱錐E－ABCD的體積V四棱錐E－ABCD＝eq\f(1,3)×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱錐F－EBC＝V三棱錐C－EFB＝eq\f(1,2)V三棱錐C－ABE＝eq\f(1,2)V三棱錐E－ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)V四棱錐E－ABCD＝4.∴多面體的體積V＝V四棱錐E－ABCD＋V三棱錐F－EBC＝16＋4＝20.五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識及解題技巧六、板書設(shè)計(jì)8.8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積1、棱柱、棱錐、棱臺的表面積例1例2例32、棱柱、棱錐、棱臺的體積棱柱棱錐棱臺七、作業(yè)課本116頁練習(xí)，119頁習(xí)題8.3的1、6題.【教學(xué)反思】本節(jié)課的重點(diǎn)是掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積計(jì)算公式和應(yīng)用，通過本節(jié)課的例題及練習(xí)，學(xué)生基本掌握.而本節(jié)課的難點(diǎn)可以通過三組體積公式對比，尋找其聯(lián)系(棱臺上底面和下底面面積一樣時(shí)，圖形變成棱柱，對應(yīng)的公式，經(jīng)推導(dǎo)也就變成棱柱的體積公式了;棱臺上底面無限縮小至點(diǎn)時(shí)，圖形變成棱錐，對應(yīng)的公式，經(jīng)推導(dǎo)也就變成棱錐的體積公式了.)使學(xué)生對其更加理解.再有解決實(shí)際問題時(shí)可先抽象出幾何圖形，再利用相關(guān)公式解決.《8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】知識目標(biāo)1．通過對棱柱、棱錐、棱臺的研究，掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積計(jì)算公式．2．能運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題．核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：棱柱、棱錐、棱臺的體積公式；2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求多面體或多面體組合體的表面積和體積；3.數(shù)學(xué)建模：數(shù)形結(jié)合，運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題.【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】：掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積計(jì)算公式和應(yīng)用；【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】：棱臺的體積公式的理解.【學(xué)習(xí)過程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本114-115頁，填寫。（一）棱柱、棱錐、棱臺的表面積1．棱柱、棱錐、棱臺的表面積棱柱、棱錐、棱臺都是由多個(gè)_______圖形圍成的多面體，因此它們的表面積等于_______的面積之和，也就是_______的面積．（二）棱柱、棱錐、棱臺的表面積1．棱柱：柱體的底面面積為S，高為h，則V＝_______.2．棱錐：錐體的底面面積為S，高為h，則V＝_______.3．棱臺：臺體的上、下底面面積分別為S′、S，高為h，則V＝______________.小試牛刀1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)一個(gè)幾何體的展開圖有多種形式,所以其表面積是不確定的.()(2)錐體的體積等于底面面積與高之積. ()(3)任何一個(gè)三棱柱都可以分割成三個(gè)等體積的三棱錐.()2．若長方體的長、寬、高分別為3cm,4cm,5cm，則長方體的體積為()A．27cm3 B．60cm3C．64cm3 D．125cm33．棱臺的上、下底面面積分別是2,4，高為3，則棱臺的體積等于________．【自主探究】題型一棱柱、棱錐、棱臺的表面積例1已知如圖，四面體的棱長均為，求它的表面積．跟蹤訓(xùn)練一1、如圖所示，有一滾筒是正六棱柱形(底面是正六邊形，每個(gè)側(cè)面都是矩形)，兩端是封閉的，筒高1.6m，底面外接圓的半徑是0.46m，問：制造這個(gè)滾筒需要________m2鐵板(精確到0.1m2)．