平面向量-五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題匯編

五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識點分類匯編9-平面向量

（含解析）

一、單選題

1.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）在ABC中，點。在邊AB匕3D=2ZM.記CA=m,CO=〃,

則CB=（）

A.3m-2nB.-2∕n+3nC.3m÷2nD.2m+3π

2.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知向量4,8滿足|〃|=1,屹|(zhì)=6,必-26|=3,則4力=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（2022.全國?統(tǒng)考高考真題）已知向量α=（3,4）,b=（l,0）,c=α+仍，若<α,c>=<b,c>,

則，=（）

A.-6B.-5C.5D.6

4.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知向量”=（2,1）0=（-2,4）,則，（）

A.2B.3C.4D.5

5.（2022.北京.統(tǒng)考高考真題）在中，AC=3,8C=4,NC=90。.P為.ABC所在

平面內(nèi)的動點，且PC=1,則/%.PB的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,61

6.（2021?浙江?統(tǒng)考高考真題）己知非零向量”,4c,貝=是"α=b''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

7.（2020?全國?統(tǒng)考高考真題）已知向量a,Z;滿足1。1=5,∣?∣=6,q?b=-6,貝IJ

cos<a9a+b>=（）

A.-∣1B.YC,??D.火

35353535

8.（2020.全國?統(tǒng)考高考真題）已知單位向量〃，匕的夾角為60。，則在下列向量中，與

b垂直的是（）

A.a+2bB.2a+hC.a-2bD.2a—b

9.（2020?海南?統(tǒng)考高考真題）已知P是邊長為2的正六邊形ABCOEF內(nèi)的一點，則

AP-AB的取值范圍是（）

A.（-2,6）B.（-6,2）

C.(-2,4)D.(Y,6)

10.（2020?海南?高考真題）在√1BC中，。是AB邊上的中點，則ɑ=（）

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

11.（2020?山東?統(tǒng)考高考真題）已知平行四邊形4BCD,點E,F分別是AB,BC的

中點（如圖所示），設(shè)A8=α,AD=b,則E尸等于（）

D.—a+b

2

12.（2020.山東.統(tǒng)考高考真題）已知點A（4,3）,8(T,2),點P在函數(shù)y=∕-4x-3圖

象的對稱軸上，若PALPB，則點尸的坐標(biāo)是（）

A.（2,-6）或（2,1）B.（-2,-6）∏g（-2,1）

C.（2,6）或（2,-1）D.（-2,6）或（-2,-1）

13.（2019?全國?高考真題）已知非零向量αb滿足H=2W,且⑦-始?b,則α與b的

夾角為

πC兀-2πC5π

A.-B.-C.—D.—

6336

14.（2018?全國?高考真題）在44?C中，AD為BC邊上的中線，E為AO的中點，則

EB=

3113

A.二AB——ACB.-AB--AC

4444

3——?…1…―3一

C.-AB-F-ACD.-AB-I--AC

4444

15.(2019?全國,高考真題)已知AB=(2,3),AC=(3,。，忸。卜1,則AB?3C=

A.-3B.-2

C.2D.3

16.（2018?全國?高考真題）已知向量a,b滿足∣a∣=l,ab=-l,則a?（2a-b）=

A.4B.3C.2D.0

17.(2019?全國?高考真題)已知向量2=(2,3)石=(3,2),^A?a-b?=

A.√2B.2

C.5母D.50

18.（2018?北京?高考真題）設(shè)向量。力均為單位向量，則“∣α-35∣=∣3Z+耳|”是"a_Lb”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不

必要條件

19.（2018?天津?高考真題）如圖，在平面四邊形ABCZ）中，

AB_LBC,AO_LC￡>,NBW=I20,AB=AC=I,

若點E為邊C。上的動點，則AEBE的最小值為

二、多選題

20.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知。為坐標(biāo)原點，過拋物線C:y2=2px（p>0）焦點

F的直線與C交于A,B兩點，其中A在第一象限，點例（P,O）,若IAFl=IAM∣,則（）

A.直線AB的斜率為2尚B.∣OB∣=∣OF∣

C.?AB?>4?OF?D.ZOAM+ZOBM<?80o

21.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）已知。為坐標(biāo)原點，點耳（COSe,sinα）,鳥（CoSP,-sin/）,

6（cos（α+/）,sin（α+萬）），A（l,0）,則（）

A?|。耳=|。閭B.卜止IAq

C.OAOP3=OPcOP2D.OA?OP{=OP2OP3

三、填空題

22.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）設(shè)向量α,。的夾角的余弦值為g,且M=I,M=3,

則（2a+可力=.

