第03講 導(dǎo)數(shù)題型全歸納（十一大題型）（原卷版）

專題03導(dǎo)數(shù)題型全歸納【題型歸納目錄】【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)1、恒成立問題（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域?yàn)?，則不等式在區(qū)間D上恒成立．不等式在區(qū)間D上恒成立．（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲担缰涤?yàn)?，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解不等式在區(qū)間D上有解（5）對于任意的，總存在，使得；（6）對于任意的，總存在，使得；（7）若存在，對于任意的，使得；（8）若存在，對于任意的，使得；（9）對于任意的，使得；（10）對于任意的，使得；（11）若存在，總存在，使得（12）若存在，總存在，使得．知識點(diǎn)2、極值點(diǎn)偏移的相關(guān)概念所謂極值點(diǎn)偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對稱性．若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)為，而往往．如下圖所示．圖1極值點(diǎn)不偏移圖2極值點(diǎn)偏移極值點(diǎn)偏移的定義：對于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)左偏，簡稱極值點(diǎn)左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)右偏，簡稱極值點(diǎn)右偏．知識點(diǎn)3、破解雙參數(shù)不等式的方法：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果．知識點(diǎn)4、函數(shù)零點(diǎn)問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或者求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點(diǎn)情況，求參數(shù)的值或取值范圍．求解步驟：第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與軸（或直線）在某區(qū)間上的交點(diǎn)問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出其圖像；第三步：結(jié)合圖像判斷零點(diǎn)或根據(jù)零點(diǎn)分析參數(shù)．知識點(diǎn)5、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)．（4）對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題（6）同構(gòu)變形【典型例題】題型一：構(gòu)造函數(shù)解不等式問題【例1】（2024·江蘇南京·高二期末）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，有恒成立，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【變式1-1】（2024·寧夏銀川·高二?？计谀┮阎呛瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)，且，，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2024·甘肅慶陽·高一?？茧A段練習(xí)）已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，它們的定義域都是，且它們在上的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A．或或 B．或或C．或或 D．或或【變式1-3】（2024·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．題型二：單調(diào)性問題【例2】（2024·江蘇·高二期末）已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的值;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【變式2-1】（2024·吉林長春·高二長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┰O(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求a，b的值；(2)若，設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間．【變式2-2】（2024·江蘇連云港·高二?？计谀┮阎?，它們的圖象在處有相同的切線．(1)求與的解析式；(2)若在區(qū)間上存在單調(diào)遞增，求的取值范圍．【變式2-3】（2024·四川自貢·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)若的單調(diào)遞減區(qū)間為，求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)在單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍．題型三：極值問題【例3】（2024·河南焦作·高二焦作市第一中學(xué)校考期末）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若在上存在極值，求的取值范圍.【變式3-1】（2024·陜西西安·高二校考期末）若函數(shù)在處有極值，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式3-2】（2024·安徽滁州·高二統(tǒng)考期末）已知存在唯一極小值點(diǎn)，則的范圍是（

）A． B． C． D．【變式3-3】（2024·江西宜春·高二?？计谀┤艉瘮?shù)在區(qū)間無零點(diǎn)但有2個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3-4】（2024·廣西欽州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在處取得極值5，則（

）A． B． C．3 D．7題型四：最值問題【例4】（2024·湖北·高二期末）函數(shù)的最小值為.【變式4-1】（2024·吉林長春·高二長春市第十七中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，則函數(shù)的最大值為.【變式4-2】（2024·陜西西安·高二長安一中?？计谀┤艉瘮?shù)在上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式4-3】（2024·湖北襄陽·高二襄陽市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則的取值范圍是．題型五：切線問題【例5】（2024·海南?？凇じ叨Ｄ现袑W(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)是曲線和的一條公切線．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)過點(diǎn)可作曲線的三條不同的切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【變式5-1】（2024·安徽蕪湖·高二校考期末）已知曲線．(1)求平行于直線且與曲線相切的直線方程；(2)求過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程．【變式5-2】（2024·黑龍江雙鴨山·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)直線為曲線的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)．【變式5-3】（2024·江蘇南京·高二期末）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則（

）A． B． C． D．【變式5-4】（2024·湖北·高二期末）點(diǎn)M是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【變式5-5】（2024·河南焦作·高二焦作市第十一中學(xué)?？计谀┪覈簳x時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實(shí)施“以直代曲”的近似計(jì)算，用圓內(nèi)接正多邊形的面積去逼近圓的面積求圓周率，求出了精度較高的近似值，這是我國最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學(xué)文化之一.借用“以直代曲”的近似計(jì)算方法，在切點(diǎn)附近，可以用函數(shù)圖像的切線代替在切點(diǎn)附近的曲線來近似計(jì)算，例如：求，我們先求得在處的切線方程為，再把代入切線方程，即得，類比上述方式，則（

）A．1.0005 B．1.0001 C．1.005 D．1.001題型六：證明不等式【例6】（2024·湖北·高二期末）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)，時(shí)，證明：【變式6-1】（2024·吉林長春·高二長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)求的最小值；(2)設(shè)，證明：【變式6-2】（2024·湖南衡陽·高二?？计谀┮阎瘮?shù)，.(1)若的極大值為1，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若，求證：.【變式6-3】（2024·湖南衡陽·高二校考期末）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：.題型七：恒成立問題【例7】（2024·河南焦作·高二焦作市第十一中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，求證：當(dāng)時(shí)，；(3)若對任意恒成立，求的取值范圍.【變式7-1】（2024·江蘇常州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，，且.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若對于區(qū)間上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，，都有，求實(shí)數(shù)的最小值.【變式7-2】（2024·貴州黔東南·高二校考期末）已知函數(shù)，其中．(1)若函數(shù)在處取得極值，求實(shí)數(shù)a；(2)若函數(shù)在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【變式7-3】（2024·江西宜春·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)是否存在實(shí)數(shù)，對任意的且有恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．題型八：能成立問題【例8】（2024·黑龍江雙鴨山·高二?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)存在且，使成立，求的取值范圍．【變式8-1】（2024·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)滿足，且，函數(shù)．(1)求的圖象在處的切線方程；(2)若對任意，存在，使得，求的取值范圍．【變式8-2】（2024·貴州黔東南·高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【變式8-3】（2024·山東青島·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2)若存在，使成立，求a的取值范圍.題型九：零點(diǎn)問題與方程的根問題【例9】（2024·廣西南寧·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求的導(dǎo)函數(shù)；(2)若在上有零點(diǎn)，求的取值范圍．【變式9-1】（2024·山東菏澤·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；(2)判斷函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.【變式9-2】（2024·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，在處切線的斜率為-2.（1）求的值及的極小值；（2）討論方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).【變式9-3】（2024·天津和平·高二天津一中?？计谥校┮阎瘮?shù)(1)若，求的增區(qū)間；(2)若，且函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；(3)若且關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型十：雙變量問題問題【例10】（2024·上海浦東新·高二校考期末）已知，函數(shù).(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若有兩個(gè)相異零點(diǎn)，，求證：.【變式10-1】（2024·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)討論在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若存在滿足，證明．【變式10-2】（2024·四川涼山·高二寧南中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)．(1)討論函