三章輻射場量子理論及狀態(tài)描述

第三輻射場的量子理論及狀態(tài)描思路：寫出光腔中經(jīng)典電磁場能量(Hamilton量)表示式將它與經(jīng)典諧x考慮平面平行光腔，我們要對光腔中第Zy第l縱模場（x方向偏振）t)sinKE(z,t第三輻射場的量子理論及狀態(tài)描思路：寫出光腔中經(jīng)典電磁場能量(Hamilton量)表示式將它與經(jīng)典諧x考慮平面平行光腔，我們要對光腔中第Zy第l縱模場（x方向偏振）t)sinKE(z,t)AeilllElx(t)sinKlH(z,t) (t)cosKlKlKllcLKlll分別為第l2dv(E22HHlv22Elx(z,t)qll sinKl(3.1-V—光腔體積ML22ql(t)l Elx 則22Hly(z,t) l(3.1-并且cosKl22ql(t)l Elx 則22Hly(z,t) l(3.1-并且cosKl(3.1-有:(去掉腳標(biāo)lH1M2q2P2/M(3.1-2它在形式上等效為一個質(zhì)量M，頻率的簡諧振子(坐標(biāo)q 可以把單模光波場想象為一個頻率為H,P,q算符化:P?iq;H量子化—即qq?(3.1-l2,?lU;n 1n 2(3.1-lll重要概念(單模)電磁場能量不連續(xù)，只能取l具有最小能量單元l的電磁場量子—場為（l模場的）nl—第ln0時， 1lll2光子數(shù)算符?n首先引入兩個新算符（省略腳標(biāo)l(3.1-a2M Mq?1/??則(3.1-5),(3.1-1)變?yōu)???(3.1-2E(z,t)a?)sinK(3.1-l1??(3.1-2E(z,t)a?)sinK(3.1-l(3.1-(3.1-(3.1-定義光子數(shù)算 2nnn1 2nn?Unn?nn(3.1-n的本征值為n,n具有nn概念：在量子化場的狀態(tài)描述方法上，代替波函數(shù)Un(q)，用光子nn湮滅算符a?和產(chǎn)生算符a?現(xiàn)在討論a?和a?, 可見a?nH?的一個能量本征態(tài),n(ili)即a?作用nnn量子力學(xué)的狀態(tài)波函數(shù)或un可以用抽象線性空間（希爾伯特空間）態(tài)矢量n是此空間的(state是此空間的|下面列出有用的對應(yīng)描述式本征態(tài)波函數(shù) Un基n*波函數(shù);態(tài)疊加原理 CnUnnnn平均值公式 *L?dv|L?*量子力學(xué)的狀態(tài)波函數(shù)或un可以用抽象線性空間（希爾伯特空間）態(tài)矢量n是此空間的(state是此空間的|下面列出有用的對應(yīng)描述式本征態(tài)波函數(shù) Un基n*波函數(shù);態(tài)疊加原理 CnUnnnn平均值公式 *L?dv|L?*dv同理可證a?產(chǎn)生(Creation)n于是可寫nn求Cn,Cn?取an及其共軛相乘,22n|aa|nC*n1n1n1|nCCnn|aa|nn|n|n 同理可得Cnnnnn|n|nnn|nnCn于是得an nn(3.1-nn1n1,,,l 即n0/3.量子場與經(jīng)典場區(qū)別之二是零點能的存在沒有光子的態(tài)稱為真空態(tài),n4.nn(3.1-n2n多模電磁場的量子化（單模情況的簡單推廣多模電磁場 Ex(z,t)l(3.1-Elx(t)sinKl l(3.1-l2l ln即n0/3.量子場與經(jīng)典場區(qū)別之二是零點能的存在沒有光子的態(tài)稱為真空態(tài),n4.nn(3.1-n2n多模電磁場的量子化（單模情況的簡單推廣多模電磁場 Ex(z,t)l(3.1-Elx(t)sinKl l(3.1-l2l ln能量本征值 (3.1-l2Rl本征波函數(shù)：Un1Un2Un3Unl(3.1-n2nln1n2nlnl(3.1-。E?(zt)sinK(3.1-xlll第l模算符a?和a? n1n1nnllnllnl12l(3.1-nl1即：第l模的產(chǎn)生、湮滅算符只對多模場中的第lnlCnnl(3.1-lnlnl光場的平均值n，這意味著它具有的光子數(shù)na?a?n|E?|nsinKznl(3.1- l即光電場平均值為零，為什么？量子場的n和相位是一對測不準(zhǔn)量。當(dāng)n完1?n|Elx|n2sinKzn2(3.1-l21LLsin光場的平均值n，這意味著它具有的光子數(shù)na?a?n|E?|nsinKznl(3.1- l即光電場平均值為零，為什么？量子場的n和相位是一對測不準(zhǔn)量。當(dāng)n完1?n|Elx|n2sinKzn2(3.1-l21LLsinKzdz1/2lln1? n|E|n2 2(3.1-—第l模一個光子的電場振幅（量綱正確場的零點起伏(Zero-point1?