2023版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第八章立體幾何初步8-7 立體幾何中的向量方法

第七節(jié)立體幾何中的向量方法

?最新考綱?

1.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題.

2.了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用.

?考向預(yù)測?

考情分析：本節(jié)內(nèi)容以幾何體為載體，重點(diǎn)考查有關(guān)空間的線線南、線面角、二面角與

空間的距離的計(jì)算問題，這仍會是高考的熱點(diǎn)，多出現(xiàn)在解答題的第(2)問.

學(xué)科素養(yǎng)：通過建立空間直角坐標(biāo)系解決空間角及空間的探究性問題考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)

學(xué)建模、直觀想象等核心素養(yǎng).

積累必備知識——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端

一、必記4個知識點(diǎn)

1.異面直線所成角的求法

設(shè)“，6分別是兩異面直線/2的方向向量，則

“與吊的夾角為/?/1與/2所成的角為6>

范圍(0,兀)

求法CoS看就COS0=∣COSβ?=_

2.直線和平面所成角的求法

如圖所示，設(shè)直線/的方向向量為e,

平面ɑ的法向量為"，直線/與平面α所成的角為g兩向量e與"的夾角為則有

sin9=ICOSθ?=.

3.二面角的求法

(1)如圖①，AB,CD是二面角α-//兩個半平面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角的大小

為0=.

(2)如圖②③，"I，"2分別是二面角α-//的兩個半平面ɑ,4的法向量，則二面角的大

小。滿足COSe=COS{tl?,"2〉或一COS〈"””2〉.

4.利用空間向量求距離

(1)兩點(diǎn)間的距離

設(shè)點(diǎn)/(xi,y2,Zl),點(diǎn)3(X2,J2,Z2),則IASI=I屈I=J(Xl—*2尸+一丫2尸+(Zl-Zy

(2)點(diǎn)到平面的距離

如圖所示，已知N8為平面α的一條斜線段，"為平面ɑ的法向量，則8到平面ɑ的距

離為I的尸端.

二、必明1個常用結(jié)論

直線的方向向量與平面的法向量的確定

(1)直線的方向向量：/是空間一直線，A,8是直線/上任意兩點(diǎn)，則稱通為直線/的方

向向量，與屈平行的任意非零向量也是直線/的方向向量.

(2)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)α,6是平面α內(nèi)兩不共線向量，"為平面α的

法向量，則求法向量的方程組為pa=。，

三、必練4類基礎(chǔ)題

(一)判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或"X”).

(1)兩直線的方向向量的夾角就是兩條直線所成的角.()

(2)已知。=(一2,—3,1),b=［2,0,4),c=(-4,一6,2),則?！╟,α!*.()

(3)已知兩平面的法向量分別為∕n=(0,1,0),π=(0,1,1),則兩平面所成的二面角

的大小為45o.()

(二)教材改編

2」選修2T?PU8復(fù)習(xí)參考題TIo改編］在正方體45CCMLSlG9中,E是ClDl的中點(diǎn),

則異面直線。E與/C所成角的余弦值為()

［選修2-l?Pu3習(xí)題T9改編］如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中，有一棱長為α的正方體

ABCD-A'B'C'D',A'C的中點(diǎn)E與/8的中點(diǎn)F的距離為.

(三)易錯易混

4.

（不恰當(dāng)建立空間直角生標(biāo)系）正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱M8C-48Cι的底面邊

長為2,側(cè)棱長為2迎，則/G與側(cè)面N88∣∕ι所成的角為.

（四）走進(jìn)高考

5.

［2020?山東卷］日號是中國古代用來測定時間的儀器,利用與反面垂直的辱針投射到唇面

的影子來測定時間.把地球看成一個球（球心記為O）,地球上一點(diǎn)Z的緯度是指W與地球

赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與0/垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一

個日辱，若辱面與赤道所在平面平行，點(diǎn)/處的緯度為北緯40。，則號針與點(diǎn)N處的水平面

所成角為（）

A.20oB.40oC.50oD.90°

詳解答案

一（0巴］史處

（'2I∣α∣∣h∣

_∣e?n∣

一、而

三、(AB,CD>

1.答案：(I)X(2)√(3)×

2.

解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,設(shè)DA=I,A(l,0,0),C(0,1,0),

E(O,i,1),則近=(-1,1,0),DE=(θ,1),設(shè)異面直線DE與AC所成的角為θ,

貝IlCoSθ=∣cos<AC,DE>I=運(yùn).

答案：D

3.解析：由圖易知N(α,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A'(a,O,a),所以F(a,∣,0),

解，p所以EF=J(a—：)2+C_y2+

ZrA-t≠p\/2

箸案：—a

4.

解析：以“為原點(diǎn)，以說，AE(AElAB),AAI所在直線為坐標(biāo)軸(如圖)建立空間直角

坐標(biāo)系，設(shè)。為小S中點(diǎn)，則N(0,O,O),C,(l,√3,2√2),￡>(1,O,2√2),

宿=(1,√3,2√2),AD=(1,O,2√2).

NGAD為ACi與平面ABBmI所成角，

cosΛC?AD=

∣AC1∣∣AD∣

_(1,52√∑)x(l,O,2√Σ)—6

√12×√92'

又?.?∕"Q∈[θ,*'/C/Z)=/

答案：'

O

5.解析：過球心。