23.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知向量α=（m,3）力=（LM+1）.若皿,則加=

24.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）設(shè)點P在單位圓的內(nèi)接正八邊形A44的邊A4上,

2

則尸簫+PA2++漏的取值范圍是.

25.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）已知向量α=（l,3）,6=（3,4）,若（α-助）J_6,貝∣]2=

26.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）已知向量”=（3,l）,b=（l,0）,c=α+A^?若Cc,則％=

27.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）已知向量α+6+c=0,W=I,W=H=2,

ab+b?c+c?a=?

28.（2021?全國?高考真題）若向量”,6滿足卜|=3,卜-0=5,“2=1,則W=.

29.（202卜全國?統(tǒng)考高考真題）已知向量4=（2,5）力=（44）,若：/4，則；1=.

30.（2021?浙江?統(tǒng)考高考真題）已知平面向量”,4c,（c≠0）滿足

W=1,忖=2,4/=0,（。-%）,。=0.記向量"在4,%方向上的投影分別為*，y，2-“在C方

向上的投影為Z,則f+V+Z?的最小值為.

31.（2020?全國?統(tǒng)考高考真題）設(shè)6為單位向量，且∣4+b|=1,貝IJla-6|=

32.（2020?全國?統(tǒng)考高考真題）已知單位向量；工的夾角為45。，與:垂直，則

k=.

33.（2020?全國?統(tǒng)考高考真題）設(shè)向量α=（1,-1）,6=QW+1,2"L4）,若H,則加=

34.（2020?江蘇?統(tǒng)考高考真題）在AABC中，AB=4,AC=3,Nfi4C=90。,。在邊BC上，

延長AO到P,使得AP=9,若尸A=機尸8+（5-MPC（而為常數(shù)）,則CZ）的長度是.

35.（2020?浙江?統(tǒng)考高考真題）設(shè)e；,e2為單位向量，滿足∣2e∣-e2∣≤√∑,a=et+e2,

2

b=3el+e2,設(shè)α,h的夾角為θ,則cosθ的最小值為.

36.（2019?全國?統(tǒng)考高考真題）已知α,b為單位向量，且ab=。，若c=2α-J豆，則

cos<a,c>=.

37.（2018?全國?高考真題）已知向量4=（l,2）,6=（2,-2）,C=（I"）.若C（2a+〃），則

λ=.

38.（2019?全國?高考真題）已知向量α=（2,2）,6=（-8,6）,則CoS（a,6）=.

39.（2019?天津?高考真題）在四邊形ABcD中，AD/∕BC,AB=2√3,AD=S,

ZA=30°,點E在線段CB的延長線上，且AE=BE,貝∣J8O?AE=.

四、解答題

40.（2020?山東?統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點O,橢圓上+y2=ι的頂

4

點分別為A，Λ,B∣,B2,其中點4為拋物線的焦點，如圖所示.

（1）求拋物線的標(biāo)準方程；

（2）若過點4的直線/與拋物線交于M,N兩點，且（OM+6W）∕∕44,求直線/的

方程.

五、雙空題

41.（2022?天津?統(tǒng)考高考真題）在A8C中，CA=a,C8=h,O是AC中點，CB=IBE,

試用a,b表示為,若ABLDE，則N>AC8的最大值為

42.（2021?天津.統(tǒng)考高考真題）在邊長為1的等邊三角形A8C中，。為線段BC上的動

點，DEIA8且交AB于點E.r>∕7∕AB且交4C于點匕則∣2BE+OF∣的值為；

（DE+DF）-DA的最小值為.

43.（2021.北京?統(tǒng)考高考真題）已知向量°,Ac在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)

格紙上小正方形的邊長為1,則

(d+b)?c=;a?b=?

