2022-2023學(xué)年高二下數(shù)學(xué)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值（附答案解析）

2022-2023學(xué)年高二下數(shù)學(xué)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值

一.選擇題(共n小題)

1.(2021秋?興慶區(qū)校級期末)函數(shù)/(x)=X-/"X的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(1,+∞)B.(0,+8)C.(0.1)D.(-8,D

2.(2021秋?興慶區(qū)校級期末)設(shè)/(x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，y=fCx)的圖象如圖所

示，則x?∕(x)>0的解集是()

C.(-∞,0)U(0,2)D.(0,1)U(3,+∞)

3.(2021秋?南昌期末)已知函數(shù)y=∕(x)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)y=/(χ)的圖

4.(2021秋?呼和浩特期末)設(shè)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(3)=0,當x>0時,

童:成立,則不等式Xy(X)>o的解集為()

X

A.(-8,-3)U(0,3)B.(-8,-3)U(3,+∞)

C.(-3,0)U(0,3)D.(-3,0)U(3,+8)

5.(2021秋?昌江區(qū)校級期末)若函數(shù)/(x)=X3+3X2-≡÷1?[-2,2]上為單調(diào)減函數(shù),

第1頁(共20頁)

則機的取值范圍()

A.[24,+°o)B.[^1,÷o°)C.(-8,-3]D.(^oo,0]

6.(2021秋?堯都區(qū)校級期末)函數(shù)/(x)=F-(α-2)X-3是&上的單調(diào)增函數(shù)，則。

的取值范圍是()

A.(-8,0]B.(-∞,0)C.(-∞,2]D.(-8,2)

7.(2021秋?合肥期末)若函數(shù)f(χ)=inχ-且在[2,4]上為增函數(shù)，則。的取值范圍為

X

()

A.(-8,-2]B.[-4,÷o°)C.[-2,+8)D.(-8,-4]

8.(2021秋?濰坊期中)若函數(shù)/(x)=(χ2+qχ+2)?F在R上無極值，則實數(shù)a的取值范

圍是()

A.(-2,2)B.(-2√3.2√3)C.[-2√3.2√3]D.[-2,2]

9.(2021秋?太原期中)若x=2是函數(shù)/(x)=尹-χ-2∕"x的極值點，則函數(shù)()

A.有最小值-202,無最大值

B.有最大值-2/〃2,無最小值

C.有最小值-2/〃2,最大值2/〃2

D.無最大值，無最小值

10.(2021春?洛陽期中)設(shè)函數(shù)/(x)=x2+mln(x+l)有兩個極值點，則實數(shù)，”的取值范

圍是()

A.(-1,-?-]B.(0.?C.(-1,?)D.(0,?)

2222

11.(2021春?運城期中)已知函數(shù)/(x)=ax+∕πx+3在區(qū)間(1,2)上不單調(diào),則實數(shù)。

的取值范圍為()

A?6,fB,'*,1)C.(-1,-?)

D

2-

二.填空題(共3小題)

12.(2021秋?揚州期中)若函數(shù)/(x)=α∕今2+3(。力)有兩個不同的極值點刊和X2,

則α的取值范圍為若XlVX2W2xι,則α的最小值為

13.(2021秋?贛州期中)己如函數(shù)/(x)=Λ3+5X,χ∈(-2,2),若/⑺4/(2-及)>0.則

/的取值范圍為

14.(2021春?浙江期中)已知不等式XeJa(x+l)對任意的x>0恒成立，則實數(shù)4

第2頁(共20頁)

的最大值為.

三.解答題(共4小題)

3

15.(2021秋?興慶區(qū)校級期末)已知X=-I,x=2是函數(shù)/(x)=-2—+&χ2?x+l的兩

3

個極值點.

(I)求/(x)的解析式；

(2)記g(x)=f(x)-m,x∈［-2,4］,若函數(shù)g(x)有三個零點，求機的取值范圍.

16.(2015春?濰坊期末)已知函數(shù)/(x)=2χ3+0x2+?χ+3在X=-I和x=2處取得極值.

