第04講 正弦定理與余弦定理（人教A版2019必修第二冊(cè)）（解析版）

第04講正弦定理與余弦定理【人教A版2019】·模塊一余弦定理·模塊二正弦定理·模塊三三角形面積公式·模塊四課后作業(yè)模塊一模塊一余弦定理1．余弦定理(1)余弦定理及其推論的表示文字表述三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.公式表述a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.推論(2)對(duì)余弦定理的理解①余弦定理對(duì)任意的三角形都成立.

②在余弦定理中，每一個(gè)等式都包含四個(gè)量，因此已知其中三個(gè)量，利用方程思想可以求得未知的量.

③余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來確定三角形的角的問題.用余弦定理的推論還可以根據(jù)角的余弦值的符號(hào)來判斷三角形中的角是銳角還是鈍角.

④余弦定理的另一種常見變式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC.【考點(diǎn)1\o"余弦定理邊角互化的應(yīng)用"\t"/gzsx/zj168409/_blank"余弦定理邊角互化的應(yīng)用】【例1.1】（2023上·浙江金華·高二校考開學(xué)考試）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若b2=a2+A．π6 B．π3 C．3π【解題思路】根據(jù)余弦定理求得正確答案.【解答過程】依題意，b2=a所以cosB=a2+c故選：B.【例1.2】（2023下·云南紅河·高一?？茧A段練習(xí)）已知一個(gè)三角形的三邊分別是a、b、a2A．90° B．120° C．135°【解題思路】由題意得，a2【解答過程】∵一個(gè)三角形的三邊分別是a、b、a2+b2+ab設(shè)最大角為θ，由余弦定理可得a2+b因?yàn)?°≤θ≤180故選：B．【變式1.1】（2023上·陜西商洛·高二?？计谀┰凇鰽BC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若bcosC+ccosB=bA．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形【解題思路】根據(jù)余弦定理把題中條件化為邊的關(guān)系式，即可判定.【解答過程】根據(jù)余弦定理知，b==a=b所以a2=b故三角形為直角三角形，故選：B【變式1.2】（2023上·陜西商洛·高二?？计谀┰凇鰽BC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若A=2π3，bc=3，且b+c=52A．23 B．33 C．22【解題思路】利用余弦定理表示出cosA，利用條件變換求解即可【解答過程】因?yàn)锳=2π3，由余弦定理知，cos==a解得a=23故選：A【考點(diǎn)2\o"余弦定理解三角形"\t"/gzsx/zj168409/_blank"余弦定理解三角形】【例2.1】（2023下·河南鄭州·高一?？计谀┰凇鰽BC中，a，b，c分別是∠A，∠B，C的對(duì)邊.若b2=ac，且a2A．π6 B．π3 C．2π【解題思路】由b2=ac，且a2+【解答過程】因?yàn)閎2=ac，且所以b2所以cosA=因?yàn)锳∈0,π，所以故選：A.【例2.2】（2023·四川自貢·統(tǒng)考一模）在△ABC中角A、B、C所對(duì)邊a、b、c滿足a=c-2acosB，c=5，3a=2b，則b=（

A．4 B．5 C．6 D．6或15【解題思路】根據(jù)余弦定理化簡(jiǎn)a=c-2acosB可得ac=【解答過程】由a=c-2acosB得a=c-2a?a又c=5，3a=2b，故10b3=b故選：C.【變式2.1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，BC=2，AC=2AB，D是BC的中點(diǎn)，E是線段AC上的點(diǎn)，且AC=4EC，∠ADB=∠EDC，則AB=（

）A．2 B．3 C．2 D．5【解題思路】解法一：設(shè)出AB=xx>0，由余弦定理得到cos∠ABC,cos∠ABD，得到方程，求出AD2=解法二：作出輔助線，由題目條件得到MH=DH=32，BH=12，設(shè)AH=h【解答過程】解法一：設(shè)AB=xx>0，則AC=2x在△ABC中，由余弦定理得cos∠ABC=在△ABD中，由余弦定理得cos∠ABD=則4+x2-4如圖，過點(diǎn)A作AM//DE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則∠AMD=∠EDC，又AC=4EC，∠ADB=∠EDC，所以MC=4DC=4，∠AMD=∠ADB，則MD=3，AM=AD．在△AMD中，由余弦定理得cos∠AMD=在△AMC中，由余弦定理得cos∠AMC=則AM2+9-A所以5x2-22=4解法二：如圖，過點(diǎn)A作AM//DE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AH⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，易得∠AMD=∠EDC，又AC=4EC，∠ADB=∠EDC，所以MC=4DC=4，∠AMD=∠ADB，則MD=3，AM=AD，所以MH=DH=32，BH=1所以AC=AH2因?yàn)锳C=2AB，所以h2+2+所以AB=h

