人教A版選擇性必修第一冊(cè)第三章《圓錐曲線的方程》橢圓的定義訓(xùn)練

橢圓的定義強(qiáng)化訓(xùn)練（同學(xué)版）

1、（2022?西安市長(zhǎng)安區(qū)質(zhì)量檢測(cè)）M（—2,0）,P是圓N：√-4%+√-32=0±-

動(dòng)點(diǎn)，線段MP的垂直平分線交NP于點(diǎn)Q,那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為（）

從9十5191

9222

D1

cf+9=1?9~?=

2、（2022?亳州模擬）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為乃（一小，0）,F2（√5,0）,M是橢圓上一

點(diǎn)，假設(shè)MBLMF2,IMFiHMF2∣=8,那么該橢圓的方程是（）

A.y÷-^^=1B.y÷^-=1

c?+?=1d??+?=1

22

3、（2022?湖南省衡陽(yáng)八中月考）對(duì)于曲線C：τ?τ+7?7=l,下面四個(gè)說(shuō)法正確

KKL

的選項(xiàng)是（）

A.曲線C不行能是橢圓

B."1VZ<4”是“曲線C是橢圓”的充分不必要條件

C.“曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓〃是“3VZV4”的充分不必要條件

D.“曲線C是焦點(diǎn)在X軸上的橢圓”是"1V/的充要條件

4、（2021.泉州模擬）橢圓的焦點(diǎn)是R、F2,P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，假如M是線

段BP的中點(diǎn)，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是（B）

A.圓B.橢圓

C.雙曲線的一支D.拋物線

5、（2022?林芝市其次離級(jí)中學(xué)月考）R,尸2是橢圓C：χ+y2=l的兩個(gè)焦點(diǎn)，假

設(shè)點(diǎn)尸是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么的周長(zhǎng)是（）

A.4+2√3B.4+2√5

C.8D.10

6、如圖，橢圓，+1=l（α>2）的左、右焦點(diǎn)分別為乃，F(xiàn)i,點(diǎn)P

是橢圓上的一點(diǎn)，假設(shè)NRPE2=60。，那么^PFIF2的面積為

∕謔χ.3B?-/.逆2

r3?∕3n4√3

J4u,3

7、(教材改編)化簡(jiǎn)方程N(yùn)(X—4)2+3+{(χ+4)2+y2=ιo的結(jié)果是()

22-22

A?T+?=1B?T+?=1

22

9、兩圓Cl：(χ-4)2+γ=169,c2:(X+4)+∕=9,動(dòng)圓在圓Cl內(nèi)部且和圓Q

相內(nèi)切，和圓C2相外切，那么動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()

A?^?=1B4?1

C??^?=1D?+?=1

10、“(Iog"2)χ2+(logz>2)y2=l表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的一個(gè)充分不必要條件

是()

A.Q<a<bB.?<a<b

C.2<a<bD.?<b<a

11、如圖，P是橢圓??+9=l上的一點(diǎn)，尸是橢圓的左焦點(diǎn)且司=一歷，?OQ

|=2,那么∣PR=()

A.2

C.3D.4

222

12、兩圓Ci：（Λ-4）+√=169,C2:（x+4）+y=9,動(dòng)圓在圓Ci內(nèi)部且和圓

。相內(nèi)切，和圓C2相外切，那么動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（）

13、古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用“靠近法'’得到橢圓面積的4倍除以圓周率等于橢

圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的積.橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)放在y軸上，其面

積為8小兀，過(guò)點(diǎn)Fl的直線/與橢圓C交于點(diǎn)A,3旦aBAB的周長(zhǎng)為32,那

么橢圓C的方程為（）

D?M+?=1

14、（2021?新高考卷I）R,尸2是橢圓C：5+^=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上,

那么IMnHMF2|的最大值為（）

A.13B.12C.9

15、（2021?離考全國(guó)卷甲）R,B為橢圓C：y∣+?^=l的兩個(gè)焦點(diǎn)，P,0為C

上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且IPQl=IBF'2∣,那么四邊形PRQb2的面積為

16、如圖，的頂點(diǎn)B,C在橢圓zy+y2=l上，頂點(diǎn)A'

是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，那么t

△ABC的周長(zhǎng)是.

17、尸是橢圓5√+9√=45的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A（l,1）是肯定點(diǎn).那

么∣∕?∣+∣PR的最大值為,最小值為.