(1)求/(x)的表達式和極值.

(2)若/G)在區(qū)間［加，〃?+4］上是單調(diào)函數(shù)，試求的取值范圍.

17.(2021秋?洛陽期中)已知函數(shù)［(x)=ex(x2-2x+m),w∈R.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

c

(2)若x∈(0,+8),f(x)^e>lnx,求用的取值范圍.

18.(2021秋?德州期中)已知函數(shù)/秋)=xex+a(x+l)2(其中常數(shù)e=2.718…是自然對

數(shù)的底數(shù)).

(1)當α<0時，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性：

(2)證明：對任意當x>0時，f(x)-ex2^a(x3-x2+3x+l).

第3頁(共20頁)

2022-2023學(xué)年高二下數(shù)學(xué)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值

參考答案與試題解析

一.選擇題(共11小題)

1.(2021秋?興慶區(qū)校級期末)函數(shù)/(x)=X-/“X的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(1,+∞)B.(0,+8)C.(0,1)D.(-8,D

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，(X),再解，(X)<0得X的范圍，即可得到單調(diào)遞減

區(qū)間.

【解答】解：函數(shù)/(x)=x7〃x,x>0,/(X)=I-工，

X

令，(X)=I-Lo,Mθ<x<L

X

因此，函數(shù)/(x)=X-/"X的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1).

故選：C.

【點評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的定義域等知識，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2021秋?興慶區(qū)校級期末)設(shè)/(x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，y=/(x)的圖象如圖所

示，貝∣Jx?∕'(X)>0的解集是()

A.(-∞,-1)U(0,1)B.(-1,0)U(1,3)

C.(-∞,0)U(0,2)D.(0,1)U(3,+8)

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】根據(jù)y=∕(χ)的圖象得：當Xe(-oo.0)u(2,+∞)時?，f(X)<0；當

x∈(0,2)時，/(X)>0；再將不等式;(X)>0進行等價轉(zhuǎn)化，即可求得答案.

【解答】解：由函數(shù)y=∕(x)的圖象可知,

/(x)在區(qū)間(-8,0),(2,+8)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增,

第4頁(共20頁)

即當Xe(-∞,O)U(2,+∞)時，f(x)<0；當x∈(0,2)時，/(x)>0；

因為壯(x)>0,

亦I、[χ>o→{χ<O

所以J、或4,，

,y

[f(x)>o[f(x)<o

所以0<χV2或x<0,

則不等式V，(X)>0的解集為(-8,O)U(0,2),

故選：C.

【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是將所求解的不等式進行

等價轉(zhuǎn)化，考查了識圖能力、邏輯推理能力與轉(zhuǎn)化化歸能力，屬于中檔題.

3.(2021秋?南昌期末)已知函數(shù)y=/(X)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)y=/(X)的圖

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【分析】觀察函數(shù)y=f(x)的圖象知，/(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，/(x)在(-

8,0)從左到右，先增再減最后增；從而確定導(dǎo)數(shù)的正負，從而求解.

【解答】解：觀察函數(shù)y=∕'(x)的圖象知，

f(%)在(0,+8)上是減函數(shù)，故y=/(x)VO在(O,+∞)恒成立，故排除8,D,

/(x)在(-8,0)從左到右，先增再減最后增，故y=/(X)在(-8,0)從左到

右，先"+”再“-”最后“+”恒成立，故排除C,

第5頁(共20頁)

故選：A.

【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

4.(2021秋?呼和浩特期末)設(shè)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(3)=0,當x>0時，

xf'(χ]-f(χ).<0恒成立,則不等式Xy(X)>o的解集為()

XZ

A.(-∞>^3)U(0,3)B.(-8,-3)U(3,+∞)

C.(-3,0)U(0,3)D.(-3,0)U(3,+∞)

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性直接利用數(shù)形結(jié)合求

解即可.

