7.6 多邊形的內(nèi)角和與外角和-蘇科版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第7章《平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）》尖子生同步培優(yōu)（附答案解析）

專(zhuān)題7.6多邊形的內(nèi)角和與外角和姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，考試時(shí)間40分鐘，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2020秋?武進(jìn)區(qū)期中）正九邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為（）A．40° B．80° C．120° D．140°2．（2020春?灌云縣校級(jí)月考）若一個(gè)正多邊形的外角等于其內(nèi)角，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2020春?常州期中）若一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于與它相鄰?fù)饨堑?倍，則它的邊數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．84．（2020春?丹陽(yáng)市校級(jí)期末）一個(gè)n邊形的每一個(gè)外角都是72°，則n等于（）A．3 B．4 C．5 D．65．（2020春?徐州期末）如圖，五邊形ABCDE的每個(gè)內(nèi)角都相等，分別過(guò)頂點(diǎn)D、E作一條射線，交點(diǎn)為H，如果CD∥EH，那么∠DEH的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．72° D．75°6．若從一多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，最多可引10條對(duì)角線，則它是（）A．十三邊形 B．十二邊形 C．十一邊形 D．十邊形7．如果從一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作它的對(duì)角線，最多能將多邊形分成2011個(gè)三角形，那么這個(gè)多邊形是（）A．2012邊形 B．2013邊形 C．2014邊形 D．2015邊形8．（2020秋?秦淮區(qū)期中）如圖，在正八邊形ABCDEFGH中，AE與BG交于點(diǎn)P，則∠APG的度數(shù)為（）A．108° B．112.5° C．120° D．135°9．（2020春?洪澤區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，與∠ADC、∠ABC相鄰的兩外角平分線交于點(diǎn)E，若∠A＝60°，則∠E的度數(shù)為（）A．60° B．50° C．40° D．30°10．（2020?揚(yáng)州）如圖，小明從點(diǎn)A出發(fā)沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)B，向左轉(zhuǎn)45°后又沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)C，再向左轉(zhuǎn)45°后沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)D…照這樣走下去，小明第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)所走的路程為（）A．100米 B．80米 C．60米 D．40米二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上11．（2020春?江陰市期中）如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于60°，則它的內(nèi)角和是．12．若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于其外角和的2倍，則它是邊形．13．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它外角和的2倍，則它的邊數(shù)是．14．（2020秋?沭陽(yáng)縣期中）如圖，在正六邊形ABCDEF中，連接AC、AE，則∠CAE的度數(shù)為．15．（2017春?高港區(qū)校級(jí)月考）已知從某個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)一共畫(huà)出4條對(duì)角線，那么這個(gè)多邊形共有條對(duì)角線．16．（2020春?邳州市期末）如圖，線段AD、BE、CF相交于同一點(diǎn)O，連接AB、CD、EF，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝．17．（2020春?泰興市校級(jí)期中）如圖，在五邊形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，點(diǎn)F在邊AB上，∠AFE＝45°，則∠AEF與∠AED的度數(shù)的比值是．18．從如圖的五邊形ABCDE紙片中減去一個(gè)三角形，剩余部分的多邊形的內(nèi)角和是．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（2020春?高新區(qū)期中）已知一個(gè)多邊形的所有內(nèi)角的和與它的外角之和為1620°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)n．20．如圖，從一個(gè)多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把這個(gè)多邊形分割成若干個(gè)三角形．