山東省煙臺(tái)市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試卷

2022?2023學(xué)年度第二學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平診斷高一數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)符合題目要求.

1.若z("i)=l-5i,則口()

A.-2-3iB.-2+3iC.3-3iD.3+3i

答案：B

l-5i(l-5i)(l-i)-4-6i

解析：依題意,=-2-3i,

7+7(l+i)(l-i)=2

所以W=-2+3i?

故選：B

2.已知向量“、8的夾角為150，H=I，W=G,則0+2匕卜()

A√5B.√7C.√10D.√19

答案：B

解析：因?yàn)橄蛄縝的夾角為150，W=I，W=有，

則α?B=,卜慟85150=IXGX]—等J=一"|，

因此，∣a+2Z?|=?∣a+4a?b+4b=Jl+4×f--∣j+4×3=y∕l.

故選：B.

3.己知cos(α+?^)=;,0<e<π,則Sina的值為()

3石1113

A.C.D.

?141414

答案：C

(π1,ππ7π

解析：因?yàn)閏os[α+q二，且0<α<π,則r1一<α+一<—，

7666

π、.π

-cosα+-sin—

6√6

11

U

故選：C

4.故宮是世界上規(guī)模最大，保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)古建筑群，故宮“乾清宮”宮殿房檐

的設(shè)計(jì)在夏至前后幾天屋檐遮陰，在冬至前后幾天正午太陽(yáng)光就會(huì)通過(guò)地磚反射到“正大光

明”匾上，驚艷絕倫.已知北京地區(qū)夏至前后正午太陽(yáng)高度角為73°,冬至前后正午太陽(yáng)

高度角為27。，如圖，測(cè)得BC=α,則房檐4點(diǎn)距地面的高度為（）

αsin53°2sin46°

A.------------B.------------

2sin46°αsin53°

Ian73o-tan27o?sin270sin730

D.

αtan53°tan27°--------------------------------------------------sin46o

答案：D

解析：設(shè)點(diǎn)A在地面的射影為。，由己知得NABZ）=73°,NACe=27°,

則/BAC=73-27=46;

在三角形ABC中，由正弦定理,"得AB="sm27.

sin46sin27sin46

a一4F,.asin27sin73，八小??

在直角二角形AaB。中，AD=AjBsin73=--------------------?故選：D

sin46

5.在一ABC中，點(diǎn)。為BC中點(diǎn)，E為AO中點(diǎn)，記A。=。，CE=b，則AB=（）

3??3--1一一Irr

A.—a+bB.-a-bC.—a+bD.-a-b

2222

答案：A

解析：因?yàn)辄c(diǎn)。為BC中點(diǎn)，所以DB=CO;因?yàn)镋為AQ中點(diǎn)，所以=

所以AB=4。+Z）B=A。+CDAD+CE+ED

133

=AD+CE+-AD=-AD+CE=-a+b.

222

故選：A.

6.設(shè)Q=(I-6tan20jsin80,b=sin40sinl10-sin20sin130，2tan15

l-tan215

則()

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b

答案：C

(cos20-√3sin20)sin(90-10)

解析:α=(1-Λ∕5Ian20Jsin80=

cos20

(gsin20-cos20jcoslO2sin(20-30)coslO2sinl0cos10

cos20cos20cos20

_sin20

=tan20,

cos20

Z?=sin40SinllO-sin20sin130=sin40sin(90+20)-sin20sin(90+40)

=Sin40cos20-sin20cos40=Sin(40-20)=sin20,

2tan15

=tan30，

l-tan215

,?r?

因?yàn)镺VCoS20<1，則tan30>tan20=—........>sin20,即c>4>h.

cos20

故選：C.

7.設(shè)函數(shù)/(x)=kinx∣+∣cosx∣,^(x)=sin(2x+^)-2sinx,若存在玉,々e1。,兀1，使

得了(xj+g(%2)=m，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.[-3,1]B.[-2,V∑]C.[-2,1+V∑]D.[-1,2]

答案：C

解析：X￡[。,兀],f(χ)=J(ISinXl+1CoSXI)2=JI+1Sin2x|，顯然2x∈[0,2πJ,

jτ?τr?jr,

當(dāng)xe{0,一,兀}時(shí)，∣sin2x"in=°，當(dāng)xe{—,一}時(shí)，|Sin2x∣,n,χ=0,因此14/(x)≤√2,

244

21,3

x∈fθ,π],^(x)=Cos2x-2sinx=l-2sinx-2sinx=-2(sin?÷~)+~?

