6.1.1 空間向量的線性運算（解析版）

6.1.1空間向量的線性運算一、空間向量相關(guān)概念1、空間向量的定義：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示；記作：AB或a。2、空間向量的長度（模）：表示空間向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作或3、空間向量的有關(guān)概念：（1）零向量：長度為0或者說起點和終點重合的向量，記為。規(guī)定：與任意向量平行。（2）單位向量：長度為1的空間向量，即.（3）相等向量：方向相同且模相等的向量。（4）相反向量：方向相反但模相等的向量。（5）共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．平行于記作．（6）共面向量：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量。二、空間向量的線性運算1、空間向量的加減法空間中任意兩個向量都是共面的，它們的加、減法運算類似于平面向量的加減法．（如下圖）．2、空間向量加減法運算律交換律：結(jié)合律：小結(jié)：空間向量加法的運算的小技巧（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，即：（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，即：；3、空間向量的數(shù)乘運算（1）定義：實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa當(dāng)λ>0時，λa與a方向相同；當(dāng)λ<0時，λa與a當(dāng)λ=0時，λaλa的長度是a的長度的|λ|（2）運算律：分配律：λa結(jié)合律：λμ三、向量共線定理1、空間向量共線的充要條件：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b2、直線的方向向量：如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，存在實數(shù)λ，使得OP=λ與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量.這樣，直線l任意一點都可以由直線l上的一點和它的方向向量表示，也就是說，直線可以由其上一點和它的方向向量確定。3、證明空間三點共線的三種思路：對于空間三點P、A、B可通過證明下列結(jié)論來證明三點共線（1）存在實數(shù)λ，使PA=λPB（2）對空間任一點O，有OP=（3）對空間任一點O，有OP=x題型一空間向量概念的理解【例1】下列說法正確的是（）A．任一空間向量與它的相反向量都不相等B．將空間向量所有的單位向量平移到同一起點，則它們的終點構(gòu)成一個圓C．同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小D．不相等的兩個空間向量的模必不相等【答案】C【解析】A：零向量與它的相反向量相等，故錯誤；B：將空間中的所有單位向量平移到同一起點，則它們的終點構(gòu)成一個球面，故錯誤；C：空間向量與平面向量一樣，既有模又有方向，不能比較大小，故正確；D：一個非零空間向量與它的相反向量不相等，但它們的模相等，故錯誤；故選：C【變式1-1】下列說法中正確的是（）A．兩個有共同起點且相等的向量，其終點可能不同B．若非零向量和是共線向量，則、、、四點共線C．在空間中，任意兩個單位向量都相等D．零向量與任意向量平行【答案】D【解析】A項：因為兩個向量起點相同且是相等的向量，所以終點必相同，A錯誤；B項：若非零向量和是共線向量，則和平行或者重合，故、、、四點不一定在同一條直線上，B錯誤；C項：單位向量的模相等，但方向不一定相同，C錯誤；D項：零向量與任意向量平行，D正確，故選：D.【變式1-2】在平行六面體中，下列四對向量：①與；②與；③與；④與.其中互為相反向量的有n對，則n等于()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】對于①與，長度相等，方向相反，互為相反向量；對于②與長度相等，但兩向量不共線，∴兩向量不是相反向量；對于③與，易知是平行四邊形，則兩向量方向相反，大小相等，互為相反向量；對于④與，易知是平行四邊形，∴這兩向量長度相等，方向相同．故互為相反向量的是①③，共有2對，n＝2．故選：B.【變式1-3】給出下列命題：①兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；②若空間向量滿足，則；③在正方體中，必有；④若空間向量滿足，，則．