《平面與平面垂直的性質(zhì)》教案、導(dǎo)學(xué)案、課后作業(yè)

《8.6.3平面與平面垂直》教案第2課時(shí)平面與平面垂直的性質(zhì)【教材分析】在平面與平面的位置關(guān)系中，垂直是一種非常重要的關(guān)系，本節(jié)內(nèi)容是直線與平面垂直關(guān)系延續(xù)和提高.通過(guò)本節(jié)使學(xué)生對(duì)整個(gè)空間中的垂直關(guān)系有一個(gè)整體的認(rèn)知，線線垂直、線面垂直、面面垂直是可以相互轉(zhuǎn)化的.【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)1．理解平面和平面垂直的性質(zhì)定理并能運(yùn)用其解決相關(guān)問(wèn)題.2．通過(guò)對(duì)性質(zhì)定理的理解和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的空間轉(zhuǎn)化能力和邏輯推理能力．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.邏輯推理：探究歸納平面和平面垂直的性質(zhì)定理，線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化；2.直觀想象：題中幾何體的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：平面和平面垂直的性質(zhì)定理.難點(diǎn)：平面和平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用.【教學(xué)過(guò)程】一、情景導(dǎo)入已知面面平行則一個(gè)平面內(nèi)的任意直線都平行與另一個(gè)平面，那么面面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一個(gè)平面是否垂直？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本159-161頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題1、如果兩個(gè)平面垂直,那么滿足什么條件時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面垂直?要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問(wèn)題。三、新知探究1、平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直與交線的直線與另一個(gè)平面垂直&α⊥β&α∩β=l&a?α&a⊥l?探究:(1)如果α⊥β,則α內(nèi)的直線必垂直于β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線嗎?(2)如果α⊥β,過(guò)β內(nèi)的任意一點(diǎn)作α與β交線的垂線,則這條直線必垂直于α嗎?答案:平行.答案:(1)正確.若設(shè)α∩β=l,a?α,b?β,b⊥l,則a⊥b,故β內(nèi)與b平行的無(wú)數(shù)條直線均垂直于α內(nèi)的任意直線.(2)錯(cuò)誤.垂直于交線的直線必須在平面β內(nèi)才與平面α垂直,否則不垂直.四、典例分析、舉一反三題型一平面與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用例1在三棱錐中，平面ABC，平面平面PBC.求證：BC⊥平面PAB.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：如圖所示，在平面AB內(nèi)作于點(diǎn)D.∵平面平面PBC，且平面平面，∴平面PBC.又平面PBC，∴.∵平面ABC，平面ABC，∴.∵，∴平面PAB.解題技巧（性質(zhì)定理應(yīng)用的注意事項(xiàng)）利用面面垂直的性質(zhì)定理,證明線面垂直的問(wèn)題時(shí),要注意以下三點(diǎn):(1)兩個(gè)平面垂直;(2)直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi);(3)直線必須垂直于它們的交線.跟蹤訓(xùn)練一1.如圖,P是四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),四邊形ABCD是∠DAB=60°,且邊長(zhǎng)為a的菱形.側(cè)面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD邊的中點(diǎn),求證:BG⊥平面PAD;(2)求證:AD⊥PB.【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】(1)如圖所示,連接BD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,且∠DAB=60°,所以△ABD是正三角形,因?yàn)镚是AD的中點(diǎn),所以BG⊥AD.又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD.所以BG⊥平面PAD.(2)連接PG.因?yàn)椤鱌AD為正三角形,G為AD的中點(diǎn),所以PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD,而PG∩BG=G,PG?平面PBG,BG?平面PBG.所以AD⊥平面PBG.又因?yàn)镻B?平面PBG,所以AD⊥PB.題型二線面、面面垂直的的綜合應(yīng)用例2如圖,三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)證明:BC∥平面PDA;(2)證明:BC⊥PD;(3)求點(diǎn)C到平面PDA的距離.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析.(3).【解析】(1)證明:因?yàn)殚L(zhǎng)方形ABCD中,BC∥AD,又BC?