專題01分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（2個知識點3種題型1個易錯點）（原卷版）

專題01分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（2個知識點3種題型1個易錯點）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.兩個計數(shù)原理及其簡單應用知識點2.兩個計數(shù)原理的綜合應用拓展1.分類加法計數(shù)原理的應用拓展2.分步乘法計數(shù)原理的應用拓展3..兩個計數(shù)原理的綜合應用突破1.窮舉法在解決實際問題中的運用突破2.用計數(shù)原理解決涂色問題【方法二】實例探索法題型1.分類加法計數(shù)原理的應用題型2.分步乘法計數(shù)原理的應用題型3.兩個計數(shù)原理的綜合應用【方法三】差異對比法易錯點：計數(shù)時出現(xiàn)“重復”或“遺漏”【方法四】成果評定法【知識導圖】【倍速學習四種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.兩個計數(shù)原理及其簡單應用一、分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．二、分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．例一、單選題1．（2024上·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）音樂播放器里有15首中文歌曲和5首英文歌曲，任選1首歌曲進行播放，則不同的選法共有（

）A．30種 B．75種 C．10種 D．20種2．（2023上·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠縣第一中學?？计谀┘?乙兩人從3門課程中各選修1門，則甲?乙所選的課程不相同的選法共有（

）A．6種 B．12種 C．3種 D．9種知識點2.兩個計數(shù)原理的綜合應用一、兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點回答的都是有關做一件事的不同方法種數(shù)的問題不同點針對的是“分類”問題不同點各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事各個步驟中的方法互相依存，只有每一個步驟都完成才算做完這件事例二、多選題3．（2023上·甘肅白銀·高二校考期末）用種不同的顏色涂圖中的矩形，要求相鄰的矩形涂色不同，不同的涂色方法總種數(shù)記為，則（

）A． B．C． D．4．（2023上·福建泉州·高三福建省泉州市培元中學?？茧A段練習）某人設計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形（邊長為2個單位）的頂點處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點數(shù)為，則棋子就按逆時針方向行走個單位，一直循環(huán)下去．某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點處，則（

）A．三次骰子后所走的步數(shù)可以是12 B．三次骰子的點數(shù)之和只可能有兩種結果C．三次股子的點數(shù)之和超過10的走法有6種 D．回到點處的所有不同走法共有27種二、兩個計數(shù)原理的應用用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前要仔細分析兩點：一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分類還是需要分步．(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．(2)分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務．分類后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．拓展1.分類加法計數(shù)原理的應用單選題（2024上·重慶·高三重慶南開中學?？茧A段練習）已知集合，且，用組成一個三位數(shù)，這個三位數(shù)滿足“十位上的數(shù)字比其它兩個數(shù)位上的數(shù)字都大”，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)為（

）A．14 B．17 C．20 D．23拓展2.分步乘法計數(shù)原理的應用2．單選題（2024·全國·高三專題練習）某游泳錦標賽上有四名運動員甲、乙、丙、丁，他們每人參加項目且每人只能參加一個項目，有三個游泳項目供選擇，這四人參賽方案的種類共有（

）A． B． C．12 D．9拓展3..兩個計數(shù)原理的綜合應用3．（2024上·甘肅·高二統(tǒng)考期末）“鶯啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼鶯.”這是清代女詩人吳絳雪的一首回文詩，“回文”是漢語特有的一種使用語序回環(huán)往復的修辭手法，而數(shù)學上也有類似這樣特征的一類“回文數(shù)”，如232，251152等，那么在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是偶數(shù)的“回文數(shù)”共有個.突破1.窮舉法在解決實際問題中的運用1．（2023上·河南駐馬店·高二校聯(lián)考期末）已知，則關于的方程有實數(shù)解的有序數(shù)對的個數(shù)為.突破2.用計數(shù)原理解決涂色問題2．（2023·全國·高二課堂例題）在某設計活動中，李明要用紅色和藍色填涂四個格子（如圖所示），要求每種顏色都用兩次，李明共有多少種不同的填涂方法？【方法二】實例探索法題型1.分類加法計數(shù)原理的應用1．（2023下·山東菏澤·高二?？茧A段練習）口袋中裝有8個白球和10個紅球每個球有不同編號，現(xiàn)從中取出2個球．(1)至少有一個白球的取法有多少種？(2)兩球的顏色相同的取法有多少種？題型2.分步乘法計數(shù)原理的應用2．（2023·全國·高二隨堂練習）按序給出a，b兩類元素，a類中的元素排序為甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，b類中的元素排序為子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥．在a，b兩類中各取1個元素組成1個排列，求a類中選取的元素排在首位，b類中選取的元素排在末位的排列的個數(shù)．題型3.兩個計數(shù)原理的綜合應用3．（2024上·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）同一個宿舍的8名同學被邀請去看電影，其中甲和乙兩名同學要么都去，要么都不去，丙同學不去，其他人根據(jù)個人情況可選擇去，也可選擇不去，則不同的去法有（

