（初中數(shù)學(xué)）相似三角形（近五年中考真題復(fù)習(xí)附答案解析版匯編）

（初中數(shù)學(xué)）相似三角形（近五年中考真題專題復(fù)習(xí)附答案

解析版18頁分項匯編）

一、單選題

1.（東營?中考真題）如圖，點。為JABe邊48上任一點，DE〃BC交AC于點、E,連接

BE、Co相交于點尸，則下列等式中不感羋的是（）

ADAEDEDFDEAEEFAE

I.—=—D.----=-----

DBEC~BC~~FC~BC~~ECBFAC

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可判斷A,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷B、C、

D.

【詳解】解：^?DE∕∕BC,

ΔΓ)AP

0—=—，SDEFS!BCBF,0AD￡S0ABC,故A不符合題意;

BDEC

DEDFEFDEAE,lTg人g上附人口工上

0—==,,故B不付合題后，C符合題后、；

CL?CrorCoAC

pc,Λc,

回蕓=哭，故D不符合題意；

BFAC

故選C.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理，熟知相似三

角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵.

2.（威海?中考真題）由12個有公共頂點。的直角三角形拼成如圖所示的圖形，ZAOH=

/80C=NCOZ）=…=∕LOM=30°.若SAAOB=L則圖中與aAOB位似的三角形的面

積為（）

K

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得出4、0、G在同一直線上，B、0、H在同一直線上，確定與幽08位

似的三角形為回Ga/,利用銳角三角函數(shù)找出相應(yīng)規(guī)律得出OG=1竿）X,再由相似三角

形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：00Ao8=!38OC=l3COO=...=l3LOM=30°

EElAOG=180°,ElBo/7=180°,

財、0、G在同一直線上，B、0、〃在同一直線上，

團(tuán)與0AOB位似的三角形為回GoH,

設(shè)OA=x,

團(tuán)S.A08=1,

回=

S.G0Hl-I,

故選：c.

【點睛】題目主要考查利用銳角三角函數(shù)解三角形，找規(guī)律問題，相似三角形的性質(zhì)等，理

解題意，找出相應(yīng)邊的比值規(guī)律是解題關(guān)鍵.

3.（臨沂?中考真題）如圖，在.ΛBC中，DE//BC,空=］，若AC=6,則EC=（）

DB3

A

B乙----------?

612.1824

A.-B.—C,?—D.—

5555

【答案】C

【分析】由DE〃BC,第=0,可得條=；券出=2;再建立方程即可.

DD5DDLsC3

?Γ）O

【詳解】解：DE//BC,號=：，

、ADAE_2

~DB~~EC~^

AC=6,

\9二，

CE3

1Q

解得：CE=M.經(jīng)檢驗符合題意

故選C

ΔΓ）?p?

【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例，證明"黑=等=:是解本題的關(guān)鍵.

DBEC3

4.（淄博?中考真題）如圖,A8,CO相交于點E,且AC〃所〃點C1,8在同一條直線

上.已知AC=P,EF=∕?,D3=4,則，4，八之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是（）

D

j

CB

111112111112

A.-+—=B.—+-=—C.F-=-D.—+-=

rqPPrqPqrq/P

【答案】C

【分析】由題意易得45EFSaB4C,.CEFSCDB,則有g(shù)=M，M=*，然后可

ACBCBDBC

得B+W=ι，進(jìn)而問題可求解?

ACBD

【詳解】解：^ACHEFHDB,

出

ABEFSABAC,.CEF^>ACDB,

EFBFEFCF

0-----=-----，---=---，

ACBCBDBC

EFEFBFCF

團(tuán)——十——=——+——=11,

ACBDBCBC

團(tuán)AC=P,EF—r,DB—q,

rr111

0—+—=1,即

PqPqr

故選C.

【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題

的關(guān)鍵.

二、填空題

5.（東營?中考真題）如圖，在CABC中，點尸、G在BC上，點E、”分別在48、AC上,

四邊形EFG"是矩形，E"=2EF,4）是，AfiC的高.BC=S,AD=6,那么E”的長為

24

【答案】M##4.8

【分析】通過四邊形EFGH為矩形推出的〃鹿，因此0AE/7與0A8C兩個三角形相似，將

AMEH

AM視為由的高,可得出G=正,再將數(shù)據(jù)代入即可得出答案.