而O≤sinx≤l,則當(dāng)SinX=0,即xe{0,兀}時(shí)，g(?v),nax=1,當(dāng)SinX=1,即》=萬(wàn)時(shí)，

g*)min=-3，即-3≤g(x)≤1,

依題意，％血=一3+1=一2,∕nmax=1+0，

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為是[-2,1+J可.故選：C

8.在銳角.ABC中，角48,。所對(duì)的邊分別為0,仇。.若2。856=。一。，則吧(3二￡1

SinB

的取值范圍為()

A.(1,√3)B.(0,1)C.(θ,√2)D.(忘,6)

答案：B

解析：因?yàn)?ccos8=α-C,由正弦定理可知，2sinCcos8-SinA+sinC=O,

又A+3+C=π,所以SinA=Sin(3+C)

所以2sinCcosB-Sin(3+C)+sinC=O,

所以sinCcosB-sinβcosC÷sinC=O

即sin(C-B)=sin(-C)，

又是銳角，則8,c∈0微

,所以C-B=-C,即8=2C,

β=2ceHJ

ππ

解得C∈

6,4

A=π-(B+C)∈

所以Sin(A-C)_Sin(A-C)_Sin(?-4C)sin4C_2sin2Ccos2C_2co〃C

sinβsin2Csin2Csin2Csin2C

C∈2W>.2CeC,則cos2C∈(θ,;)

則2cos2C∈(0,l),

故選：B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

TlJl

9.已知復(fù)數(shù)Z=Sin-+icos—,則()

66

A.z的虛部為且iB.?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限

2

C.z+z=?z?D.Z是關(guān)于X方程χ2-χ+l=0的一個(gè)根

答案：BCD

解析：依題意，復(fù)數(shù)Z='+立i,復(fù)數(shù)Z的虛部為也，A錯(cuò)誤；

222

W=g-#i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（；,-等）在第四象限，B正確；

IZl=Jgf+（*）2=1，Z+Z=（g+亭）+g一且i)=i,則z+3=∣z∣,C正確;

z2-z+l=^+-i^-(?+-0+l?(-?+-i)-?--i+l=O.

22222222

即Z是關(guān)于X的方程χ2一χ+ι=o的一個(gè)根，D正確.

故選：BCD

10.已知向量。=(1,2),0=(3,T),c=(2,m),則下列說(shuō)法正確的是()

A.若加=1,則α與Z夾角的余弦值為［B.若(a+〃)〃c,則〃?=；

(31

C.若〃7>—1,則”與C的夾角為銳角D.向量”在b上的投影向量是[5,一歷

答案：ABD

/?a?c44

解析：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)機(jī)=1時(shí)，c=(2,l>則8SR'C)=麗=瓦有=7A對(duì);

對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)棣?(l,2),?=(3,-l),c=(2,m),則α+B=(4,l),

若(。+匕)〃乙貝∣]4w=2,解得〃?=；,B對(duì);

對(duì)于C選項(xiàng)，若“與C夾角為銳角，則“?c=2+2”?〉0，解得加>—1,

且α與C不共線，所以，m≠4,

所以，當(dāng)機(jī)>一1且m≠4時(shí)，α與C的夾角為銳角，C錯(cuò);

h=^--b=-h

對(duì)于D選項(xiàng)，向量α在〃

1410

(1qD對(duì).

Uo,ιoj

故選：ABD.

Tr

II.函數(shù)/(x)=ASin(0x+e)(A>O,<υ>O,∣e∣<5?)的部分圖象如圖所示，則()

ιrTr

A.函數(shù)/（x）在區(qū)間（-一,一）上單調(diào)遞增

612

B.（苫,0）是函數(shù)/（x）的一個(gè)對(duì)稱中心

C.函數(shù)/（X）在區(qū)間［-蓊］上的最大值2

D.若/（王）=/（々），則IXl-X2I=兀

答案：AC

解析：觀察圖象知，A=y∣3>F（O）=2sine=拓，即Sine='?,而解得夕=工，

2，?