）A．32種 B．128種 C．64種 D．256種【方法三】差異對比法易錯點：計數(shù)時出現(xiàn)“重復”或“遺漏”1．（2023下·河南·高二河南大學附屬中學?？计谥校?025年河南省實行新高考，小明需要從物理、化學、生物、政治、歷史、地

理中選擇三科作為自己的選科組合，物理和歷史不能同時選擇，則小明不同的選科情況有種．2．（2023·全國·高二課堂例題）某市的有線電視可以接收中央臺12個頻道、本地臺10個頻道和其他省市46個頻道的節(jié)目．(1)當這些頻道播放的節(jié)目互不相同時，一臺電視機共可以選看多少個不同的節(jié)目？(2)如果有3個頻道正在轉播同一場球賽，其余頻道正在播放互不相同的節(jié)目，一臺電視機共可以選看多少個不同的節(jié)目？【方法四】成果評定法一、單選題1．（2003·全國·高考真題）在直角坐標系中，已知三邊所在直線的方程分別為，則內部和邊上整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）的總數(shù)是（

）A．95 B．91 C．88 D．752．（2022下·廣東深圳·高二深圳市光明區(qū)高級中學?？计谥校┠呈腥嗣襻t(yī)院急診科有3名男醫(yī)生，3名女醫(yī)生，內科有5名男醫(yī)生，4名女醫(yī)生，現(xiàn)從該醫(yī)院急診科和內科各選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生組成4人組，參加省人民醫(yī)院組織的交流會，則所有不同的選派方案有（

）A．180種 B．56種 C．29種 D．15種3．（2021上·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？奸_學考試）一只小蟲子欲從A點不重復經過圖中的點或者線段，而最終到達目的地E，這只小蟲子的不同走法共有（）A．12種 B．13種C．14種 D．15種4．（2020·高二課時練習）張、王夫婦各帶一個小孩兒到上海迪士尼樂園游玩，購票后依次入園，為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外兩個小孩要排在一起，則這6個人的入園順序的排法種數(shù)是A．12 B．24 C．36 D．485．（2022下·安徽安慶·高二安慶一中校考期中）現(xiàn)有10元、20元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（

）A．15種 B．31種 C．24種 D．23種6．（2023下·高二課時練習）甲?乙?丙?丁四位同學決定去黃鶴樓?東湖?漢口江灘游玩，每人只能去一個地方，漢口江灘一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為（

）A．65 B．73 C．70 D．60.7．（2021·高二課時練習）如圖所示，在，間有四個焊接點1，2，3，4，若焊接點脫落導致斷路，則電路不通，則焊接點脫落的不通情況有（

