河南省菁師聯(lián)盟高三8月質(zhì)量檢測(cè)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2024屆8月質(zhì)量監(jiān)測(cè)考試數(shù)學(xué)試卷滿(mǎn)分：150分考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2．全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無(wú)效.3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案用0.5mm黑色筆跡簽字筆寫(xiě)在答題卡上.4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)，則以下為實(shí)數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方和四則運(yùn)算即可得到答案.【詳解】對(duì)A，，其不是實(shí)數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，則其為實(shí)數(shù)，故B正確；對(duì)C，，其不是實(shí)數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，其不是實(shí)數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B.2.全集，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求集合N，進(jìn)而根據(jù)集合間的運(yùn)算求解.【詳解】令，解得，所以，因?yàn)?，則，所以.故選：C.3.函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用特殊點(diǎn)法判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故排除C；，故排除B；而，所以在不可能單調(diào)遞減，故排除D；因?yàn)榕懦薆CD，而A又滿(mǎn)足上述性質(zhì)，故A正確.故選：A.4.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù)B.為偶函數(shù)C.圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)D.圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)【答案】C【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)AB：根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義對(duì)其判斷；對(duì)于選項(xiàng)CD：根據(jù)函數(shù)中心對(duì)稱(chēng)或軸對(duì)稱(chēng)定義對(duì)其判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：，則不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：，則不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：，故的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，則的圖象不關(guān)于直線軸對(duì)稱(chēng)，故D錯(cuò)誤；故選：C.5.，兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)分別為：，則以下是對(duì)稱(chēng)軸的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求出對(duì)稱(chēng)軸作答.【詳解】依題意，函數(shù)的周期，，于是，由，得，即，因此，由，得，即圖象的對(duì)稱(chēng)軸是，當(dāng)時(shí)，，即是圖象的對(duì)稱(chēng)軸，B是；顯然，，都不可能化成的整數(shù)倍，即ACD不是.故選：B6.高二1、2、3班各有升旗班同學(xué)人數(shù)分別為：1、3、3人，現(xiàn)從中任選2人參加升旗，則2人來(lái)自不同班的選法種數(shù)為（）A.12 B.15 C.20 D.21【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，選中高二1班的同學(xué)有種方法，高二1班的同學(xué)沒(méi)選中有，所以2人來(lái)自不同班的選法種數(shù)為.故選：B7.圓臺(tái)軸截面面積為，上下底面半徑之比為，母線與底面所成角為，則圓臺(tái)側(cè)面積為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】作出軸截面，利用等腰梯形面積公式求出上下底面半徑和母線長(zhǎng)，再利用圓臺(tái)側(cè)面積公式即可得到答案.【詳解】作出軸截面，則四邊形為等腰梯形，，過(guò)點(diǎn)作，設(shè)上底面半徑長(zhǎng)為，則下底面半徑長(zhǎng)為，則上底面直徑，下底面直徑，則，則，則，解得，則上底面半徑，下底面半徑，母線，則圓臺(tái)側(cè)面積.故選：C.8.正四棱柱中，，二面角為，則直線與直線所成角的余弦值為（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】由二面角的大小求出，再利用幾何法求出異面直線夾角的余弦作答.【詳解】在正四棱柱中，令，連接，如圖，由平面，平面，得，而，平面，則平面，又平面，于是，即是二面角的平面角，有，而四邊形是正四棱柱的對(duì)角面，則四邊形為矩形，令，由，得，顯然，因此是正三角形，，解得，則，由于四邊形是矩形，則有，從而是異面直線與所成的角，.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面直線的問(wèn)題化歸為共面直線問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.教材《必修一》上有結(jié)論：對(duì)且，則（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用給定的結(jié)論計(jì)算判斷AB；利用誘導(dǎo)公式結(jié)合A選項(xiàng)計(jì)算判斷C；利用正弦函數(shù)性質(zhì)判斷D作答.