故選：A.【變式2.2】（2023·安徽·池州市校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖是一塊空曠的土地，準(zhǔn)備在矩形OABC區(qū)域內(nèi)種菊花，區(qū)域GOD內(nèi)種桂花，區(qū)域GDC內(nèi)種茶花.若△GOC面積是△GOD面積的3倍，∠ODG=120°，GD=2,OA=3，則當(dāng)GCA．2+33 B．4+23 C．6-23【解題思路】由△GOC面積是△GOD面積的3倍得OC=3OD，因此設(shè)OD=x(x>0)，得CD=2x，用余弦定理確定GC,OG，求出比值后利用基本不等式得最小值，從而可得結(jié)論．【解答過程】設(shè)OD=x(x>0)，∵△GOC面積是△GOD面積的3倍，∴OC=3OD，則CD=2x，在△GOD中，OG在△GDC中，GC故GC∴GCOGmin=3-1，當(dāng)∴OC=3x=33∴當(dāng)GCOG取最小值時(shí)，菊花的種植面積=OA×OC=故選：D.模塊二模塊二正弦定理1．正弦定理(1)正弦定理的表示在△ABC中，若角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c，則各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即==.(2)正弦定理的常見變形在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，則a=kA，b=kB，c=kC，由此可得正弦定理的下列變形：①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB；

②======；

③a:b:c=A:B:C；④===2R，（R為△ABC外接圓的半徑）.(3)三角形的邊角關(guān)系

由正弦定理可推導(dǎo)出，在任意三角形中，有“大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊”的邊角關(guān)系.2．解三角形(1)解三角形的概念一般地，三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形.(2)余弦定理在解三角形中的應(yīng)用利用余弦定理可以解決以下兩類解三角形的問題：

①已知兩邊及它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角；

③已知三邊，求三角形的三個(gè)角.(3)正弦定理在解三角形中的應(yīng)用公式==反映了三角形的邊角關(guān)系.

由正弦定理的推導(dǎo)過程知，該公式實(shí)際表示為：=，=，=.上述的每一個(gè)等式都表示了三角形的兩個(gè)角和它們的對(duì)邊的關(guān)系.從方程角度來看，正弦定理其實(shí)描述的是三組方程，對(duì)于每一個(gè)方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用來解決兩類解三角形的問題：

①已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角，

③已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角.【考點(diǎn)1

\o"正弦定理邊角互化的應(yīng)用"\t"/gzsx/zj168410/_blank"正弦定理邊角互化的應(yīng)用】【例1.1】（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，bA．13 B．23 C．38【解題思路】利用正弦定理、二倍角公式等知識(shí)求得正確答案.【解答過程】因?yàn)锳=2B，所以sinA=因?yàn)閍sinA=bsin因?yàn)?a=4b，所以ab=4故選：B.【例1.2】（2023上·廣東肇慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asinB=bsinA．π6 B．π4 C．π3【解題思路】利用正弦定理變形等式，可得三角形為等邊三角形，即得答案.【解答過程】因?yàn)閍sin有正弦定理得，a則b2所以b2c2=ac代入上邊等式可得，a=b=c，則三角形為等邊三角形，故C=故選：C【變式1.1】（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若asinA=bcosC+cA．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．不確定【解題思路】運(yùn)用正弦定理邊化角及和角公式計(jì)算即可.【解答過程】由asinA=bcos所以sin2又在△ABC中，sinA≠0，所以sin所以A=π2，所以故選：A.【變式1.2】（2023·上海普陀·統(tǒng)考一模）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=3，且c-2b+23cosA．1 B．3 C．2 D．2【解題思路】先應(yīng)用正弦定理及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)求出角A,再根據(jù)正弦定理求出外接圓半徑即可.【解答過程】∵a=3∴∴∴sin∴A=π3由正弦定理得a故選：A.【考點(diǎn)2