）種.A．9 B．11 C．13 D．158．（2022下·福建泉州·高二福建省德化第一中學?？茧A段練習）重慶九宮格火鍋，是重慶火鍋獨特的烹飪方式.九宮格下面是相通的，實現(xiàn)了“底同火不同，湯通油不通”它把火鍋分為三個層次，不同的格子代表不同的溫度和不同的牛油濃度，其鍋具抽象成數(shù)學形狀如圖（同一類格子形狀相同）：“中間格”火力旺盛，不宜久煮，適合放一些質地嫩脆、頃刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均勻，適合煮食，長時間加熱以鎖住食材原香；“四角格”屬文火，火力溫和，適合燜菜，讓食物軟糯入味.現(xiàn)有6種不同食物（足夠量），其中1種適合放入中間格，3種適合放入十字格，2種適合放入四角格.現(xiàn)將九宮格全部放入食物，且每格只放一種，若同時可以吃到這六種食物（不考慮位置），則有多少種不同放法（

）A．36 B．18 C．9 D．6二、多選題9．（2021下·重慶巴南·高二重慶市實驗中學?？茧A段練習）第三屆世界智能駕駛挑戰(zhàn)賽在天津召開，小趙、小李、小羅、小王、小劉為五名志愿者，現(xiàn)有翻譯、安保、禮儀、服務四項不同的工作可供安排，則下列說法正確的有（

）A．若五人每人可任選一項工作，則不同的選法有54種B．若每項工作至少安排一人，則有120種不同的方案C．若禮儀工作必須安排兩人，其余工作安排一人，則有60種不同的方案D．已知五人身高各不相同，若安排五人拍照，前排2人，后排3人，后排要求身高最高的站中間，則有40種不同的站法10．（2021下·江蘇蘇州·高二蘇州中學?？茧A段練習）現(xiàn)安排高二年級A，B，C三名同學到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，每名同學只能選擇一個工廠，且允許多人選擇同一個工廠，則下列說法正確的是（）A．所有可能的方法有種B．若工廠甲必須有同學去，則不同的安排方法有37種C．若同學A必須去工廠甲，則不同的安排方法有16種D．若三名同學所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種11．（2021上·遼寧營口·高二期末）現(xiàn)有不同的紅球4個，黃球5個，綠球6個，則下列說法正確的是（

）A．從中任選1個球，有15種不同的選法B．若每種顏色選出1個球，有120種不同的選法C．若要選出不同顏色的2個球，有31種不同的選法D．若要不放回地依次選出2個球，有210種不同的選法12．（2022上·高二課時練習）（多選題）已知，，則方程可表示不同的橢圓的個數(shù)用式子表示為（）A． B．C． D．三、填空題13．（2021·高二課時練習）如圖，將一個四棱錐的每一個頂點染一種顏色，并使同一條棱上的兩端點異色，如果只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法有種.14．將紅、黑、藍、黃個不同的小球放入個不同的盒子，每個盒子至少放一個球，且紅球和藍球不能放在同一個盒子，則不同的放法的種數(shù)為.(用數(shù)字作答)15．某小區(qū)一單元共有6層，每層只有一家住戶.已知任意相鄰兩層樓的住戶在同一天至多有一家收到快遞，且任意相鄰三層樓的住戶在同一天至少有一家收到快遞，則在同一天這6家住戶收到快遞的可能情況共有種.（用數(shù)字作答）16．現(xiàn)有8本雜志，其中有3本是完全相同的文學雜志，還有5本是互不相同的數(shù)學雜志，從這8本里選取3本，則不同選法的種數(shù)為．四、解答題17．（2023·全國·高二隨堂練習）（1）用1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)共有多少個？（2）用1，2，3，4，5，6，7可以組成多少個沒有重復數(shù)字，并且小于60000的正整數(shù)？（3）從1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)共有多少個？18．（2023·全國·高二課堂例題）某校在藝術節(jié)期間需要舉辦一場文娛演出晚會，現(xiàn)要從3名教師、4名男同學和5名女同學當中選出若干人來主持這場晚會（任一人都可主持）．(1)如果只需一人主持，共有多少種不同的選法？(2)如果需要教師、男同學和女同學各一人共同主持，共有多少種不同的選法？19．（2023·全國·高三專題練習）已知集合，，在中任取一元素，在中任取一元素，組成數(shù)對，則其中的數(shù)對有多少個?20．（2023上·高二課時練習）從6人中選取4人分別去A、B、C、D四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，而每人只游覽一個城市，且這6人中，