新高考二輪復(fù)習(xí)真題導(dǎo)數(shù)講義第41講 三角函數(shù)之分段分析法（解析版）

第41講三角函數(shù)之分段分析法

1.已知函數(shù)/(x)=SinX-心(l+x),r(x)為/(x)的導(dǎo)數(shù).證明：

(I)/'(X)在區(qū)間(-1￡)存在唯一極大值點(diǎn)；

(2)f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

【解答】證明：(1)/(x)的定義域?yàn)?-1,+∞),

,,,

∕(x)=COsx------，f(x)=-sinx+——5~~7，

1+x(l+x)

令g(x)=-Sinx+——?~7，則g'(x)=-COSX-----^■^?<0在(-1,2)恒成立，

(1÷x)(1+x)2

.?.∕"(X)在(-1e)上為減函數(shù)，

又?“"(0)=l,∕,≠)=-l+―!—<-1+1=0,由零點(diǎn)存在定理可知，

2<1÷I>2

函數(shù)Ir(X)在上存在唯一的零點(diǎn)x0,結(jié)合單調(diào)性可得，r(x)在(T,x0)上單調(diào)遞增,

在(∕,上單調(diào)遞減，可得r(x)在區(qū)間(-1段)存在唯一極大值點(diǎn)；

(2)由(1)知，當(dāng)XW(TO)時(shí),r(X)單調(diào)遞增,尸(X)<廣(0)=0,f(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)xe(O,x0)時(shí)，AX)單調(diào)遞增，r(x)>八0)=0,/(x)單調(diào)遞增；

由于r(x)在(％,生)上單調(diào)遞減，且ro?)>o,/吟)=—<o,

221+-

2

由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)F(X)在(X。，、)上存在唯一零點(diǎn)為，結(jié)合單調(diào)性可知，

當(dāng)Xea0,xl)B>LT(X)單調(diào)遞減，f'(x)>f'(x,)=0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)工€區(qū),9時(shí)，/(X)單調(diào)遞減，f'(x)<f'(x,)=0.f(x)單調(diào)遞減.

當(dāng)Xe(生，乃)時(shí)，cosx<0-----!—<0,于是(x)=cosx----!—<0.f(x)單調(diào)遞減，

21+x1+JC

元yr5}

其中/(-)=l-∕∏(l+-)>1-Zn(l+-)=?-ln2.6>l-lne=Q,

f(乃)=-ln(↑+萬)<-In3<0.

于是可得下表：

X(-1,0)0(0,玉),π、π(∣?,1)π

(Xq)~2

/'(X)—0+0————

/(X)單調(diào)遞0單調(diào)遞大于0單調(diào)遞大于0單調(diào)遞小于0

減增減減

結(jié)合單調(diào)性可知，函數(shù)/(X)在(-1,芻上有且只有一個(gè)零點(diǎn)0,

由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，f(χ)在仁，乃)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)馬,

當(dāng)％∈[],+00)時(shí)，sin‰1<∕n(l+x),則/(x)=SinX-加(l+x)Vo恒成立,

因此函數(shù)/(X)在[乃，+8)上無零點(diǎn).

綜上，F(xiàn)(X)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

2.已知函數(shù)/(x)=∕λf%+2sinx,證明：

(I)/(x)在區(qū)間(0,乃)存在唯一極大值點(diǎn)；

(2)/(χ)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

【解答】證明：(1)函數(shù)f(%)=∕n%-x+2sinx,x∈(0,1),

.?.(X)=—?÷2cosX，

X

令g(x)='-l+2cosx,X￡(0,乃)，

X

:.g,(X)=-JT-2sinx<0,.?.函數(shù)g(x)在(0,左)上單調(diào)遞減，

廠

又.?當(dāng)x→0時(shí)，g(x)→+oo,而g(為=2-1<0,

2π

存在唯一1e(θ,?),使得g(Λ?)=O，

ff

，當(dāng)X∈(O,ΛO)時(shí)，g(x)>0,BPf(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)三∈(x0,乃)時(shí)，g(x)<0,BPf(x)<0,

函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

.?.函數(shù)/M在區(qū)間((U)存在唯一極大值點(diǎn)x0；

(2)由(1)可知，函數(shù)F(X)在(0,x0)上單調(diào)遞增，在(%,乃)上單調(diào)遞減，

.?./是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，口∈(0,j∣)?

