角、相交線與平行線（6個知識點）-中考復(fù)習(xí)講義及練習(xí)（解析版）

第四部分三角形

專題12角、相交線與平行線（6大考點）

核心考點一直線和線段

核心考點二角與角平分線

核心考點三相交線

核心考點

核心考點四平行線的判定

核心考點五利用平行線求角度或證明

核心考點六命題

新題速遞

核心考點一直線和線段

O房題回究

例R（2021.江蘇泰州.統(tǒng)考中考真題）互不重合的4、B、C三點在同一直線上，已知AC=2c∕+l,BC="+4,

AB=34,這三點的位置關(guān)系是（）

A.點A在3、C兩點之間B.點8在A、C兩點之間

C.點C在4、8兩點之間D.無法確定

【答案】A

【分析】分別對每種情況進行討論，看”的值是否滿足條件再進行判斷.

【詳解】解：①當(dāng)點A在5、C兩點之間，則滿足BC=AC+45,

即。+4=2?+1+3。，

3

解得：,符合題意，故選項A正確；

4

②點8在A、。兩點之間，則滿足AC=BC+AB,

i-`p2/2+l=α+4+3α，

3

解得：〃=-彳，不符合題意，故選項B錯誤；

③點C在A、B兩點之間，則滿足AB=BC+47,

即34=α+4+2zz+l,

解得：“無解，不符合題意，故選項C錯誤；

故選項D錯誤；

故選：A.

【點睛】本題主要考查了線段的和與差及一元一次方程的解法，分類討論并列出對應(yīng)的式子是解本題的關(guān)

鍵.

顧國（2022?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題）如圖，在一ABe中，NABC=90。，ZA=60°,直尺的一邊與BC重合,

另一邊分別交A8,AC于點點B,C,ZZE處的讀數(shù)分別為15,12,0,1,則直尺寬2。的長為.

【答案】也

3

【分析】先求解AB=6,AO=且，再利用線段的和差可得答案.

3

【詳解】解：由題意可得：DE=?,DC=15-12=3,

ZA=60°,ZABC=90°,

?AB=BC=A=√3,

tan60o√3

motEDE?√3

I可理：AD=------=-==——,

tan60o√733

?BD=AB-AD=√3--,

33

故答案為：述

3

【點睛】本題考查的是銳角的正切的應(yīng)用，二次根式的減法運算，掌握“利用銳角的正切求解三角形的邊長”

是解本題的關(guān)鍵.

甌（2022.黑龍江牡丹江.統(tǒng)考中考真題）如圖，ΛBC和J3EF,點E,F在直線Be上，AB=￡＞尸，NA=ND,

ZB=ZF.如圖①，易證：BC+BE=BF.請解答下列問題：

（1）如圖②，如圖③，請猜想8C,BE,B尸之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出猜想結(jié)論;

（2）請選擇（1）中任意一種結(jié)論進行證明；

o

（3）若A8=6,CE=2,ZF=60,S4βc=12√3,貝IJBC=,BF=.

【答案】（1）圖②：BC+BE=BF；圖③：BE-BC=BF

（2）證明見解析

（3）8,14或18

【分析】（I）先判斷兩個三角形全等，再結(jié)合線段的和差求解即可；

（2）先證兩個三角形全等，再結(jié)合線段的和差求解即可；

（3）過點A作AABC的高4G,求出AG的長，再根據(jù)三角形的面積求出8C的長，進而求出BF即可.

【詳解】（1）解：圖②：BC+BE=BF.

圖③：BE-BC=BF.

（2）解：圖②中

在，A8C和中，

AB=DF

?：,NA=NO,

ZB=ZF

：..ABCWADFE,

LBC=FE,

：.BF=BC+CE+EF=BC+CE+BC,

即BC+BE=BF.

或圖③中，BE-BC=BF

在,AfiC和△￡>/2￡中，

AB=DF

?：，NA=NO,

ZABC=ZDFE

：...ABC迫ADFE,

：.BC=FE,

BE=BF+EF,

BE-BC=BF+EF-BC=BF+BC-BC=BF

BE-BC=BF.

(3)解：過點A作AGj_BC于G,

,/一ABC也ADFE,

,NB=NF=60。，

在Rt△ABGψ,

?'AB=6,NB=60°,

AG=A8?sinβ=6×sin60。=3百，

又SABC=I26

Λ-^BC?AG=12√3

2

.?.8C=8,

XVCE=2,

：.BF=BC+BE=8+8-2=14,或BF=BC+BE=8+8+2=18,

故答案為：8,14或18.