44.（2020.天津.統(tǒng)考高考真題）如圖，在四邊形ABC。中，N8=60°,AB=3,BC=6,

一3

且m=MC,AO?"=W,則實數(shù)2的值為——'若",N是線段BC上的動點,

且IMNl=1,則DM?DN的最小值為

45.（2020?北京?統(tǒng)考高考真題）已知正方形ABCD的邊長為2,點P滿足

1

AP=-(AB+AC),則IPOI=.；PBPD=

參考答案：

1.B

【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出.

【詳解】因為點。在邊48上，BD=2DA,所以80=204,即CO-C8=2(C4-CQ),

所以CB=3CO-2CA=3〃-2機=-2m+3〃.

故選:B.

2.C

【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運算求解即可.

【詳解】M：V∣α-2?∣2=∣a∣2-4α??+4∣?∣2,

XV∣α∣=l,∣ft∣=λ^,∣β-2?|=3,

?*?9=l-4α?b+4×3=13-4d??>

?'?a`b=1

故選：C.

3.C

【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得

/、,,,,9+3f+163+r

【詳解】解：e=(3+f,4),cos(a,e)=cos(A,c),即一乖一二-pp,解得f=5,

故選：C

4.D

【分析】先求得α-6,然后求得口-4.

【詳解】因為4d=(2,1)—(—2,4)=(4,-3),所以卜-N=J4?+(-3)?=5.

故選：D

5.D

【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(COSaSin0),表示出外，依，根據(jù)數(shù)量積的

坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得;

【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則C(O⑼，A(3,0),B(0,4),

因為尸C=I,所以P在以C為圓心，1為半徑的圓上運動,

設(shè)尸(CoSaSine),夕∈[0,2司,

所以∕?=(3-cosΘ.-sin0),PB=(-cosθ,4-sinθ),

所以PA-P3=(-cos6)χ(3-COSe)+(4-Sine)X(-sin8)

=Cos20-3cos4sin0+sin2θ

=1-3cos6—4sin6

34

=1-5sin(夕+0),其中Sine=g,C0S^9=-,

因為一l≤sin(e+0)≤l,所以一4≤l-5sin(e+e)≤6,即PA?PB∈[-4,6]；

故選：D

6.B

【分析】考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.

【詳解】如圖所小，QA=",OB=b,OC=C,8A=α-〃，當(dāng)AS_LoC時，。―。與C垂直,

I4/-Λ∣?<-0,所以J一九；.成立，此時QWb,

：.ac_VZ不是α=6的充分條件，

∕Γ■rrr

當(dāng)&=人時，α-b=O,叫?c=O?c=O,.?.>;_.成立,

???>￡="；.是α=b的必要條件，

綜上，-小，”是““一/；”的必要不充分條件

故選：B.

7.D

【分析】計算出α?(α+b)?∣α+W的值，利用平面向量數(shù)量積可計算出cos<〃,〃+%>的值.

【詳解】Jd=5,|4=6,a?b=-6，6f?+?)=∣fl,∣2÷6f??=52-6=19.

∣<7÷?∣=J(a+b)=y∣a~+2a?b+b=,25-2x6+36=7,

a?aΛ-b?1919

因此，cos<a,a+h>=-∣-∩-----r=-~—=—.

∣α∣?∣α+∕j∣5x735

故選：D.

【點睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計算，同時也考查了平面向量數(shù)量積的計算以及向

量模的計算，考查計算能力，屬于中等題.

8.D

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義、運算性質(zhì)，結(jié)合兩平面向量垂直數(shù)量積為零這一性質(zhì)

逐一判斷即可.

【詳解】由已知可得：α??=∣α∣?∣?∣?cos60=I×1×1=1.

215

A：因為(α+2Z0?A=α?4+2Z?=?+2×l=^≠0,所以本選項不符合題意；

21

B：因為(2a+b)?b=2α?Z?+/?=2×-÷l=2≠0,所以本選項不符合題意；

213

C：因為（?！?Z?）?！?。=--2×l=--≠0,所以本選項不符合題意;

D：因為（2"-b）m=2ɑ?6-z∕=2xg-l=0,所以本選項符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的定義和運算性質(zhì)，考查了兩平面向量數(shù)量積為零則這

兩個平面向量互相垂直這一性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運算能力.