【解答】解：設(shè)g(x)=f(x)，當x>0時，有g(shù)'(X)=.f1(Xlf(X)-<0恒

XX2

成立，

可得g(X)=H(X)在(0,+∞)上是減函數(shù)，

X

?.?函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(3)=0,

；.g(x)是偶函數(shù)，且g(-3)—g(3)=0,

作出g(x)對應(yīng)的草圖如圖：

則當x>0時，不等式x2f(x)>0等價為/(x)>0,即Xg(x)>0,即g(x)>0,可

得0<x<3;

則當x<0時，不等式x2T(x)>0等價為/(x)>0,即Xg(X)>0,即g(x)<0,可

得x<-3,

故不等式X2/,(x)>0的解集是：(-8,-3)U(0,3).

故選：A.

第6頁(共20頁)

【點評】本題主要考查函數(shù)求導(dǎo)法則及函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，同時考查了奇偶函數(shù)

的圖象特征，構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

5.(2021秋?昌江區(qū)校級期末)若函數(shù)/(x)=/+3/一加χ+ι在［-2,2］上為單調(diào)減函數(shù)，

則機的取值范圍()

A.［24,+8)B.［-1,+∞)C.(-8,-3］D.(-8,。］

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系可得，(x)=3/+6X-機≤0在［-2,2］上恒成立，由

二次函數(shù)的性質(zhì)可得關(guān)于m的不等式組，即可求解機的取值范圍.

【解答】解：因為函數(shù)/(x)=/+3，-加什1在［-2,2］上為單調(diào)減函數(shù)，

所以，(x)=3χ2+6χ-mW0在［-2,2］上恒成立，

所以(f(-2)<0,gpfl2-12-itt≤0j解得加224,

If(2)<0112+12-∏<O

即機的取值范圍是［24,+8).

故選：A.

【點評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬

于基礎(chǔ)題.

6.(2021秋?堯都區(qū)校級期末)函數(shù)/(x)=ev-(α-2)x-3是R上的單調(diào)增函數(shù)，則。

的取值范圍是()

A.(-8,0］B.(-8,0)C.(-8,2］D.(-8,2)

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】計算題：轉(zhuǎn)化思想：綜合法：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】求導(dǎo)函數(shù)，條件轉(zhuǎn)化為，(X)NO在R上恒成立，由此可求。的取值范圍.

【解答】解：求導(dǎo)函數(shù)可得，(X)=∕-α+2,

第7頁(共20頁)

?.?函數(shù)/(x)=，-(α-2)X-3是R上的單調(diào)增函數(shù)，

：.f(x)=∕-a+220在R上恒成立，

Λ(∕≤ev+2,

?.V+2>2,

.?.4W2,

即。的取值范圍是(-8,2］.

故選：C.

【點評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.(2021秋?合肥期末)若函數(shù)f(χ)=lnχ-?1在［2,4］上為增函數(shù)，則〃的取值范圍為

X

()

A.(-∞,-2］B.［-4,+∞)C.［-2,+∞)D.(-8,-4］

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，原問題可轉(zhuǎn)化為/(x)20在區(qū)間［2,4］上恒成立，然后求出α的

取值范圍.

【解答】解：：函數(shù)f(x)=lnχ-且在區(qū)間［2,4］上是增函數(shù)，

X

：.f(x)=-L+?亙-20在區(qū)間［2,4］上恒成立，

X2

λX

即a2-X在區(qū)間［2,4］上恒成立，

二實數(shù)α的取值范圍為L2,+8).

故選：C.

【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，理解原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的符號之

間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和邏輯推理能力，屬于中檔題.

8.(2021秋?濰坊期中)若函數(shù)/(x)=(f+依+2)?F在R上無極值，則實數(shù)α的取值范

圍是()

A.(-2,2)B.(-2√3>2√3)C.［-2√3>2√3］D.［-2,2］

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】函數(shù)思想；定義法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】對函數(shù)/(x)求導(dǎo)，根據(jù)題意導(dǎo)函數(shù)/(x)恒大于等于零或恒小于等于零，

第8頁(共20頁)

由此可建立關(guān)于α的不等式，解出即可.