/（~）—2sin（-^-69÷-）=—λ∕3,有Sin（IG+］）=—熱，因?yàn)辄c(diǎn)（0,*^）與（鼻，—J^）在函

數(shù)圖象上相鄰，

因此（烏。+馬一殳=兀，解得。=2,于是/（x）=2sin（2x+g）,

2333

JTTTTTTTTT

對(duì)于A,當(dāng)一一<x<一時(shí)，0<2x+—<—,而正弦函數(shù)y=sinX在（0,一）上單調(diào)遞增，

612322

ππ

所以函數(shù)/（x）在區(qū)間（一一,一）上單調(diào)遞增，A正確；

612

對(duì)于B,當(dāng)x=—二時(shí)，/（—二）=2sin（-二）=一石≠0,（―：,0）不是函數(shù)/（x）的一個(gè)對(duì)

3333

稱中心，B正確；

對(duì)于C,當(dāng)x∈［-2TT苫TT］時(shí)，2x+2TT∈［-2TT,TjTT］,當(dāng)2x+KJi=TtL,即x=2JL時(shí)，F(xiàn)（X）取得

443663212

最大值2,C正確;

對(duì)于D,?x1=0,x2=—,有/(F)=6,/(%)=SinN=J5?此時(shí)有/(%)=/(工2)，

63

π

而I%F=—，D錯(cuò)誤.

6

故選：AC

12.在.A6C中，角A8,。所對(duì)的邊分別為。力,。，αsinB=bsin'^l^°,“=3,。為

2

JRC外接圓圓心，則下列結(jié)論正確的有()

Tr

A.A=∣B..ABC外接圓面積為12兀

C.BOBC=-D.SA時(shí)的最大值為氈

24

答案：ACD

解析：在_ASe中，由正弦定理及αsinB=匕sin婦C得：sinAsinB=sinBsin-~~—

22

■?c八.4A-.AAA-八AπAC

而sιn3>O,則有SmA=Cos—,tBjPrt2sm-cos—=cos-,又0<一<一,cos—>0,

2222222

則Sing=所以!=g即A=g,A正確；

22263

RIal3fr

由正弦定理得JIBC外接圓半徑2SinA2.兀，該圓面積=3π,B錯(cuò)

sin—

3

誤；

19

如圖,BO-BCBO??BC?cosZOBC=-aa=~,C正確;

22

由余弦定理得：9=α2=b2+c2-2bccos-≥2bc-bc=bc,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時(shí)取等號(hào),

3

因此SABC='人CSin'=走8c≤迪，D正確?

abc2344

故選：ACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

7兀71[7t?

13.已知Sina+cosα=—,-<a<-則sin20——的值為_(kāi)_____.

542fI4；

答,y案+：43-

50

74924

解析：因?yàn)镾inQ+cosa=一,兩邊平方得：1+2SinaCOs。=一，解得sin20=—,

52525

22

又4<α<烏，即色<2α<兀，W∣Jcos2a--?/l-sin2ɑ=-/1-(―)=--9

422V2525

∣.π.π.π24√27√231垃

mfiff以rsιno(2α——)=sm2acos——cos2αsin—=一×----(----)×——=-----,

44425225250

故答案為：如&

50

14.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿足以下三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)：/(X)=.(寫(xiě)出一個(gè)符合條件的即可)

JTr1TTTT

①對(duì)于任意XWR,都有/(尤+/=/0-亍)；②/(x)的圖象關(guān)于直線X=；對(duì)稱；

③〃力的值域?yàn)閇0,2].

TT

答案：sin(2x+-)+1(答案不唯一)

4

Tr3冗

解析：任意XeR,/(?+-)=/(?--)<≠>/(%+π)=f?x),即函數(shù)/(χ)是周期為兀的

44

周期函數(shù)，

Tr

則由性質(zhì)①，可令/(x)=Asin(2x+φ)+h,A>0,?φ?<-f

由性質(zhì)②知，2×-÷^9=?π÷-,∕s∈Z,而|『|<不，則Z=O,9=一

o224

?A+b=27t

由性質(zhì)③知，?,八，解得A=I力=1,于是/(x)=sin(2x+-)+l,

-A+Z>=()4

π

所以同時(shí)滿足給定三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)可以為/(X)=sin(2x+-)+1.

4

π

故答案為…吟+》

15.在中，困=2,網(wǎng)2-閭啊BC|+4=|AC］，D是邊AB上一點(diǎn),且滿足

CDCB=CDCA,則CO?C6的值為

答案：2

因?yàn)镃oe8=CD?CA，故Co(CB-CA)=O即c。.AB=0，

故CD為AB邊上的高，故CDCB=CD(CD+DB)=CD.