9.A

【分析】首先根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合正六邊形的特征，得到AP在Aθ方向上的投影的

取值范圍是（T，3）,利用向量數(shù)量積的定義式，求得結(jié)果.

【詳解】

AB的模為2,根據(jù)正六邊形的特征,

可以得到Ap在AB方向上的投影的取值范圍是（T，3）,

結(jié)合向量數(shù)量積的定義式,

可知APA8等于A8的模與AP在AB方向上的投影的乘積,

所以AP?A8的取值范圍是（-2,6）,

故選:A.

【點睛】該題以正六邊形為載體，考查有關(guān)平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的知識點有

向量數(shù)量積的定義式，屬于簡單題目.

IO-C

【分析】根據(jù)向量的加減法運算法則算出即可.

【詳解】

CB=CA+AB=CA+2AD=CA+2^CD-Cλ)=2CD-CA

故選：C

【點睛】本題考查的是向量的加減法，較簡單.

11.A

【分析】利用向量的線性運算，即可得到答案;

【詳解】連結(jié)4C,則AC為ABC的中位線，

.?.EF=-AC=-a+-b,

222

故選：A

12.C

【分析】由二次函數(shù)對稱軸設(shè)出P點坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)表示計算可得.

【詳解】由題意函數(shù)y=Y-4x-3圖象的對稱軸是x=2,設(shè)尸(2,y),

因為PAJ.PA，所以PA?P8=(2,3-y)?(-6,2-y)=-12+(3-y)(2-y)=0,解得>=6或

y=~l,所以P(2,6)或P(2,-l),

故選：C.

13.B

【分析】本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化與

化歸、數(shù)學(xué)計算等數(shù)學(xué)素養(yǎng).先由(α-b)J■，得出向量”,b的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用

向量夾角公式即可計算出向量夾角.

【詳解】因為(a-b)_L人，所以(a—〃).石=aZ—1=0,所以a?b=t>^^，所以COSe=

abI邸1π

EΠ=?TQ=不，所以°與〃的夾角為丁，故選B.

?a???b?2|。|23

【點睛】對向量夾角的計算，先計算出向量的數(shù)量積及各個向量的摸，在利用向量夾角公式

求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為。兀］.

14.A

【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得BE=：BA+：BD,

22

之后應(yīng)用向量的加法運算法則——三角形法則，得至IJBC=BA+AC，之后將其合并，得到

3131

BE=-BA+-AC,下一步應(yīng)用相反向量，求得E3==A8-?74C,從而求得結(jié)果.

4444

【詳解】根據(jù)向量的運算法則，可得

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-(BA+AC]BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

222424、724444

31

所以EB=-AB--AC,故選A.

44

【點睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識點有三角形的中線

向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需

要認真對待每一步運算.

15.C

【分析】根據(jù)向量三角形法則求出t,再求出向量的數(shù)量積.

【詳解】由BC=AC-AB=(IJ-3),∣βC∣=√l2+(r-3)2=1,得/=3,則8C=(1,0),

AB.BC=(2,3).(1,0)=2×l+3×0=2.故選C.

【點睛】本題考點為平面向量的數(shù)量積，側(cè)重基礎(chǔ)知識和基本技能，難度不大.

16.B

【詳解】分析：根據(jù)向量模的性質(zhì)以及向量乘法得結(jié)果.

詳解：^a-(2a-b)^2a-a-b=2?a?i-(-1)=2+1=3,

所以選B.

2l

點睛:向量加減乘：a±b=(xl±x2,yi±y2),a=?a?,a-b=?a[?b?∞s(a,b^

17.A

【分析】本題先計算α-b,再根據(jù)模的概念求出∣α-6∣?

【詳解】由已知,α-?=(2,3)-(3,2)=(-1,1),

所以Iα—〃I=J(T)-+F=V2>

故選A

【點睛】本題主要考查平面向量模長的計算，容易題，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考

查.由于對平面向量的坐標(biāo)運算存在理解錯誤，從而導(dǎo)致計算有誤；也有可能在計算模的過

程中出錯.

