第10講 第五章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 章節(jié)驗(yàn)收測評卷（綜合卷）（解析版）

第10講第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章節(jié)驗(yàn)收測評卷（綜合卷）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．（2023下·新疆和田·高二?？计谥校┰O(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，則.故選：C2．（2023下·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則下列4個(gè)描述中，其中不正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，?xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D3．（2023上·廣東湛江·高三?？茧A段練習(xí)）的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為，所以，函數(shù)的圖象為C選項(xiàng)中的圖象.故選：C.4．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？茧A段練習(xí)）丹麥數(shù)學(xué)家琴生是19世紀(jì)對數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方向留下了很多寶貴的成果．設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為在上的導(dǎo)函數(shù)記為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，已知在上為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由于，則，得，由于在上為“凸函數(shù)”，所以在上恒成立，即在上恒成立，由對勾函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，于是，故.故選:

C5．（2023上·遼寧撫順·高三?？奸_學(xué)考試）如圖為函數(shù)的圖象，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（

）

A． B． C．D．【答案】D【詳解】由題可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為，所以時(shí)，，時(shí)，，由，可得或，所以.故選：D.6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立．設(shè)，則在上恒成立，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想，可得或，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為故選：B．7．（2023上·安徽合肥·高三合肥市第十中學(xué)校聯(lián)考期中）點(diǎn)分別是函數(shù)圖象上的動點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處的切線與平行時(shí)，最小.，令得或（舍），所以切點(diǎn)為，所以的最小值為切點(diǎn)到直線的距離，所以的最小值為.故選：D.8．（2023上·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥校┮阎?，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】令，則，可知時(shí)，時(shí)，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可知，所以，時(shí)等號成立，所以，故；又，當(dāng)時(shí)等號成立，則，故.綜上，.故選：C二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．（2023下·廣東清遠(yuǎn)·高二統(tǒng)考期末）已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)的圖象大致如圖所示，則（

）

A．有個(gè)極值點(diǎn)B．是的極大值點(diǎn)C．是的極大值點(diǎn)D．在上單調(diào)遞增【答案】ABD【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象可知，在區(qū)間，單調(diào)遞增；在區(qū)間，單調(diào)遞減.所以有個(gè)極值點(diǎn)、是的極大值點(diǎn)、在上單調(diào)遞增，是的極小值點(diǎn)，所以ABD選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD10．（2023上·山西晉中·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)滿足，則正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】令，則，從而遞減，則，即，，，.故選：AC.11．（2023上·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則滿足的整數(shù)的取值可以是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】BCD【詳解】由題意得，故為偶函數(shù)，而，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，若，則，得，即，解得故選：BCD12．（2023上·湖北·高三湖北省仙桃中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的值可能是（

）A．2 B． C．3 D．0【答案】ABC【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.又在上，的圖像如圖所示：

因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不同的解，即直線與有兩個(gè)不同交點(diǎn)且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，故或或.若，則；若，則；若，則.故選：ABC.三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2023下·貴州貴陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則.【答案】【詳解】代入得，，即，，即，則，，所以.故答案為：.14．（2023下·新疆阿克蘇·高二?？茧A段練習(xí)）己知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則．【答案】【詳解】因，故，令得，解得，所以，故，當(dāng)時(shí)得故答案為：15．（2023上·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使得成立，其中c叫做在上“拉格朗日中值點(diǎn)”，根據(jù)這個(gè)定理，判斷函數(shù)在區(qū)間上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為.【答案】2【詳解】，，令，解得：或，在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為.故答案為：.16．（2023下·北京大興·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，且在處的瞬時(shí)變化率為．①；②令，若函數(shù)的圖象與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，由在處的瞬時(shí)變化率為得，所以；因?yàn)棰佼?dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如下圖所示：

要使得函數(shù)的圖象與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，所以；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如下圖所示：

要使得函數(shù)的圖象與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，不妨令，當(dāng)，恒成立，所以單調(diào)遞增，即，所以恒成立，故此時(shí)不等式解得；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如下圖所示：

要使得函數(shù)的圖象與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，所以；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如下圖所示：

要使得函數(shù)的圖象與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，所以；對于函數(shù)，，當(dāng)，恒成立，所以單調(diào)遞減，即，所以恒成立，故此時(shí)不等式組無解；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2023上·山東德州·高三統(tǒng)考期中）記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，已知，．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求函數(shù)在上的值域．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得?）由（1）可知由，解得或；由，解得所以函數(shù)在，單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減又，，，．所以，，所以函數(shù)在上的值域?yàn)椋?8．（2023上·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；(2)若直線是曲線的一條切線，求的值.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，又，，.（2）由題意知：，設(shè)直線與相切于點(diǎn)，則，消去得：，解得：，則，解得：.19．（2023上·江蘇常州·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)對于，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2).【詳解】（1）由題設(shè)且，當(dāng)時(shí)在上遞減；當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)在區(qū)間上遞減；當(dāng)時(shí)在上遞增．所以當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）由題設(shè)知對恒成立．當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不合題設(shè)，舍去．當(dāng)時(shí)，在上遞增，只需符合．綜上：．20．（2024上·山東臨沂·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.(2)【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令可得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）當(dāng)，即，時(shí)，設(shè)，則，，.當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞增，，故，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，所以不恒成立，不符合題意.綜上，21．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)若，對任意的，且，不等式恒成立，求m的取值范圍．【答案】(1)，；(2).【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，由曲線在處的切線方程為，得，解得，，所以，.（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，，不等式恒成立，即恒成立，則恒成立，設(shè)，于是，恒成立則在上單調(diào)遞增，于是在上恒成立，即在上恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，因此，所以m的取值范圍為．22．（2023上·陜西漢中·高三西鄉(xiāng)縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的極值；(2)若，求函數(shù)的最小值；(3)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：.【答案】(1)極大值為，無極小值(2)(3)證明見解析【詳解】（1）由題意知函數(shù)