（1）根據(jù)以上多邊形的邊數(shù)與分割成三角形的個(gè)數(shù)之間的規(guī)律，猜測(cè)n（n≥4）邊形可以分割三角形的個(gè)數(shù)是；（2）若已知一個(gè)多邊形，按以上方法可分割成120個(gè)小三角形，則多邊形的邊數(shù)n＝．21．如圖，在四邊形ABCD中，∠A與∠C互補(bǔ)，∠ABC、∠ADC的平分線分別交CD、AB于點(diǎn)E、F．EG∥AB，交BC于點(diǎn)G．（1）∠1與∠2有怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？（2）若∠A＝100°，∠1＝42°，求∠CEG的度數(shù)．22．（2020春?建鄴區(qū)期末）閱讀佳佳與明明的對(duì)話，解決下列問(wèn)題：（1）“多邊形內(nèi)角和為2020°”，為什么不可能？（2）明明求的是幾邊形的內(nèi)角和？（3）錯(cuò)當(dāng)成內(nèi)角的那個(gè)外角為多少度？23．（2020春?東臺(tái)市期中）如圖，四邊形ABCD，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．（1）如圖1，若α+β＝100°，求∠MBC+∠NDC的度數(shù)；（2）如圖1，若BE與DF相交于點(diǎn)G，∠BGD＝40°，請(qǐng)直接寫(xiě)出α、β所滿足的數(shù)量關(guān)系式；（3）如圖2，若α＝β，判斷BE、DF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．24．（2020春?溧水區(qū)期末）如圖①，∠1、∠2是四邊形ABCD的兩個(gè)不相鄰的外角．（1）猜想并說(shuō)明∠1+∠2與∠A、∠C的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠ABC與∠ADC的平分線交于點(diǎn)O．若∠A＝50°，∠C＝150°，求∠BOD的度數(shù)；（3）如圖③，BO、DO分別是四邊形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分線．請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A、∠C與∠O的數(shù)量關(guān)系．參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．D【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理可計(jì)算求解．【解析】（9﹣2）×180°÷9＝140°，故選：D．2．B【分析】根據(jù)一個(gè)正多邊形的外角等于其內(nèi)角，可得外角度數(shù)，再根據(jù)外角和得出這個(gè)正多邊形的邊數(shù)．【解析】∵正多邊形的外角等于其內(nèi)角，∴外角和內(nèi)角均為90°，又∵多邊形的外角和等于360°，∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為360°÷90°＝4，故選：B．3．C【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和和外角和公式即可求解．【解析】設(shè)邊數(shù)為n，∵多邊形的內(nèi)角和公式為：（n﹣2）×180°，∴多邊形的每個(gè)內(nèi)角為：(n-2)×180°n∵多邊形的外角和公式為：360°，∴多邊形的每個(gè)外角為：360°n∵一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于與它相鄰?fù)饨堑?倍，∴(n-2)×180°n∴n＝6，故選：C．4．C【分析】先判斷出此多邊形是正多邊形，然后根據(jù)正多邊形的邊數(shù)等于360°除以每一個(gè)外角的度數(shù)計(jì)算即可得解．【解析】∵多邊形的每一個(gè)外角都是72°，∴此多邊形是正多邊形，360°÷72°＝5，所以，它的邊數(shù)是5．故選：C．5．C【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可得∠CDE的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)計(jì)算即可．【解析】∵五邊形的內(nèi)角和為：（5﹣2）?180°＝540°且每個(gè)內(nèi)角都相等，∴∠CDE＝540°÷5＝108°．∵CD∥EH，∴∠CDE+∠DEH＝180°，∴∠DEH＝180°﹣108°＝72°．故選：C．6．A【分析】根據(jù)多邊形的對(duì)角線的定義可知，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引（n﹣3）條對(duì)角線，由此可得到答案．【解析】設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形．依題意，得n﹣3＝10，∴n＝13．故這個(gè)多邊形是13邊形．故選：A．7．B【分析】經(jīng)過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線把多邊形分成（n﹣2）個(gè)三角形，根據(jù)此關(guān)系式求邊數(shù)．【解析】設(shè)多邊形有n條邊，則n﹣2＝2011，解得：n＝2013．所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)是2013．故選：B．8．B【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理及正多邊形的性質(zhì)可求解∠PAH，∠HGP，∠AHG，再利用四邊形的內(nèi)角和為360°可計(jì)算求解．【解析】在正八邊形ABCDEFGH中，AE平分∠BAH，BG⊥GF，∴∠BAH＝∠AHG＝∠HGF=∴∠PAH=12∠BAH＝67.5°，∠∴∠HGP＝∠HGF﹣∠BGF＝45°，∵四邊形APGH的內(nèi)角和為360°，∴∠APG＝360°﹣45°﹣67.5°＝112.5°，故選：B．9．