18.C

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

【詳解】因為向量。力均為單位向量

所以|0-35|=|34+切=(〃-342=(34+6)2

22.22

Oa-6ab+9b=9?+6a?b+b

=I-6α?b+9=9+6α?Z>+l

=a?b=0OaLb

所以“I〃-3引=|3α+勿”是“a”的充要條件

故選：C

【點睛】本題考查的是向量數(shù)量積的應(yīng)用和充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

19.A

【詳解】分析：由題意可得aABD為等腰三角形，4BCD為等邊三角形,把數(shù)量積AE?8E

分拆，設(shè)OE=rOC(0≤f≤l),數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，用函數(shù)可求得最小值。

詳解：連接BD,取AD中點為0,可知AABD為等腰三角形，而ABJ.8C,4O，8,所以

△BCD為等邊三角形,BD=G設(shè)。E=∕OC(0≤f≤l)

232

AEBE=(AD+DE)?(BD+DE)=AD?BD+DE?(AD+BD)+DE=→BD?DE+DE

ι3

=3t2--tt+-(0≤t≤])

22

121

所以當(dāng)￡=：時，上式取最小值§，選A.

416

點睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量

都用基底表示。同時利用向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。

20.ACD

【分析】由∣4Fl=IAMl及拋物線方程求得4半,冬），再由斜率公式即可判斷A選項；表

示出直線A3的方程，聯(lián)立拋物線求得以號,-華），即可求出IOBI判斷B選項；由拋物線

的定義求出IAM=等即可判斷C選項；由OA?OB<0,M4?MB<0求得∕AQ8,ZAMB為

鈍角即可判斷D選項.

【詳解】對于A,易得F（5,0）,由IAfj=IAMl可得點A在尸M的垂直平分線上，則A點橫

P

坐標(biāo)為2+0n=3p,

2^T

代入拋物線可得J=2p?,=∣p2,則A（￥，與），則直線A8的斜率為尸一=2"，

4~2

A正確；

-1p

對于B,由斜率為r可得直線AB的方程為X=1后V+：,聯(lián)立拋物線方程得

1，八

y2-Py-P=°,

設(shè)8（XQJ,則且p+y=如0,則乂=一圓,代入拋物線得

=2p?x∣解得

263

則IoM=≠?0F?=-^?,B錯誤;

對于C,由拋物線定義知：∣A8∣=y+^+p=督>2p=4∣OF∣,C正確;

04。Be,季）咚一用=爭當(dāng)卜當(dāng)卜乎<0,則205為

對于D,

鈍角,

又MA?M8=(-R,一絲-<O,則ZAMB

4O

為鈍角，

XZAOB+ZAMB+ZOAM+ZOBM=360,則ZOAM+NoBM<180,D正確.

故選：ACD.

21.AC

UUUlUUU

【分析】A、B寫出。R,OP、、APl,A4的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、

D根據(jù)向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.

【詳解】A：OP1=(cosα,sina),OP2=(cos∕7,-sin∕?),所以Ioql=JCOS?a+sin?a=1,

22

IOP21=7(cos∕J)+(-siny9)=1,故IoqI=IO￡|,正確；

B：APi=(cosa-l,sinar),AP2=(cos/7-1,-sin/?),所以

22222

加ι=√(cosa-l)+sina=>∕cosa-2cosa÷l+sina=5∕2(l-cosa)=^4sin?=21siny∣

，同理IAEI="(cos6一I)?+si??夕=21sin，I,故|金∣,∣A6|不一定相等，錯誤；

C：由題意得：OA-OI}ι=1×∞s(a+∕?)+0×sin(a+/3)=cos(a÷>9),

OPχOP1=cosa?∞sy0+sina?(-sin∕?)=cos(a+β),正確；

D：由題意得：OA-OPx=IXCoSa+0XSina=CoSa,

OP1-OPy=cosβ×cos(a+尸)+(-sinβ)×sin(a+β)

=cos(β+(a+β))=cos(a÷2β),故一般來說Q4?O[wOE?QR故錯誤；

故選：AC

22.11

【分析】設(shè)a與b的夾角為凡依題意可得cos。=；,再根據(jù)數(shù)量積的定義求出最后

根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得.

