高考數(shù)學(xué)壓軸題（新高考版）：專題21 平面解析幾何（選填壓軸題）（教師版）

專題21平面解析幾何（選填壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①離心率問題 1②范圍（最值）問題 11③軌跡問題 21④相切問題 29⑤新定義新文化題 35①離心率問題1．（2023春·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)?？计谀┰O(shè)橢圓的焦點為為橢圓上的任意一點，的最小值取值范圍為，其中，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可知，，設(shè)，因為，所以，又，，所以，因為，則，當(dāng)時，取得最小值，即，即，所以，即橢圓的離心率為.故選：D.2．（2023秋·天津北辰·高二?？计谀┤綦p曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】雙曲線的漸近線方程為，直線被圓所得截得的弦長為，

則圓心到直線的距離為，由點到直線的距離公式可得，解得，則，因此，雙曲線的離心率為.故選：B.3．（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·高二赤峰二中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的直線分別交雙曲線的左、右兩支于A，B兩點，且，若，則雙曲線離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】A【詳解】令，則，

在中，，由余弦定理得，即，解得，于是，在中，令雙曲線半焦距為，由余弦定理得：，解得，所以雙曲線離心率.故選：A4．（2023·江西南昌·南昌市八一中學(xué)校考三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，若在上存在點不是頂點，使得，則的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)與y軸交于Q點，連接，則，

因為，故P點在雙曲線右支上，且，故，而，故，在中，，即，故，由，且三角形內(nèi)角和為，故，則，即，即，所以的離心率的取值范圍為，故選：A5．（2023·福建福州·福州四中校考模擬預(yù)測）已知雙曲線為左焦點，分別為左?左頂點，為右支上的點，且（為坐標(biāo)原點）.若直線與以線段為直徑的圓相交，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點為，則，則，

為右支上的點，取的中點為B，連接，則，設(shè)，則，則，在中，，即，又直線與以線段為直徑的圓相交，故，設(shè)，則，則需使，解得，即雙曲線離心率的范圍為，即的離心率的取值范圍為，故選：D6．（2023春·湖南長沙·高二長沙市明德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）雙曲線和橢圓有共同的焦點，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對于雙曲線，設(shè)右焦點為，所以，對于橢圓，設(shè)右焦點為，所以，因為有共同的焦點，所以，所以，所以橢圓的離心率是，故選：D.7．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）過點能作雙曲線的兩條切線，則該雙曲線離心率的取值范圍為.【答案】【詳解】當(dāng)過點的直線的斜率不存在時，直線的方程為，由可得，故直線與雙曲線相交，不合乎題意；當(dāng)過點的直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，聯(lián)立可得，因為過點能作雙曲線的兩條切線，則，可得，由題意可知，關(guān)于的二次方程有兩個不等的實數(shù)根，所以，，可得，又因為，即，因此，關(guān)于的方程沒有的實根，所以，且，解得，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上所述，該雙曲線的離心率的取值范圍是.故答案為：.8．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：的左右焦點分別為，，點A為雙曲線C右支上一點，直線交雙曲線的左支于點B，若，且原點O到直線的距離為1，則C的離心率為.【答案】【詳解】點A為雙曲線C右支上一點，，又，，點B為雙曲線C左支上一點，即，過作直線的垂線，垂足分別為,

則,又為的中點，可得，在直角三角形中，在直角三角形中,，,,平方可得，，，C的離心率為.故答案為：.9．（2023·全國·高二課堂例題）若橢圓上存在一點M，使得（，分別為橢圓的左、右焦點），則橢圓的離心率e的取值范圍為.【答案】【詳解】方法一：設(shè)點M的坐標(biāo)是，則.∵，，∴，.∵，∴，即.又點M在橢圓上，即，∴，即，∴，即，又，∴，故橢圓的離心率e的取值范圍是.方法二：設(shè)點M的坐標(biāo)是，由方法一可得消去，得，∵，∴，由②得，此式恒成立.由①得，即，∴，則.又，∴.綜上所述，橢圓的離心率e的取值范圍是.方法三：設(shè)橢圓的一個短軸端點為P，∵橢圓上存在一點M，使，∴，則，（最大時，M為短軸端點）∴，即，又，∴，故橢圓的離心率e的取值范圍為.故答案為：.10．（2023春·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓，是長軸的左、右端點，動點滿足，連接，交橢圓于點，且為常數(shù)，則橢圓離心率為.【答案】/【詳解】由題意設(shè)，因為三點共線，所以，得，因為，所以，所以因為為常數(shù)，所以，所以，得，所以，所以離心率，故答案為：