合圖形找到線段之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

厚命題內(nèi)限

直線由無數(shù)個點構(gòu)成，點動成線。直線是面的組成成分，并繼而組成體。沒有端點，向兩端無限延伸，

長度無法度量。直線是軸對稱圖形。

它有無數(shù)條對稱軸，對稱軸為所有與它垂直的直線（有無數(shù)條）。在平面上過不重合的兩點有且只有一

條直線，即不重合兩點確定一條直線。在球面上，過兩點可以做無數(shù)條類似直線。

構(gòu)成幾何圖形的最基本元素。在D?希爾伯特建立的歐幾里德幾何的公理體系中，點、直線、平面屬于

基本概念，由他們之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系和五組公理來界定。

線段指直線上兩點間的有限部分（包括兩個端點）口］,有別于直線、射線

【變式1］（2022.云南楚雄.云南省楚雄第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在下列說法中，正確的有（）

①兩點確定一條直線；

②過一點有且只有一條直線與已知直線平行；

③垂直于同一條直線的兩條直線垂直；

④平行于同一條直線的兩條直線平行；

⑤過一點有且只有一條直線和已知直線垂直.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)，平行線公理，垂線的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)對各小題分析判斷即可得解.

【詳解】解：①兩點確定一條直線，正確；

②應(yīng)為過直線外一點有且只有一條直線與己知直線平行，故本小題錯誤；

③應(yīng)為在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，故本小題錯誤；

④平行于同一條直線的兩條直線平行，正確；

⑤應(yīng)為在同一個平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線和已知直線垂直，故本小題錯誤；

綜上所述，說法正確的有①④共2個.

故選B.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，直線的性質(zhì)，平行公理以及垂線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)與概念是解題的關(guān)

鍵.

【變式2】（2022.江蘇常州??？级＃┤鐖D，矩形ABC。中ΛB=3,AD=4,點E在邊A￡＞上，AE：ED=I:3,

動點P從點A出發(fā)，沿AB運動到B停止，過點E作E尸垂直PE交射線8C于點凡如果用是線段所的中

點，那么P在運動的過程中，點M運動的路線長為（）

C.4D.4.5

【答案】D

【分析】如圖，當(dāng)尸與A重合時，點F與K重合，此時點M在”處，當(dāng)點尸與8重合時，點F與G重合,

點M在N處，點M的運動軌跡是線段HN.求出"N的長即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接砂，過點E作EKj_AE交BC于點K，過點E作EGLBE交BC于點G,點H,N

分別為EK,EG中點，并連接HN,則當(dāng)P與4重合時，點F與K重合，此時點M在，處，當(dāng)點P與B重

合時，點F與G重合，點M在N處，點M的運動軌跡是線段

.AE：ED=1:3,AD=4,

.?.AE=b

AB=3,

.?.tanZABE=-,

3

BElEG,

.?.NEBG+NG=90°,

ZABE+NEBG=90。,

ZG=ZABEftanNG=L

3

EK=AB=3f

.“EK3

..K（J=---------=—=9

tanZG?，

3

，點H,N分別為￡K,EG中點，

HN=LKG=4.5,

2

故選：D.

【點睛】本題考查軌跡、矩形的性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用、中位線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點

M的運動軌跡，學(xué)會利用起始位置和終止位置尋找軌跡.

【變式3］（2021.廣西柳州?統(tǒng)考一模）建筑工人砌墻時，經(jīng)常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉

一條直的參照線，用到的數(shù)學(xué)知識是.

【答案】兩點確定一條直線

【分析】根據(jù)兩點確定一條直線，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：用到的數(shù)學(xué)知識是兩點確定一條宜線.

故答案為：兩點確定一條直線

【點睛】本題主要考查了直線的性質(zhì)，熟練掌握兩點確定一條直線是解題的關(guān)鍵.

【變式4](2021.甘肅.模擬預(yù)測)定義：數(shù)軸上給定兩點A、B以及一條線段PQ,當(dāng)線段AB的中點在線

段尸。上時(包含點P、Q),就稱點A與點B關(guān)于線段PQ徑向?qū)ΨQ，若A、P、Q三點在數(shù)軸上的位置如

圖所示，點A與點B關(guān)于線段PQ徑向?qū)ΨQ.則點3表示的數(shù)X的取值范圍是一.

aP。

―i-----------?-------------1-------------k------------1-------------1→>

-101234

【答案】l<x<5∕∕?5≥x≥l

【分析】設(shè)點A和點8的中點為C,根據(jù)題意分點C與點尸重合和點C與點Q重合兩種情況討論，分別求

出點8表示的數(shù)即可求解.

【詳解】解：設(shè)點A和點8的中點為C,由題意得：

①當(dāng)點C剛好與點P重合時，

則4C=BC=0-(-1)=1,

故點3表示的數(shù)為：x=l;

②當(dāng)點C剛好與點。重合時，

則AC=BC=2-(-1)=3,

故點8表示的數(shù)為：x=5,

綜上所述，點8表示的數(shù)的取值范圍是：1姿5.

故答案為：l≤x≤5.

【點睛】此題考查了數(shù)軸上點的表示方法以及線段中點的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上點的表示方

法以及線段中點的知識點.