/(?)>∕φ=^y-→2=^y+^->θ>

又二當(dāng)x→0時(shí)，f(x)→-∞；f{π)=lnπ-π<0f

在區(qū)間(0,XO)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間(工,乃)上存在一個(gè)零點(diǎn),

I1一γ

當(dāng)x∈Gτ,+oo)時(shí)，設(shè)〃(X)=Λtr-x,則"(x)=——1=-----<0>

XX

∕ι(x)在(ι,+∞)上單調(diào)遞減，.,.h(x)</Z(?)=lnπ-π<0,

Q)當(dāng)x∈O,2τr)時(shí)，SinXV0,「.當(dāng)x∈(乃,2乃)時(shí)，/(x)<0,無零點(diǎn)，

②]∈(2巴+oo)時(shí)，A(x)<h(2π)=ln(2π)-2π<Ine3-2π<-2,又一2張由Sinx2,.?.當(dāng)％∈(2巴+∞)時(shí)，f(x)<0，

無零點(diǎn)，

當(dāng)x∈S,+oo)時(shí)，/(%)=)優(yōu)-x+2SinX<0,.,.函數(shù)/(九)在區(qū)間(%,+∞)內(nèi)無零點(diǎn)，

函數(shù)F(X)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

3.己知函數(shù)/(x)=SinX-j2.求證：

(1)/(X)在區(qū)間(0,j∣)存在唯一極大值點(diǎn)；

(2)/(x)在(0,4W)上有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

【解答】證明:(1)因?yàn)閒(x)=sinx-e"2,所以尸(X)=COsx-e"1,

設(shè)g(x)=f'(x),則g'(x)=-sinx-e"2,貝IJ當(dāng)Xe(O,9)時(shí)，√(x)<0,所以g(x)即廣⑶在(0,9上遞減?

,Jr--2TT

12

又T(O)=I--r>0,Γ(-)=-e<0,且T(X)是連續(xù)函數(shù)，故r(x)在(0,二)上有唯一零點(diǎn)0.

e22

當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f,(x)>0；當(dāng)x∈(1,j^)時(shí)，ff(x)<0,

所以/(X)在(0,α)內(nèi)遞增，在(W)上遞減，

故/(x)在(0,^)上存在唯一極大值點(diǎn).

(2)因?yàn)?(x)=Sinx-e*",所以八/)=COSX-e?",

設(shè)g(x)=∕"(x),則/Cr)=-SinX-e”?,則當(dāng)X￡(o㈤時(shí)，g<x)vθ,所以g(x)在(0,乃)內(nèi)單調(diào)遞減.

由(1)知，f(x)在(0,α)內(nèi)遞增，在(凡事)內(nèi)遞減，

又/(0)=-e^2<0"(g>0，所以/(a)>/(∣)>0，

又/(x)的圖象連續(xù)不斷，所以存在Xle(O,α),使得/(x∣)=0;

當(dāng)X嗚㈤內(nèi)時(shí)，出<。,A)在胃內(nèi)遞減

又因?yàn)?(%)=-e"2<o,∕(])>o,且∕?(χ)的圖象連續(xù)不斷，

所以存在Λ?eg,τ),使得/(Λ?)=0;

當(dāng)x∈g,+∞)時(shí),ex~2>1.Sinx,1,所以f(x)<O,從而f(x)在(τ,+∞)上沒有零點(diǎn),

綜上，f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

4.己知函數(shù)f(x)=COSX+32-1

(1)證明：/(%)?0>x∈[--,—]

22

(2)判斷y=f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并給出證明過程.

【解答】解：(1)證明：因?yàn)閒(x)=COSX+∕χ2+1,X∈[-y,yj,

所以/(X)為偶函數(shù)，

不妨設(shè)g(x)=COSX++1,x∈[0,?]>

所以g,(X)=-SinX+]X,x∈[-y>?],

所以g"(χ)=-COSX+g,

當(dāng)xe[O,§時(shí)，g''(x)<O,當(dāng)Xe(9，9時(shí)，g,,U)<θ-

即函數(shù)<(x)在[0,§為減函數(shù)，在《，為增函數(shù)，

又g，(O)=O,√?=^-l<0,

所以g'(x?,O,

即g(x)在[0,9為減函數(shù)，

故g(x)y=g(°)=°，

即g(x),,0，

故當(dāng)X€[-2,為時(shí)，/(x),,0;

22

(2)①由(1)得：當(dāng)xe[0,g時(shí)，函數(shù)f(x)有且只有1個(gè)零點(diǎn)為x=0,

②當(dāng)xe[3,+8)時(shí)，∕v(χ)=-sinx+gx..O,

即/(x)在[3,+8)為增函數(shù)，

B∣Jf{x}..f(3)=COS3+*>0,

4

即函數(shù)y=∕(x)在[3,+8)無零點(diǎn)，

③當(dāng)X€(工，3)時(shí),

2

/“(X)=-CoSX+g>O,

即函數(shù)1(X)=—sinx+gx為增函數(shù)，

又r(g=?T<。，f'(3)>0.