【解答】解：f(X)=(2x+α)ex+(.x2+ax+2)ex=ex[x2+(a+2)x+a+2],

要使/(x)在R上無極值，則導(dǎo)函數(shù)/(%)恒大于等于零或恒小于等于零，故(α+2)

2-4(α+2)=(a+2)(a-2)≤0,

Λ-2≤a≤2,即實數(shù)a的取值范圍為[-2,2].

故選：D.

【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查運算求

解能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題.

9.(2021秋?太原期中)若x=2是函數(shù)/(x)=∕χ2-χ-2∕"x的極值點，則函數(shù)()

A.有最小值-2/〃2,無最大值

B.有最大值-2/〃2,無最小值

C.有最小值-2/〃2,最大值2歷2

D.無最大值，無最小值

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.

【專題】函數(shù)思想；定義法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】對函數(shù)f(χ)求導(dǎo)，根據(jù)題意可得，(2)=o,進而求得口,由此可得到函數(shù)

/(X)的單調(diào)性及取值情況，進而得到最值.

【解答】解：f,(χ)=aχ-l-2,依題意，釬(2)=2a-1-2=0，解得。=L經(jīng)驗

X2

經(jīng)，4=1符合題意，

?*?f(x)=^-χ2-x-21nx,f'(X)=X-I-4

令f'(X)=X-X-2=0,解得X=-I(舍)或χ=2,

X

易知當0<x<2時，yv(X)<0,/(x)單調(diào)遞減，當x>2時，，(X)>0,/(x)單

調(diào)遞增，

且當χf()時，f(x)f+8,χf+8時，f(x)→∞,f(χ)β,b(g=/(X)極小值=/(2)=

-2ln2,

函數(shù)/(x)有最小值-2/〃2,無最大值.

故選：A.

【點評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查運算求解能力，

第9頁(共20頁)

屬于中檔題.

10.(2021春?洛陽期中)設(shè)函數(shù)/(x)=x2+mln(x+l)有兩個極值點，則實數(shù)，”的取值范

圍是()

A.(-1,1.]B.(0,?]C.(-1,?)D.(0,?)

2222

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】函數(shù)/(X)有兩個極值點XI,X2,即，(X)=0在定義域上有兩個不相等的實

數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出加的取值范圍.

【解答】解：函數(shù)/(x)-x2+mln(l+x),定義域為(-1,+∞);

若函數(shù)/(x)有兩個極值點XI，X2,則不妨設(shè)-IVXlVX2，

即/(X)=0在區(qū)間(-1,+8)上有兩個不相等的實數(shù)根，

所以2X+」L=0,化為方程2√+2x+加=0在區(qū)間(-1,+8)上有兩個不相等的實數(shù)根；

l÷x

2o

記g(x)=2x+2x+mfxG(-1,÷°),

'g(-1)>0

*g(-?)<0'

L/

'2-2+m>0

BP1

q-l+m<O

解得O

2

所以實數(shù)機的取值范圍是(O,?).

2

故選：D.

【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值應(yīng)用問題，也考查了二次函數(shù)與

對應(yīng)方程實數(shù)根的應(yīng)用問題，是中檔題.

11.(2021春?運城期中)已知函數(shù)/(x)=αx+∕*+3在區(qū)間(1,2)上不單調(diào)，則實數(shù)α

的取值范圍為()

A.(?,2)B.(?,1)C.(-1,-?)D.(-2,-Λ)

232232

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】函數(shù)思想；分類法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

第10頁(共20頁)

【分析】，(X)=α+工=QL(X>0),分α?0與α<0討論，可求得實數(shù)。的取值

XX

范圍.

【解答】解：由，(X)="+L=ax+1(χ>0)得：

XX

①當.?0時，/(x)>0,函數(shù)/(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，不合題意；

②當α<0時，函數(shù)/(x)的極值點x=-L,

a

若函數(shù)/(x)在區(qū)間(1,2)不單調(diào)，必有1<-工<2,解得-l<α<-/.

故選：C.

【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查邏輯思維能力及運算求解能力，屬

中檔題.