\o"正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)"\t"/gzsx/zj168410/_blank"正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)】【例2.1】（2022下·福建莆田·高一?？计谀┰凇鰽BC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（

）A．b=4，A=20°，C=40° B．a(chǎn)=4C．a(chǎn)=4，b=6，A=35° D．a(chǎn)=4，b=6【解題思路】由三角形內(nèi)角和可判斷A項(xiàng)，由三角形中大邊對(duì)大角可判斷B項(xiàng)，由正弦定理解三角形可判斷C項(xiàng)，由余弦定理解三角形可判斷D項(xiàng).【解答過程】對(duì)于A項(xiàng)，由A=20°，C=40對(duì)于B項(xiàng)，由a=4，b=6，B=35°，可得a<b，所以對(duì)于C項(xiàng)，由正弦定理asinA=可得B有兩解，所以三角形有兩解；對(duì)于D項(xiàng)，由余弦定理得c2可得c有唯一的解，所以三角形只有一解．故選：C．【例2.2】（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，A=π3，a=3，b=A．有一解 B．有兩解C．無解 D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定【解題思路】運(yùn)用正弦定理計(jì)算出sinB，結(jié)合a>b有sinA>sinB【解答過程】由asinA=又a>b，A=π3，故B只能為銳角，即故該三角形只有一解．故選：A.【變式2.1】（2023上·北京大興·高三統(tǒng)考期中）在△ABC中，∠A=π6?,AB=4?,BC=a，且滿足該條件的A．0,2 B．2,2C．2,4 D．2【解題思路】由題意可知，畫出∠A和邊長(zhǎng)AB，以B為圓心，a為半徑作圓與AC邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)即可求出a的取值范圍.【解答過程】根據(jù)題意如下圖所示：

易知當(dāng)BC⊥AC時(shí)，BC=ABsin30°由題可知以B為圓心，a為半徑的圓與AC邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即圖中C1所以可得BC<a<AB，即2<a<4；即a的取值范圍是2,4.故選：C.【變式2.2】（2023下·安徽馬鞍山·高一?？计谥校鰽BC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A=60°，b=10，則結(jié)合a的值，下列解三角形有兩解的為（

）A．a(chǎn)=8 B．a(chǎn)=9 C．a(chǎn)=10 D．a(chǎn)=11【解題思路】根據(jù)題意，由正弦定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【解答過程】由正弦定理可得，asinA=因?yàn)槿切斡袃山?，所以sinB<1，且b>a，因此由選項(xiàng)知，只有a=9符合故選：B.【考點(diǎn)3\o"正弦定理解三角形"\t"/gzsx/zj168410/_blank"正弦定理解三角形】【例3.1】（2023上·內(nèi)蒙古通遼·高三?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=6，sinA=378，cosB=A．8 B．5 C．4 D．3【解題思路】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinB，結(jié)合正弦定理即可得解【解答過程】在△ABC中，0<B<π因?yàn)閏osB=916則由正弦定理得b=sin故選：B．【例3.2】（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．4a=5c，cosC=35A．35 B．255 C．5【解題思路】運(yùn)用正弦定理結(jié)合題目條件計(jì)算即可得.【解答過程】由正弦定理asinA=因?yàn)閏osC=35又4a=5c，所以故選：C.【變式3.1】（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考期中）已知△ABC的外接圓半徑為2，且內(nèi)角A,B,C滿足sinC=7cosAsinB，cosA．13 B．23 C．637【解題思路】相加即可求出tanC，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系可求的sinC【解答過程】由sinC=7cosAsinB即cosC=6sinC,∵C∈(0,由sinCcosC由正弦定理知csin故選：D.【變式3.2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，2cosB-3cbA．338 B．558 C．37【解題思路】先利用正弦定理、三角恒等變換等求出角B的大小，然后利用正弦定理即可求出sinA的值，進(jìn)而求出cos【解答過程】由2cosB-3由正弦定理得2sin故2sin又sinB>0，所以cos因?yàn)锽∈0,π，所以B=在△ABC中，由正弦定理得，asin所以sinA=因?yàn)閍<b，所以A為銳角，所以cosA=故選B．模塊三模塊三三角形面積公式1．三角形的面積公式(1)常用的三角形的面積計(jì)算公式①=a=b=c(,,分別為邊a,b,c上的高).