【變式5】(2020.湖南邵陽?校聯(lián)考一模)如圖，點C在線段AB上，點、M、N分別是AC,8C的中點.

I1Ill

AMCNB

(1)若AC=9cm,CB=6cm,求線段MN的長；

(2)若C為線段A8上任一點，滿足AC+C8=αcm,其它條件不變，你能猜想MN的長度嗎？請直接寫出你

的答案.

(3)若C在線段AB的延長線上，且滿足AC-3C=?cm,M、N分別為AC,8C的中點，你能猜想MN的長度

嗎？請畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由.

【答案】⑴7.5Cm

⑵MV=-4Cm

2

⑶MN=；b,圖形見解析；結(jié)論理由見解析

【分析】（1）根據(jù)M、N分別是AC,BC的中點，可得MC=1AC,CN=IBC,從而得到

MN=MC+CN=^AC+?C=^AC+BC）,即可求解；

（2）根據(jù)M、N分別是AC,8C的中點，可得MC=1AC,CN=《BC,從而得到

22

MN=MC+CN=~AC+?C=^AC+BC）,即可求解；

（3）根據(jù)ΛΛN分別是AC,8C的中點，可得MC=1AC,CN=《BC,從而得到

MN=MC-CN=^AC-?C=^AC-BC）,即可求解.

【詳解】（1）解：N分別是ACBC的中點，

/.MC=-AC,CN=-BC,

22

*.*AC=9cm,CB=6cm,

.,.MN=MC+CN=gAC+；8C=g（AC+8C）=g（9+6）=7.5cm：

（2）解：?.?M?N分別是ACBC的中點，

MC=-AC,CN=-BC,

22

,：AC+CB=acm,

/.MN=MC+CN=-AC+-BC=-（AC+BC}=-acm-.

222v,2

（3）解：MN=gb`理由如下：

如圖，

IIlll

AMBNC

VM.N分別是ACBC的中點，

MC=LAC,CN=-BC,

22

'."AC-BC=bcm,

??.MN=MC一CNfcjc=*C-8C)jcm.

【點睛】本題主要考查了有關(guān)線段中點的計算，明確題意，準(zhǔn)確得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

核心考點二角與角平分線

命氟題鑒究

殖（2021.四川達州.統(tǒng)考中考真題）如圖，一束光線A8先后經(jīng)平面鏡。“，QN反射后，反射光線C。

與AB平行，當(dāng)NAaW=40。時，Nr）CV的度數(shù)為（）

【答案】B

【分析】過點8作BELOM,過點C作CELON,BE與CE相交于點、E；根據(jù)余角性質(zhì)計算得NCBE；根

據(jù)平行線性質(zhì)，得NBC0,結(jié)合角平分線性質(zhì)，計算得NQCE；再根據(jù)余角性質(zhì)計算，即可得到答案.

【詳解】如下圖，過點8作BEjLo”,過點C作CEJ_ON,8E與CE相交于點E

=ZABM=40。，NCBE=ZABE

：.ZCBE=ZABE=90°-ZABM=50°

/.ZABC=ZABE+ZCBE=l∞o

TC。與AB平行

/.ZBCD=180o-ZABC=80°

VZBCE=ZDCE,ZBCE+ZDCE=ZBCD

：.NBCE=ΛDCE=?/BCD=40o

2

.,.ZDCN=90o-NDCE=50o

故選：B.

【點睛】本題考查了平行線、角平分線、垂線、余角的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，從而

完成求解.

甌（2022?山東濟寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線//,/2,/3被直線所截，若//〃/2,/2〃/3,Zl=126032,,

則/2的度數(shù)是.

【答案】53o28,

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得N2=N3,N3=N4,根據(jù)等量等量代換得/3=/4,進而根據(jù)鄰補角性質(zhì)即可

求解.

【詳解】解：如圖

h∕∕l2,I2//I3,

.?.Z2=Z3,/3=4,

.?.Z2=Z4,

,NI=I26°32',

.?.Z2=Z4=180o-l26o32,=179o60,-l26o32,=53o28,,

故答案為：53o28,.

【點睛】本題考查了鄰補角，平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

甌（2022?浙江溫州?統(tǒng)考中考真題）如圖，8。是ABC的角平分線，DE//BC,交AB于點區(qū)

⑴求證：ZEBD=ZEDB.

（2）當(dāng)AB=AC時，請判斷與皮>的大小關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）見解析

（2）相等，見解析

【分析】（1）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）利用平行線的性質(zhì)可得NADE=NA￡0，則AD=AE,從而有CD=BE,由（1）得，ZEBD=NEDB,

可知BE=DE,等量代換即可.

【詳解】（1）證明：YB。是ABC的角平分線，

ZCBD=ZEBD.

'：DE//BC,

：.NCBD=NEDB,

：.NEBD=ZEDB.

（2）CD=ED.理由如下：

?/AB=AC,

：.AC=ZABC.