【詳解】解：設(shè)“與6的夾角為。，因為α與6的夾角的余弦值為g,即Cos，=g,

又M=l,W=3,所以α?匕=忖?Wcos6=lx3χg=1,

所以(24+6)m=24?6+/=2o?A+W=2x1+32=11.

故答案為：11?

23.--##-0.75

4

【分析】直接由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.

3

【詳解】由題意知：Q?b=m+3(m+l)=0,解得m=一一.

4

3

故答案為：一了.

4

24.[12+2√2,I6∣

【分析】根據(jù)正八邊形的結(jié)構(gòu)特征，分別以圓心為原點，44所在直線為X軸，AA所在

直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，即可求出各頂點的坐標(biāo)，設(shè)P(X,y),再根據(jù)平面向量模

的坐標(biāo)計算公式即可得到尸4：+P￡++PA；=8(χ2+y2)+8,然后利用cos22.5≤∣0P∣≤l即

可解出.

【詳解】以圓心為原點，44所在直線為X軸，4A所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

如圖所示：

f√2√2^∣(00(√2

則A(O,I),A?-,A3(l,0),A∣——,——,A5(0,-l),?——,——,A7(-1,0),

(Of^???2

Λ——t*-τ^?設(shè)P(X,y),于是尸A+PA2++P4=8(元2+y，+8,

\)

因為8$22.54。尸區(qū)1,所以上詈≤χ2+y2≤ι,故PA；+PA；++PA；的取值范圍是

[12+2√2,16].

故答案為：[12+2√5,16].

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出.

【詳解】因為α-肪=(l,3)-∕l(3,4)=(1-343-42),所以由(。-助)_16可得，

3(l-3Λ)+4(3-4Λ)=0,解得2=1.

3

故答案為：

【點睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)〃=(χ,χ)力=(9，%)，

aJ_bOab=OOxlx2+yly2=0,注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分.

26.-?θ,

3

【分析】利用向量的坐標(biāo)運算法則求得向量。的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零求得k的值

【詳解】.α=(3,l),6=(l,0),.x=4+初=(3+Z,l),

4,c,.?.α?c=3(3+^)+lxl=0,解得上=-?,

故答案為：-日.

【點睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量

"=(%,弘)，4=(超,%)垂直的充分必要條件是其數(shù)量積方花+苗必=0.

--1

【分析】由已知可得(“+

b+cf=0,展開化簡后可得結(jié)果.

【詳解】由已知可得R+6+c)=a+b^+c2+2^a?b+b-c+c?a^=9+2^a?b+b?c+c-a^=0,

9

因止匕，a-h+hc+c?a=——.

2

故答案為：-∣9.

28.3√Ξ

【分析】根據(jù)題目條件，利用“-〃模的平方可以得出答案

［詳解］Ra45

∕?∣fl-?∣=o'+?'-2α??=9+∣ft∣-2=25

Λ∣?∣=3√2.

故答案為：3√L

29.-

5

【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于2的方程，解方程即可求得實數(shù)2的值.

【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：2x4-2*5=0,

Q

解方程可得：Λ=-.

Q

故答案為：

30.-

5

【分析】設(shè)。=(1,0),0=(0,2),C=(W),由平面向量的知識可得2x+y-&z=2,再結(jié)合柯

西不等式即可得解.

【詳解】由題意,設(shè)〃=(l,0),Z?=(0,2),c=(m∕),

貝==BPtn=2n,

又向量d在〃力方向上的投影分別為x,y,所以d=(x,y),

所以在C方向上的投影Z=R=W?=在二群，

IClyjftι2+n2÷√5

即2x÷y.至Z=2,

2

5

r

所以/+y2+z2的最小值為土)

,2

故答案為：y.

【點睛】關(guān)鍵點點睛:

解決本題的關(guān)鍵是由平面向量的知識轉(zhuǎn)化出％MZ之間的等量關(guān)系，再結(jié)合柯西不等式變形

即可求得最小值.

31.√3

【分析】整理已知可得：∣α+q=J(α+M,再利用α,b為單位向量即可求得2人。=-1，對

1-彳變形可得：上斗JM-2α?b+W,問題得解.