二.填空題(共3小題)

12.(2021秋?揚州期中)若函數(shù)/(x)=aexΛx2+3(α∈R)有兩個不同的極值點xι和有，

則。的取值范圍為—(0,?)—;若XI<X2≤2XI,則。的最小值為_迎一

e2

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯推理.

【分析】利用極值點的定義，將問題轉(zhuǎn)化為/(X)=α∕-x=0有兩個不相等的實數(shù)根

XI和X2，構(gòu)造函數(shù)6(X)則夕=4與N=6(X)的圖象有兩個不同的交點，利用

X

e

導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)〃(%)的單調(diào)性和取值情況，利用數(shù)形結(jié)合法求解α的范圍即可；求出X2

=2xι時，。的值，結(jié)合圖象分析，即可得到答案.

【解答】解：函數(shù)/(x)=aexAx2+3"CR)有兩個不同的極值點片和X2,

則/(x)=αev-χ=0有兩個不相等的實數(shù)根Xi和X2，

貝Ija=-^-f

X

e

令〃(X)??-,則"(x)=I-X,

XX

ee

令〃(X)=0,解得X=1,

當XVl時，?'(x)>0,貝(x)單調(diào)遞增，

當4>1時，h'(x)<0,則A(x)單調(diào)遞減，

第11頁(共20頁)

所以當x=l時，h（X）取得最大值人（1）

e

作出函數(shù)人（x）的圖象如圖所示，

由圖象可知，y=a與y=h（x）的圖象有兩個不同的交點,

故實數(shù)α的取值范圍為（O,?）;

當X2=2xι時，則'-=」

eXze

故Xl=加2,

此時4=互2,

2

如圖所示，

因為XlVX2W2X],

所以a普，

則a的最小值為工區(qū).

【點評】本題考查/導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)極值的應(yīng)用，

函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，解決函數(shù)零點或方程根的問題，常用的方法有：（1）方程法（直

第12頁（共20頁）

接解方程得到函數(shù)的零點)；(2)圖象法(直接畫出函數(shù)的圖象分析得解)；(3)方程+

圖象法(令函數(shù)為零，再重新構(gòu)造兩個函數(shù)，數(shù)形結(jié)合分析得解).屬于中檔題.

13.(2021秋?贛州期中)已如函數(shù)/(x)=X3+5X,Λ∈(-2,2),若/(/)4/(2-?)>0.則

f的取值范圍為(-1,0)U(0,2).

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷；奇偶性與單調(diào)性的綜

合.

【專題】函數(shù)思想；定義法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯推理.

【分析】利用奇函數(shù)的定義判斷/(x)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負判斷函數(shù)/(x)的奇

偶性，然后將不等式等價轉(zhuǎn)化，求解即可.

【解答】解：函數(shù)/(x)=∕+5x,X∈(-2,2),

貝∣J∕(-x)=(-x)3+5(-χ)=-(X3+5X)=-f(x),

所以函數(shù)/G)為奇函數(shù)，

又/(X)=3∕+5>O恒成立，

所以/(x)在(-2,2)為單調(diào)遞增函數(shù)，

不等式/(/)+f(2-t2)>0可變形為/(力>∕(∕2-2),

,-2<t<2

故<-2<2-t2<2.解得-l<r<O或0V∕<2,

2

tt>t-2

所以實數(shù)f的取值范圍為(-1,0)U(0,2).

故答案為：(-1,0)U(0,2).

【點評】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，函數(shù)與不等式的應(yīng)用，主要考查了函數(shù)奇偶

性以及單調(diào)性的運用，解題的關(guān)鍵是利用單調(diào)性去掉“廣，考查了邏輯推理能力與轉(zhuǎn)化

化歸思想，屬于中檔題.

14.(2021春?浙江期中)已知不等式XeJa(x+l)對任意的x>0恒成立，則實數(shù)“

的最大值為1.

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；函數(shù)恒成立問題.

【專題】函數(shù)思想：轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】將不等式等價轉(zhuǎn)化為a4W3對任意的x>0恒成立，構(gòu)造函數(shù)/(x)=

x+1

JfWX寺B-，其中χ>0,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/(X)的單調(diào)性與最值，即可求出。的取值

第13頁(共20頁)

范圍，從而得到答案?