【詳解】依題意，取，則，，因此，A正確；，B錯(cuò)誤；由選項(xiàng)A知，，因此，C正確；顯然，D錯(cuò)誤.故選：AC10.雙曲線左右焦點(diǎn)分別為，右支上有點(diǎn)，的面積為4，則（）A.雙曲線的漸近線斜率為B.C.D.外接圓半徑為【答案】ACD【解析】【分析】利用雙曲線的方程得到漸近線方程可判斷A；利用雙曲線的定義可判斷B；利用的面積求得的坐標(biāo)，從而利用向量垂直的坐標(biāo)表示判斷C；利用直角三角形的性質(zhì)可判斷D.【詳解】因?yàn)殡p曲線可化為，所以，，，則雙曲線的漸近線方程為，即斜率為，故A正確；由雙曲線的定義可得，故B錯(cuò)誤；不妨設(shè)，因?yàn)榈拿娣e為4，所以，則，又，則，故，所以，則，所以，則，故C正確；因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以為外接圓的圓心，所以外接圓半徑，故D正確.故選：ACD.11.平面區(qū)域被直線分成面積相等的兩部分，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】因?yàn)槠矫鎱^(qū)域表示以為圓心，半徑為2的上半圓與x軸組成的封閉區(qū)域，直線表示傾斜角為，過(guò)定點(diǎn)的直線，根據(jù)面積關(guān)系可得，構(gòu)建函數(shù)，利用判斷其單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】因?yàn)?，整理得，表示以為圓心，半徑為2的上半圓，可知，表示以為圓心，半徑為2的上半圓與x軸組成的封閉區(qū)域，又因?yàn)橹本€，表示傾斜角為，過(guò)定點(diǎn)的直線，設(shè)直線與半圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，，可知：，且，則，可得直線的下半部分的面積為，由題意可得：，整理得，即.令，則為的零點(diǎn)，且，所以在上單調(diào)遞增.對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋瑒t，由選項(xiàng)B可知：，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，故D正確；故選：BD.12.與交于為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.到直線距離最小值為B.C.存在點(diǎn)，使得為等邊三角形D.最小值為1【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)，利用點(diǎn)到直線的距離結(jié)合基本不等式即可判斷A，求出坐標(biāo)，計(jì)算出的表達(dá)式，利用換元法和配方法即可判斷BD，通過(guò)假設(shè)存在這樣的等邊三角形，利用等邊三角形性質(zhì)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】設(shè)，對(duì)A，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故A正確；對(duì)B,D，聯(lián)立有，解得或，則不妨假設(shè)，，則，，令，，因?yàn)樵谏暇鶠閱握{(diào)增函數(shù)，則，在上也為單調(diào)增函數(shù)，且，時(shí)，，時(shí)，，且函數(shù)圖象在上連續(xù)不間斷，則，則，當(dāng)，即，即或（舍去）時(shí)取等，故BD正確.對(duì)C，若要為等邊三角形，則首先點(diǎn)為線段的垂直平分線和曲線的交點(diǎn)，因?yàn)?，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則垂直平分線的所在直線的方程為，即，將其與曲線聯(lián)立得解得或（舍去），此時(shí)，而，則，則不存在點(diǎn)，使得為等邊三角形，故C錯(cuò)誤.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用設(shè)點(diǎn)，再求出點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出相關(guān)向量，利用點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式以及換元法等進(jìn)行求解相關(guān)最值.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知：，則大小關(guān)系是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用作差法結(jié)合不等式性判斷作答.【詳解】由，得，因此，顯然，則，所以大小關(guān)系是.故答案為：14.拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線上有點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，為等邊三角形，則點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，推理論證與拋物線準(zhǔn)線垂直，再借助拋物線定義求解作答.【詳解】拋物線焦點(diǎn)為，點(diǎn)在準(zhǔn)線上，在等邊中，，因此長(zhǎng)等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即有與拋物線準(zhǔn)線垂直，令拋物線準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)，則，由軸，得，于是，令，則，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：15.函數(shù)是上的增函數(shù)，則的取值范圍_________．【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)題意分析可得在上恒成立，進(jìn)而可得，分和兩種情況，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】由題意可得：，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，則在上恒成立，且，可得，即當(dāng)時(shí)，則，可得，且在上單調(diào)遞增，則，解得；當(dāng)時(shí)，則，可得，且在上單調(diào)遞增，則，無(wú)解；綜上所述：的取值范圍為.故答案為：.16.數(shù)列滿(mǎn)足：，則_________．