11．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C：，過其右焦點F作直線交雙曲線C的漸近線于A，B兩點，其中點A在第一象限，點B在第四象限.設(shè)為坐標(biāo)原點，若的面積為面積的2倍，且，則雙曲線C的離心率為.【答案】【詳解】雙曲線的焦點為，漸近線方程為，依題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由解得，即，同理可求得，由于的面積為面積的2倍，所以，，解得，此時，由于，所以①，由于，所以①可化為，兩邊除以得，即.故答案為：12．（2023·福建寧德·校考模擬預(yù)測）已知橢圓的右焦點是，直線交橢圓于兩點﹐直線與橢圓的另一個交點為，若，則橢圓的離心率為．【答案】/【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為，連接，，，，

由直線交橢圓于兩點﹐及，結(jié)合橢圓的對稱性可得，所以，，均為直角三角形，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，，，所以在直角中，即①，在直角中，即②，由②解得，將代入①得，即，所以，故答案為：②范圍（最值）問題1．（2023·江蘇徐州·校考模擬預(yù)測）已知橢圓：的右焦點為，為坐標(biāo)原點，點為橢圓上的兩點，且，為中點，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【詳解】由橢圓可得，，

所以，即，所以右焦點；因為，所以，當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程，代入橢圓的方程可得，解得，設(shè)，，則，解得，這時的中點在軸上，且的橫坐標(biāo)為，這時的最小值為；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，，則的中點，，聯(lián)立，整理可得：，△，即，且，，所以，，則，可得，符合△，可得的軌跡方程為，整理可得：，兩式平方相加可得：，即的軌跡方程為：，焦點在軸上的橢圓，所以，當(dāng)為該橢圓的右頂點時，取等號，綜上所述：的最小值為，故選：D．2．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)a，b為正數(shù)，若直線被圓截得弦長為4，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【詳解】由可得，故圓的直徑是4，所以直線過圓心，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時，等號成立.故選：D.3．（2023·山東·山東師范大學(xué)附中?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，點，直線．設(shè)圓的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點M，使，則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】圓心C的橫坐標(biāo)為a，則圓心C的坐標(biāo)為，則圓的方程，設(shè)，由，可得，整理得，則圓與圓有公共點，則，即，解之得.故選：D4．（2023·北京·?？寄M預(yù)測）已知橢圓.過點作圓的切線交橢圓于兩點.將表示為的函數(shù)，則的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】由題意知，，當(dāng)時，切線的方程為，點，的坐標(biāo)分別為，，此時；當(dāng)時，同理可得；當(dāng)時，設(shè)切線方程為，由得，設(shè)，兩點兩點坐標(biāo)分別為，，則，，又由于圓相切，得，即，∴，由于當(dāng)時，，∴，，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時，，∴的最大值為2．故選：B.5．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點分別為，離心率為2，焦點到漸近線的距離為.過作直線交雙曲線的右支于兩點，若分別為與的內(nèi)心，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，在中，根據(jù)焦點到漸近線的距可得，離心率為2，∴，解得：，∴∴雙曲線的方程為.