即存在與使得r(x°)=o,

,,

即當(dāng)ICX<Λ0時(shí)，∕(x)<0,當(dāng)XO<x<3時(shí)，∕(x)>0,

即函數(shù)/(x)在g,Xo)為減函數(shù)，在(％,3)為增函數(shù)，

rr乃25

又/(一)=——1<0,f(3)=-÷cos3>0,

2164

即函數(shù)f(x)在弓，3)只有1個(gè)零點(diǎn)，

又函數(shù)y=/(x)在R為偶函數(shù)，

綜合①②③可得：

函數(shù)在［-3,一生)有I個(gè)零點(diǎn)，在(τo,-3)無零點(diǎn)，在［-工，0)無零點(diǎn)，

22

故函數(shù)/(x)在R上有3個(gè)零點(diǎn).

5.已知函數(shù)f(x)=Inx-sinX+ax{a>0).

(1)若α=l,求證：當(dāng)x∈(l,匹)時(shí)，/(x)<2x-l；

2

(2)若/(x)在(0,2萬)上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)，求。的取值范圍.

［解答］解：(1)證明：當(dāng)α=l時(shí)，/(x)=∕τIX-Sin=+%,令g(x)=f(x)-(2x-1)=Inx-sin?-x+1,x∈(l,y),

則g<x)=L-Cosx-I=?^~~~-cosx<0,.??g(x)在(1,二)上單調(diào)遞減，

XX2

故g(%)vg(1)=-sinl<0,所以/(x)<2x-1；

(2)解：由題知/'(X)=L-COSX+4,Xe(0,2/)，?>0.

X

①當(dāng)x∈(0,1］時(shí)，r(x)..l-COSX+l>0,此時(shí)AX)單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；

②當(dāng)x∈(l,工］時(shí)，設(shè)8。)=/"(%)=$也不一，",則g<x)=cosx+4>0,此時(shí)g(x)單調(diào)遞增；又g(1)

2XX

=sinl-lvθ,g(^)=l----?—>0,?,.存在唯的AO∈(1,K),滿足gC?)=sin七一二=0,BPλ∕sinX0=—,

2/乃、22?nXC

當(dāng)x∈(l,%)時(shí)，g(x)<O,此時(shí)

f,(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(/,g時(shí)，g(x)>0，此時(shí)r(X)單調(diào)遞增，故

,,

f?x?nin=f(X0)=--COSXQ+6f=Jsinx0-cosx0+<7>sinX0-COSX0>0,故f(x)>O,此時(shí)/(x)單調(diào)遞增，

?

無極值點(diǎn)；

③當(dāng)x∈g,也］時(shí)，cos‰O?f,(x)=?-cosx+tz>O,此時(shí)/(x)單調(diào)遞增，無極值點(diǎn);

22X

綜合①②③知/(X)在(0,上無極值點(diǎn).

又?，∕?(x)在(0,2%)上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)，.?./(X)只能在(半，2?)上有唯一極值點(diǎn).

令f,M=OnL+α=cos1?

X

二.函數(shù)y=L+α(α>O)與函數(shù)y=cosx,x∈(-,2乃)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),

X2

---?-a<cos24=1,即〃<1------，

242π

所以α的取值范圍為(0,1-」-).

2π

6.已知函數(shù)/(x)=e*-αr(αwR).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)α=2時(shí)，求函數(shù)g(x)=/(X)-COSX在(~^?,+8)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【解答】解：(I)f(x)=e'-ax,其定義域?yàn)镽,f?x)=ex-a,

①當(dāng)％O時(shí)，因?yàn)閞(x)>0.所以F(X)在R上單調(diào)遞增；

②當(dāng)4>0時(shí)，令r(x)>O得x>Ina.f'(x)<O^x<lna.

所以f(x)在(7,Ina)上單調(diào)遞減，(JnaN)上單調(diào)遞增，

綜上所述，當(dāng)α,0時(shí)，f(x)在R匕單調(diào)遞增，當(dāng)α>0時(shí)，/(x)在(ro,癡)上單調(diào)遞減，(歷。,長0)

上單調(diào)遞增.

