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遼寧省遼陽(yáng)縣集美學(xué)校2023-2024學(xué)年高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.2.若集合,則=()A. B. C. D.3.高三珠海一模中,經(jīng)抽樣分析,全市理科數(shù)學(xué)成績(jī)X近似服從正態(tài)分布,且.從中隨機(jī)抽取參加此次考試的學(xué)生500名,估計(jì)理科數(shù)學(xué)成績(jī)不低于110分的學(xué)生人數(shù)約為()A.40 B.60 C.80 D.1004.如圖是一個(gè)算法流程圖,則輸出的結(jié)果是()A. B. C. D.5.如圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局于2020年1月9日發(fā)布的2018年12月到2019年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格的漲跌幅情況折線圖.(注:同比是指本期與同期作對(duì)比;環(huán)比是指本期與上期作對(duì)比.如:2019年2月與2018年2月相比較稱同比,2019年2月與2019年1月相比較稱環(huán)比)根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.2019年12月份,全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比持平B.2018年12月至2019年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比均上漲C.2018年12月至2019年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格同比均上漲D.2018年11月的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格高于2017年12月的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格6.函數(shù)(),當(dāng)時(shí),的值域?yàn)?,則的范圍為()A. B. C. D.7.達(dá)芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖,畫(huà)中女子神秘的微笑,,數(shù)百年來(lái)讓無(wú)數(shù)觀賞者人迷.某業(yè)余愛(ài)好者對(duì)《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進(jìn)行了粗略測(cè)繪,將畫(huà)中女子的嘴唇近似看作一個(gè)圓弧,在嘴角處作圓弧的切線,兩條切線交于點(diǎn),測(cè)得如下數(shù)據(jù):(其中).根據(jù)測(cè)量得到的結(jié)果推算:將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角大約等于()A. B. C. D.8.已知定義在上的函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),,則方程的最小實(shí)根的值為()A. B. C. D.9.等比數(shù)列若則()A.±6 B.6 C.-6 D.10.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且,則()A. B. C. D.11.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.12.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足條件x+y-2?02x-y+3?0x-y?0則A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,則=______,=______.14.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中,所有項(xiàng)的系數(shù)的和為_(kāi)_______15.現(xiàn)有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵片,鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為x的小正方形,然后做成一個(gè)無(wú)蓋方盒,該方盒容積的最大值是________.16.已知,滿足約束條件則的最大值為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)函數(shù),且恒成立.(1)求實(shí)數(shù)的集合;(2)當(dāng)時(shí),判斷圖象與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明.(參考數(shù)據(jù):)18.(12分)在四邊形中,,;如圖,將沿邊折起,連結(jié),使,求證:(1)平面平面;(2)若為棱上一點(diǎn),且與平面所成角的正弦值為,求二面角的大小.19.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),,且,證明.20.(12分)在三棱錐S-ABC中,∠BAC=∠SBA=∠SCA=90°,∠SAB=45°,∠SAC=60°,D為棱AB的中點(diǎn),SA=2(I)證明:SD⊥BC;(II)求直線SD與平面SBC所成角的正弦值.21.(12分)如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥底面ABCD,∠BAD=60°,AB=PA=4,E是PA的中點(diǎn),AC,BD交于點(diǎn)O.(1)求證:OE∥平面PBC;(2)求三棱錐E﹣PBD的體積.22.(10分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)若在上單調(diào)遞增,且求c的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,計(jì)算時(shí)的函數(shù)值可排除三個(gè)選項(xiàng).【詳解】時(shí),函數(shù)為減函數(shù),排除B,時(shí),函數(shù)也是減函數(shù),排除D,又時(shí),,排除C,只有A可滿足.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,可通過(guò)解析式研究函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等等排除,可通過(guò)特殊的函數(shù)值,函數(shù)值的正負(fù),函數(shù)值的變化趨勢(shì)排除,最后剩下的一個(gè)即為正確選項(xiàng).2、C【解析】
求出集合,然后與集合取交集即可.【詳解】由題意,,,則,故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
由正態(tài)分布的性質(zhì),根據(jù)題意,得到,求出概率,再由題中數(shù)據(jù),即可求出結(jié)果.【詳解】由題意,成績(jī)X近似服從正態(tài)分布,則正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性,求得,所以該市某校有500人中,估計(jì)該校數(shù)學(xué)成績(jī)不低于110分的人數(shù)為人,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的圖象和性質(zhì),考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力,難度容易.4、A【解析】