記的內(nèi)切圓在邊，，上的切點分別為，則，橫坐標(biāo)相等，，，由，即，得，即，記的橫坐標(biāo)為，則，于是，得，同理內(nèi)心的橫坐標(biāo)也為，故軸.設(shè)直線的傾斜角為，則，（Q為坐標(biāo)原點），在中，，由于直線與的右支交于兩點，且的一條漸近線的斜率為，傾斜角為，∴，即，∴的范圍是.故選：D.6．（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測）已知直線l是圓C：的切線，且l與橢圓E：交于A，B兩點，則|AB|的最大值為（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【詳解】∵直線l是圓C：的切線，∴圓心O到直線l的距離為1，設(shè)，①當(dāng)AB⊥x軸時，②當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m.由已知得．把y=kx+m代入橢圓方程，整理得，∴令原式當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.綜上所述.故選：B.7．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知雙曲線，過其右焦點的直線與雙曲線交于、兩點，已知，若這樣的直線有條，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】記，若直線與軸重合，此時，；若直線軸時，將代入雙曲線方程可得，此時，當(dāng)時，則，此時，；當(dāng)，可得，則，所以，雙曲線的實軸長和通徑長不可能同時為；當(dāng)直線與軸不重合時，記，則點，設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點、，聯(lián)立可得，由題意可得，可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，，即，所以，關(guān)于的方程由四個不等的實數(shù)解.當(dāng)時，即當(dāng)時，可得，可得，整理可得，因為，解得；當(dāng)時，即當(dāng)，可得，可得，整理可得，可得.綜上所述，.故答案為：.8．（2023·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓的圓心在拋物線上運動，且圓過定點，圓被軸所截得的弦為，設(shè)，，則的取值范圍是．【答案】【詳解】設(shè)，則，故圓的方程，令有，故，解得，，故．設(shè)，因為，所以，又由余弦定理可得，所以，所以，因為，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，原式有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)時，原式有最小值為，從而的取值范圍為．故答案為：9．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)光輝的科學(xué)成果．他發(fā)現(xiàn)“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值（且）的點的軌跡是圓”，人們將這樣的圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，Q為拋物線上的動點，點Q在直線上的射影為H，M為圓上的動點，若點P的軌跡是到A，B兩點的距離之比為的阿氏圓，則的最小值為．【答案】3【詳解】設(shè)，由題意，即，整理得，因為圓可以看作把圓向左平移個單位得到的，那么點平移后變?yōu)?，點平移后變?yōu)?，所以根?jù)阿氏圓的定義有，所以，又由拋物線定義有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，，四點共線，且，在，之間時取等號，故的最小值為3．故答案為：3．10．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A，B兩點，，分別交y軸于P，Q兩點，若的周長為16，則的最大值為.【答案】4【詳解】∵軸且過，則AB為雙曲線的通徑，由，代入雙曲線可得，故.為的中點，，則為的中位線，故，又的周長為，則的周長為①，∵②，故由①②可得，即，可得.故，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.故答案為：411．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為拋物線：的焦點，過直線上任一點向拋物線引切線，切點分別為A，，若點在直線上的射影為，則的取值范圍為．【答案】．【詳解】設(shè)，，，不妨設(shè)在軸上方，時，，，所以切線的方程為，代入得，又，∴，得，同理可得．因此直線的方程為，直線過定點，，∴在以為直徑的圓上，該圓圓心，半徑為1，由已知，，∴的最大值為，最小值為，時，直線方程為，此時，與軸垂直，點與點重合，即，點不可能與點重合，最大值取不到．所以的范圍是．故答案為：．③軌跡問題1．（2023秋·廣東陽江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知圓與圓交點的軌跡為，過平面內(nèi)的點作軌跡的兩條互相垂直的切線，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】圓圓心，圓圓心，設(shè)兩圓交點為，則由題意知，，所以，又由于，所以由橢圓定義知，交點是以、為焦點的橢圓，且，，則，所以軌跡的方程為，

設(shè)點，當(dāng)切線斜率存在且不為時，設(shè)切線方程為：，聯(lián)立，消得，則，即，由于，則由根與系數(shù)關(guān)系知，即．

當(dāng)切線斜率不存在或為時，點的坐標(biāo)為，，，，滿足方程，故所求軌跡方程為．故選：A．2．（2023·貴州黔西·校考一模）在正方體中，點為平面內(nèi)的一動點，是點到平面的距離，是點到直線的距離，且（為常數(shù)），則點的軌跡不可能是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】A【詳解】由條件作出正方體，并以為原點，直線、和分別為、和軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)正方體的棱長為（），點，所以得，，由，得，所以，即①（），當(dāng)時，①式化得：，此時，點的軌跡是拋物線；當(dāng)時，①式化得：，即，②，當(dāng)時，，則②式，是雙曲線的方程，即點的軌跡為雙曲線；當(dāng)時，，則②式，是橢圓的方程，即點的軌跡為橢圓；故選：A.3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知動點滿足（為大于零的常數(shù)）﹐則動點的軌跡是（

）A．線段 B．圓 C．橢圓 D．直線【答案】C【詳解】的幾何意義為點與點間的距離，同理的幾何意義為點與點間的距離，且又由為大于零的常數(shù)，可知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，故，即動點到點與到點的距離之和為定值，且大于，所以動點的軌跡為橢圓，故選：C.4．（2023春·江蘇南京·高二南京航空航天大學(xué)附屬高級中學(xué)校考期中）已知圓的圓心為，過點的直線交圓于、兩點，過點作的平行線，交直線于點，則點的軌跡為（

）A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．雙曲線一支【答案】B【詳解】，即圓，故，，因為平行與，，所以，故，故點的軌跡為雙曲線.故選：B5．（2023·高二課時練習(xí)）已知，，動點P滿足（a為常數(shù)），則下列說法中錯誤的是（