其中正確的個數(shù)為（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】對于①，當(dāng)兩個空間向量起點相同，終點也相同時，這兩個向量必相等；但兩個向量相等，它們的起點和終點都不一定相同，①錯誤；對于②，根據(jù)向量相等的定義，要保證兩個向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但②中向量與的方向不一定相同，②錯誤；對于③，根據(jù)正方體的性質(zhì)，在正方體中，向量與向量的方向相同，模也相等，則，③正確；對于④，由向量相等關(guān)系可知，④正確．故選：C.【變式1-4】如圖所示，已知為平行六面體，若以此平行六面體的頂點為向量的起點、終點，求：（1）與相等的向量；（2）與相反的向量；（3）與平行的向量．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）∵平行六面體是棱柱，∴側(cè)棱都平行且相等，∴與相等的向量為；（2）連接，由平行六面體的性質(zhì)可得，∴是平行四邊形，∴，與相反的向量為．（3）連接，由平行六面體的性質(zhì)可得，∴是平行四邊形，∴，與平行的向量為．題型二空間向量的線性運算【例2】化簡算式：______．【答案】【解析】.【變式2-1】正六棱柱中，設(shè)，，，那么等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】正六棱柱中，，故選：B【變式2-2】如圖所示，已知空間四邊形ABCD，連接AC?BD?EF，點E?F?G分別是BC?CD?DB的中點，請化簡下列算式，并標(biāo)出化簡得到的向量.（1）；（2）.【答案】（1），作圖答案見解析（2），作圖答案見解析【解析】（1）；向量如圖所示.（2）因為點E?F?G分別為BC?CD?DB的中點.所以，，所以.向量如圖所示.【變式2-3】構(gòu)造始點、終點都是平行六面體頂點的向量，使它與下列各式所表示的向量分別相等：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【解析】（1）在平行六面體中，所以（2）在平行六面體中，所以（3）在平行六面體中，所以（4）在平行六面體中，，所以（5）在平行六面體中，所以題型三空間向量的線性表示【例3】在四面體中，，，，點在上，且，是的中點，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知，所以，，故選：D.【變式3-1】如圖，在正方體中，，，，若為的中點，在上，且，則等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故選：B【變式3-2】如圖：在平行六面體中，M為，的交點．若，，，則向量（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為在平行六面體中，M為，的交點,，，，所以.【變式3-3】如圖，在棱長均相等的四面體中，點為的中點，，設(shè)，，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在棱長均相等的四面體中，點為的中點，，即，設(shè)，，，．故選：C題型四向量共線與三點共線問題【例4】若向量與不共線且，，，則（）A．，，共線B．與共線C．與共線D．，，共面【答案】D【解析】因為，即，即，又與不共線，所以共面，故D正確A錯誤；因為，所以與不共線，與不共線，故BC錯誤；故選：D【變式4-1】滿足下列條件，能說明空間不重合的A、B、C三點共線的是()A．B．C．D．【答案】C【解析】對于空間中的任意向量，都有，說法A錯誤；若，則，而，據(jù)此可知，即兩點重合，選項B錯誤；，則A、B、C三點共線，選項C正確；，則線段的長度與線段的長度相等，不一定有A、B、C三點共線，選項D錯誤；本題選擇C選項.【變式4-2】在正方體中，點E在對角線上，且，點F在棱上，若A、E、F三點共線，則________．【答案】或【解析】因為正方體中，，設(shè)，又，所以，即，因為A、E、F三點共線，所以，解得，即.故答案為：.【變式4-3】如圖，四邊形ABCD?ABEF都是平行四邊形且不共面，M?N分別是AC?BF的中點，判斷與是否共線？【答案】共線.【解析】因為M?N分別是AC?BF的中點，而四邊形ABCD?ABEF都是平行四邊形，所以.又，所以.所以，即，即與共線.【變式4-4】如圖所示，在正方體中，點在上，且，點在體對角線上，且．求證：，，三點共線．【答案】證明見解析【解析】證明：連接，．∵，，∴，∴．又，∴，，三點共線．題型五利用向量共線證明線線平行【例5】如圖，在正方體中，點M，N分別在線段，上，且，，P為棱的中點．求證：．【答案】證明見解析【解析】證明：．因為，，所以．又因為P為中點，所以，從而與為共線向量．因為直線MN與BP不重合，所以．【變式5-1】已知、、、、、、、、為空間的個點（如圖所示），并且，，，，．求證：．【答案】證明見解析．【解析】，，，，，因為、無公共點，故.【變式5-2】如圖，已知正方體ABCD－A′B′C′D′，E，F(xiàn)分別為A