執(zhí)行程序框圖,逐次計(jì)算,根據(jù)判斷條件終止循環(huán),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,執(zhí)行上述的程序框圖:第1次循環(huán):滿足判斷條件,;第2次循環(huán):滿足判斷條件,;第3次循環(huán):滿足判斷條件,;不滿足判斷條件,輸出計(jì)算結(jié)果,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的結(jié)果的計(jì)算與輸出,其中解答中執(zhí)行程序框圖,逐次計(jì)算,根據(jù)判斷條件終止循環(huán)是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
先對(duì)圖表數(shù)據(jù)的分析處理,再結(jié)簡(jiǎn)單的合情推理一一檢驗(yàn)即可【詳解】由折線圖易知A、C正確;2019年3月份及6月份的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比是負(fù)的,所以B錯(cuò)誤;設(shè)2018年12月份,2018年11月份,2017年12月份的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格分別為,由題意可知,,,則有,所以D正確.故選:D【點(diǎn)睛】此題考查了對(duì)圖表數(shù)據(jù)的分析處理能力及進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理,屬于中檔題.6、B【解析】
首先由,可得的范圍,結(jié)合函數(shù)的值域和正弦函數(shù)的圖像,可求的關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式,解不等式即可求得范圍.【詳解】因?yàn)?,所以,若值域?yàn)?,所以只需,?故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的值域,熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).7、A【解析】
由已知,設(shè).可得.于是可得,進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】解:依題意,設(shè).則.,.設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為.則,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性、切線的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.8、C【解析】
先確定解析式求出的函數(shù)值,然后判斷出方程的最小實(shí)根的范圍結(jié)合此時(shí)的,通過(guò)計(jì)算即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,所以,故當(dāng)時(shí),,所以,而,所以,又當(dāng)時(shí),的極大值為1,所以當(dāng)時(shí),的極大值為,設(shè)方程的最小實(shí)根為,,則,即,此時(shí)令,得,所以最小實(shí)根為411.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問(wèn)題,涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識(shí),本題有一定的難度及高度,是一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.9、B【解析】
根據(jù)等比中項(xiàng)性質(zhì)代入可得解,由等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)確定值即可.【詳解】由等比數(shù)列中等比中項(xiàng)性質(zhì)可知,,所以,而由等比數(shù)列性質(zhì)可知奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同,所以,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列中等比中項(xiàng)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,注意項(xiàng)的符號(hào)特征,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
根據(jù)在關(guān)于對(duì)稱的區(qū)間上概率相等的性質(zhì)求解.【詳解】,,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用.掌握正態(tài)曲線的性質(zhì)是解題基礎(chǔ).隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則.11、A【解析】
用偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱排除,用排除,用排除.故只能選.【詳解】因?yàn)?所以函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對(duì)稱,故可以排除;因?yàn)?故排除,因?yàn)橛蓤D象知,排除.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),辨析函數(shù)的圖像,排除法,屬于中檔題.12、C【解析】
畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】如圖所示:畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù),z=x+y+1,即y=-x+z-1,z表示直線在y軸的截距加上1,根據(jù)圖像知,當(dāng)x+y=2時(shí),且x∈-13,1時(shí),故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問(wèn)題,畫(huà)出圖像是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、10【解析】
①根據(jù)換底公式計(jì)算即可得解;②根據(jù)同底對(duì)數(shù)加法法則,結(jié)合①的結(jié)果即可求解.【詳解】①由題:,則;②由①可得:.故答案為:①1,②0【點(diǎn)睛】此題考查對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算,涉及換底公式和同底對(duì)數(shù)加法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題目.14、1【解析】
設(shè),令,的值即為所有項(xiàng)的系數(shù)之和?!驹斀狻吭O(shè),令,所有項(xiàng)的系數(shù)的和為?!军c(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式所有項(xiàng)的系數(shù)的和的求法─賦值法。一般地,對(duì)于,展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和為,注意與“二項(xiàng)式系數(shù)之和”區(qū)分。15、【解析】
由題意容積,求導(dǎo)研究單調(diào)性,分析即得解.【詳解】由題意:容積,,則,由得或(舍去),令則為V在定義域內(nèi)唯一的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn),此時(shí).故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,考查了學(xué)生數(shù)學(xué)建模,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.16、1【解析】