題型二棱柱、棱錐、棱臺的體積例2如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E為線段B1C上的一點(diǎn)，則三棱錐A－DED1的體積為________．例3如圖，一個(gè)漏斗的上面部分是一個(gè)長方體，下面部分是一個(gè)四棱錐，兩部分的高都是0.5m，公共面是邊長為1m的正方形，那么這個(gè)漏斗的容積是多少立方米（精確到）？跟蹤訓(xùn)練二1、在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D為棱AA1的中點(diǎn)，若△BC1D是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為________；2、如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一點(diǎn)到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積．【達(dá)標(biāo)檢測】1．已知某長方體同一頂點(diǎn)上的三條棱長分別為1,2,3，則該長方體的表面積為()A．22 B．20C．10 D．112．已知高為3的棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形，如圖，則三棱錐B－AB1C的體積為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(3),4)3．棱長都是3的三棱錐的表面積S為________．4．用一張正方形的紙把一個(gè)棱長為1的正方體禮品盒完全包住，不將紙撕開，則所需紙的最小面積是________．5．如圖所示，已知某幾何體的三視圖如下(單位：cm)．(1)畫出這個(gè)幾何體(不要求寫畫法)；(2)求這個(gè)幾何體的表面積及體積．答案小試牛刀1.(1)×(2)×(3)√2．B.3．6＋2eq\r(2).自主探究例1【答案】【解析】因?yàn)樗拿骟wS－ABC的四個(gè)面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個(gè)面面積的4倍．不妨求△SBC的面積，過點(diǎn)S作SD⊥BC，交BC于點(diǎn)D，如圖所示．因?yàn)锽C＝SB＝a，SD＝,所以S△SBC＝BC·SD＝a×a＝a2.故四面體S－ABC的表面積S＝4×a2＝a2.跟蹤訓(xùn)練一1、【答案】5.6【解析】因?yàn)榇苏庵酌嫱饨訄A的半徑為0.46m，所以底面正六邊形的邊長是0.46m.所以S側(cè)＝ch＝6×0.46×1.6＝4.416(m2)．所以S表＝S側(cè)＋S上底＋S下底＝4.416＋2×eq\f(\r(3),4)×0.462×6≈5.6(m2)．故制造這個(gè)滾筒約需要5.6m2鐵板．例2【答案】eq\f(1,6).【解析】V三棱錐A－DED1＝V三棱錐E－DD1A＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).例3【答案】【解析】由題意知長方體的體積，棱錐的體積，所以這個(gè)漏斗的容積.跟蹤訓(xùn)練二1、【答案】8eq\r(3).【解析】由題意，設(shè)AC＝a(a＞0)，CC1＝b(b＞0)，則BD＝C1D＝eq\r(a2＋\f(b2,4))，BC1＝eq\r(a2＋b2)，由△BC1D是面積為6的直角三角形，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,4)b2))×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又eq\f(1,2)×eq\f(3,2)a2＝6，∴a2＝8，∴b2＝16，即b＝4.∵S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，∴V＝eq\f(\r(3),4)×8×4＝8eq\r(3).2、【答案】見解析【解析】如圖，連接EB，EC.四棱錐E－ABCD的體積V四棱錐E－ABCD＝eq\f(1,3)×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱錐F－EBC＝V三棱錐C－EFB＝eq\f(1,2)V三棱錐C－ABE＝eq\f(1,2)V三棱錐E－ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)V四棱錐E－ABCD＝4.∴多面體的體積V＝V四棱錐E－ABCD＋V三棱錐F－EBC＝16＋4＝20.當(dāng)堂檢測 1-2.AD3.9eq\r(3).4.8.5．【答案】(1)如圖所示．(2)表面積(22＋4eq\r(2))cm2，體積10(cm3)．【解析】(1)這個(gè)幾何體如圖所示．