平面PDA,AD?平面PDA,所以BC∥平面PDA.(2)證明:取CD的中點(diǎn)H,連接PH,因?yàn)镻D=PC,所以PH⊥CD.又因?yàn)槠矫鍼DC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,所以PH⊥平面ABCD.又因?yàn)锽C?平面ABCD,所以PH⊥BC.又因?yàn)殚L(zhǎng)方形ABCD中,BC⊥CD,PH∩CD=H,所以BC⊥平面PDC.又因?yàn)镻D?平面PDC,所以BC⊥PD.(3)解:連接AC.由(2)知PH為三棱錐P-ADC的高.因?yàn)镻H===,S△ADC=·AD·CD=×3×6=9,所以=·S△ADC·PH=×9×=3.由(2)知BC⊥PD,又因?yàn)锳D∥BC,所以AD⊥PD,所以S△PDA=·PD·AD=×4×3=6.設(shè)點(diǎn)C到平面PDA的距離為h.因?yàn)?,所以·S△PDA·h=3,所以h===.解題技巧(空間垂直關(guān)系的注意事項(xiàng))直線、平面之間的平行、垂直關(guān)系是重點(diǎn)考查的位置關(guān)系,當(dāng)已知線面、面面垂直或平行時(shí)考慮用性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化,要證線面、面面垂直或平行時(shí)要用判定定理進(jìn)行論證.跟蹤訓(xùn)練二1、如圖,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分別為線段AB,CD的中點(diǎn),EP⊥平面ABCD.(1)求證:AQ∥平面CEP;(2)求證:平面AEQ⊥平面DEP.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明:(1)在矩形ABCD中,因?yàn)锳P=PB,DQ=QC,所以APCQ.所以AQCP為平行四邊形.所以CP∥AQ.因?yàn)镃P?平面CEP,AQ?平面CEP,所以AQ∥平面CEP.(2)因?yàn)镋P⊥平面ABCD,AQ?平面ABCD,所以AQ⊥EP.因?yàn)锳B=2BC,P為AB的中點(diǎn),所以AP=AD.連接PQ,則四邊形ADQP為正方形.所以AQ⊥DP.又EP∩DP=P,所以AQ⊥平面DEP.因?yàn)锳Q?平面AEQ,所以平面AEQ⊥平面DEP.五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧六、板書(shū)設(shè)計(jì)8.6.3平面與平面垂直第8.6.3平面與平面垂直第2課時(shí)平面與平面垂直的性質(zhì)平面與平面垂直的性質(zhì)定理例1例2七、作業(yè)課本161頁(yè)練習(xí)，162頁(yè)習(xí)題8.6的剩余題.【教學(xué)反思】直線與直線垂直，直線與平面垂直,平面與平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理,揭示了線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.故本節(jié)課課堂剩余5分鐘，讓學(xué)生將線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系捋順.《8.6.3平面與平面垂直》導(dǎo)學(xué)案第2課時(shí)平面與平面垂直的性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】知識(shí)目標(biāo)1．理解平面和平面垂直的性質(zhì)定理并能運(yùn)用其解決相關(guān)問(wèn)題.2．通過(guò)對(duì)性質(zhì)定理的理解和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的空間轉(zhuǎn)化能力和邏輯推理能力．核心素養(yǎng)1.邏輯推理：探究歸納平面和平面垂直的性質(zhì)定理，線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化；2.直觀想象：題中幾何體的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】：平面和平面垂直的性質(zhì)定理.【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】：平面和平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用.【學(xué)習(xí)過(guò)程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本141-142頁(yè)，填寫(xiě)。1、平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)_________的直線與另一個(gè)平面垂直&α⊥β&α∩β=l&a?α&

探究:(1)如果α⊥β,則α內(nèi)的直線必垂直于β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線嗎?(2)如果α⊥β,過(guò)β內(nèi)的任意一點(diǎn)作α與β交線的垂線,則這條直線必垂直于α嗎?小試牛刀1.如圖,在三棱錐P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.AP⊥ACB.AP⊥ABC.AP⊥平面ABCD.AP與BC所成的角為45°2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線l⊥平面A1C1(l與棱不重合),則()A.B1B⊥l B.B1B∥lC.B1B與l異面 D.B1B與l相交3.已知m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,且m∥α,n?β,則下列敘述正確的是()A.若α∥β,則m∥n B.若m∥n,則α∥βC.若n⊥α,則m⊥βD.若m⊥β,則α⊥β4.如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,則C1在平面ABC上的射影H必在直線上.