先畫(huà)出約束條件的可行域,根據(jù)平移法判斷出最優(yōu)點(diǎn),代入目標(biāo)函數(shù)的解析式,易可得到目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】解:由約束條件得如圖所示的三角形區(qū)域,由于,則,要求的最大值,則求的截距的最小值,顯然當(dāng)平行直線過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最大值為:.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求最值問(wèn)題,我們常用幾何法求最值.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)2個(gè),證明見(jiàn)解析【解析】
(1)要恒成立,只要的最小值大于或等于零即可,所以只要討論求解看是否有最小值;(2)將圖像與圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題,然后構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)討論此函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】(1)的定義域?yàn)?,因?yàn)椋?°當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,時(shí),使得,與條件矛盾;2°當(dāng)時(shí),由,得;由,得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,即有,由恒成立,所以恒成立,令,若;若;而時(shí),,要使恒成立,故.(2)原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程實(shí)根個(gè)數(shù)問(wèn)題,當(dāng)時(shí),圖象與圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn),理由如下:由,即,令,因?yàn)椋允堑囊桓?;?°當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,,即在上無(wú)實(shí)根;2°當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞遞增,又,所以在上有唯一實(shí)根,且滿足,①當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,此時(shí)在上無(wú)實(shí)根;②當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,,故在上有唯一實(shí)根.3°當(dāng)時(shí),由(1)知,在上單調(diào)遞增,所以,故,所以在上無(wú)實(shí)根.綜合1°,2°,3°,故有兩個(gè)實(shí)根,即圖象與圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn).【點(diǎn)睛】此題考查不等式恒成立問(wèn)題、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想,考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用,屬于較難題.18、(1)證明見(jiàn)詳解;(2)【解析】
(1)由題可知,等腰直角三角形與等邊三角形,在其公共邊AC上取中點(diǎn)O,連接、,可得,可求出.在中,由勾股定理可證得,結(jié)合,可證明平面.再根據(jù)面面垂直的判定定理,可證平面平面.(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由點(diǎn)F在線段上,設(shè),得出的坐標(biāo),進(jìn)而求出平面的一個(gè)法向量.用向量法表示出與平面所成角的正弦值,由其等于,解得.再結(jié)合為平面的一個(gè)法向量,用向量法即可求出與的夾角,結(jié)合圖形,寫(xiě)出二面角的大小.【詳解】證明:(1)在中,為正三角形,且在中,為等腰直角三角形,且取的中點(diǎn),連接,,,平面平面平面..平面平面(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè).則設(shè)平面的一個(gè)法向量為.則,令,解得與平面所成角的正弦值為,整理得解得或(含去)又為平面的一個(gè)法向量,二面角的大小為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定,面面垂直的判定,向量法解決線面角、二面角的問(wèn)題,屬于中檔題.19、(1)若,則在定義域內(nèi)遞增;若,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1),分,討論即可;(2)由題可得到,故只需證,,即,采用換元法,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理.【詳解】由已知,,若,則在定義域內(nèi)遞增;若,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)由題意,對(duì)求導(dǎo)可得從而,是的兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),因此下證:,即證令,即證:,對(duì)求導(dǎo)可得,,,因?yàn)楣?,所以在上單調(diào)遞減,而,從而所以在單調(diào)遞增,所以,即于是【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及證明不等式,考查學(xué)生邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力,是一道有一定難度的壓軸題.20、(I)證明見(jiàn)解析;(II)1【解析】
(I)過(guò)D作DE⊥BC于E,連接SE,根據(jù)勾股定理得到SE⊥BC,DE⊥BC得到BC⊥平面SED,得到證明.(II)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥SE于F,證明DF⊥平面SBC,故∠ESD為直線SD與平面SBC所成角,計(jì)算夾角得到答案.【詳解】(I)過(guò)D作DE⊥BC于E,連接SE,根據(jù)角度的垂直關(guān)系易知:AC=1,AB=SB=2,CS=CB=3,故DE=BDsin∠CBD=6根據(jù)余弦定理:13+SE2-2故SE⊥BC,DE⊥BC,SE∩DE=E,故BC⊥平面SED,SD?平面SED,故SD⊥BC.(II)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥SE于F,BC⊥平面SED,DF?平面SED,故DF⊥BC,DF⊥SE,BC∩SE=E,故DF⊥平面SBC,故∠ESD為直線SD與平面SBC所成角,SD2=S故sin∠ESD=【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直,線面夾角,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.21、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)連接OE,利用三角形中位線定理得到OE∥PC,即可證出OE∥平面PBC;(2)由E是PA的中點(diǎn),,求出S△ABD,即可求解.【詳解】(1)證明:如圖所示:∵點(diǎn)O,E分別是AC,P
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