當(dāng)n0|E|02V12?V相位算符和（單模）相位態(tài)（非重點iwtiKlElx(z,t)Elx的振幅Elx可以寫成實數(shù) a (3.2-(3.2-或或(3.2-2sin1ei,或(3.2-2sin1ei,1，但eieian112nn② nn1nn2nn(3.2-,(3.2-(3.2-即不準(zhǔn)原理制約，這是量子場與經(jīng)典場的區(qū)別之三12有如下測不準(zhǔn)關(guān)系 FG2F2Gncos2(3.2-ncos2E0cos(t量子場的本質(zhì)特性是存在由n或cos(sin)所表示的著ncoscossinncos2(3.2-ncos2E0cos(t量子場的本質(zhì)特性是存在由n或cos(sin)所表示的著ncoscossinsin(3.2-cos和sinn的本征值。由它們可以定出唯一的可以證明：滿足(3.2-8)s2lim(Sn(3.2-n乘上一個ein0((3.2-純態(tài)輻射場狀態(tài)描述；相干態(tài)（重點n單模光子數(shù)疊加態(tài)n；單模相位疊加態(tài)lnnlCnnllnlClll（描述（與原子系綜相似n和n1.單模光子nCnnllnlClll（描述（與原子系綜相似n和n1.單模光子n的性質(zhì)：設(shè)單模場處光子數(shù)測不準(zhǔn)量n? n|n2|nn2nn|n|nn相位測不準(zhǔn)量cos,sin1 cosn|cos|n 2ei1412cos2 cos1同理sin122這意味著：光場相位可隨機(jī)取02nE子數(shù)，但場的相位完全不確定—t注：設(shè)場的相位可取021/coscosd 12 12cosd12 2 。00的性質(zhì)：設(shè)單模場處在相位本2.單模相 |cos2|cos21/coscosd 12 12cosd12 2 。00的性質(zhì)：設(shè)單模場處在相位本2.單模相 |cos2|cos2cos|cos| cos0sin即場的相位nSS|n|lim(SS(S2nlim(Slim(SlimS/sS(2S|n|lim(S2n26SSn s6∞t∞3.相干態(tài)及其（例如激光場E(t)E0cos(tnn0cos0，但是ncosa12 n本征值．（例如激光場E(t)E0cos(tnn0cos0，但是ncosa12 n本征值．（這是由于a不是厄米算符而決定的性質(zhì)|0（這與厄米算符的本征態(tài)不同相干態(tài)的物理性 *Nn enn22e2nn|n2|2n光子數(shù)測不準(zhǔn) nn1n如激光，其相對量子起伏很小，且隨光強(qiáng)而光子數(shù)分布幾率n表明光子數(shù)沒有確定值，我們只能求單模場具有n個光子的幾n22n|e 定義中得出n(Poission分布函數(shù)nn1n如激光，其相對量子起伏很小，且隨光強(qiáng)而光子數(shù)分布幾率n表明光子數(shù)沒有確定值，我們只能求單模場具有n個光子的幾n22n|e 定義中得出n(Poission分布函數(shù)這是一個在平均值n附近的Poission分布n0n半經(jīng)典理論給出的或一般實驗測量的都是n②相位性|cos|*n122e*n12122e *n *n2en!(n n!(n *n1n*n1212e(n2en1n111n2|cos2|2cos2e2 n!(n2)(n2 *n1n*n1212e(n2en1n111n2|cos2|2cos2e2 n!(n2)(n21，即n12e1n 18n!n2e1122忽略n!(n1)(nn代入，可得cos的測不準(zhǔn)cossin2（21或nncossinsin|sin|1ncos sin（當(dāng)n2ncos1sin2相干態(tài)的nn和cos都與n成反比。當(dāng)n激光就是n1*a2q1/*2Ma2q1/*2M*222*|q?2|1/q 2MMP2 qPqP量子噪聲和壓縮態(tài)(SqueezedsinKztPsinql實驗上可以只測場的一個正交分量（例如q交分量的噪聲（qPunsqueezedcoherentPqqsqueezedcoherentPqqncosKsin2qP交分量的噪聲（qPunsqueezedcoherentPqqsqueezedcoherentPqqncosKsin2qP2平均光子數(shù)n n光子數(shù)起 n n,nn.正交壓縮態(tài)的實驗實1令M1，定義X 2 211/Y 1??.正交壓縮態(tài)的實驗實1令M1，定義X 2 211/Y 1??P2E?2sin E 式中，X,Yi214XYX242111*214*224411 X 12Y 1s4 12s4 Xs 1s4 12s4 Xsasacoshsasinhsae-ase-t+a 混合態(tài)場的狀態(tài)描述：場的密度算符（矩陣 P H,?的運動方程 i+as矩陣ab，ab |baC*bCbC*ab矩陣ab，ab |baC*bCbC*ababa a 密度算符（矩陣態(tài)矢（波函數(shù)1.設(shè)場處在光子數(shù)本n，?nnnm|n|nm|n1n2.