）A．時，點P的軌跡是y軸 B．時，點P的軌跡是一條直線C．或時，點P的軌跡不存在 D．時，點P的軌跡是雙曲線【答案】B【詳解】對選項A：時，，點P的軌跡是y軸，正確；對選項B：時，，點P的軌跡是兩條射線，錯誤；對選項C：當(dāng)時，不成立；當(dāng)時，不成立，點P的軌跡不存在，正確；對選項D：時，根據(jù)雙曲線定義知，點P的軌跡是雙曲線，正確.故選：B6．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓的方程為，直線為圓的切線，記兩點到直線的距離分別為，動點滿足，，則動點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，分別過點做直線的垂線，垂足分別為，則，，切點為因為，所以是的中點，,所以是梯形的中位線，所以，又因為圓的方程為，，所以，所以，即，所以動點的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，設(shè)橢圓的方程為，則，所以，，所以動點的軌跡方程為.故選：B7．（2023·高二課時練習(xí)）在中，已知，若，且滿足，則頂點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：在中，因為，所以，又，則，所以，即，由于，所以點的軌跡是以為焦點的橢圓的左半部分，由，所以頂點的軌跡方程是.故選：A.8．（2023·全國·高二課堂例題）如圖所示，已知定圓：，定圓：，動圓M與定圓，都外切，則動圓圓心M的軌跡方程為.

