人教版八年級數(shù)學下冊全冊同步教案 第17章 勾股定理

17.1勾股定理

第1課時勾股定理及其證明

教學目標

一、基本目標

【知識與技能】

1.了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程.

2.掌握勾股定理的內(nèi)容.

3.會用面積法證明勾股定理.

【過程與方法】

經(jīng)歷觀察一猜想一歸納一驗證等一系列過程，體會數(shù)學定理發(fā)現(xiàn)的過程；在觀察、猜想、

歸納、驗證等過程中培養(yǎng)學生的數(shù)學語言表達能力和初步的邏輯推理能力.

【情感態(tài)度與價值觀】

通過對勾股定理歷史的了解，感受數(shù)學文化，激發(fā)學習興趣：在探究活動中，體驗解決

問題的方法的多樣性，培養(yǎng)學生的合作交流意識和探索精神.

二、重難點目標

【教學重點】

勾股定理的探究及證明.

【教學難點】

掌握勾股定理，并運用它解決簡單的計算題.

教學過程

環(huán)節(jié)1自學提綱，生成問題

【5min閱讀】閱讀教材P22?P24的內(nèi)容，完成下面練習.

(3min反饋】

1.勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,那么a2+b2

=C2.

2.(1)教材P23“探究”，如圖，每個方格的面積均為1,請分別算出圖中正方形A、B、

C、A'、B'、C的面積.

解：A的面積=4;B的面積=9;C的面積=52—4X]X(2><3)=13;所以4+8=CA'

=9;B'=25;C'=82-4×∣×(5×3)=34:所以4'+B'=C'.所以直角三角形的兩直

角邊的平方和等于斜邊的平方.

(2)閱讀、理解教材P23?P24“趙爽弦圖”證明勾股定理.

解：朱實=/必；黃實=(。一bp；正方形的面積=4朱實+黃實=(a—b)2+56X4=42+

從一2M+246=02+〃.又正方形的面積=c2,所以/+〃=/,即直角三角形兩直角邊的平方

和等于第三邊的平方.

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論(師生互學)

【例1】作8個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為。、b,斜邊長為c,

再作三個邊長分別為八6、C的正方形，將它們像下圖所示拼成兩個正方形.

證明：a1-?-h2=cz.

圖1圖2

【互動探索】(引發(fā)學生思考)從整體上看，這兩個正方形的邊長都是α+b,因此它們的

面積相等.我們再用不同的方法來表示這兩個正方形的面積，即可證明勾股定理.

【證明】由圖易知，這兩個正方形的邊長都是a+8,.?.它們的面積相等.又?.?左邊的正

方形面積可表示為a2+b2+^ab×4,右邊的正方形面積可表示為c2+^ab×4,a2+b2+^

ab×4=σ+^ab×4,.^.α2÷?2=c2.

【互動總結(jié)】(學生總結(jié)，老師點評)通過對拼接圖形的面積的不同表示方法，建立相等

關(guān)系，從而驗證勾股定理.

【例2】已知在Rt4A8C中，ZC=90o,a、。為兩直角邊，C為斜邊.

(1)若”=3,b=4,則c2=,C=；

(2)若α=6,b=8,則c2=,c-；

(3)若c=41,a=9,則%=；

(4)若c=17,b—8,則α=.

【互動探索】(引發(fā)學生思考)根據(jù)勾股定理求解.

【分析】(l)c2=∕+b2=32+42=25,則c=5.(2)c2=02+?2=62+82=1∞,則C=IO.(3)因

為c2=α2÷?2,所以6=/1一“2=、412—92=40.(4)因為c1=a1-?-b1,所以a=y]c2-b2=

√172-82=15.

【答案】⑴255(2)10010(3)40(4)15

【互動總結(jié)】(學生總結(jié)，老師點評)本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，如果直角三角形的

兩條直角邊長分別是〃、h,斜邊長為C,那么"2+/=02.2+"=/的常用變形Z)=戶工5,

a=y]c1-b2.

活動2鞏固練習(學生獨學)

1.在AABC中，∕C=90。.若α=5,%=12,則c=H；若c=41,a=9,則b=?.

2.等腰AABC的腰長AB=IOCm,底BC為16cm,則底邊上的高為6cm,面積為48cnΛ

3.已知在AABC中，ZC=90o,BC=a,AC=b,AB=c.

(1)若“=1,b—2,求c；

(2)若4=15,c=17,求A

解：(1)根據(jù)勾股定理，得/=/+/=12+22=5.?.z>0,.?.c=√5.

(2)根據(jù)勾股定理，得"=c?2-a2=U?-152=64.?.P>0,.?.b=8.

活動3拓展延伸(學生對學)

【例3】在AABC中，AB=20,AC=15,AO為BC邊上的高，且AO=12,求aABC

的周長.

【互動探索】應(yīng)考慮高AD在aABC內(nèi)和aABC外的兩種情形.

【解答】當高A。在AABC內(nèi)部時，如圖1.在RtZvlBO中，由勾股定理，得BD2=A"

-AZ)2=202-122=162,.?.5O=16.在RtZXACD中，由勾股定理，得CD2=AC2-AD2=152

-122=81,：.CD=9.：.BC=BD+CD=25,Z?ABC的周長為25+20+15=60.

當高AQ在AABC外部時，如圖2.同理可得，BD=16,CD=9.：.BC=BD—CD=7,：.

△ABC的周長為7+20+15=42.

綜上所述，AABC的周長為42或60.