設(shè)場處在相干但這不是唯一的非零矩陣元，|||||0（相干態(tài)非正交性n|mn|e(n!m!)當(dāng)mn代表相干態(tài)場具有n2.設(shè)場處在相干但這不是唯一的非零矩陣元，|||||0（相干態(tài)非正交性n|mn|e(n!m!)當(dāng)mn代表相干態(tài)場具有ne|nnn2n23空腔黑體輻射—光子數(shù)混nEnPn1KTeEnnPnnn討論：單模黑體輻射的光子數(shù)平均值nnnnnPn|nnneKT1 1KT2KT1n11以模式密度和則可得黑體輻射能量密度vnn（ n|以模式密度和則可得黑體輻射能量密度vnn（ n||nnPn|nn(n(1n出n(nen光與物質(zhì)相互作用的全量子理1.ab 激只考慮（第K)場和原：設(shè)初始態(tài)矢表示t0nK本征態(tài)aK模有nK(O)a aO2Ok(3.5-相互作用后，在時刻tab(t)a lKCa,lKCb,mK(3.5-lKmKH只考慮（第K)場和原：設(shè)初始態(tài)矢表示t0nK本征態(tài)aK模有nK(O)a aO2Ok(3.5-相互作用后，在時刻tab(t)a lKCa,lKCb,mK(3.5-lKmKHH af(3.5- HHa000?H0 (3.5-0E0b b~—場的算符，由于只有第a(3.5-0K2E(z,t)E?KX(z,t)0??VE?(z, 00xa?(z,t)a?sinKKKk升階和降價算符；下面將會看到，原子和場的相互作用能算符V用決定了相互作用的物理本質(zhì)。而V實際上包括了兩種算符：a,a用的湮滅或產(chǎn)生算符 1將是對原子作用的算符 為了運算方便，下面將 1寫為另一種算符形式。定義 0 V sinKzkKKg(3.5- gsinKz/K,的物理意義？為此，將態(tài)abaa0bb0 0 V sinKzkKKg(3.5- gsinKz/K,的物理意義？為此，將態(tài)abaa0bb0b0abbab(3.5-101b a (3.5-bba0即作用到原子，使它能級降一級—降階算a，a是作用在光子數(shù)態(tài)上的算符 關(guān)。物理上配對滿足能量守01 a (3.5-agbK 021.薛定鍔圖象；在這種圖象中，波函數(shù)（或態(tài)矢）sst sS(3.5-I其中VII而我們前面給出的Vi定義變換算符U?(t) ?S0態(tài)矢變換關(guān)系： U(t)3.則（以下去掉^號VI(t)U(t) sS(3.5-I其中VII而我們前面給出的Vi定義變換算符U?(t) ?S0態(tài)矢變換關(guān)系： U(t)3.則（以下去掉^號VI(t)U(t)VSUVK腳標(biāo)0 texpiatiab02 1a ta expaa VI(t)gti2 00ttbb00上式第一部分（包括a,a）i1 1 nexpiaa ta 22利用a,aaanaaaa1n；aaanaa1naexpiaa expiaa122代入VIexpiaa taaexpiaa 1122aexpitaexpit00expiaa expiaa122代入VIexpiaa taaexpiaa 1122aexpitaexpit000i 0e0 bexpitexpitabga ai iIt aexpiatgaexpitaexpiV(3.5-KKVI（3.5-2）alKCa,lCb,mK(3.5-KlKmKl于是在V中就會出現(xiàn)KKKk根據(jù)aa作用在多模光子數(shù)態(tài)的(3.1-24)l2lKl2lK1l1l1lKKK12K可見，VIIK (taa, (tab,(3.5-aKK(3.5-10)式中，最后將得同(t（以下簡化角標(biāo)aIU(t)b,mexpa,l S0HCallm (taa, (tab,(3.5-aKK(3.5-10)式中，最后將得同(t（以下簡化角標(biāo)aIU(t)b,mexpa,l S0HCallm110 expin? C010 2mGab,lm 1 Ca,l til 2aa 1a,m tim abGC2為出寫方便，下面令GCiVb,mma,lib,mCa, mmexpita,m1gC l1expitb,l1b,mCa, mmexpita,m1gC l1expitb,l1lCnn可得CCb,n1(t)igexpil1Ca,lllign1expitCa,nCa,n(t)ign1expi(3.5-nan態(tài)就是與雙光子過程有關(guān)的非線性過程。此處不講(0)設(shè)t0K模有n零階解 Can(0)一階微擾近似：即Ca,n(t)（Cb,n1很小積分(3.5-14)第一式, (t)exptt0expit1ignit22 24g(n2C2g2(n1)t（參閱2Cb,n1(n1)W2Wgt 2sin2W(3.5-2g2(n1)t（參閱2Cb,n1(n1)W2Wgt 2sin2W(3.5-VnknK1sinKz當(dāng)n02(3.5-（Waba①,1LL1si