(2)這個(gè)幾何體可看成是正方體AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的組合體．由PA1＝PD1＝eq\r(2)，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求幾何體的表面積S＝5×22＋2×2×eq\r(2)＋2×eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝(22＋4eq\r(2))cm2，所求幾何體的體積V＝23＋eq\f(1,2)×(eq\r(2))2×2＝10(cm3)．《8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積》課后作業(yè)基礎(chǔ)鞏固1．將一個(gè)正方體截去四個(gè)角后，得到一個(gè)四面體，這個(gè)四面體的體積是原正方體體積的（）A． B． C． D．2．若棱臺上、下底面的對應(yīng)邊之比為1∶2，則上、下底面的面積之比是()A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶13．將兩個(gè)棱長為的正方體銅塊熔化后鑄成底面邊長為的正四棱柱，則該四棱柱的高為（）A．8cm B．80cm C．40cm D．4．如圖，已知正六棱柱的最大對角面的面積為1m2，互相平行的兩個(gè)側(cè)面的距離為1m，則這個(gè)六棱柱的體積為()A． B． C．1m3 D．5．若正方體的棱長為，則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為（）A． B． C． D．6．棱長為2的正四面體的表面積是_____.7．如圖，長方體的體積是120，E為的中點(diǎn)，則三棱錐E-BCD的體積是_____.8.已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為4和8的正方形，側(cè)面是腰長為8的等腰梯形，求該四棱臺的表面積.能力提升9．某組合體如圖所示，上半部分是正四棱錐，下半部分是長方體.正四棱錐的高為，，，則該組合體的表面積為（）A．20 B． C．16 D．10．如圖直線相交于點(diǎn)，形成兩個(gè)頂點(diǎn)相對、底面水平的三棱錐容器，.設(shè)三棱錐高均為1，若上面三棱錐中裝有高度為0.5的液體，且液體能流入下面的三棱錐，則液體流下去后液面高度為______.11．如圖，在幾何體中，，，，側(cè)棱，，均垂直于底面，，，，求該幾何體的體積.素養(yǎng)達(dá)成12．已知一個(gè)三棱臺的上、下底面分別是邊長為20和30的正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，且側(cè)面面積等于上下底面面積之和，求棱臺的高和體積.《8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積》課后作業(yè)答案解析基礎(chǔ)鞏固1．將一個(gè)正方體截去四個(gè)角后，得到一個(gè)四面體，這個(gè)四面體的體積是原正方體體積的（）A． B． C． D．【答案】C【解析】將正方體截去四個(gè)角后得到一個(gè)四面體，設(shè)正方體的棱長為，則，四面體的體積，所以這個(gè)四面體的體積是原正方體體積的.故選：C.2．若棱臺上、下底面的對應(yīng)邊之比為1∶2，則上、下底面的面積之比是()A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1【答案】B【解析】由棱臺的概念知，上、下兩底面是相似的多邊形，故它們的面積之比等于對應(yīng)邊長之比的平方，故為1∶4.選B.3．將兩個(gè)棱長為的正方體銅塊熔化后鑄成底面邊長為的正四棱柱，則該四棱柱的高為（）A．8cm B．80cm C．40cm D．【答案】B【解析】∵正方體的棱長為，∴兩個(gè)正方體的體積V＝2×10×10×10＝2000cm3，設(shè)熔化后鑄成一個(gè)正四棱柱的銅塊的高為acm，則5×5×a＝2000解得a＝80cm故選：B．4．如圖，已知正六棱柱的最大對角面的面積為1m2，互相平行的兩個(gè)側(cè)面的距離為1m，則這個(gè)六棱柱的體積為()A． B． C．1m3 D．【答案】B【解析】設(shè)正六棱柱的底面邊長為m，高為m，則，，解得.所以六棱柱的體積.故選：B.5．若正方體的棱長為，則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】所求八面體體積是兩個(gè)底面邊長為1，高為，的四棱錐的體積和，一個(gè)四棱錐體積V1=，故八面體體積V=2V1=，故選B．6．棱長為2的正四面體的表面積是_____.【答案】.【解析】每個(gè)面的面積為，∴正四面體的表面積為.7．如圖，長方體的體積是120，E為的中點(diǎn)，則三棱錐