JT

(2)當(dāng)a=2時(shí)，g(x)=ex-2x-cosx,x∈(-—,÷∞),g,(x)=ex+sin?-2,

①當(dāng)x∈(-生,0)時(shí),因?yàn)?lt;(x)=(/-1)+(sinX-1)<0,

2

所以g(x)在(-],())單調(diào)遞減.

所以g(x)>g(O)=O,

斤以g(x)在(-1,0)上無零點(diǎn)；

②當(dāng)x∈［O,g時(shí)，因?yàn)間'(x)單調(diào)遞增，且g，(0)=—l<0,g?Cl)=G2—1>O.

所以存在/e(θ,?),使g'(??)=0，

JT

,,

當(dāng)XW(O,A0)時(shí),g(x)<O,當(dāng)X∈(X0,5)時(shí)，g(x)>0,

所以g(x)在［0,Λo)上單調(diào)遞減，在(X0申上單調(diào)遞增，且g(0)=0,所以g(x0)<0,

j

又因?yàn)間g)="-乃>0，所以g(X(1)?g(∣)<O,

所以g(x)在(XO,?∣0上存在一個(gè)零點(diǎn)，

所以g(x)在［0,自上有兩個(gè)零點(diǎn).

π

③當(dāng)xe(g+∞)時(shí),g,(x)=ex+sinx-2>e2-3>0,

所以g(x)在弓,+00)上單調(diào)遞增，

因?yàn)間(∕)>0,所以g(x)在弓,+8)上無零點(diǎn).

綜上所述，g(x)在(-1,+∞)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

7.(1)證明函數(shù)y=e*-2sinx-2xcosx在區(qū)間(-乃,-為上單調(diào)遞增；

2

(2)證明函數(shù)/(X)=《-2SinX在(-%,0)上有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)％,JΞLO<∕(XO)<2.

X

【解答】解：(1)求導(dǎo)，y,=ex-2cosx-2(cosx-xsinx)=ex+2xsinx-4cosx,x∈(ττ,-

因?yàn)閑”>0,2xsinx>0,-4cosx>0,故y'>0,

函數(shù)y在定義區(qū)間遞增；

(2)由八X)-'(B-"C°sx,

X

令g(x)=e'(x-l)-2Ycosx，g,(x)=x(ex+2xsinx-4cos%)

當(dāng)x∈(-乃,一爭，由(1)得g'(x)vθ,g(x)遞減，

τr---τr

由g(-])=e2(-萬一1)<0，g(-%)=8-eF(l+ι)>°,

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，存在唯一零點(diǎn)x°e(-τ,-2)，g(x<,)=O,

當(dāng)X∈(-乃,X0)時(shí)，g(x)>0,?(?)遞增；

當(dāng)X∈(Λ?,-J∣?)時(shí)，g(x)vθ,/(x)遞減，

當(dāng)x∈(-工，0)時(shí)，/(幻=''?D-2cosx<0,所以F(X)遞減,

2r

故/(x)在(Λ0,0)為減函數(shù)，

所以/(x)有唯一的極大值點(diǎn)%,

由/(X)在(%,-￡)遞減，得/(%)>/(—1)=t1+2=——1+2>0,

22萬〃■不

-----——?el

22

e/7Γgx"

-

乂f(Xo)=------2sinX0>當(dāng)飛￡(—肛)時(shí)>~€(—1,0)>0<—2Sin/<2,

X.2X0

故/(%)<2,

綜上，命題成立.

JT

8.已知函數(shù)/(x)=tanx-Sin%,g(x)=x-sinx,x∈(θ,?).

(1)證明：關(guān)于X的方程/'(x)-g(x)=%在(O,1)上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)當(dāng)犬∈(0,')時(shí)，F(xiàn)(X)..αg(x),求實(shí)數(shù)。的最大值.