【詳解】因為6為單位向量，所以W=M=I

所以k+=J(α+/?)=^∣α∣+2α??+∣?∣=?∣2+2a?b=1

解得：2a-b=-?

所以‘Lq='(a-/?)=^|?|-2α?∕>+∣?∣=?/?

故答案為：√3

【點睛】本題主要考查了向量模的計算公式及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

32.縣

2

【分析】首先求得向量的數(shù)量積，然后結(jié)合向量垂直的充分必要條件即可求得實數(shù)人的值.

【詳解】由題意可得：a?b=1×Ixcos45=—―,

2

由向量垂直的充分必要條件可得：(ka-b?a=O,

即：kxa-cι?b=k-4L=G,解得：k=^L.

22

故答案為：立.

2

【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積定義與運算法則，向量垂直的充分必要條件等知識,

意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

33.5

【分析】根據(jù)向量垂直，結(jié)合題中所給的向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求得結(jié)果.

【詳解】由αJ■〃可得“?b=O,

又因為“=(L-I)S=(枕+1,2機-4),

所以“為=l?(∕n+l)+(-l)?(2∕n-4)=0,

艮[J〃?=5,

故答案為：5.

【點睛】本題考查有關(guān)向量運算問題，涉及到的知識點有向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題

目.

1Q

34.1或0

【分析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)*4PD(4>0),結(jié)合PA=加依+俁沙。與BQC三點共線，

可求得兒，再根據(jù)勾股定理求出BC,然后根據(jù)余弦定理即可求解.

【詳解】：ADP三點共線，

丁PA=mPB+(I—m)PC,

??"=，"依+《-沙C,即正加+弓二L，

λλ,

若〃-0且加≠g,則8,RC三點共線，

[,即a=3，

I+-λ_―2

VΛP=9,ΛAD=3,

?/AB=4,AC=3,ZBΛC=90O,

/.BC=S,

設(shè)Cf>=x,ZCDA=θ,貝∣j3L>=5-x,NBDA=A9.

2222222

?+E)?HaAH?r:OTE殂CAD+CD-ACx,ZnAD+BD-AB(5-x)-7

??根據(jù)余弦定理可得cos。=24D?8-=k'c°s(f=顯而=上廣

''COS0+COS(Λ?-0)=O,

???2+??=°,解得X=?，

66(5r)5

1Q

???8的長度為

當(dāng)機=O時，PΛ=^PCf重合，此時Co的長度為0,

3Q

當(dāng)切=彳時，PA=VB,8,。重合，此時R4=12,不合題意，舍去.

2，

IQ

故答案為：O或1.

【點睛】本題考查了平面向量知識的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用以及求解運算能力，解答本題的

關(guān)鍵是設(shè)出PA=2P0(∕>O).

35?H

Irlra

【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化簡條件得qqS；,再根據(jù)向量夾角公式求

COSFe函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值.

【詳解】Q2g1-X∣≤√2,

4—4q??,+1≤2,

UrIr3

.,.β∣?β2≥~,

UUUIi

(a?b)2

(4+4GC)?4(1+6?e7)

2----------IJIrI-=_MIr=讓Ir

：.COSθ=?2?2

a?b(2+2e1?e2)(10+6e1?e2)5+3e1?e2

424228

=-(1--------a-tF)≥-(l----------τ)=-

35+3qq35+3χ329.

4

故答案為：g

【點睛】本題考查利用模求向量數(shù)量積、利用向量數(shù)量積求向量夾角、利用函數(shù)單調(diào)性求最

值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.

36.§

【分析】根據(jù)∣CF結(jié)合向量夾角公式求出∣C∣,進一步求出結(jié)果.

【詳解-】因為c=2α—石/?,a?b=0,

所以α?c=2/一有〃.》=2,

∣C∣2=4∣ΛI2-4√5Π??+5∣?∣2=9,所以IeI=3,

aC22

所以cos<α,c>=麗=正Γ5?

【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積、向量的夾角.滲透了數(shù)學(xué)運算、直觀想象素養(yǎng).使

用轉(zhuǎn)化思想得出答案.