D【分析】運(yùn)用四邊形的內(nèi)角和等于360°，可求∠DCB的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)可求∠E的度數(shù)．【解析】∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∠A＝60°，∴∠C＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∵∠ADC、∠ABC相鄰的兩外角平分線交于點(diǎn)E，∴∠CDE＝∠CBE＝45°，∴∠E＝120°﹣45°﹣45°＝30°故選：D．10．B【分析】根據(jù)題意，小明走過(guò)的路程是正多邊形，先用360°除以45°求出邊數(shù)，然后再乘以10米即可．【解析】∵小明每次都是沿直線前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)45度，∴他走過(guò)的圖形是正多邊形，∴邊數(shù)n＝360°÷45°＝8，∴他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，一共走了8×10＝80（m）．故選：B．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上11．720°．【分析】根據(jù)任何多邊形的外角和都是360°，利用360除以外角的度數(shù)就可以求出外角和中外角的個(gè)數(shù)，即多邊形的邊數(shù)．n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，因而代入公式就可以求出內(nèi)角和．【解析】多邊形邊數(shù)為：360°÷60°＝6，則這個(gè)多邊形是六邊形；∴內(nèi)角和是：（6﹣2）?180°＝720°．故答案為：720°．12．六．【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理列出方程，然后解方程即可．【解析】設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，根據(jù)題意得，（n﹣2）?180°＝2×360°，解得n＝6．故答案為：六．13．6．【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°以及外角和定理列出方程，然后求解即可．【解析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，根據(jù)題意得，（n﹣2）?180°＝2×360°，解得n＝6．答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)是6．故答案為：6．14．60°．【分析】由正六邊形的性質(zhì)得出∠B＝∠BAF＝∠F＝120°，BC＝AB＝AF＝FE，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠BAC＝∠BCA＝30°，∠FAE＝∠FEA＝30°，求出∠CAE＝60°．【解析】∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠B＝∠BAF＝∠F＝120°，BC＝AB＝AF＝FE，∴∠BAC＝∠BCA＝30°，∠FAE＝∠FEA＝30°，∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠FAE＝120°﹣30°﹣30°＝60°．故答案為：60°．15．14【分析】根據(jù)對(duì)角線的概念，知一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有（n﹣3）條對(duì)角線，求出n的值，再根據(jù)多邊形對(duì)角線的總數(shù)為12n（n【解析】∵從某個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)一共畫(huà)出4條對(duì)角線，∴n﹣3＝4，∴n＝7，那么這個(gè)多邊形對(duì)角線的總條數(shù)為：12故答案為：14．16．360°．【分析】根據(jù)一周角等于360°以及對(duì)頂角相等可得以O(shè)為頂點(diǎn)的三個(gè)內(nèi)角的和為180°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理解答即可．【解析】如圖所示，∵∠1+∠2+∠3＝180°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+（∠1+∠2+∠3）＝3×180°＝540°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝540°﹣180°＝360°．故答案為：360°．17．1：4．【分析】首先設(shè)∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝x°，然后利用三角形內(nèi)角和可得∠AEF＝（135﹣x）°，利用五邊形內(nèi)角和可得∠AED＝（540﹣4x）°，然后可得比值．【解析】設(shè)∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝x°，∵∠AFE＝45°，∴∠AEF＝（135﹣x）°，∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠AED＝540°，∴∠AED＝（540﹣4x）°，∴∠AEF：∠AED＝1：4，故答案為：1：4．18．360°或540°或720°．【分析】分為三種情況，畫(huà)出圖形，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出內(nèi)角和即可．【解析】如圖，剩余的部分是四邊形，其內(nèi)角和為360°，如圖，剩余的部分是五邊形，其內(nèi)角和為540°，如圖，剩余的部分是六邊形，其內(nèi)角和為720°，所以剩余部分的多邊形的內(nèi)角和是360°或540°或720°．故答案為：360°或540°或720°．