【自主探究】題型一平面與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用例1在三棱錐中，平面ABC，平面平面PBC.求證：BC⊥平面PAB.跟蹤訓(xùn)練一1.如圖,P是四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),四邊形ABCD是∠DAB=60°,且邊長(zhǎng)為a的菱形.側(cè)面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD邊的中點(diǎn),求證:BG⊥平面PAD;(2)求證:AD⊥PB.題型二線面、面面垂直的的綜合應(yīng)用例2如圖,三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)證明:BC∥平面PDA;(2)證明:BC⊥PD;(3)求點(diǎn)C到平面PDA的距離.跟蹤訓(xùn)練二1、如圖,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分別為線段AB,CD的中點(diǎn),EP⊥平面ABCD.(1)求證:AQ∥平面CEP;(2)求證:平面AEQ⊥平面DEP.【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1.已知兩個(gè)平面垂直,下列說(shuō)法:①一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線②一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無(wú)數(shù)條直線③一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個(gè)平面④過(guò)一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線,則此垂線必垂直于另一個(gè)平面.其中正確說(shuō)法個(gè)數(shù)是()A.3 B.2 C.1 D.02.在空間四邊形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,則△ABC是()A.直角三角形 B.等腰三角形B.等邊三角形 D.等腰直角三角形3.如圖,平行四邊形ABCD中,AB⊥BD.沿BD將△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,連接AC,則在四面體ABCD的四個(gè)面所在平面中,互相垂直的平面的對(duì)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.44.如圖所示,三棱錐PABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B是定點(diǎn),則動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)形成的圖形是.5.如圖,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC=CA=,AD=CD=1.(1)求證:BD⊥AA1;(2)若E為棱BC的中點(diǎn),求證:AE∥平面DCC1D1.答案小試牛刀1．D.2．B.3．D.4.AB.自主探究例1【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：如圖所示，在平面AB內(nèi)作于點(diǎn)D.∵平面平面PBC，且平面平面，∴平面PBC.又平面PBC，∴.∵平面ABC，平面ABC，∴.∵，∴平面PAB.跟蹤訓(xùn)練一1.【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】(1)如圖所示,連接BD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,且∠DAB=60°,所以△ABD是正三角形,因?yàn)镚是AD的中點(diǎn),所以BG⊥AD.又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD.所以BG⊥平面PAD.(2)連接PG.因?yàn)椤鱌AD為正三角形,G為AD的中點(diǎn),所以PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD,而PG∩BG=G,PG?平面PBG,BG?平面PBG.所以AD⊥平面PBG.又因?yàn)镻B?平面PBG,所以AD⊥PB.例2【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析.(3).【解析】(1)證明:因?yàn)殚L(zhǎng)方形ABCD中,BC∥AD,又BC?平面PDA,AD?平面PDA,所以BC∥平面PDA.(2)證明:取CD的中點(diǎn)H,連接PH,因?yàn)镻D=PC,所以PH⊥CD.又因?yàn)槠矫鍼DC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,所以PH⊥平面ABCD.又因?yàn)锽C?平面ABCD,所以PH⊥BC.又因?yàn)殚L(zhǎng)方形ABCD中,BC⊥CD,PH∩CD=H,所以BC⊥平面PDC.又因?yàn)镻D?平面PDC,所以BC⊥PD.(3)解:連接AC.由(2)知PH為三棱錐P-ADC的高.因?yàn)镻H===,S△ADC=·AD·CD=×3×6=9,所以=·S△ADC·PH=×9×=3.由(2)知BC⊥PD,又因?yàn)锳D∥BC,所以AD⊥PD,所以S△PDA=·PD·AD=×4×3=6.設(shè)點(diǎn)C到平面PDA的距離為h.因?yàn)?,所以·S△PDA·h=3,所以h===.跟蹤訓(xùn)練二1、【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明:(1)在矩形ABCD中,因?yàn)锳P=PB,DQ=QC,所以APCQ.所以AQCP為平行四邊形.所以CP∥AQ.因?yàn)镃P?平面CEP,AQ?平面CEP,所以AQ∥平面CEP.(2)因?yàn)镋P⊥平面ABCD,AQ?平面ABCD,所以AQ⊥EP.因?yàn)锳B=2BC,P為AB的中點(diǎn),所以AP=AD.連接PQ,則四邊形ADQP為正方形.所以AQ⊥DP.又EP∩DP=P,所以AQ⊥平面DEP.因?yàn)锳Q?平面AEQ,所以平面AEQ⊥平面DEP.當(dāng)堂檢測(cè) 1-3.CAC4.以AB為直徑的圓(除去A,B兩點(diǎn)).5．