【解答】解：(1)證明：令∕ι(x)=∕(x)—g(x)-x,貝U/Z(X)=IanX—2%,

me7“、1C1-2COS2X(1+0COSx)(I-亞cos工)

m以〃(X)=----；-----2=--------------=-----------------?---------------

Co鏟XCOSXCOSX

因此當(dāng)x∈(0,?)時(shí)，CoSX>,，∕√(x)<0,當(dāng)xe(H)時(shí)，h?x)>0,

曲U(X)=tanx-2x在x∈(0,-)上單調(diào)遞減,在XW(X,，單調(diào)遞增，

442

又因?yàn)椤?C)<0,〃(2)=tan(2)-^=2+G-^>2+L7-2.5>0

4121266

所以〃(X)=tanx-2x在Xe(O,?)無零點(diǎn)，在X嗎自只有一個(gè)零點(diǎn),

因此方程有且僅有一個(gè)根

(2)方法一：令夕(X)=/(x)-αg(X)=tanx-sinx-α(X-SinX),

Illll，/\1/1?(?-COSX)/[\

貝IJφ(x)=Z----COSx-a(l-cosx)=-------?---------Q(I-cosx),

cosxcos'x

①若4,0,則當(dāng)x∈(O,g時(shí)，φf(x)>0?

所以火x)在(O,5)上單調(diào)遞增，乂0(0)=0,所以W(X)>0恒成立；

2sin?2

②當(dāng)IVG,3,則9"(X)=-----+sinX-￠7sinX=sinx(?-÷1-α),

cosxcosx

冗,2

因?yàn)閤∈(0,-),所以COSX∈(0,1),從而———+l∈(3,-+∞)

2cosX

因此當(dāng)IVW,3時(shí)，√(x)>0,

所以函數(shù)φ(x)在Xe(O,9單調(diào)遞增，乂√(0)=0,

因此"(x)>0,所以函數(shù)9(X)在x∈(0,馬單調(diào)遞增，又夕(O)=0,3(x)>0在x∈(O,X)恒成立

22

s

③當(dāng)α>3時(shí)令φn(x)=sin?(-~——I)C°^，)=0,

cos'X

因?yàn)镃OSX=J二一∈(0,1)必有一解，記為

VQ-I

所以當(dāng)κ∈(0,x0)時(shí)，，(X)V0,當(dāng)x∈(如今時(shí),￠7(x)>0

因此當(dāng)XW(O,%)時(shí)，d(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(Xo,g時(shí)，d(x)單調(diào)遞增，

又吠(O)=0,所以“(x)VO在Xw(0,%)恒成立，

所以O(shè)(X)在XW(O,乙))上單調(diào)遞減，乂O(O)=0,所以。(不)VO與題意矛盾，

綜上“,3,所以。的最大值為3.

方法二：令φ(x)=f(x)-Qg(X)=tanX-SinX-a(x-sinX),

,∣、1,、(l-cosx)

Wιπ1Jφ?x)=——----cosx-a(l1-cosx)=---------------Λ(1-COSX),

COS^XCOS-X

1+COSX÷COJ2X

令φ,(x)>0，則〃<

COS2X

1÷COSX÷C(752X

設(shè)g(χ)=2X∈(θ,?)，

cos~x

令COSX=f,r∈(O,l)^

.∣l+∕+f~11.1123

則mg。z)x=?—=1÷-+-=(-÷τ)*^+->0'

Vtrt24

對稱軸L」，g(r)>3,

t2

當(dāng)凡,3時(shí)，φ?x)>O,

9(x)在(O,C)上單調(diào)遞增，又夕(O)=0,

2

.?.e(x)>o恒成立，

故。的最大值為3.

9.已知函數(shù)/(x)=∕nx+ov+sinx,其中x∈(0,π].

(1)當(dāng)α=0時(shí)，求曲線y=∕(x)在點(diǎn)弓，/(]))處的切線方程；

(2)判斷函數(shù)/(x)是否存在極值，若存在，請判斷是極大值還是極小值；若不存在，說明理由;

(3)討論函數(shù)/(x)在e，》］上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【解答】解：(1)α=0時(shí)，/(x)=∕n%+sinX,x∈(0,π?,

f'(x)=-+cosx,/(f)=l+∕"g'r(g)=2'

X2227r

故切線方程是：y=2χ+打工；

π2

(2)f,(x)=?÷α+cosX,

X

設(shè)g(x)='+α+cosx，g‰v)=--y-sinx<O，

XX

故∕,(x)遞減，f?x)=f?π}=-+a-l,

minπ

又X→O時(shí)，f,(x)→+∞,

①若/'(i)<O，即。<1一!時(shí)，3x0∈(0,τ)使/'(ΛO)=0，

π

當(dāng)X∈(0,Λυ)時(shí)，Λx)>0,/(X)遞增，

當(dāng)X￡(XO,1)時(shí)，f,(x)<O,/(X)遞減，

.?./(X)在/處取極大值，不存在極小值，

②若「⑸..0,即α?.l-L,Λ(x)>O,

π

.?"(x)在(0,加遞增,此時(shí)/(“)無極值,

(3)由(2)可知:

(i)若α..l-,時(shí)，由上問可知：

π

/(x)m?=/(y)??^y+-y(1--)+1=?y+^>0'

222π222

即久.1-工時(shí)函數(shù)沒有零點(diǎn)，

π

(而)若αvl時(shí)，x∈(0,/］時(shí)，/(%)遞增，

π

X∈(x0?π］時(shí)，F(xiàn)(X)遞減，

由/'(%))=°得一+G+COSAo=O,從而a=-------COsx0,

??