18、F?,我是橢圓C：/+5=l（α>0>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，

且防Ij_的.假設(shè)APFiB的面積為9,那么b=.

19、（教材改編）橢圓C：嘏+而=1的左、右焦點(diǎn)分別為B,Fi,過(guò)f2的直線交

橢圓C于A,8兩點(diǎn)，那么AEAB的周長(zhǎng)為20,AAFiF2的周長(zhǎng)為

—16.

20、Fi、B分別是橢圓5X2+9∕=45的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，那么

IpBHP網(wǎng)的最大值為_(kāi)2_,假設(shè)41,1)，那么IM+IP最的取值范圍為[6-、回,

6+λ∕2]_?

21、Fi,仍是橢圓C：,+g=l(4>Z>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且

NRPF2=60。.假設(shè)aPRB的面積為3√5,那么b=3.

22、(2021.大慶模擬)點(diǎn)M(√§,0),橢圓了+V=1與直線y=k(χ+/)交于點(diǎn)A、

B,那么aABM的周長(zhǎng)為8.

23、(2019?課標(biāo)川，15)設(shè)Q,B為橢圓C：彌=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上

一點(diǎn)且在第一象限.假設(shè)為等腰三角形，那么M的坐標(biāo)為_(kāi)(3,灰).

92

24、(2021.河北衡水調(diào)研)設(shè)K、入分別是橢圓舒??=1的左、右焦點(diǎn)，P為橢

圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4),那么IPMl—IPEI的最小值為二5,.

25、如下圖，橢圓3+W=l(0>b>0),Fι,B分別為橢圓的左、

右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線AB交橢圓于另一點(diǎn)注

(1)假設(shè)NaAB=90。，求橢圓的離心率；

(2)假設(shè)橢圓的焦距為2,且#2=2疫，求橢圓的方程.

26、R,乃是橢圓C：5+^=l(α>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，尸啊=4,長(zhǎng)軸長(zhǎng)

為6,又A,B分別是橢圓C上位于X軸上方的兩點(diǎn)，且滿意屐∣=2脆.

(1)求橢圓C的方程；

(2)求四邊形ABFiFx的面積.

橢圓的定義強(qiáng)化訓(xùn)練(解析版)

1、(2022?西安市長(zhǎng)安區(qū)質(zhì)量檢測(cè))M(—2,0),P是圓Mx2~4x+y2-32=0±~

動(dòng)點(diǎn)，線段MP的垂直平分線交NP于點(diǎn)Q,那么動(dòng)點(diǎn)。的軌跡方程為()

2292

A-f+f=1B?^9=1

c?f+9=1D?9^?=1

解析：由題意可得圓心N為(2,0),半徑為6.

由于線段MP的垂直平分線交NP于點(diǎn)。，

所以∣QP∣=∣QM,

所以IQM+1QN=IQPl+lQVl=IPM=6>∣MN=4,

所以點(diǎn)。的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓，

所以α=3,c=2,b=y∣a2~c2=√5,

92

所以其軌跡方程為§+方=1.

2、(2022?亳州模擬)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為人(一小，0),F2(√5,0),M是橢圓上一

點(diǎn)，假設(shè)MnJ_MF2,?MFI?-?MF2?=8,那么該橢圓的方程是()

A.y÷,^^=1B.y÷^^=l

??22

r

c≡+^=lD-+=l

k",9'41lj,4'91

解析：選C.設(shè)IMFlI=L,IMBI=",

由于MRLMF2,IMFIHMF2∣=8,∣F∣F2∣=2√5,

所以"P+"2=20,mn=8,

所以("Z+〃)2=36,由于加+〃>0,所以"?+〃=2。=6,所以α=3.

由于C=小，所以/?=，層—02=2.

2,2

所以橢圓的方程是?v?+9=ι.

74

22

3、（2022?湖南省衡陽(yáng)八中月考）對(duì)于曲線Cτ?v7+τ?j-=l,下面四個(gè)說(shuō)法正確

的選項(xiàng)是（）

A.曲線C不行能是橢圓

B.“1VAV4”是“曲線C是橢圓”的充分不必要條件

C.”曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓〃是“3VAV4”的充分不必要條件

D.“曲線C是焦點(diǎn)在X軸上的橢圓”是“1</的充要條件

解析：選D.當(dāng)1VAV4且ZW2.5時(shí)，曲線C是橢圓，所以A錯(cuò)誤；當(dāng)后=

2.5時(shí)，4-k=k-l,此時(shí)曲線C是圓，所以B錯(cuò)誤；假設(shè)曲線。是焦點(diǎn)在〉軸

（4-k>0,

上的橢圓，那么《左一1>0,解得2.5VAV4,所以“曲線C是焦點(diǎn)在y軸上

限-1>4T,

的橢圓”是"3VZV4"的必要不充分條件，所以C錯(cuò)誤；假設(shè)曲線C是焦點(diǎn)在

r^-ι>o,

X軸上的橢圓，那么，4T>0,解得IVy2.5,所以D正確.應(yīng)選D.