【答案】512【解析】【分析】根據(jù)題意可得，進(jìn)而可得，故從第二項(xiàng)開(kāi)始，數(shù)列是以公比為2的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，可得，且，則，可得：從第二項(xiàng)開(kāi)始，數(shù)列是以公比為2的等比數(shù)列，綜上所述：.故答案為：512.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.數(shù)列，滿(mǎn)足：，且數(shù)列為等比數(shù)列，（1）求通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意分析可知：數(shù)列為等比數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意利用分組求和結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可得：，則，所以數(shù)列為等比數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則，可得.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，則，所以.18.銳角中，．（1）求；（2）內(nèi)有點(diǎn)，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出邊b，再利用余弦定理求出作答.（2）設(shè)，利用表示線段，再利用正弦定理求出，然后利用三角形面積公式求解作答.【小問(wèn)1詳解】在銳角中，由余弦定理得，即，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)都是銳角，符合題意，，當(dāng)時(shí)，，即，是鈍角，不符合題意，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，設(shè)，由，得，，在中，，由正弦定理得，顯然，由，得，即，整理得，即，顯然，因此，所以.19.四棱錐中，底面是矩形，平面為中點(diǎn)，．（1）求；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示求解作答.（2）利用（1）中的坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的正弦作答.【小問(wèn)1詳解】四棱錐中，底面矩形，平面，則兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，射線分別為軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，由，得，中點(diǎn)，則，由，得，而，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，令二面角的夾角為，則，，所以二面角的正弦值為.20.已脫貧的西部地區(qū)某貧困縣，鞏固拓展脫貧攻堅(jiān)成果，全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，在國(guó)家產(chǎn)業(yè)扶貧政策的大力支持下，利用當(dāng)?shù)刈匀粭l件，在山上發(fā)展果樹(shù)種植，現(xiàn)已開(kāi)始大量結(jié)果，為了普及果樹(shù)種植技術(shù)，該縣舉辦“果樹(shù)種植技術(shù)知識(shí)競(jìng)賽”，競(jìng)賽規(guī)則如下：先進(jìn)行預(yù)賽，預(yù)賽共進(jìn)行四輪答題比賽，在每輪答題比賽中，選手可選易，中，難三類(lèi)題中的一題，答對(duì)得分，答錯(cuò)不得分，四輪答題中，易，中，難三類(lèi)題中的每一類(lèi)題最多選兩個(gè)，預(yù)賽的四輪答題比賽得分不低于10分的進(jìn)入決賽，某選手A答對(duì)各題相互獨(dú)立，答對(duì)每類(lèi)題的概率及得分如下表：容易題中等題難題答對(duì)概率答對(duì)得分345（1）若選手A前兩輪都選擇了中等難度題，且對(duì)了一題，錯(cuò)了一題，請(qǐng)你為選手A計(jì)劃后兩輪應(yīng)該怎樣選擇答題，使得進(jìn)入決賽的可能性更大，并說(shuō)明理由；（2）選手A四輪答題中，選擇了一個(gè)容易題，兩個(gè)中等難度題，一個(gè)難題，已知容易題答對(duì)，記選手A預(yù)賽四輪答題比賽得分總和為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）都選擇容易題進(jìn)行答題；（2）分布列見(jiàn)解析，.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，確定后兩輪的選擇方案，再利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算比較作答.（2）求出的可能值及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，選手A前兩輪都選擇了中等難度題，兩輪得分和為4，于是選手A后兩輪的選擇有3種方案，方案一：都選擇容易題，則必須都答正確，于是進(jìn)入決賽的概率；方案二：都選擇難題，則必須都答正確，于是進(jìn)入決賽的概率；方案三：容易題、難題各選1道，則必須都答正確，于是進(jìn)入決賽的概率，顯然，所以后兩輪都選擇容易題進(jìn)行答題，進(jìn)入決賽的可能性更大.【小問(wèn)2詳解】依題意，可能值為：，則；；；；；，所以的分布列為：378111216數(shù)學(xué)期望為.21.橢圓的左右頂點(diǎn)分別為是栯圓上一點(diǎn)，．（1）求橢圓方程；（2）動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，求面積取最大時(shí)的的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合斜率坐標(biāo)公式列式求出作答.（2）結(jié)合（1）求出長(zhǎng)，及點(diǎn)到直線的距離，列出三角形面積的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)最大值情況作答.【小問(wèn)1詳解】在橢圓中，，而在橢圓上，且，因此，解得，顯然，則，所以橢圓方程為.【小問(wèn)2詳解】直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則，把代入方程得：，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)時(shí)，得的面積，令，求導(dǎo)得，由，得