【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】證明:(1)在四邊形ABCD中,因?yàn)锳B=BC,AD=DC,所以BD⊥AC,又平面AA1C1C⊥平面ABCD,且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD?平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C,又因?yàn)锳A1?平面AA1C1C,所以BD⊥AA1.(2)在三角形ABC中,因?yàn)锳B=AC,且E為棱BC的中點(diǎn),所以AE⊥BC,又因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中,AB=BC=CA=,AD=CD=1.所以∠ACB=60°,∠ACD=30°,所以DC⊥BC,所以AE∥CD.因?yàn)镃D?平面DCC1D1,AE?平面DCC1D1,故得AE∥平面DCC1D1.《8.6.3平面與平面垂直》課后作業(yè)第2課時(shí)平面與平面垂直的性質(zhì)基礎(chǔ)鞏固1．若平面與平面互相垂直，則（）A．內(nèi)任一條直線都垂直于 B．中只有一條直線垂直于C．平行于的直線必垂直于 D．內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于2．已知長(zhǎng)方體，在平面上任取點(diǎn)，作于點(diǎn)，則（）A．平面B．平面C．平面D．以上都有可能3．如圖所示，在三棱錐P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，則()A．PD平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD與平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC4．如圖，在斜三棱柱中，，且，過(guò)作底面，垂足為，則點(diǎn)在().A．直線上 B．直線上 C．直線上 D．內(nèi)部5．在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，PC=4，M是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值為()A．2 B． C．4 D．46．平面平面，，，，直線（，是兩條不同的直線），則直線與的位置關(guān)系是______.7．如圖所示，為空間四點(diǎn)，在△ABC中，，等邊三角形以為軸運(yùn)動(dòng)，當(dāng)平面平面時(shí)，________.8．已知是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，且平面，平面平面.求證:.能力提升9．如圖，在四邊形中，，，，將四邊形沿對(duì)角線折成四面體，使平面平面，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．△A′DC是正三角形 D．四面體的體積為10．如圖，平面平面，，，是正三角形，O為的中點(diǎn)，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.11．如圖所示，在三棱錐中，平面，為直角三角形，，過(guò)點(diǎn)分別作，，，分別為垂足.（1）求證：平面平面.（2）求證：.素養(yǎng)達(dá)成12．如圖所示，平面平面，平面平面，平面，為垂足.（1）求證：平面；（2）當(dāng)為△PBC的垂心時(shí)，求證：△ABC是直角三角形.《8.6.3平面與平面垂直》課后作業(yè)答案解析第2課時(shí)平面與平面垂直的性質(zhì)基礎(chǔ)鞏固1．若平面與平面互相垂直，則（）A．內(nèi)任一條直線都垂直于 B．中只有一條直線垂直于C．平行于的直線必垂直于 D．內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于【答案】D【解析】如果兩個(gè)平面互相垂直，一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于兩個(gè)平面的交線，則這條直線垂直另一個(gè)平面.根據(jù)這一性質(zhì)可知D選項(xiàng)正確.2．已知長(zhǎng)方體，在平面上任取點(diǎn)，作于點(diǎn)，則（）A．平面B．平面C．平面D．以上都有可能【答案】A【解析】∵平面，平面平面，且平面平面，∴平面.3．如圖所示，在三棱錐P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，則()A．PD平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD與平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC【答案】B【解析】∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.故選B4．如圖，在斜三棱柱中，，且，過(guò)作底面，垂足為，則點(diǎn)在().A．直線上 B．直線上 C．直線上 D．內(nèi)部【答案】B【解析】連接，如圖.∵，∴，∵，，∴平面.又在平面內(nèi)，∴根據(jù)面面垂直的判定定理，知平面平面，則根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知，在平面內(nèi)一點(diǎn)向平面作垂線，垂足必落在交線上.5．在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，PC=4，M是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值為()A．2 B． C．4 D．4【答案】B【解析】連接CM，則由題意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM=，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，當(dāng)CM⊥AB時(shí)CM有最小值，此時(shí)有CM=4×=2，所以PM的最小值為2.選B.6．平面平面，，，，直線（，是兩條不同的直線），則直線與的位置關(guān)系是______.【答案】【解析】因?yàn)槠矫嫫矫?，，，，由面面垂直的性質(zhì)可得，又，所以.故答案為：7．如圖所示，為空間四點(diǎn)，在△ABC中，，等邊三角形以為軸運(yùn)動(dòng)，當(dāng)平面平面時(shí)，________.【答案】2.【解析】取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)槭堑冗吶切?，所?當(dāng)平面平面