【詳解】團(tuán)四邊形EFG”是矩形,

QEH〃BC、

0AEFs,ABC,

^AM和AD分別是她￡7/和0ΛδC的高,

國M_=里=EF

ADBC

^AM=AD-DM=AD-EF=6-EFf

EH=IEF,

代入可得：26-盧FF2EF

O~~8~

解得所=?12,

廠〃r1224

^?EH=2×—=—

55

故答案為：M.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，靈活運用相似三角形的性質(zhì)是

本題的關(guān)鍵.

6.（濰坊?中考真題）《墨子?天文志》記載：〃執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓.〃度方知圓，感悟數(shù)

學(xué)之美.如圖，正方形ABCo的面積為4,以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖

形A?C。，若A9：Ab=2:l,則四邊形ABCT）'的外接圓的周長為.

【答案】4√2π

【分析】根據(jù)正方形A8CD的面積為4,求出/4=2,根據(jù)位似比求出A8=4,周長即可

得出；

【詳解】解：,正方形48CD的面積為4,

?'?AB=2,

,,

AB?AB=2Λf

??ΛfBf=4,

??AfCf=44?+42=45/2?

所求周長=40萬;

故答案為：4夜π.

【點睛】本題考查位似圖形，涉及知識點：正方形的面積，正方形的對角線，圓的周長，解

題關(guān)鍵求出正方形A8CD的邊長.

7.（荷澤?中考真題）如圖，在ABC中，A垂足為。，AD=5,BC=IO,四邊形EF6〃

和四邊形HGNM均為正方形，且點E、尸、G、H、N、M都在ABC的邊上，那么AABW

與四邊形BCME的面積比為.

【分析】先設(shè)四邊形瓦G〃和四邊形”GNM的邊長為X,然后根據(jù)AAEM3乂BC可得

空=器，進(jìn)而可求得AP=2.5,EM=5,然后分別求得SMEM=g，SZIABC=25,即可

ADBC4

75

求得S四邊形BCME=SMBC-SMEM=—,由此可得答案.

【詳解】解：團(tuán)四邊形EFGH和四邊形"GMW均為正方形，

團(tuán)設(shè)四邊形EFGH和四邊形HGNM的邊長為JG

則EM=2x,EF=x,Ef0βC,HW0BC,

ΞΛD0BC,

國PD=EF=X,

勖。=5,

^AP=AD-PD=5-χ1

國EM//BC,

團(tuán)二AETWEUA8C,

LAPEM

0——二——

ADBC

-5-x2x

團(tuán)---=——

510

解得：x=2.5,

0AP=2.5,EM=S,

^?SAEM=-EM?AP=-

Δ24f

又團(tuán)SABC=-BC-AD^25.

zI2

團(tuán)S四邊形BCME=S^ABC-SΔAEM

=25-空

4

75

一'

C2575

ElSdAEMBSP甲方形BCME=團(tuán)—=1團(tuán)3,

故答案為：103.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定

及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

8.（泰安?中考真題）如圖，點片在直線/：y=gx上，點四的橫坐標(biāo)為2,過點用作隹_L/,

交X軸于點A，以A與為邊，向右作正方形AA紇G,延長約G交X軸于點4；以右約為邊，

向右作正方形48避夕2,延長4G交X軸于點4；以4紇為邊，向右作正方形4B/4C3,

延長的BG交X軸于點A4；…；按照這個規(guī)律進(jìn)行下去，則第n個正方形A,lB,,Bn+tCn的邊長

為（結(jié)果用含正整數(shù)〃的代數(shù)式表示）.

【分析】根據(jù)題中條件，證明所有的直角三角形都相似且確定相似比，再具體算出前幾個正

方形的邊長，然后再找規(guī)律得出第〃個正方形的邊長.

【詳解】解：?點用在直線/:y=gx上，點四的橫坐標(biāo)為2,

22

點與縱坐標(biāo)為1..-.OB1=√2+l=√5,

分別過耳，G，…（4作X軸的垂線，分別交于RR,…,2,下圖只顯示一條;

NgOA=ZATBQ=90。,/BQD=NABQ,

BPOSRt4。與類似證明可得，圖上所有直角三角形都相似，有

B、D_?_8[A]_GA2=_di

,

~OD~2~~OB^~'C^~,~CnAft

不妨設(shè)笫1個至第〃個正方形的邊長分別用：44,…/來表示，通過計算簿

上組=立，

'22

L

∕2=∕I+CΛ=^=-×-.

2''吃222

5+G4吟=冬圖

,,<,31,,,√5(3Y,^'

/"=(,-I+CTA,==WX3

按照這個規(guī)律進(jìn)行下去，則第“個正方形AMMmG的邊長為手χ(gj',

故答案是：乎XC.