DE//BC,

：.ZADE=ZC,ZAED=ZABC,

.?.ZADE=ZAED<

?AD^AE,

ΛAC-AD=AB-AE,即C3=BE.

由（1）得ZEBD=ZEDB，

：.BE=ED,

：.CD=ED.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義等知識，熟練掌握平

行與角平分線可推出等腰三角形是解題的關(guān)鍵.

厚命題出碗

角在幾何學(xué)中，是由兩條有公共端點的射線組成的幾何對象。這兩條射線叫做角的邊，它

們的公共端點叫做角的頂點。一般的角會假設(shè)在歐幾里得平面上，但在歐幾里得幾何中也可以

定義角。角在幾何學(xué)和三角學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用

從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫做這個角的

角平分線。

注：角平分線類型的題目，輔助線一般都是過角平分線上的向兩邊作垂線。

a級就觀緞

【變式1］（2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考一模）如圖,已知直角三角板的直角頂點在直線α上,若/1=30。,

則N2等于（）

A.70oB.60oC.50oD.40°

【答案】B

【分析】根據(jù)直角三角形的直角與平角之間的關(guān)系可得到/3與NI互余，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可知Z2的度

數(shù).

【詳解】解：如圖,

a

3

Y直角二角板的直角頂點在直線〃上，Zl=30°

???Z3=90o-30o=60o

ΛZ2=Z3=60o

故選：B.

【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

【變式2](2022?江蘇南京?南京大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測)如圖，銳角三角形ABC中，直線/為BC的

中垂線，直線加為/ABC的角平分線，/與根相交于尸點.若NA=60。，?ACP24?,則/A3。的度數(shù)是

()

A.240B.30oC.32oD.36°

【答案】C

【分析】根據(jù)角平分線定義求出NABP=NCBP,根據(jù)線段的垂直平分線性質(zhì)得出BP=C尸，求出

NcBP=ZBCP,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出方程3NA8尸+24。+60。=180。，求出方程的解即可.

【詳解】解：BP平分/ABC,

ZABP=NCBP,

直線/是線段BC的垂直平分線，

BP=CP,

."CBP=ZBCP,

??.ZABP=ZCBP=ZBCP，

,ZA+ZACB+ZABC=180o,ZA=60。，ZAeP=24。，

.?.3ZABP+24o+60o=l80o,

解得：ZABP=32。，故C正確.

故選：C.

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，能

求出NABP=NCBP=NBCP是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

【變式3］（2022.湖南永州.統(tǒng)考二模）如圖，已知N8AC=60o,AD是角平分線且AO=20,作AO的垂直

平分線交AC于點凡作。E/AC,則。"'的周長為.

【答案】10+10√3

【分析】根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)求出OE、根據(jù)勾股定理求出AE,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、

三角形的周長公式計算，得到答案.

【詳解】解：：NBAC=60o,A。是角平分線，

，NZME=30。，

在RtDAE中，AD=20,ZDAE=30°,

.?D￡=-!-AD=IO,

2

由勾股定理得：AE=y∣AD1-DE2=10√3>

A。的垂直平分線交AC于點F,

FA=FD,

：?J）EF的垂直=DE+EF+FD=DE+EF+FA=DE+AE=10+10√3,

故答案為：ιo+ιo√L

【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上

的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵.

【變式4】（2022?四川眉山?模擬預(yù)測）如圖，AB=8,AC=I,PB、PC分別平分/3、/C,DE//BC,

則VAOE的周長是.

A

【答案】15

【分析】先根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)證明△血）尸和是等腰三角形，再由等腰三角形的性

質(zhì)彳導(dǎo)BD=PD,CE=EP,則VADE的周長=AB+AC=15?

【詳解】解：PB平分/ABC,PC平分/AC8，

."DBP=NPBC,AECP=APCB,

DEHBC,

ZDPB=NPBC,ZEPC=ZPCB,

:.NDBP=ZDPB，NECP=NEPC,

.-.BD=PD,CE=Ep（等角對等邊），

.VAT>E的周長=A￡>+OP+PE+A￡=AD+80+CE+A￡=Λδ+AC=8+7=15.

故答案為：15.

【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義.此題難度適中，注

意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

【變式5］（2022?浙江紹興?一模）（1）問題背景

如圖①，R/44BC中，ZBAC=90°,AB=AC,NABC的平分線交直線AC于力，過點C作CE_LB。，交直線

BD于E,CE交直線BA于M.探究線段BO與CE的數(shù)量關(guān)系得到的結(jié)論是.

（2）類比探索

在（1）中，如果把8。改為AABC的外角NAB尸的平分線，其他條件均不變（如圖②），（1）中的結(jié)論還

成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.

（3）拓展延伸

在（2）中，如果AB=^AC,其他條件均不變（如圖③），請直接寫出8。與CE的數(shù)量關(guān)系為.