②將=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦值乘積的一半.(2)三角形的其他面積公式①=r(a+b+c)=rl，其中r,l分別為△ABC的內(nèi)切圓半徑及△ABC的周長(zhǎng).

②=，=，=.【考點(diǎn)1三角形面積公式的應(yīng)用】【例1.1】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考期中）在△ABC中，若AB=3,AC=7,B=120°，則△ABC的面積為（

）A．63 B．3-14 C．3+14【解題思路】利用余弦定理求BC，進(jìn)而利用面積公式求面積.【解答過程】由題意可得：AC2=A整理得BC2+3BC-40=0，解得BC=5所以△ABC的面積為12故選：D.【例1.2】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，BC=3，sinB+sinC=103sinA，且△ABCA．π6 B．π4 C．π3【解題思路】先利用正弦定理角化邊可得b+c=10，再由三角形面積公式可得bc=1，最后根據(jù)余弦定理求解即可【解答過程】設(shè)ABC中角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，因?yàn)閟inB+sinC=又S△ABC=1所以由余弦定理可得cosA=因?yàn)锳∈0,π，所以故選：D.【變式1.1】（2023上·安徽蕪湖·高二?？茧A段練習(xí)）已知鈍角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，2bsinA=3bcosC+3ccosB．若A．32 B．C．32或332【解題思路】先結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)求出sinB，進(jìn)而求出角B,再結(jié)合向量的實(shí)數(shù)化求出c，則三角形的面積可求【解答過程】因?yàn)?bsin所以由正弦定理可得2sin因?yàn)樵谌切沃衧in(B+C)=所以2sin又因?yàn)閟inA≠0所以sinB=所以B=π3或2因?yàn)锳C邊上中線長(zhǎng)為72，a=2設(shè)AC中點(diǎn)為D，則可得BD=所以BD2又因?yàn)锳C邊上中線長(zhǎng)為72，a=2，所以74當(dāng)B=π3時(shí)，代入可得7=c則b=所以a2=b2當(dāng)B=2π3時(shí)，代入可得7=則△ABC的面積S=1故選：B.【變式1.2】（2023上·陜西西安·高三交大附中?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sin2A-sin2C+sin2B=sinA．3 B．934 C．33【解題思路】在△ABC中，由正弦定理邊角關(guān)系得a2+b2-c【解答過程】在△ABC中，sin2由正弦定理得：a2由余弦定理得：cosC=因?yàn)镃為△ABC的內(nèi)角，則0<C<π所以C=π因?yàn)椤鰽BC的外接圓的半徑為3，由正弦定理得：asinA=由余弦定理得c2=a因?yàn)閍2+b2≥2ab故△ABC的面積S=1所以△ABC面積的最大值為93故選：B.【考點(diǎn)2正、余弦定理在幾何圖形中的應(yīng)用】【例2.1】（2023上·黑龍江哈爾濱·高三校考期末）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且3c(1)求角A的大??；(2)若1tanB+1tanC【解題思路】（1）由余弦定理和正弦定理，結(jié)合正弦和角公式得到3sinA-cosA=1，從而得到（2）在（1）基礎(chǔ)上得到1tanB+1tanC=2【解答過程】（1）3c由余弦定理得3c由正弦定理得3sin3sin即3sin故3sin因?yàn)镃∈0,π，所以所以3sinA-cos因?yàn)锳∈0,π，所以（2）由（1）知A=π故1tan∵tanA=tanπ聯(lián)立1tanB+∵B∈0,π，∴B=C=π∴△ABC為等邊三角形，∴S△ABC【例2.2】（2023上·廣東汕頭·高二?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，c=2bcos(1)求B；(2)再?gòu)臈l件①條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求BC邊上中線的長(zhǎng)．條件①：△ABC的周長(zhǎng)為4+23；條件②：△ABC的面積為3（若選擇多個(gè)做答，按第一作答給分）【解題思路】（1）根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，再求出B.