14-QZ-1,

4、（2021.泉州模擬）橢圓的焦點(diǎn)是四、F2,P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，假如M是線

段乃P的中點(diǎn)，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是（B）

A.圓B.橢圓

C.雙曲線的一支D.拋物線

解析：如下圖，由題知∣PB∣+∣P∕72∣=2α,設(shè)橢圓方程：，+笈=1（其中

a>b>O）.連接Ma由三角形的中位線可得：IFlM+∣MO∣="（α>l~O∣）,那么M

的軌跡為以B、O為焦點(diǎn)的橢圓.

5、（2022?林芝市其次高級(jí)中學(xué)月考）R,B是橢圓C：4+V=l的兩個(gè)焦點(diǎn)，假

設(shè)點(diǎn)尸是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么APEB的周長(zhǎng)是()

A.4+2√3B.4+2√5

C.8D.10

產(chǎn)2

解析：C:彳+)2=1知，

=

α=2,b—1,c—^?∣G^?/?,

所以FIF'2∣=2??∕5,

由橢圓的定義知,IPnl+∣PFτ2∣=2α=4,

那么APFiB的周長(zhǎng)為IPBl+∣PB∣+IQb2∣=4+2√5.

6、如圖，橢圓$+；=l(a>2)的左、右焦點(diǎn)分別為乃，F(xiàn)?,點(diǎn)P

是橢圓上的一點(diǎn)，假設(shè)/RPB=60。，那么APBA的面積為

()

ARI3√3

A.3B.?2

r3√34√3

J4D.-3

22

解析：選D.由題意知IPnI+∣P∕?∣=24,∣FιF2∣=4a-16,

222

由余弦定理得4a-16=∣PF∣I+∣PF2∣-2?PF???∣PF2∣cos60°,

2

即4合-16=(IPFl1+∣PF2∣)-3?PF↑??PF2?,

所以IPMIIPE2∣=號(hào),

14λ∕5

所以SaPblE2=引PElIPF2、ineθɑ=?,應(yīng)選D.

7、(教材改編)化簡(jiǎn)方程Y&-4)2+J2+M(X+4)2+y2=]()的結(jié)果是()

A?Y+Xb??+?=1

c?+9=1d?+?=1

解析：選C.由方程左邊式子的幾何意義及楠圓定義可知，方程表示的曲線

為焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，且c=4,α=5,所以廿=屋―/=9,故化簡(jiǎn)結(jié)果為行+

91?

解析：QA(圖略).由得IQAl=IQP∣.

所以∣0O∣+∣QM=I0。|+|。PI=IoP尸廠

又由于點(diǎn)A在圓內(nèi)，所以QA∣<∣0P∣,依據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)Q的軌跡是以0,

A為焦點(diǎn)，r為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓.應(yīng)選A.

22

9、兩圓Q：(χ-4)2+y=169,C2：(X+4)+∕=9,動(dòng)圓在圓Cl內(nèi)部且和圓CI

相內(nèi)切，和圓C2相外切，那么動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()

A?M^?=1B?+?=1

C?^?=1D?+?=1

解析：M的半徑為r,

那么IMGl+∣MC2∣=(13-r)+(3+r)=16>8=6C2∣,

所以M的軌跡是以。，C2為焦點(diǎn)的橢圓，

且2α=16,2c=8,

所以α=8,c=4,b=γ∣a2~c2=4y∣3,

故所求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為卷+$1.

10、”(K>gα2)χ2+(logb2)y2=l表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的一個(gè)充分不必要條件

是()

A.0<a<bB.?<a<b

C.2<a<bD.?<b<a

解析：C假設(shè)(IOg“2)/+(log∕>2)y2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么需

r

loga2>0,a>?,

即，b>l,

log?2>0,所以l<a<b,所以a(log<(2)√÷(Iogfe2)y2=1表

log02>log?2,M<b,

示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的一個(gè)充分不必要條件是2<αVR應(yīng)選C.