D

D

圖①

圖③

【答案】(1)問題背景：BD=2CE(2)類比探索：結(jié)論8O=2CE仍然成立，證明見解析(3)拓展延伸:

BD=CE

【分析】(I)根據(jù)角平分線及全等二:角形的判定和性質(zhì)得出48ME=48CE(ASA),CE=ME,結(jié)合圖形

得出NADB=NM,sinZΛDB=sinZM,再由正弦函數(shù)證明即可;

(2)根據(jù)題意，證明方法同(1)類似，證明即可;

AR?r

⑶根據(jù)②得而=說’將線段間的數(shù)量關(guān)系代入即可得出結(jié)果?

【詳解】(1)解：.;BE是N43C的平分線,

.*.ZABD=ZCBD,

在43Μ￡和4BCEφ,

ZABD=ZCBD

BE=BE

NBEM=ZBEC

：?/\BMEjBCE(ASA),

LCE=ME,

?；CELBD,NBAC=90。,

oo

ΛZABD+ZM=90,ZADB+ZABD=Wi

：.ZADB=ZM.

SinNA￡)8=SinNM,

即空*

BDCM

VAB=AC,

：,BD=CM,

：.BD=2CE；

(2)結(jié)論8Z>2CE仍然成立.

證明：?.?3。是NABb的平分線,

ΛZ1=Z2,

VZ1=Z3,Z2=Z4,

ΛZ3=Z4,

在4。8石和4MBE中,

Z=/4

<BE=BE

NCEB=/MEB=90。

：./XCBE=△MBE(ASA),

：?CE=ME,

：?CM=2CE,

???ZD+ZDCM=ZM+ZDCM=90o.

ΛZD=ZM,

ΛsinZD=sinZM,

.ABAC

β,~BD~~CM1

,

?AB=AC9

：?BD=CM=2CE；

ARAC

(3)解：同(2)可得=--->CE=ME>

BDCM

?.?AB=-AC

29

：.BD=-CM,

2

：,BD=CE.

故答案為：BD=CE.

【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解三角形的應(yīng)用，角平分線的計算等，理解題意，綜合

運用這些知識點是解題關(guān)鍵.

核心考點三相交線

O房題配究

甌（2022?河南?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線A8,CQ相交于點。，EOLCD,垂足為O.若/1=54。,

則N2的度數(shù)為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)垂直的定義可得∕COE=9θo,根據(jù)平角的定義即可求解.

【詳解】解：EOLCD,

.-.ZCOE=90°,

Zl+ZCOE+Z2=180°,

.?.Z2=180o-90o-54°=36°.

故選：B.

【點睛】本題考查了垂線的定義，平角的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

甌（2021?湖南益陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，AB與相交于點。，OE是NAOC的平分線，且OC恰好

平分NEoB,則NAa）=度.

C

【分析】先根據(jù)角平分線的定義、平角的定義可得NCO5=60。，再根據(jù)對頂角相等即可得.

【詳解】解：設(shè)NAoC=2x,

,?！晔荖AOC的平分線，

.-.ZAOE=NEoC=-ZAOC=x,

2

OC平分NEO8,

Z.COB=Z.E0C=X,

又?ZAOE+NEOC+NCOB=180°,

.?.x+x+x=180o,

解得X=60。，即NCoB=60。，

由對頂角相等得：ZAOD=NCOB=60°,

故答案為：60.

【點睛】本題考查了角平分線的定義、平角的定義、對頂角相等，熟練掌握角平分線的定義是解題關(guān)鍵.

甌（2022?山東荷澤?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtASC中，NABC=90。，E是邊AC上一點，且BE=BC,

過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點。，求證：AADE^ΔABC.

【答案】見解析

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得/C=NBEC,又由對頂角相等可證得NAEC=NC,再由

ZD=ZABC=90o,即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：：BE=BC

:?NC=NBEC,

YNBEC=NAED,

：.ZAED=ZC,

9

?AD±BDf

：.No=90。，

?.βNABC=900,

：?ZD=ZABC,

：.∕?ADE∞∕?ABC.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判

定定理是解題的關(guān)鍵.

◎命題內(nèi)確

在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交和平行兩種。如果兩條直線只有一個公共點

時，稱這兩條直線相交。

相交線會形成三線八角

【變式11（2022?廣西百色?統(tǒng)考一模）如圖，已知直線AB、CD相交于點O,OEWZCOB,若NBOD=70。,

A.45oB.70oC.55oD.110°

【答案】C

【分析】根據(jù)鄰補角的性質(zhì)可得NCOB=Il0。，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)課可得NCOE=TNCOB,進而得到

答案.

【詳解】解：；/BoD=70。，

ΛZCOB=IlOo,

：OE平分NCOB,

NCOE=a/COB=55。，

故選：C.

【點睛】此題主要考查了對頂角，鄰補角，關(guān)鍵是掌握鄰補角互補.