（2）若選擇①，則結(jié)合正弦定理、余弦定理求得中線長(zhǎng)；若選擇②，則根據(jù)三角形的面積公式、余弦定理求得中線長(zhǎng).【解答過程】（1）∵c=2bcosB，∴由正弦定理可得∴sin2B=sin2π3=32∴2B=π3，解得（2）若選擇①：由（1）可得A=π設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則由正弦定理可得a=b=2Rsin則周長(zhǎng)a+b+c=2R+3解得R=2，則a=2,c=23由余弦定理可得BC邊上的中線的長(zhǎng)為23若選擇②：由（1）可得A=π6，即則S△ABC=1則由余弦定理可得BC邊上的中線的長(zhǎng)為b2【變式2.1】（2023上·廣西河池·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若3sin(1)求a的值；(2)若△ABC的面積為3b2+【解題思路】（1）利用兩角和差正弦公式、正弦定理和余弦定理角化邊可整理得到關(guān)于a的方程，解方程可求得結(jié)果；（2）由三角形面積公式，結(jié)合余弦定理可求得tanA，由此可得A；利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換知識(shí)可將b+c整理為關(guān)于B的三角函數(shù)的形式，根據(jù)正弦型函數(shù)值域求法可求得結(jié)果【解答過程】（1）∵3sin∴3a=b∴6a=2b2+a2∴a=3.（2）∵S△ABC=∴tanA=3，又A∈∴asinA=b∴b+c=23sinB+∵B∈0,2π3，∴B+π6又a=3，∴△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為6,9.【變式2.2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且sin2C+2(1)若a=3,b=4，求c的值以及(2)若BM=λBC0<λ<1,tan【解題思路】（1）根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到tan2C=3，再由余弦定理求得c=（2）由tan∠BAC=-142，求得sin∠BAC=73【解答過程】（1）解：由sin2C=31-2因?yàn)镃∈0,π2，所以2C∈0,π由余弦定理得c=a所以△ABC的面積S=1（2）解：因?yàn)閠an∠BAC=-142解得sin∠BAC=在△AMC中，由正弦定理得AMsinC=因?yàn)?<∠MAC<∠BAC,∠BAC>π2，故sin∠MAC∈即AMCM的取值范圍為1【考點(diǎn)3距離、高度、角度測(cè)量問題】【例3.1】（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸(不可到達(dá))，若在河岸選取相距20米的C、D兩點(diǎn)，測(cè)得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此時(shí)A，B兩點(diǎn)間的距離是多少？【解題思路】根據(jù)正弦定理，分別在△ACD和△BCD中求出AC，BC，然后在△ABC中，由余弦定理求得AB.【解答過程】根據(jù)正弦定理，在△ACD中，有AC=CDsin45°+60在△BCD中，有BC=CDsin45°sin在△ABC中，由余弦定理得AB＝AC2+BC2-2AC?BC所以A，B兩點(diǎn)間的距離為106【例3.2】（2023上·廣東湛江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）山東省濱州市的黃河樓位于蒲湖水面內(nèi)東南方向的東關(guān)島上，渤海五路以西，南環(huán)路以北.整個(gè)黃河樓顏色質(zhì)感為灰紅，意味黃河樓氣勢(shì)恢宏，更在氣勢(shì)上體現(xiàn)黃河的宏壯.如圖，小張為了測(cè)量黃河樓的實(shí)際高度AB，選取了與樓底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C,D，現(xiàn)測(cè)得∠BCD=30°,∠BDC=95°,CD=116m，在點(diǎn)D處測(cè)得黃河樓頂A的仰角為【解題思路】利用正弦定理即可求解.【解答過程】由題知，∠CBD=180在△BCD中，由正弦定理得BDsin則BD=CD在△ABD中，AB⊥BD,∠ADB=45所以AB=BDtan故黃河樓的實(shí)際高度約為70.7m【變式3.1】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°方向且與該港口相距20nmile的A處，并以30nmile/h的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以vnmile/h的航行速度勻速行駛，經(jīng)過