又IAB(一√Σ∣AB∣,q+4=|AC『可化為

(IA4+即『-20(M+|叫)+4=MHC￠,而IC=4_畋『，

所以(?+一2√Σ(卜4+1)+4=,42+4—卜。(，

整理得到：I叫χ(kq+∣叫)—五(,。同叫)=(),故M4=√∑,

故ICr)I=2即Cr)?CB=2

故答案為：2.

16.趙爽是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，給出了“趙

爽弦圖”：四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大的正方形.如圖所示，正方

形ABC。的邊長(zhǎng)為而，正方形EFGH邊長(zhǎng)為1,則AE?AG的值為；

tanZEAB=

7

答案：①.6②.一

4

解析：依題意，Rt..ABG.RtBCH,RtCDE,RtDAF全等,

在RtZkABG中，AB=√13,AGAF+1,BG^AF,由AG?+8G2=AB?得:

(AF+1)2+AF2=13,即AF2+A尸一6=0,又AE>0,解得AF=2,

AE-AG=|AEHAG?cosZEAF=IAFI(IAFl+1)=2χ3=6；

噂=*iG=穿'

12

—÷-

tanZEAF+tanZBAG7

所以tanZEAB=tan(ZEAF+ZBAG)=23

12

1-tanZEAF?tan/BAG11---x—4

23

7

故答案為：6；—

4

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟.

/

17.(1)已知復(fù)數(shù)Z=CoSe-Sine-i是純虛數(shù)，求tan仁一。的值;

（2）己知W=JΣ,忖=1,∣α+0=逐，求。+力與3α-2Z?夾角的大小.

答案：(1)-3(2)-

4

解析：（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)Z=i是純虛數(shù),

cosθ-----=0廠廠

所以《5L，即cosθ-且SineW?，

?A2艮八55

Slne-------≠0

5

=±述,又因?yàn)镾ineW3叵,

所以Sine=±??∕1-cos2Θ=±

55

2√5

所以sin。=-半，則tan"黑=十=-2,

5

兀八

tan——tanσ1-(-2)

所以tan(^-6)=---------------

4,π?l+l×(-2)

1+tan—tanθ

4

(2)因?yàn)椴?4=石，所以卜+b『=5,即藍(lán)+片+2“m=5,

所以(√Σ)2+E+2α?b=5,整理得a?=l，

所以(4+0)?(3α-2b)=34~+α?h-2∕/=3χ(T∑)2+l-2χl?=5,

2222

?^a-2hI=y∣(3a-2b)=y∣9a-I2ab+4b=√9×(√2)-12×1+4×1=√10，

設(shè)a+匕與3?！?3夾角為C，

(Q+0)?(3α-2∕?)

COSa=CoSd+〃，3。-2〃=5√2

卜+可|3々-2〃|√5×ΛA0^2

TlTi

因?yàn)棣羍[0,7t],所以a=—,故a+Z＞與3a-2Z?夾角為一.

44

18.已知向量。=(l,-√3),向量〃與a的夾角為：兀，且W=2.

(1)求向量6的坐標(biāo)；

(2)設(shè)向量C=(SinX,cosx),(x∈R),向量，〃=(一班,1),若=加=0，求+’的最

大值并求出此時(shí)X的取值集合.

答案：(1)(—2,0)或(1,逐)；

兀

(2)3,{x?x=2kπ+-,k∈Z}.

6

._________2

1.設(shè)Z?=(x,y),依題意，IaI="+(-6)2=2,a-b^a??b?coπs-=-2,而

ab=x-^∣3y,

x-y∕3y=-2X--2X=1

因此,解得VC或?

爐+y2=4Iy=Oy=行

所以向量力的坐標(biāo)是(-2,0)或(1,0).

2.向量加=(一石,1),且〃.加=0,當(dāng)8=(—2,0)時(shí)，??m=2√3≠0.不符合題意，舍去,

當(dāng)b=(l,JJ)時(shí)，bm-?×(-λ∕3)+?∕3×1=0,符合題意，即b=(l,JJ),則

∕?+c=(1+sinX,3+cosX),

Ib+cI=J(1+SinX)2+(VJ+CC)SX)：=g+2SinX+2相CoSX5+4Sin(X+—),

因?yàn)閄GR,則當(dāng)x+巴=2E+工,ZeZ,即x=2E+',攵∈Z時(shí)，(∣Zj+c∣)ntιx=3,

326

所以卜+d的最大值是3,此時(shí)X的取值集合是{x∣X=2E+4?eZ}.