【變式2］（2023?山東泰安??？家荒＃┤鐖D，等邊..ABC的邊長為4,點。是邊AC上的一動點，連接8。,

以8。為斜邊向上作等腰RtABDE,連接AE,則AE的最小值為（）

A.1B.√2C.2D.2√,2-l

【答案】B

【分析】過點8作B",AC于H點，作射線HE,可證點8,點。，點“，點E四點共圓，可得

ZBHE=ZBDE=45°,則點E在4/ZB的角平分線上運動，即當(dāng)ASJ時，AE的長度有最小值，由直角

三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：如圖，過點8作8”，AC于H點，作射線以E,

ABe是等邊三角形，BHVAC,

.?AH=2=CH,

ZBED=ZBHD=90°,

；?點B,點。，點以，點E四點共圓,

:.ZBHE=ZBDE=45°,

???點E在NAHB的角平分線上運動,

???當(dāng)AEJ_即時，AE的長度有最小值,

ZAHE=45°,

:.AH=√2AE=2，

.?.AE的最小值為√∑,

故選：B.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，垂線段最短，四點共圓，圓周角定理等知識，解題的

關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

【變式3］（2021?吉林長春?校考二模）如圖，在A48C中，NBAC=45。，AB=AC=4,P為AB邊上一動

點，以P4,PC為鄰邊作平行四邊形Λ4QC,則對角線PQ的最小值為

【答案】2√2

【分析】過C作CE>LABT?D,依據(jù)MCD是等腰直角三角形，即可得出C3=AO=2&，依據(jù)AP〃CQ,

即可得到當(dāng)PQ，AP時，PQ的最小值等于CQ的長，進而得到答案.

【詳解】解：如圖所示，過C作CDLAB于。，

ZθAC=45o,AB=AC=4,

??.ΔA8是等腰直角三角形，

:.CD=AD=20，

四邊形PA。C是平行四邊形，

.?AP∕∕CQ,

.?.當(dāng)LAP時，PQ的最小值等于CO的長，

??.對角線尸。的最小值為2夜，

故答案為：2行.

A

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)犍.

【變式4](2022?陜西西安??？寄M預(yù)測)如圖，在矩形ABC。中，AB=2,BC=2Q,點P是對角線

AC上的動點，連接PD則∕?+2P。的最小值.

【答案】6

【分析】直接利用己知得出NCA8=60。，再將原式變形，進而得出g∕?+P。最小值，進而得出答案.

【詳解】過點A作/CAN=30。，過點D作DMLAN于點M,交AC于點P,

；在矩形A8C。中，AB=2,BC=2√L

二tanNCAB=拽=G,

2

ZCΛB=60o,

則ND4C=30。，

VPA+2PD=2(^PA+PD),

-PA+PD=PM+PD=DM=ADsin60°=2y∣3×-=3,

22

此時T出+P。最小，

.?.PA+2PD的最小值是2×3=6.

故答案為：6.

【點睛】此題主要考查了胡不歸問題，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.

【變式5](2022?湖北武漢?模擬預(yù)測)如圖，在四邊形4?CO中，AB//CD,ZeCo=I30。，BE平分/48C

(1)求NABE的大??；

⑵若ZADC=48°,求NDEF的大小.

【答案】(D25。

(2)23°

【分析】(1)先由平行線的性質(zhì)求出/4如=180。-/88=180。-130。=50。，再根據(jù)解平分線的定義求解即可;

ZBAD=1SOo-ZADC=180o-48°=132°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出

(2)先由平行線的性質(zhì)求出NAE8=18(T-N8A?/A8E=23。，最后由對頂角性質(zhì)得解.

【詳解】(1)解：：AB〃CO,

.,.ZAβC+ZBCZ>l80o,

.,.ZABC=180o-ZBCD=?80o-l30o=50o,

*/BE平分ZABC

：.NABE=W/ABC=1χ50。=25。；

22

(2)解：?/AB//CD,

：.ZBAD+ZADC^\SO°,

：.NBAD=I80o-ZADC=?80o-48°=132°,

,.?ZBAD+ZABE+ZAEB=180°,

又由(1)知:ΛABE=25o,

.,.ZAEB=180o-ZBAD-NABE=I80o-l32o-25o=23°,

，NDEF=NAEB=23°.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線定義，三角形內(nèi)角和定理，對頂角性質(zhì)，熟練掌握平行線的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

核心考點四平行線的判定

例R（2020?江西?統(tǒng)考中考真題）如圖，Nl=/2=65。,/3=35。，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.ABHCDB.28=30。C.NC+N2=NEFCD.CG>FG

【答案】C

【分析】由Nl=∕2可對A進行判斷；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可對B進行判斷；求出/C,根據(jù)大角對大邊,

小角對小邊可對D進行判斷；求出ZCZEFC可對C進行判斷.