【解答】解：當冗>0時，不等式Xer-α(x+l)2歷XuJ化為α(x÷l)Wxex-Inx,

即a-xe"Tnx對任意的χ>o恒成立，

x+1

令/(x)=,x巳Tn”,其中χ>o,

x+1

(χ2+x+l)ex-l--÷lnx

則/(x)=--------------------------------------

(x+1)2

令g(X)—(χ2+χ+l)ex-l~^+lnx,(X>°)，

則g'(x)=(x+1)[但+2)6*凸<]〉0恒成立，

X

所以g(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當Xfo時，g(x)---8,且g(1)=3e-2>0,

故存在xo∈(0,+8),使得g(Xo)=0,即e*o=L,

xO

即XoeXO=LInxo=-M)，

所以/(x)在(O,xo)上單調(diào)遞減，在(X0,+8)上單調(diào)遞增，

X0

YQv—1nγ]+豈

0

所以當X=XO時，/(x)取得最小值/(xo)=?一?θ.√...=1,

x0+1I+xO

故對于任意整數(shù)X恒成立，

故a(X)min=1?

所以實數(shù)”的最大值為1.

故答案為：1.

【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值的應(yīng)用，不等

式恒成立的求解，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題的策略為：通常構(gòu)造新函數(shù)或參變量

分離，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值從而求得參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.

Ξ.解答題(共4小題)

3

15.(2021秋?興慶區(qū)校級期末)已知X=-1,x=2是函數(shù)/(x)=-A-+ax?+lS<JM

3

個極值點.

(1)求/(x)的解析式；

(2)記g(x)=f(x)-m,x∈[-2,4],若函數(shù)g(X)有三個零點，求m的取值范圍.

第14頁(共20頁)

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】方程思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】(1)根據(jù)極值點的定義，可知方程/(X)=0的兩個解即為X=-1,x=2,代

入即得結(jié)果；(2)根據(jù)題意，將方程g(x)=0轉(zhuǎn)化為/(x)=m,則函數(shù)y=∕(x)與

直線V="?在區(qū)間［-2,4］上有三個交點，進而求解加的取值范圍.

【解答】解：(1)根據(jù)極值點定義，方程/(X)=0的兩個解即為X=-1,x=2,

''f(X)=-x2+2ax+b,代入X=-1,x=2,可得

1

-l-2a+b=0,解之可得，，a"∑.

-4+4a+b=O

b=2

故有/(x)≈-^?χ3+yχ2+2x+P

32

(2)根據(jù)題意，g(x)=^-χ^Aχ+2χ+l^x∈[-2,4],

根據(jù)題意，可得方程加1χ3總χ2+2χ+］在區(qū)間［-2,4］內(nèi)有三個實數(shù)根,

1^

即函數(shù)f2與直線機在區(qū)間］內(nèi)有三個交點,

(X)=X+2X+1;N=L2,4

又因為/(X)=-x1+x+2,

則/(X)>0n-IVXV2；f(x)VO=X>2,或XV-1,

所以函數(shù)/G)在［-2,-1),(2,4］上單調(diào)遞減，在(-1,2)上單調(diào)遞增;

又因為/(-1)=1,/(2)=迫，/■(-2)=2,f(4)=

3-33

2

若使函數(shù)/(x)=x+2χ+l:與直線夕=加有三個交點,

則需使」<wW5,■'即(蔣’^∣^!'

63

【點評】本題主要考查函數(shù)極值的定義，以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合使用，屬于中檔題.

16.(2015春?濰坊期末)已知函數(shù)/(x)=2χ3+0χ2+?χ+3在X=-I和x=2處取得極值.

(1)求/(x)的表達式和極值.

(2)若/G)在區(qū)間口，〃?+4］上是單調(diào)函數(shù)，試求,”的取值范圍.

【考點】函數(shù)在某點取得極值的條件；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】計算題.