【點睛】本題考查了三角形相似，解題的關(guān)鍵是：利用條件及三角形相似，先研究好前面兒

個正方形的邊長，再從中去找計算第〃個正方形邊長的方法與技巧.

9.(威海?中考真題)如圖，點C在NΛOB的內(nèi)部，ZOCA=NoCB,NOC4與NAo8互補，

若AC=I.5,BC=rI,則OC=.

H

【答案】√3

【分析】通過證明SIACO團(tuán)團(tuán)。CB,可得方=G，∏T?R∣∣10C.

ACOC

【詳解】解：000CA=I30CB,0OCA與0AOB互補，

00OCA+0AOB=18Oo,EloCB+回AOB=I80°,

0ΘOCA+0COA+0OAC=180",0OCB+0OBC+0COB=180",

EEAOB=EICoA+∣3OAC,RIAoB=回OBC+RlCOB,

00AOC=13OBC,0COB=aθAC,

EBACOEBOCB,

OCBC

團(tuán)---=---，

ACOC

?3

0OC2=2×-=3,

2

EIOC=G,

故答案為：√3?

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明SIACoa3。CB是本題的關(guān)鍵.

10?（臨沂?中考真題）如圖，在ΛBC中，D,E為邊AB的三等分點，EF//DG//AC,H

為AF與。G的交點.若AC=6,則￡>〃=.

【分析】利用平行線分線段成比例得到EF=2,再利用中位線得到DH的長即可.

【詳解】解:國D,E為邊A8的三等分點，EFIIDGI/AC,

0EF:DG:AC=1:2:3

0AC=6,

團(tuán)EF=2,

由中位線定理得到,在AAEF中,DH平行且等于;EF=I

故答案是：1

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用和中位線的性質(zhì),熟悉平行線之間的性

質(zhì)是解題關(guān)鍵.

三、解答題

11.(棗莊?中考真題)已知0ABC中，SIACB=90。，AC=BC=4cm,點尸從點A出發(fā)，沿AB

方向以每秒也cm的速度向終點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)沿BC方向以每秒Icm的

速度向終點C運動，設(shè)運動的時間為1秒.

(1)如圖①，若PQSIBC,求f的值；

(2)如圖②，將回尸QC沿BC翻折至回產(chǎn)QC,當(dāng)f為何值時，四邊形QPeP'為菱形？

【答案】⑴當(dāng)f=2時,PQSBC

4

(2)當(dāng)r的值為§時，四邊形QPC產(chǎn)為菱形

【分析】(1)根據(jù)勾股定理求出A8,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可.

(2)作Pr)J_3C于。，LAC于E,證明出ΔABC為直角三角形，進(jìn)一步得出ΔAPK和

ΔP3D為等腰直角三角形，再證明四邊形PEC。為矩形，利用勾股定理在Rt4PCE?RjPDQ

中，結(jié)合四邊形QPC戶為菱形，建立等式進(jìn)行求解.

(1)

HsAeB=90°,AC=BC=4cm,

^B=AC2+BC2=√42+42=4√2(cm),

由題意得，AP=y∕itcm,8Q=fcm,

則BP=(4√2-√2/)cm,

田PgBC,

^PQB=90°f

團(tuán)團(tuán)PQB=0AC8,

^?PQ∕/AC,

^ZBPQ=ZBAC

,?ΛBQP=ΛBCA'

3PQSBAC,

BPBQ

El—=—,

BABC

ra4√2-√2rt

4√24

解得：f=2,

回當(dāng)f=2時，PQSBC.

(2)

解：作P3L8C于￡),PELAe于E,如圖,

AP=⑤:,BQ=tcm,(0?t<4)

,ZC=90o,AC=BC=4cm?

???ΔABC為直角三角形，

?ZA=?B45?,

.?.ΛAPE和APBD為等腰直角三角形，

:.PE=AE=?~AP=tcm,BD=PD,

2

.,.CE=AC-AE=(4-r)c∕n,

四邊形PEa)為矩形，

,PD=EC=(4-,

,BD=(4τ)cfn,

：.QD=BD-BQ=(4-2t)cm,

在RtΔJ>CE中，PC'=PE'+CE1=z2+(4-/)2,

在RjPO。中，PQ2=PD2+DQ2=(4-r)2+(4-2f)2,

四邊形QPCP'為菱形，

.-.PQ=PC,

.?.r2+(4-r)2=(4-r)2+(4-2r)2,

4

'G=4(舍去)?

4

.?」的值為

【點睛】此題是相似形綜合題，主要考查的是菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，線段垂

直平分線的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

12.(荷澤?中考真題)如圖，在R(ABC中，ZABC=90。，E是邊AC上一點，且BE=BC,

過點4作BE的垂線，交BE的延長線于點。，求證：AAOEszXAfiC.