【詳解】.Nl=/2=65。，

:.AB//CD,故選項A正確；

./3=35°,

:.ZEFB=35°,

又Nl=NEFB+NB,

.?.ZB=Zl-ZEFB=65°-35°=30°,故選項B正確；

AB//CD,

??.NC=/3=30。，

√35o>30o,

.?Z3>ZC

ΛCG>FG,故選項D正確；

/3=35。，ZEFC+Z3=180o

.?.ZE^C=180o-35o=145o,

而NC+N2=30°+65°=95°W145°

.?.ZC+Z2≠ZEFC,故選項C錯誤.

故選C.

【點睛】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，熟練掌握性質(zhì)與判定是解答此

題的關(guān)鍵.

甌(2021?江蘇泰州?統(tǒng)考中考真題)如圖，木棒AB、CO與E尸分別在G、H處用可旋轉(zhuǎn)的螺絲鉀住，

∕EGB=10()o,ZEHD=SOo,將木棒AB繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)到與木棒CQ平行的位置，則至少要旋轉(zhuǎn)一°,

【答案】20

【分析】根據(jù)同位角相等兩直線平行，得出當(dāng)∕E4D=/EGN=80。，MNHCD,再得出旋轉(zhuǎn)角/BGN的度數(shù)

即可得出答案.

【詳解】解：過點G作MM使NEHn=/EGN=80。，

：.MNHCD,

'：NEGB=IO0°,

.?.ZBGN=ZEGB-ZEGN=?00o-80o=20o,

二至少要旋轉(zhuǎn)20°.

【點睛】本題考查了平行線的判定，以及圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵.

甌(2020?湖北荊州.統(tǒng)考中考真題)如圖，將,ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60度得到ADBE,點C的對應(yīng)

點E恰好落在AB的延長線上，連接AD.

(1)求證：BC//AD-.

（2）若AB=4,BC=I,求A,C兩點旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過的路徑長之和.

【答案】（1）見解析；（2）②

3

【分析】（1）先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明AABD為等邊三角形，則可證NDAB=60°，即NCBE=NoA區(qū)再根

據(jù)平行線的判定證明即可.

（2）利用弧長公式分別計算路徑，相加即可求解.

【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：MBC≡?DBE,ZABD=ZCBE=60

AB=BD,AABD是等邊二角形

所以NDAB=60°

.?.NCBE=NDAB,

：.BCIIAD-.

（2）依題意得：AB=BD=4,BC=BE=L

所以A,C兩點經(jīng)過的路徑長之和為+,0C=W-

1o01803

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、弧長公式等知識，熟練掌握

這些知識點之間的聯(lián)系及弧長公式是解答的關(guān)鍵.

?命題矗南

平行線判定的五種方法：

在同一平面內(nèi)，兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。也

可以簡單的說成：

1.同位角相等，兩直線平行。

在同一平面內(nèi)，兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行。也

可以簡單的說成：

2.內(nèi)錯角相等，兩直線平行。

在同一平面內(nèi)，兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行。

也可以簡單的說成：

3.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。

4、在同一平面內(nèi)，兩條直線同時垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行；

5、兩條直線同時平行于第三條直線，這兩條直線互相平行；

【變式1］（2022.廣西柳州.統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，直線。、b被c、d所截，下列條件中能說明的

Z2+Z4=180oC./3=/4D.Zl+Z4=180o

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可.

【詳解】/3=/4,

a//b（同位角相等，兩直線平行），

故選：C.

【點睛】本題主要考查平行線的判定，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的判定定理并靈活運用.

【變式2］（2021?福建廈門??？级＃┤鐖D，已知NAo8,按以下步驟作圖：①在射線Q4上取一點，以

點。為圓心，OC長為半徑作PQ,交射線OB于點O；②連接CD,分別以點C、。為圓心，Co長為半徑

作弧，交PQ于點M、N；③連接QM,MN.根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的是（）

M

A.ZCOM=ZCODB.點M與點。關(guān)于直線OA對稱

C.若ZAoB=20。，則0OM=MND.MNHCD

【答案】C

【分析】根據(jù)等弧所對圓周角相等可以判斷A；根據(jù)平行線的判定可以判斷0；根據(jù)CM=Cz),OM=OD,

可得OA垂直平分ME>,可以判斷8；根據(jù)ZAQ5=ZAQW=ZBQN=20°,得NMON=60。，由OM=ON,可

得AOMN為等邊三角形，進而可以判斷C.

【詳解】解：由作法得CM=C3,

CM=CD，

.-.ZCOM=ZCOD,所以A選項的結(jié)論正確；

連接Λffi>,

DB

MC=DN,

.-.ZDMN=ZMDC,

.-.CDHMN,所以。選項的結(jié)論正確;

QCM=CD.OM=OD,

.:。4垂直平分〃。，

點〃與點。關(guān)于QA對稱，所以B選項的結(jié)論正確;

ZAoB=ZAOM=ZBON=期，

.-.ZMON=60°,

.OM=ON,

AQMV為等邊三角形，

.-.OM=MN,所以C選項的結(jié)論錯誤.

