安徽省合肥市2021年高一下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試卷與參考答案

安徽省合肥市2021年高一下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試卷與參考答案一、選擇題本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知向量，則（）A．B．C．D．2．已知復(fù)數(shù)，則（）A．5B．4C．3D．23．給出下列四個(gè)命題：①底面是正多邊形的棱柱是正棱柱；②四棱柱、四棱臺(tái)、五棱錐都是六面體；③所有棱長相等的棱柱一定是直棱柱；④直角三角形繞其一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）A．0B．1C．2D．34．已知向量，且，則（）A．B．C．D．5．已知某平面圖形的直觀圖如圖所示，，若原平面圖形的面積為12，則（）A．6B．4C．D．26．已知在平面四邊形中，，若，則（）A．B．C．D．7．如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．點(diǎn)直線B．與是共面直線C．D．與是異面直線8．已知水的密度為，冰的密度為，水平放置的圓柱形桶內(nèi)有一個(gè)半徑為的冰球，待冰球完全融化后測得桶內(nèi)水面高為，則桶的底面半徑為（）A．B．C．D．9．伯樂樹是中國特有樹種、國家一級(jí)保護(hù)樹種，被譽(yù)為“植物中的龍風(fēng)”，常散生于濕潤的溝谷坡地或小溪旁．一植物學(xué)家為了監(jiān)測一棵伯樂樹的生長情況，需測量樹的高度．他在與樹干底部在同一水平面的一塊平地上利用測角儀（高度忽略不計(jì)）進(jìn)行測量，在點(diǎn)處測得樹干底部在西偏北的方向上，沿直線向西前進(jìn)后，在點(diǎn)處測得樹干底部在西偏北的方向上，此時(shí)樹干頂部的仰角為，則該伯樂樹的高度為（）A．B．C．D．10．在中，點(diǎn)為邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，則（）A．B．C．D．11．已知在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則的取值范圍是（）A．B．C．D．12．已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，，若該三棱錐的外接球體積為，則該三棱錐的表面積為（）A．B．C．D．二、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分．13．如圖所示的后母戊鼎是一件非常有名的青銅重器，是商王武丁之子祭祀母親戊所鑄，現(xiàn)藏于國家博物館鼎身與四足為整體鑄造，鼎耳則是在鼎身鑄成之后再澆鑄而成，鼎身大致為長方體形狀的容器，長為，寬為，壁厚．若一堆祭祀物品在該容器內(nèi)燃燒后形成的灰平鋪且鋪滿容器底部，灰的高度為，則灰的體積為______．14．已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則_________．15．已知半徑為1的球在一個(gè)圓錐內(nèi)部，該組合體的軸截面是一個(gè)正三角形與其內(nèi)切圓，則圓錐的表面積為_________．16．已知在中內(nèi)角的對(duì)邊分別為，角，邊，且，則_________．三、解答題共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（10分）已知向量．（Ⅰ）若，且，求的值；（Ⅱ）若與的夾角大小為，求的值．18．（12分）當(dāng)實(shí)數(shù)滿足什么條件時(shí)，在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)分別滿足下列條件？（Ⅰ）位于第三象限；（Ⅱ）位于第二象限或第四象限；（Ⅲ）位于直線上．19．（12分）如圖所示為一段環(huán)形跑道，中間的兩段為直跑道，且，兩端均為半徑為的半圓形跑道，以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形．甲、乙兩人同時(shí)從的中點(diǎn)處開始以的速率逆向跑步，甲、乙相對(duì)于初始位置點(diǎn)的位移分別用向量表示．（Ⅰ）當(dāng)甲到達(dá)的中點(diǎn)處時(shí)，求；（Ⅱ）求后，的夾角的余弦值．注：的值取3．20．（12分）在四邊形中，．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）求的長．21．（12分）如圖，正三棱柱的高為，底面邊長為2，點(diǎn)分別為上的點(diǎn)．（Ⅰ）在棱上是否存在點(diǎn)使得平面平面？請(qǐng)說明理由．（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求幾何體的體積．22．（12分）已知在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，其中．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，求的面積．參考答案一、選擇題1．B2．A3．B4．C5．D6．B7．C8．A9．A10．D11．D12．C二、填空題13．328314．215．16．三、解答題17．命題意圖本題考查向量的模的定義及向量夾角的定義．（Ⅰ）由題可知．，，解得．（Ⅱ）設(shè)與的夾角為．由題可知．．解得或．18．命題意圖本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義．（Ⅰ）由題可知，即解得的取值范圍為．（Ⅱ）由題可知或即或解得的取值范圍為．（Ⅲ）由題可知，即，解得．19．命題意圖本題考查向量的數(shù)量積及向量的夾角的余弦值．（Ⅰ）如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．當(dāng)甲到達(dá)的中點(diǎn)處時(shí)，乙到達(dá)的中點(diǎn)處，設(shè)此時(shí)甲的位置為點(diǎn)，乙的位置為點(diǎn)，則，，．（Ⅱ）后甲、乙的路程均為的長度均為，后甲、乙分別到達(dá)點(diǎn)處．．設(shè)的夾角為，則．后的夾角的余弦值為．20．命題意圖本題考查正、余弦定理的應(yīng)用．（Ⅰ）在中，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以．（Ⅱ）因?yàn)?，所以．在中，由正弦定理可得，即，解得，即．因?yàn)椋裕谥?，由正弦定理可得，即，解得?1．命題意圖本題考查面面平行的性質(zhì)定理及幾何體體積的計(jì)算．（Ⅰ）如圖，連接交于點(diǎn)，連接．由棱柱的性質(zhì)，知四邊形為平行四邊形，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)．∵平面平面，且平面平面，平面平面,，同理，，又，即為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（Ⅱ），，．22．命題意圖本題考查正弦定理、三角