116

19.在.AδC中，角AB,C所對(duì)的邊分別為a,》,c,且(2a-Z?)CoSC=CCOs3.

(1)求角C的大??；

⑵若SABC=25c=2√3,求-ABC的周長(zhǎng).

答案：(1)一；

3

⑵6+2√3.

1.一ABC中，由正弦定理及(2。一。)COSC=CCoSB得：

2sinAcosC-cosCsinB=sinCcosB,

整理得：2sinAcosC=sinCcosB+cosCsinB=sin(C+8)=sin(π一A)=SinA,

而SinA>O,則cosC=-,又0<C<兀，

2

Tt

所以C=一.

3

2.由(1)知C=],依題意，SABC=gabsinC=^~ab=26，解得。匕=8，

由余弦定理得：c1=a2+b2-2abcosC=(a+h)2—3ab=(α+b>—24=12,解得:

。+0=6,

所以-ABC的周長(zhǎng)JL=Q+0+c=6+2y/3?

20.觀察以下各式：

y/3tan60-tan60tan300-石tan30°=1：

^∣3tan50°-tan50°tan20->∣3tan20=1；

yfitan45c-tan45°tan15°->∕3tanl5=1.

分析以上各式的共同特點(diǎn)，寫(xiě)出一個(gè)能反映一般規(guī)律的等式，并證明該等式.

答案：見(jiàn)解析

解析：退tanα-tanαtan∕-百tan￡=l,其中α-∕=30,

tanαtan

證明：tan(α-^)=~^=tan30=@,

1+tanαtan夕3

則tana—tan∕?=+tanαtan￡)，

則左邊(tana-tantan(7tanβ

=-73×^y-(l+tanertan∕?)-tanatanβ=1=右邊.

故等式成立.

21.綠水青山就是金山銀山.近年來(lái)，祖國(guó)各地依托本地自然資源，打造旅游產(chǎn)業(yè)，旅游業(yè)

TTTT

蓬勃發(fā)展.某景區(qū)有一直角三角形區(qū)域，如圖，BC=Ikm,NACB=—，ZABC=-,

32

..τι

現(xiàn)準(zhǔn)備在中間區(qū)域打造兒童樂(lè)園GBMN,M,N都在邊AC（不含A,C）上且NMBN=―,

6

設(shè)∕NBC=a.

（1）sinZABM=—,求Sina的值；

13

（2）求CBMN面積的最小值和此時(shí)角。值.

12石-5

答案：（1）

26-

6-3√3

(2)

4

S____________1?

L依題意，sinZABM=—,則cosZABM=√1-sin2ZABM=—,而

1313

一兀兀

/ABC=—/MBN=一，

26

sina=Si嗎-ZABM-4MBN)=CoS(NABM+-)

,126-5

cosZZAΛBOMΛ/fcos兀——sinZΛAOBΛM/fsm?！?1—2×V--3-----5--x—1=

6613213226

BNBCTTZTT

2.在，BNC中,由正弦定理得,而NACB=―,NBNC=,—a,

sinZACBSinNBNC33

BCSin工

則BN=_______3_

.,2π2(sin?cosa-cos?sina)6cosα+sinα

s?n(--α)

兀_兀-TrL

在ABC中，ZABC=-,ABAC=-,AB=BCtanNAC6=tan—=6,

^263

ABBM

在ABM中，由正弦定理得而

tkSinNAMB-SinNBAC

π

/AMB=/MBN+NNBC+/ACB=-+a,

2

ABsin-∕τ

BM=----------=——

Si嗎+α)2"

q_________3_________

UBMN=-BNBM-sin-=

268cos6Z(Λ∕3COSα+sin。)

8cosɑ(^/?cosα+sinα)=4sin2a+4君(1+cos2α)=4(sin2α+百cos2a)+4百

—8sin(2αH—)+4??∕3，顯然cc+NABM=—,有α∈(0,—),2αH—∈(—,兀),

33333

則當(dāng)2。+]=],即α=己時(shí)，8cosa(y∕3cosa÷sina)取得最大值8+4G，

3_6-3√3

(SBMN)min8+4√3^4

所以當(dāng)α咤時(shí)，,加N面積取得最小值字