故選：C.

【點睛】本題考查了作圖——復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾

何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性

質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系和垂徑定理.

【變式3］（2022.新疆阿克蘇.統(tǒng)考一模）如圖，將木條“，6與C釘在一起，/2=50。，若要使木條。與b

平行，則Nl的度數(shù)應(yīng)為.

【答案】50。##50度

【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行，求出/1的度數(shù).

【詳解】解：??N1=N2時,a∕∕b,

；?若要使木條“與6平行，NI=N2=50。，

故答案為：50°.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟記平行線的性質(zhì)定理與判定定理是解題的關(guān)鍵.

【變式4］（2021?云南昆明?統(tǒng)考一模）如圖，小紅看到工人師傅用角尺畫出工件邊緣A8的垂線”和6,即

可得到?！▋赫埬銕托〖t從下列真命題中找到工人師傅畫圖的一個依據(jù).真命題為：①連接直線外一點與

直線上各點的所有線段中，垂線段最短：②在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩

條直線平行（選自人教版初中數(shù)學(xué)教科書七年級下冊第14頁例）；③在同一平面內(nèi)，過一點有一條而且僅

有一條直線垂直于己知直線；④經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行這個依據(jù)是

.（只需填序號）

A

【答案】②

【分析】根據(jù)垂直于同一條直線的兩條直線平行判斷即可.

【詳解】解：由題意：a1AB,b1AB,

.?.a∕∕b(在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行)，

故答案為：②.

【點睛】本題考查平行線的判定，平行公理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

【變式5](2023?湖北武漢??？家荒?如圖，點A,8,C,￡＞在一條直線上，CE與BF交于點G,ZA=/FBC,

CE//DF,Z￡=50°.

(2)求N/的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)50°

【分析】(1)根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得

(2)根據(jù)AE〃防可得NE=NBGC,根據(jù)CE〃。尸可得NF=NBGC,因為NE=50。，根據(jù)等量代換即

可求出∕F=50°.

【詳解】(1)證明：Z4=ZFBC,

:,AE//BF-.

(2)解：AEBF,CE//DF,ZE=50°,

:.NE=/BGC=50°,ZF=ZBGC,

.-.ZF=50°.

【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

核心考點五利用平行線求角度或證明

囪R（2022?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，直線4h,截線c,d相交成30。角，Zl=146o33,,則/2的度數(shù)是

【答案】A

【分析】由鄰補角的定義可求得/3=33。27',再由平行線的性質(zhì)可得/4=/3=33。27',利用三角形的外角

性質(zhì)即可求N2.

【詳解】解：如圖，

二/3=180°-/1=33。27',

,：ah,

：.Z4=Z3=33o27,,

VZA=30o,Z2=Z4+ZA,

/.42=33。27'+30。F3。27,，故A正確.

故選：A.

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

甌（2022?寧夏?中考真題）如圖，直線二AOB的邊。B在直線b上，ZAoB=55。，將一AQB繞點

。順時針旋轉(zhuǎn)75。至411O4,邊4。交直線。于點C,則NI=

【答案】50

【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到NBOBi=NAOA1=75。，再由平角的定義求出NAoD的度數(shù)，即可利用平

行線的性質(zhì)得到答案.

【詳解】解:.?將AQB繞點。順時針旋轉(zhuǎn)75。至?AtOBl,

：.ZBOBt=NAOA=75°,

"：NAO8=55。，

/.ZA,OD=?80°-ZAOB-ZAOA,=50°,

ab,

.?.NI=NAoQ=50。，

故答案為：50.

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，同位角相等和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

甌（2022?江蘇泰州?統(tǒng)考中考真題）已知：AABC中，。為BC邊上的一點.

AAA

(2)在圖②，用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點R使NJD∕?=N4;(保留作圖痕跡，不要求寫作法)

(3)如圖③，點F在AC邊上，連接8F、DF,若NDFA=/A,△FBC的面積等于gcQ?A8,以FC為半徑

作。凡試判斷直線8C與。產(chǎn)的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)2

(2)圖見詳解

(3)直線BC與。F相切，理由見詳解

CD2CD2

【分析】(1)由題意易得則有W=;,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定可進行求解；

BD3CB5

(2)作。7〃AC交AB于點7,作∕7Z>F=NA"),射線。F交AC于點尸，則點尸即為所求；

(3)作8R〃C尸交尸。的延長線于點R,連接CR,證明四邊形48RF是等腰梯形，推出AB=FR,由CF//BR,

推出SmJ=SbR=JAECQ=;ER?CD,推出COLOR然后問題可求解.

【詳解】(1)解：???￡?〃A3,

CDESKBA,

.DECD

**AB-CB,

VAB=5,BD=9,OC=6,

.DE6

.?---=----,

56+9

JDE