22_________

11、如圖，P是橢圓??+9=ι上的一點(diǎn)，尸是橢圓的左焦點(diǎn)且可=一歷，

74t

1=2,那么IPE=()

C.3D.4

解析：A由］?+j=l可得α=3.由于^^=-7N,所以點(diǎn)Q是線段PE

的中點(diǎn)，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為尸，那么。是的中點(diǎn)，所以∣PF∣=2∣OQ∣=4,

由橢圓的定義可知：∣Pfl+∣PF,?=2a=6,所以∣PW=2,應(yīng)選A.

22

12、兩圓Ci：(Λ-4)+√=169,C2:(X+4)+√=9,動(dòng)圓在圓Ci內(nèi)部且和圓

G相內(nèi)切，和圓C2相外切，那么動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()

A?^?=1?+?=I

c?-?=1d?+?=1

解析設(shè)圓M的半徑為r,

那么IMGI+∣MC2∣=(13-r)+(3+r)=16>8=∣CιC2∣,

所以M的軌跡是以。，C2為焦點(diǎn)的橢圓，

且2α=16,2c=8,

所以a=8,c=4,/>=??∕α2-C2=4√3,

故所求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為卷+$1.

13、古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用“靠近法〃得到橢圓面積的4倍除以圓周率等于橢

圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的積.橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)n,放在y軸上，其面

積為8√3π,過(guò)點(diǎn)Fl的直線I與橢圓C交于點(diǎn)A,B且4BΛB的周長(zhǎng)為32,那

么橢圓C的方程為()

[解析]：焦點(diǎn)Fι,B在y軸上,可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為}+3=l(a>b

>0),由題意可得^^^=2αX2b=4αb,..S—obτι-S'?[3τif即cιb—S^?∣3,?∕?F2AB

2￡

的周長(zhǎng)為32,，4a=32,那么α=8,.,，=小，故橢圓方程為女+方=1.應(yīng)選

B.

14、(2021?新高考卷I)R,B是橢圓C：卷+￡=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上,

那么IMBHME2|的最大值為()

A.13B.12C.9D.6

1

解析：C:?+?=1,得∣MF1∣+?MF2?=2X3=6,那么

卜IMF2∣W產(chǎn)注^=32=9,當(dāng)且僅當(dāng)IMBI=IMF?∣=3時(shí)等號(hào)成立.應(yīng)

選C.

92

15、(2021?商考全國(guó)卷甲)四，上為橢圓C：?+-J=l的兩個(gè)焦點(diǎn)，P,Q為C

上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且IPQ=InF2∣,那么四邊形PFiQF2的面積為

解析：依據(jù)橢圓的對(duì)稱性及IPQl=Wf'2∣可以得到四邊形PFlQFi為對(duì)角線相

等的平行四邊形，所以四邊形PFI。尸2為矩形.設(shè)IPnI=加，那么∣PB∣=24-IPFIl

22222222

=8-m,那么IPFlI+∣PF2∣=∕M+(8-m)=2∕n+64-l6m=∣FιF2?=4c=4(a

-b2)=48,得加(8一機(jī))=8,所以四邊形PFIQF2的面積為IPFllX∣PF2∣=m(8-m)

=8.

16、如圖，AABC的頂點(diǎn)B,C在橢圓與+y2=l上，頂點(diǎn)A[

是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，那么

△ABC的周長(zhǎng)是.

解析：由于∕=3,所以

AABC的周長(zhǎng)為IAC]+∣AB∣+∣Bq=[Aq+∣CF2∣+?AB?÷∣BF2∣=2α+2?=4?=

4√3.

17、廠是橢圓5Λ2+9√=45的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A(l,1)是肯定點(diǎn).那

么∣∕?∣+∣p∕η的最大值為最小值為

解析：如下圖，設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為Fi,那么∣P∕∏+∣PB∣

所以照I+?PF?=?PA?-m+6.(?oO一:

利用一IABIWi別一IPFllWlABl(當(dāng)P,A,Fl共線時(shí)

等號(hào)成立).

所以∣∕?∣+∣PF∣W6+R,I必∣+∣P∕∏26-√i

故μ?∣+∣∕τη的最大值為6+啦，最小值為6-√i

22

18、Fi,尸2是橢圓Ca+∕=l(α>QO)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn),

且府1，存2.假設(shè)的面積為9,那么h=.

r?+n=2a,

解析：設(shè)IPBl=n，IPBI=A,那析

日+日=4c2,

所以2rs=(rι+廢)2—(r?+*)=4/—4c2=4∕r2,

所以SZ?PFlF2=grι卷=及=9,所以b=3.