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．【分析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，然后根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理列出方程，然后求解即可．【解析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，由題意得，（n﹣2）?180°+360°＝1620°，解得n＝9．答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)n是9．20．（1）n﹣2；（2）n＝122．【分析】（1）由所給圖形得到分成的三角形的個(gè)數(shù)和多邊形的邊數(shù)的關(guān)系的規(guī)律即可解答；（2）根據(jù)（1）得到的規(guī)律求得n的值即可．【解析】（1）由圖中可以看出：四邊形被分為4﹣2＝2個(gè)三角形，五邊形被分為5﹣2＝3個(gè)三角形，六邊形被分為6﹣2＝4個(gè)三角形，那么n邊形被分為（n﹣2）個(gè)三角形．故答案為：n﹣2．（2）當(dāng)n﹣2＝120時(shí)，n＝122，故答案為：122．21．【分析】（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°以及補(bǔ)角的定義可得∠ABC+∠ADC＝180°，再根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)即可得出∠1+∠2＝90°；（2）根據(jù)∠A與∠C互補(bǔ)可得∠C的度數(shù)，根據(jù)∠1與∠2互余可得∠2的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABE的度數(shù)，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和以及角的和差關(guān)系計(jì)算即可．【解析】（1）∠1與∠2互余．∵四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°，∠A與∠C互補(bǔ)，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣180°＝180°，∵BE、DF分別平分∠ABC、∠ADC，∴∠1=12∵EG∥AB，∴∠2＝∠ABE，∴∠1+∠2=1即∠1與∠2互余．（2）∵∠A＝100°，∠1＝42°，∴∠C＝80°，∠2＝48°，∴∠ABE＝∠CBE＝48°，∴∠BEC＝180°﹣48°﹣80°＝52°，∴∠CEG＝52°﹣48°＝4°．22．【分析】（1）n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，因而內(nèi)角和一定是180度的倍數(shù)，依此即可作出判斷；（2）設(shè)應(yīng)加的內(nèi)角為x，多加的外角為y，依題意可列方程：（n﹣2）180°＝2020°﹣y+x，解方程即可求解；（3）代入計(jì)算求解．【解析】（1）設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，180°（n﹣2）＝2020°，解得n=132∵n為正整數(shù)，∴“多邊形的內(nèi)角和為2020°”不可能．（2）設(shè)應(yīng)加的內(nèi)角為x，多加的外角為y，依題意可列方程：（n﹣2）180°＝2020°﹣y+x，∵﹣180°＜x﹣y＜180，∴2020°﹣180°＜180°（n﹣2）＜2020°+180°，解得122又∵n為正整數(shù)，∴n＝13，n＝14．故明明求的是十三邊形或十四邊形的內(nèi)角和．（3）十三邊形的內(nèi)角和＝180°×（13﹣2）＝1980°，∴y﹣x＝2020°﹣1980°＝40°，又x+y＝180°，解得：x＝70°，y＝110°；十四邊形的內(nèi)角和＝180°×（14﹣2）＝2160°，∴y﹣x＝2020°﹣2160°＝﹣140°，又x+y＝180°，解得：x＝160°，y＝20°；所以那個(gè)外角為110°或20°．23．【分析】（1）∠ABC+∠ADC＝360°﹣（α+β），則∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝α+β＝100°．（2）連接BD，由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，則∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12（∠MBC+∠NDC）=12（α+β），在△BCD中，∠BDC+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD＝180°，則12（α（3）由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，則∠CBE+∠CDH=12（α+β），∠CBE+β﹣∠DHB=12（α+β），根據(jù)α＝β，則有∠CBE+β﹣∠DHB=12（β+β）＝β，∠CBE＝∠【解析】（1）∵∠ABC+∠ADC＝360°﹣（α+β），∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝α+β＝100°．（2）β﹣α＝80°理由：如圖1，連接BD，由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG=12∠MBC，∠CDG=1∴∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12（∠MBC+∠NDC）在△BCD中，∠BDC+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°，∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD＝180°，∴12（α+β）+180°﹣β∴β﹣α＝80°，（3）平行，理由：如圖2，延長(zhǎng)BC交DF于