【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)在極值點處的值為0,列出方程組，求出α,b,代

入/(x)和/(x)；令，(x)>0求出X的范圍即為遞增區(qū)間，令/(%)<0求出X

第15頁(共20頁)

的范圍為遞減區(qū)間，并利用極值的定義求出極值.

(2)根據(jù)題意，令［加，加+4］在(-8,-D內(nèi)或在(2,+8)內(nèi)或在(-1,2)內(nèi)，

列出不等式組，求出W的范圍.

【解答】解：(1)?∕/(X)^6x2+2ax+b

.(fj(T)=O即［6-2a+b=0

'11,(2)=0`l24+4a+b=0

解得

∫a=-3

lb=-12

：.f(x)=2X3-3X2-12x+3

f(X)=6X2-6x-12

f(x)>0解得x<-1或x>2

由/(x)<0解得-IeX<2

故函數(shù)/(x)在(-8,-1)和(2,+8)遞增，函數(shù)在(-1,2)遞減

所以當X=-I時，有極大值10；當x=2時，有極小值-17

(2)由(1)知，若/(x)在區(qū)間［如機+4］上是單調(diào)函數(shù)，需

w+4≤-1或［A-1或加22

lm+4<2

所以機<-5或機N2

【點評】本題考查函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0、考查利用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)

性、考查極值的求法、考查函數(shù)在其單調(diào)區(qū)間的子集上都是單調(diào)的.

17.(2021秋?洛陽期中)已知函數(shù)/(x)=，(x2-2x+m),W∈R.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若x6(0,+8),f(χ)~^exlnx,求的取值范圍.

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯推理：數(shù)學(xué)運算.

【分析】(1)求導(dǎo)得/(X)-ef(.x2+m-2),分加22與加V2兩類討論，通過列表分

析，可得/(x)的單調(diào)性；

v22

(2)由/(x)≥e∕πx=?m≥∕πx-x+2x,依題意機》(Inx-x+2x)mQ.v,構(gòu)造函數(shù)g(x)

-Inx-X2+2X,求導(dǎo)g'(x)---?-+^^.,進一步分析可求得g(X)極大值=g(上H1■)

第16頁(共20頁)

=In(上巫)+返，繼而可得

22

m的取值范圍.

【解答】解：(1)由題知f(x)=ex(X2-2x+w)nfi(x)=ex(x2+w-2),

當加22時，f,(x)20恒成立，/(%)在R上單調(diào)遞增；

當加V2時，f'(x)=O=X=±?∕2-ιr歹U表得：

X(-8,--V2-ιr(-Λ∕2-IΓ^√2-∏^,+

42-Ir)√2-ιr*8)

λ/2-∑T)

fG)÷0-0+

/G)I極大值I極小值f

所以/G)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,西)和(√西，+∞),/(x)的單調(diào)遞減

區(qū)間是(-42-IP?2F)；

x22

(2)f(x)≥elnx=>m≥Inx-x+2x=^m≥Unx-x+2x)n↑ax>

2,,

令g(x)=Inx-X+2X,g(X)=1^~2'+?*,g(X)=O=X=I或??i(負

X22

值舍去).

當χ∈(0,1*巨)時，g,(%)>0,g(%)單調(diào)遞增；

2

當x∈(J^r,,÷∞)時，g,(X)<o,g(X)單調(diào)遞減；

2

zX_Zl+√3x-7/l-÷√3^l÷√3l+√3-/l-√3?^√3

g(X)極大值一g(----?-?-)-In(----?-?-)-z(----+2×-------------2-±,-lzn(----?-?-)+??-,

222，222

所以機》加(-1+λ?)+返，

22

即w∈H"(,?^v?.)+返?,+∞).

22

【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查等價轉(zhuǎn)化思想與分類討論思

想的運用，考查邏輯推理能力與運算求解能力，屬于中檔題.

18.(2021秋?德州期中)已知函數(shù)［(x)=xex+a(x+l)2(其中常數(shù)e=2.718…是自然對

數(shù)的底數(shù)).

(1)當α<0時，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)證明：對任意QW1,當x>0時，f(