,

再設(shè)A(x)=---cos%,則h(x)=?+sinX>O從而a關(guān)于X0遞增,

XX

,&〃「∕￡(()，一］,此H'JCl∈(—8,］,

2π

若/(—)?(^r)>O得〃<(1+In-)或〃>一如^,

2π2π

/(—)j?π)Vo得一2(1+In—)<a<,

2π2π

.?.--(l+∕π?)<?,-2時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)，

π2π

當(dāng)〃=-2(i+∕/C)時(shí)，f(-)=o,/(Λ-)≠O,有1個(gè)零點(diǎn)，

Ti22

因此“<—2(1+加鳥時(shí)無零點(diǎn)，—2(1+歷馬釉一2時(shí)有1個(gè)零點(diǎn);

π2π2π

②XQ∈(—,4］’此時(shí)Cl∈(----，1------J?

2ππ

∕,(y)=∕n^+^a+l>0,f{π)=lnπ÷πa,

*

..f(x)wu.=/(x0)=IWCQ+ax^+sinX=Znr0+sinAo—%cosx0—1,

設(shè)機(jī)(X)=∕nr+SinX—XCOSX-1,則加'(x)=L+xsinx>O,

X

故/(x),s>"吟)=/吟>0'

若/(乃)>0即a>-皿，即—啊<q<l-L時(shí)無零點(diǎn)，

TC7tTt

若F(G,0即4,—也，即一2<4,_啊時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)，

TlTt71

綜上，α∈(-oo,--(1+//?—)U(-—?+00)時(shí)無零點(diǎn)，

π2π

a≡[--(?+ln-),一㈣]時(shí)有1個(gè)零點(diǎn).

π2π

10.已知函數(shù)/(x)=(x-l)-(x+2)sinx.

(1)當(dāng)xe[2,何時(shí)，求y=f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

(2)當(dāng)xe[0,2淚時(shí),求y=∕(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

■rr

【解答】解：(1)由題意/(x)=(X-I)-(X+2)SinX,x≡[-,π],

f,(x)=1-sinX-(?+2)cosx,

由于一款kπ、CoSK,0,又sin?;,1,

2

.-.f,(x)..O,f(x)在[生,加上單調(diào)遞增，

/(?)-3<0,f(π)=π-l>0,

.?.函數(shù)/(x)在弓，m上有唯一零點(diǎn)：

(2)由題意/(x)=(x-I)-(X+2)SinX,x∈[0,2π],

則?(?)=1-sinx-(x+2)cosx,

令〃(X)=I-SinX-(X+2)cosx,h,(x)=-2cosx+(x+2)sinx,

①當(dāng)旗∣k&時(shí)，cosX..,l-2cosx<l-2×^^=l-?∕2<0,

422

.,.∕z(x)=l-sinX-(x+2)cosx=(l-2cosx)-sin?-XCOSX<0,

.?.函數(shù)Fa)在[0，工]上無極值點(diǎn),

4

②當(dāng)(<X<]時(shí)，Λ(y)=O,

冗

當(dāng)一<X<4時(shí)，cosx<0，.,.h,(x)=-2cosx+(x÷2)sinx>0,

2

.??3)在自'加上遞增'也)>嗚)=。,BPrω>o,

當(dāng)工VXv工時(shí),sinx>cosx，

42

.?.h,(x)=-2cosX+(x+2)SinX=2(sinx-cosx)+XSinx>0?

.?.〃(x)在(?，$遞增，Λ(x)<Λ(^)=0BP∕,(x)<0,

.?.是人幻在弓，刀)上的極小值點(diǎn)，

③當(dāng);ΓVΛ;,才時(shí)?sinx<O,cos‰0,則/'(x)>0,/(x)無極值點(diǎn)，

___3冗

④當(dāng)——<乂，24時(shí)，COSX>0,SinXVO,

2