(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30nmile/h【解題思路】（1）利用余弦定理和二次函數(shù)的最值求解；（2）要用時(shí)最小，則首先速度最高，然后是距離最短，則由(1)利用余弦定理得到方程解得對(duì)應(yīng)的時(shí)間t，再解得相應(yīng)角，即可求解.【解答過程】（1）

如圖設(shè)小艇的速度為v，時(shí)間為t相遇，則由余弦定理得:OC叩:v2當(dāng)t=13時(shí)，OC取得最小值，此時(shí)速度此時(shí)小艇的航行方向?yàn)檎狈较?，航行速度?03（2）要用時(shí)最小，則首先速度最高，即為:30nmile/h，則由(1)可得:OC即:30t2=400+900t2-1200t此時(shí)∠BOD=30此時(shí)，在△OAB中，OA=OB=AB=20，故可設(shè)計(jì)航行方案如下:航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30nmile/h，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.【變式3.2】（2023上·遼寧·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）某景區(qū)為打造景區(qū)風(fēng)景亮點(diǎn)，欲在一不規(guī)則湖面區(qū)域（陰影部分）上A,B兩點(diǎn)之間建一條觀光通道，如圖所示．在湖面所在的平面（不考慮湖面離地平面的距離，視湖面與地平面為同一平面）內(nèi)距離點(diǎn)B50米的點(diǎn)C處建一涼亭，距離點(diǎn)B70米的點(diǎn)D處再建一涼亭，測(cè)得∠ACB=∠ACD，cos∠ACB=

(1)求sin∠BDC(2)測(cè)得AC=AD，觀光通道每米的造價(jià)為2000元，若景區(qū)準(zhǔn)備預(yù)算資金8萬元建觀光通道，問：預(yù)算資金夠用嗎？【解題思路】（1）在△BCD中，利用正弦定理，由BDsin（2）在△BCD中，利用余弦定理求得CD，在△ACD中，由AC=AD，cos∠ACD=cos∠ADC=cos∠ACB=105，求得【解答過程】（1）解：由∠ACB=∠ACD,cos得cos∠BCD=2則sin∠BCD=在△BCD中，由正弦定理得BDsin∠BCD=所以sin∠BDC=（2）在△BCD中，由余弦定理得702整理得CD解得CD=40（CD=-60舍去）．在△ACD中，AC=AD，所以cos∠ACD=又105解得AC=AD=1010在△ABC中，AB所以AB=1015由于觀光通道每米的造價(jià)為2000元，所以總造價(jià)低于40×2000=80000元，故預(yù)算資金夠用．模塊四模塊四課后作業(yè)1．（2023下·江蘇揚(yáng)州·高一?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，a，b，c是角A，B，C分別所對(duì)的邊，若A:B:C=1:2:3，則a:b:c=（