19、(教材改編)橢圓C：各得=1的左、右焦點(diǎn)分別為八過(guò)改的直線交

橢圓C于A,B兩點(diǎn)，那么aFiAB的周長(zhǎng)為20,?AF∣F2的周長(zhǎng)為

—16.

20、Fi、B分別是橢圓5x2+9y2=45的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，那么

IPFlHPF2|的最大值為2,假設(shè)A(l,l),那么∣Λ4∣+∣PFι∣的取值范圍為」

6÷√2]_?

解析：由橢圓的方程]+光=1知，a=2>,c=2,

,,

Λ∣∕F∣∣+∣∕F2∣=2α=6,

1pf111PF22

ΛI(xiàn)PFi∣?∣PF2∣≤(2J=9,當(dāng)且僅當(dāng)IPFlI=IPF2∣=3時(shí)取等號(hào)，

.?.∣PFlHPF2|的最大值為9.

∣M∣+∣PFιI=∣B4∣-?PF2?+6.

22______

由橢圓方程方+方=1知c=.9—5=2,

.?.F2（2,O）,.?.∣ΛF2∣=√2.

利用一∣AB∣W∣∕?LlPF2∣WHF2∣（當(dāng)P、A、B共線時(shí)等號(hào)成立）.

Λ∣Λ4∣+∣PFι∣≤6+√2,∣7?∣+∣PF∣∣≥6-√2.

故∣∕?∣+∣PF∣∣的最大值為6+√2,最小值為6-√2.

21、FH放是橢圓Ca+*=l（α>Z>O）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且

NRP尸2=60。.假設(shè)4PRF2的面積為3√5,那么b=3.

解析：?PFι?+?PF2?=2a,又NBPF2=60°,

22o2

所以IPFlI+∣PF2∣-2∣PFI∣∣PF2∣COS60=∣FιF2∣,

2

即（IPFl1+IP尸2∣）2-3∣PFI∣∣PF2∣=4C,

222

所以3∣PFι∣∣PF2∣=4a-4c=4?,

4

所以IPMilPE2∣=^2,

又由于SZ?PBF2=3PnIlPf'2∣sin60°=gx,02><坐=坐序=3小，所以b=3.

故填3.

22、（2021?大慶模擬）點(diǎn)M（√5,0）,橢圓，+V=I與直線y=A（χ+?。┙挥邳c(diǎn)A、

B,那么aABM的周長(zhǎng)為8.

解析：直線y=Mχ+5）過(guò)定點(diǎn)M-S，0）.

而M、N恰為橢圓了+y2=i的兩個(gè)焦點(diǎn)，

由橢圓定義知aABM的周長(zhǎng)為4α=4X2=8.

23、（2019?課標(biāo)川，15）設(shè)回，尸2為橢圓Cf1+楚=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上

一點(diǎn)且在第一象限.假設(shè)AMFiB為等腰三角形，那么目的坐標(biāo)為（3,√B）.

解析：由于R,放分別是橢圓C的左，右焦點(diǎn)，由M點(diǎn)在第一象限，△

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MRF2是等腰三角形，知IBM=尸聲2|,又由橢圓方程會(huì)+若=1,知尸砂2∣=8,

IBM+尸2M=2X6=12,

所以IBM=IFIF2∣=8,所以∣BM=4?

設(shè)M(X(),γo)(xo>O,jo>O),

訓(xùn).∫(ΛO+4)2+>-3=64,

那么，,,,

[(ΛO-4)^+y8=16,

解得XO=3,yo=yfl5,即M(3,Λ∕15).

24、(2021.河北衡水調(diào)研)設(shè)Q、入分別是橢圓:+導(dǎo)=1的左、右焦點(diǎn)，P為橢

圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4),那么IPMl-IPRI的最小值為一5一.

解析：由題意可知F2(3,0),

由橢圓定義可知IPFlI=2α—∣PB∣.

Λ∣PM∣-∣PF∣∣=∣PM∣-(2a-?PF2?)=?PM?+?PF2?-2αN∣MB∣—2”(當(dāng)且僅當(dāng)

M,P,入三點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào))，

又'2∣=叱6—3)2+(4—Op=5,2α=10,

Λ∣PM∣-∣PFι∣≥5-