【答案】見解析

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得自C=回BEC,又由對頂角相等可證得0AE。=團(tuán)C,再由

0D=0ABC=9Oo,即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：⑦BE=BC

EBC=MEC,

WBEC=βAED,

SEAED=SC,

0AD0BD,

EBZ)=90°,

回NABC=90。，

WD=SABC,

0?ADE∞?ABC.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和相

似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

13.(濟(jì)南?中考真題)在等腰AABC中，AC=BC,-ADE是直角三角形，0DAE=9Oo,BADE

-∣0ACB,連接BQ,BE,點F是8。的中點，連接CE

（1）當(dāng)EICAB=45。時.

①如圖1,當(dāng)頂點。在邊AC上時，請直接寫出回EAB與回CBA的數(shù)量關(guān)系是.線段

BE與線段CP的數(shù)量關(guān)系是；

②如圖2,當(dāng)頂點。在邊AB上時，（1）中線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？

若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由；

學(xué)生經(jīng)過討論，探究出以下解決問題的思路，僅供大家參考：

思路一：作等腰AABC底邊上的高CM,并取BE的中點M再利用三角形全等或相似有關(guān)

知識來解決問題；

思路二：取。E的中點G,連接AG,CG,并把一CAG繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。，再利用旋轉(zhuǎn)

性質(zhì)、三角形全等或相似有關(guān)知識來解快問題.

（2）當(dāng)團(tuán)C4B=30。時，如圖3,當(dāng)頂點。在邊AC上時，寫出線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由.

【答案】（1）①NE4B=NABC,CF=^BE;②仍然成立，證明見解析；（2）BE=2√3CF,

理由見解析.

【分析】（1）①如圖1中，連接BE,設(shè)OE交AB于T.首先證明4）=AE,即=3E,再利

用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解決問題即可.②解法一：如圖2-1中，取A8的中點M,

8E的中點M連接CM,MN.證明&CMF會一BMN（SAS）,可得結(jié)論.解法:：如圖2-2

中，取Z）E的中點G,連接AG,CG,并把，C4G繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到,C8T,連接

DT,GT,BG.證明四邊形BEGT是平行四邊形，四邊形OG87是平行四邊形，可得結(jié)論.

（2）結(jié)論：BE=2√3CF.如圖3中，取AB的中點T,連接CT,FT.證明，A4EsCTF,

可得結(jié)論.

【詳解】解：（1）①如圖1中，連接BE,設(shè)DE交AB于T.

D

?^7

圖1

0CA=CB,國CA8=45°,

團(tuán)團(tuán)CA8=0A8C=45°,

Ξ0ACβ=9Oo,

mDE=y0ACB=45o,0DAE=9Oo,

WADE=^AED=45°,

0AD=ΛE,

NDAE=90。,

.?.NEAB=ZDAT=ZABC=45°,

^A7^DEfDT=ET,

助3垂直平分DE,

MD=BE,

幽BCO=90°,DF=FB,

^CF=BD,

0CF=I?E.

故答案為：^EAB=SABC,CF=；BE.

②結(jié)論不變.

解法一：如圖2-1中，取A8的中點M,8E的中點N,連接CM,MN.

E

圖2-1

o

0l2ACB=9O,CA=CB,AM=BMf

0CΛ∕0AB,CM=BM=AMf

由①得：AD=AE9

設(shè)AO=4E=y.FM=x,DM=a,

點F是30的中點，

則DF=FB=a+x,

^y+a=a+2χf

團(tuán)y=2x,即AD=2FM,

^AM=BMfEN=BN,

^AE=2MN,MNBAE,

⑦M(jìn)N=FM,團(tuán)BMN=團(tuán)EA3=90°,

mCMF=^BMN=9Qo,

⑦一絲

CMFBMN(SAS)f

出CF=BN,

團(tuán)BE=2BN,

0CF=∣BE.

解法二：如圖2-2中，取OE的中點G,連接AG,CG,并把aC4G繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。

得到,CBT,連接。7,GT,BG.

E

圖2?1

^AD=AE,團(tuán)E4O=90°,EG=DG,

[2AG0DE,0E4G=回QAG=45°,AG=DG=EG,

團(tuán)團(tuán)CA3=45°,

回回。G=90°,

EIAC0AG,

0ACI3DE,

0a4CB=0CBT=9Oo,

.?.ACHBT,

0AC0β713DE,

SiAG=BT,

ELDG=BT=EG,

回四邊形B