【答案】【詳解】圓：，圓心，半徑，圓：，圓心，半徑.設(shè)動圓M的半徑為R，則有，，∴，∴點M的軌跡是以，為焦點的雙曲線的左支，且，，于是.故動圓圓心M的軌跡方程為.故答案為：.9．（2023·全國·高三對口高考）已知動圓P過點，且與圓外切，則動圓P圓心的軌跡方程為.【答案】，【詳解】定圓的圓心為，與關(guān)于原點對稱，設(shè)動圓的半徑為，則有，因為與圓外切，所以，即，所以點的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的左支，則，，，所以軌跡方程為，，即，.故答案為：，10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面上一定點和直線l：x=8，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且·=0．則動點P的軌跡方程為；【答案】【詳解】設(shè)，則，由·=0，得，即，化簡得，所以點P在橢圓上，即動點P的軌跡方程為．故答案為：11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的周長是18，，是軸上關(guān)于原點對稱的兩點，若，動點滿足.則動點的軌跡方程為；【答案】【詳解】由，知點G是的重心，取點，，不妨設(shè)，，則，，且，所以點是以，為焦點的橢圓（除去長軸端點），設(shè)橢圓的方程是，則，，于是，即，從而，點的軌跡方程為：.故答案為：12．（2023春·寧夏銀川·高二銀川唐徠回民中學(xué)?？计谥校┮粋€動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則這個動圓圓心的軌跡方程為．【答案】【詳解】設(shè)動圓圓心為，半徑為，根據(jù)題意知：，，所以，所以圓心的軌跡為橢圓.其中，，故，因為焦點在軸上，故圓心軌跡方程為：.故答案為：.13．（2023·全國·高二課堂例題）已知點，若動點滿足，則點的軌跡方程為.【答案】【詳解】設(shè),因為,故即.故的軌跡是以為焦點,的雙曲線的下支.此時.故.故.故答案為：14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知動圓與直線相切，且與定圓外切，則動圓圓心的軌跡方程為.【答案】【詳解】設(shè)動圓半徑為，則到直線的距離為，，故到的距離等于到的距離，故軌跡為拋物線，即.故答案為：.④相切問題1．（2023·全國·高三對口高考）已知實數(shù)x，y滿足：，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．5【答案】B【詳解】令，則直線與有交點情況下，直線在x軸上截距最大，假設(shè)直線與橢圓相切，則，即，所以，可得，即，要使在x軸上截距最大，即.故選：B.2．（2023秋·江西宜春·高二江西省宜豐中學(xué)?？计谀┪覈麛?shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”.事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決.如：與相關(guān)的代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為點與點之間距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點，若實數(shù)滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，可轉(zhuǎn)化為點到點和點的距離之和為，故點在橢圓上.表示點與橢圓上一點所連直線的斜率，設(shè)該直線的方程為，由圖可知，當(dāng)直線與橢圓相切時，取得最值.聯(lián)立方程組整理得，，解得或，故的取值范圍是故選：C.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點為函數(shù)的圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【詳解】由圓的對稱性可得只需考慮圓心到函數(shù)圖象上一點的距離的最小值．設(shè)圖象上一點，令圖象上一點的切線為由的導(dǎo)數(shù)為，即切線的斜率為，當(dāng)時，圓心到函數(shù)圖象上一點的距離最小，此時，即有，由，可得，遞增，又，所以，，所以點到點的距離最小，且為，則線段的長度的最小值為，故選：A．4．（2022·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┮阎獙崝?shù)x，y滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為實數(shù)，滿足，所以當(dāng)時，，其圖象是位于第一象限，焦點在軸上的雙曲線的一部分（含點），當(dāng)時，其圖象是位于第四象限，焦點在軸上的橢圓的一部分，當(dāng)時，其圖象不存在，當(dāng)時，其圖象是位于第三象限，焦點在軸上的雙曲線的一部分，作出橢圓和雙曲線的圖象，其中圖象如下：任意一點到直線的距離所以，結(jié)合圖象可得的范圍就是圖象上一點到直線距離范圍的2倍，雙曲線，其中一條漸近線與直線平行，通過圖形可得當(dāng)曲線上一點位于時，取得最小值，無最大值，小于兩平行線與之間的距離的倍，設(shè)與其圖像在第一象限相切于點，由因為或（舍去）所以直線與直線的距離為此時，所以的取值范圍是．故選：B．5．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知實數(shù)滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)，時，方程為，是雙曲線在第一象限的部分；當(dāng)，時，方程為，不能表示任何曲線；當(dāng)，時，方程為，是雙曲線在第三象限的部分；當(dāng)，時，方程為，是圓在第四象限的部分；其圖象大致如圖所示：令，則直線與曲線有公共點，表示的曲線如圖，則當(dāng)表示部分雙曲線時，該曲線的漸近線斜率，和直線平行，；把直線往下移，直到如圖與第四象限的圓相切，此時圓心到直線的距離等于半徑，，解得：，又是與第四象限圓相切，；若直線繼續(xù)下移，則無交點，不合題意；綜上所述：，即的取值范圍為.故選：C.6．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若直線l：與曲線C：有兩個公共點，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)時，曲線C的方程為，軌跡為橢圓的右半部分；當(dāng)時，曲線C的方程為，軌跡為雙曲線的左半部分，其漸近線為，作出圖象如下圖，直線l（圖中虛線）是與直線平行的直線，平行移動直線，可得直線l，如圖可知，當(dāng)直線l介于直線和（與l平行且與橢圓相切，切點在第一象限）之間時，直線l與曲線C有兩個公共點．設(shè)的方程為，，則有，聯(lián)立，消去x并整理得，由，解得或（舍），故m的取值范圍為．故選：B．7．（2022·高二單元測試）橢圓上的點到直線的最大距離是【答案】【詳解】設(shè)直線與橢圓相切．由消去x整理得.由得.當(dāng)時符合題意(舍去)．即x+2y+=0與橢圓相切,橢圓上的點到直線的最大距離即為兩條平行線之間的距離:⑤新定義新文化題1．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：（a＞b＞0）的面積為，兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：A．2．（2023春·云南紅河·高二開遠(yuǎn)市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）公元前世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果，寫出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關(guān)于平面軌跡的問題，例如:平面內(nèi)到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點和，且該平面內(nèi)的點P滿足，若點P的軌跡關(guān)于直線對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，因為，則，即，所以點的軌跡方程為，因為點的軌跡關(guān)于直線對稱，所以圓心在此直線上，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值是.故選：B.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）閔氏距離（）是衡量數(shù)值點之間距離的一種非常常見的方法，設(shè)點、坐標(biāo)分別為，，則閔氏距離.若點、分別在和的圖像上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意得，設(shè)，因為點A、B分別在函數(shù)和的圖象上，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.設(shè)，，則，令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，即，所以的最小值為.故選：A.4．（多選）（2023春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）費馬原理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，可以推導(dǎo)出雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.由此可得，過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角.已知、分別是以為漸近線且過點的雙曲線C的左、右焦點，在雙曲線C右支上一點處的切線l交x軸于點Q，則（

）A．雙曲線C的離心率為 B．雙曲線C的方程為C．過點作，垂足為K，則 D．點Q的坐標(biāo)為【答案】BD【詳解】因為雙曲線的漸近線為，設(shè)雙曲線方程為，代入點，可得，所以雙曲線方程為，可得，所以離心率為，故A錯誤，B正確；因為，設(shè)，因為，且為的角平分線，所以，且，故C錯誤；因為，當(dāng)時，整理得，則，可得，即切點