）A．1:2:3 B．3:2:1 C．1:3:2 D【解題思路】先求出角A,B,C，再利用正弦定理求解【解答過程】由題A:B:C=1:2:3且A+B+C=π∴A=由正弦定理得a:b:c=sinA:故選：C.2．（2023下·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，已知a=13，b=4，c=3，則cosA=（A．12 B．22 C．32【解題思路】由余弦定理直接求解即可.【解答過程】在△ABC中，已知a=13，b=4，c=3由余弦定理得：cosA=故選：A.3．（2024·四川自貢·統(tǒng)考一模）在△ABC中角A、B、C所對(duì)邊a、b、A．4 B．5 C．6 D．6或15【解題思路】根據(jù)余弦定理求得正確答案.【解答過程】依題意，c=5,b=3由余弦定理得a=c-2a=5-a2+25-故選：A.4．（2023上·重慶·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知A=2B，a=3，b=2，則cosBA．14 B．13 C．23【解題思路】利用正弦定理和二倍角公式計(jì)算即可.【解答過程】結(jié)合題意：利用正弦定理asinA=bsinB解得：cosB=故選：D.5．（2023下·河北石家莊·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，b=2c，a=10，A=3πA．2 B．1 C．22 D．【解題思路】利用余弦定理求出c2，再利用三角形面積公式求解作答【解答過程】在△ABC中，b=2c，a=10，A=即(2c)2所以S△ABC故選：B.6．（2024上·北京·高三清華附中?？奸_學(xué)考試）在△ABC中，a=42，A=45°，b=m，若滿足條件的△ABCA．8 B．6 C．4 D．2【解題思路】根據(jù)滿足條件的△ABC有兩個(gè)，可得出bsinA<a<b，求出m【解答過程】因?yàn)锳=45°，a=42，b=m則bsinA<a<b，即22故選：B.7．（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一艘游輪航行到A處時(shí)看燈塔B在A的北偏東75°，距離為126海里，燈塔C在A的北偏西30°，距離為123海里，該游輪由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時(shí)再看燈塔B在其南偏東60°方向，則此時(shí)燈塔C位于游輪的（A．正西方向 B．南偏西75°方向 C．南偏西60°方向 D．南偏西45°方向【解題思路】利用正弦定理、余弦定理求得正確答案.【解答過程】如圖，在△ABD中，B=45°，由正弦定理得ADsin在△ACD中，由余弦定理得CD因?yàn)锳C=123,AD=24，所以解得由正弦定理得CDsin30°=ACsin因?yàn)锳D>AC，故∠CDA為銳角，所以∠CDA=60°，此時(shí)燈塔C位于游輪的南偏西60°方向.故選：C.8．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，若cos2A2=b+cA．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【解題思路】根據(jù)條件，利用倍角公式得到cosA=b【解答過程】因?yàn)閏os2A2=b+c又由正弦定理asinA=所以sinCcosA=又A∈(0,π)，所以sinA≠0，得到cosC=0，又故選：B.9．（2023下·江西贛州·高一統(tǒng)考期末）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．若sinA>sinB．若B=30°,b=C．若sin2A=sinD．若△ABC的面積S=34【解題思路】對(duì)于A,利用正弦定理即可求解；對(duì)于B，利用正弦定理及大邊對(duì)大角即可求解；對(duì)于C，利用已知條件及誘導(dǎo)公式即可求解；對(duì)于D，利用余弦定理及三角形的面積公式,結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可求解.【解答過程】對(duì)于A，由sinA>sinB及正弦定理，得a2R>b對(duì)于B，由題意及正弦定理得2sin30°=2sinC,所以sinC=22,因?yàn)閏>b，所以C>B對(duì)于C，由sin2A=sin2B，得2A=2B或2A+2B=π，所以A=B或A+B=π2，所以對(duì)于D，由S=34b2+c2-a2，得1故選：C.10．（2022上·福建泉州·高二?？奸_學(xué)考試）在銳角△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，S為△ABC的面積，a=2，且2S=a2-b-c2A．4,6 B．4,2C．6,25+2 D【解題思路】利用面積公式和余弦定理可得tanA2=12,tan【解答過程】∵2S=a∴S=bc-bccos∴1-cosA=12sin∴tanA2=由正弦定理可得asin所以b+c===25sinB+φ，其中tan因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以π2-A<B<π即：π2所以cosA2<∴4<25sinB+φ故△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍是6,25故選：C.11．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，A=α0<α<π2，b=m．分別根據(jù)下列條件，求邊長(zhǎng)(1)△ABC有一解；(2)△ABC有兩解；(3)△ABC無解．【解題思路】（1）根據(jù)正弦定理，得到sinB=msinαa.分a<b（2）由已知可得sinα<（3）由已知可得sinB>1，求解不等式即可得出結(jié)果【解答過程】（1）由正弦定理asinA=（?。┊?dāng)a<b，即a<m時(shí)，sinB=①若sinB>1，即msinαa>1，則B②若sinB=1，即msinαa=1，B=③若sinB<1，即msinαa<1，因?yàn)閟inB>sinA，此時(shí)綜上所述，當(dāng)a=msinα?xí)r，（ⅱ）當(dāng)a=b，即a=m時(shí)，sinB=msin（ⅲ）當(dāng)a>b，即a>m時(shí)，sinB=msinαa<綜上所述，△ABC有一解時(shí)，邊長(zhǎng)a的取值范圍是a=msinα或（2）由（1）知，△ABC有兩解，應(yīng)滿足sinA<sinB<1，由sinB=m（