3j7)?—2

【分析】由兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系計算即可.

【詳解】由題可得2α+6=(4,2)

C〃卜4+6),c=(1,A)

.?.4λ-2=0,BPλ=∣

故答案為科

【點睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運算，以及兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

38.--

10

【分析】根據(jù)向量夾角公式可求出結(jié)果.

cι?b2x(-8)+2x6V2

llllil'j?a?.?b?√F72Γ×√(-8)2+62W-

【點睛】本題考查了向量夾角的運算，牢記平面向量的夾角公式是破解問題的關(guān)鍵.

39.-1.

【分析】建立坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)運算分別寫出向量而求解.

【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則8(2石,0),D注否.

22

因為AO〃BC,ZBAD=30°,所以NeA4=15()。，

因為AE=BE,所以ZBAE=ZABE=30。，

所以直線8E的斜率為坐，其方程為y=4(x_2g),

直線AE的斜率為-立，其方程為)，=-正》.

33

V=乎(X-20)，

由“-得X=J，y=τ,

√r3

V=---X

V3

所以E(石,-1).

【點睛】平面向量問題有兩大類解法：基向量法和坐標(biāo)法，在便于建立坐標(biāo)系的問題中使用

坐標(biāo)方法更為方便.

40.(1)/=8x；(2)(√6-2)x-y-4+2√6=0.

【分析】(1)根據(jù)拋物線的焦點，求拋物線方程；(2)首先設(shè)出直線/的方程為y=%(x+2),

與拋物線方程聯(lián)立，并利用韋達定理表示OM+ON，并利用(OM+ON)〃用人,求直線的

斜率，驗證后，即可得到直線方程.

【詳解】解：(1)由橢圓土+V=I可知/=4,從=1,

4

所以0=2,b=?,則4(2,0),

因為拋物線的焦點為4,可設(shè)拋物線方程為Y?=2px(p>0),

所以￡=2,即p=4.

2

所以拋物線的標(biāo)準方程為V=8x.

2

(2)由橢圓:+尸=［可知4(_2,0),β2(O,-l),

若直線/無斜率，則其方程為x=-2,經(jīng)檢驗，不符合要求.

所以直線/的斜率存在，設(shè)為左,直線/過點A(-2,0),

則直線/的方程為y=z(χ+2),

設(shè)點Ma,χ),N(X2,%),

、>[y=Λ(x+2)

聯(lián)立方程組。Q,

[y-=8x

消去Y,Wk2x2+(4?2-8)x+4?2=0.?

因為直線/與拋物線有兩個交點，

f?2≠0f^≠θ

所以,即。2/22，

[?>0[(4?2-8)-4?2×4?2>0

解得τ<z<ι,ja?≠o.

由①可知x∣+x2=8,

所以X+%=Z(Xl+2)+?(X2+2)=k(X]+x2)÷4?=——-——+4k=-,

則OM+ON=(x,+x2,y,+y2)=廣*々-,,

因為(OM+0N)∕∕B∣4,且4$=(2,0)-(0,-1)=(2,1),

匚UZ8-4左2c8c

所以——---2×-=0,

kk

解得/=-2+"或/=-2-",

因為一1<氏<1,S,k≠O,

所以％=-2-"不符合題意，舍去，

所以直線/的方程為丫=卜2+遙及+2),

βp(√6-2)x-y-4+2√6=0.

「3,1π

41.-D——a—

226

【分析】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出OE,以｛〃/｝為基底，表示出

AB,DE,由ΛBL0E可得3∕∕+J=46?α,再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以點E為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E(0,0),8(1,0),C(3,0),A(x,y),由他_|_小可

得點A的軌跡為以M(TO)為圓心，以r=2為半徑的圓，方程為(x+l>+y2=4,即可根據(jù)

幾何性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)C4與IM相切時，NC最大，即求出.

【詳解】方法一:

31

DE=CE-CD=^h--a,AB=CB-CA=h-a,AB±DE=>(3b-a)^b-a)=0f

3。2+5=4人=343葡=布節(jié)端'=爭當(dāng)且僅當(dāng)同=碎時取等

號，而O<ZACB<τt,所以NACBe(O,工］.

6