圖1圖2

【互動總結(jié)】(學生總結(jié)，老師點評)題中未給出圖形，作高構(gòu)造直角三角形時，易漏掉

鈍角三角形的情況.如在本例題中，易只考慮高AO在AABC內(nèi)的情形，忽視高AO在AABC

外的情形.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當堂達標

（學生總結(jié)，老師點評）

勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為“、b,斜邊長為c,那么*+〃=上

練習設(shè)計

請完成本課時對應(yīng)練習！

第2課時勾股定理的應(yīng)用

教學目標

一、基本目標

【知識與技能】

能運用勾股定理解決有關(guān)直角三角形的簡單實際問題.

【過程與方法】

經(jīng)歷勾股定理的應(yīng)用過程，熟練掌握其應(yīng)用方法，明確應(yīng)用的條件.

【情感態(tài)度與價值觀】

培養(yǎng)合情推理能力，體會數(shù)形結(jié)合的思維方法，激發(fā)學習熱情.

二、重難點目標

【教學重點】

勾股定理的簡單應(yīng)用.

【教學難點】

運用勾股定理建立直角三角形模型解決有關(guān)問題.

教學過程

環(huán)節(jié)1自學提綱，生成問題

[5min閱讀】閱讀教材P25的內(nèi)容，完成下面練習.

【3min反饋】

1.勾股定理的內(nèi)容是：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

2.在Z?ABC中,NC=90°.若BC=6,AB=IO,則AC=&

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生互學）

【例1】如圖，已知在4A3C中，ZACB=90o,AB=5cm,8C=3cm,C￡>_LAB于點Q,

求C。的長.

【互動探索】（引發(fā)學生思考）觀察圖形：“多直角三角形嵌套”圖形一已知邊長，求高

CZ）f利用等面積法求解.

【解答】?.?∕?ABC是直角三角形，NAC8=90。，AB=5cm,SC=3cm,

二由勾股定理，得AC=NAB2-BC2=4cm.

又,.?SΛABC^ABCD^ACBC,

ACBC4X3

ABy(cm).

【互動總結(jié)】（學生總結(jié)，老師點評）由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊

的積等于斜邊與斜邊上高的積，這個規(guī)律也稱“弦高公式”，它常與勾股定理聯(lián)合使用.

【例2】如圖，偵察員小王在距離東西向公路400m處偵察，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公

路上疾駛.他趕緊拿出紅外測距儀，測得汽車與他相距400m,10s后，汽車與他相距500m,

你能幫小王算出敵方汽車的速度嗎？

【互動探索】（引發(fā)學生思考）要求敵方汽車的速度，需要算出8C的長.在RtaABC中

利用勾股定理即可求得8C.

【解答】由勾股定理，得AB2=8C2+AC2,即50（）2=BC2+40（）2,所以BC=300m.

故敵方汽車10S行駛了300m,

所以它1h行駛的距離為300X6X60=108000（m）,

即敵方汽車的速度為108km/h.

【互動總結(jié)】（學生總結(jié)，老師點評）用勾股定理解決實際問題的關(guān)鍵是建立直角三角形

模型，再代入數(shù)據(jù)求解.

活動2鞏固練習（學生獨學）

1.等腰三角形的腰長為13cm,底邊長為Ioem,則它的面積為（D）

A.30cm2B.130cm2

C.120cm2D.60cm2

2.直角三角形兩直角邊長分別為5cm、12cm,則斜邊上的高為等m.

3.如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達地點B200

m,結(jié)果他在水中實際游了520m,求該河流的寬度為多少？

解：根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，運用勾股定理，得48=:AC2—8C2=?√52()2—勾02=480(m).

即該河流的寬度為480m.

活動3拓展延伸(學生對學)

【例3】如圖1,長方體的高為3cm,底面是正方形，邊長為2cm,現(xiàn)有繩子從D出發(fā),

沿長方體表面到達B'點，問繩子最短是多少厘米？

圖1

圖2

圖3

【互動探索】可把繩子經(jīng)過的面展開在同一平面內(nèi)，有兩種情況，分別計算并比較，得

到的最短距離即為所求.

【解答】如圖2,由題易知，=3cm,B'D'=2X2=4(Cm).在RtZX。。'B'中，

由勾股定理，得B'O2=OO'2+B'D12=32+42=25;

1

如圖3,由題易知，BC'=2cm,C'D=2+3=5(cm).在Rt1?DC'B'中，由勾股

定理，得B'D2=B'C'2+C'r>2≈22+52-29.

因為29>25,

所以第一種情況繩子最短，最短為5cm.

【互動總結(jié)】(學生總結(jié)，老師點評)此類題可通過側(cè)面展開圖，將要求解的問題放在直

角三角形中，問題便迎刃而解.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當堂達標

(學生總結(jié)，老師點評)

勾股定理的簡單運用：（1）由直角三角形的任意兩邊的長度，可以應(yīng)用勾股定理求出第三

邊的長度.（2）用勾股定理解決實際問題的關(guān)鍵是建立直角三角形模型，再代入數(shù)據(jù)求解.

練習設(shè)計

請完成本課時對應(yīng)練習！

第3課時利用勾股定理表示無理教

教學目標

一、基本目標

【知識與技能】

進一步熟悉勾股定理的運用，掌握用勾股定理表示無理數(shù)的方法.

【過程與方法】

通過探究用勾股定理表示無理數(shù)的過程，鍛煉了學生動手操作能力、分類比較能力、討

論交流能力和空間想象能力.

【情感態(tài)度與價值觀】

讓學生充分體驗到了數(shù)學思想的魅力和知識創(chuàng)新的樂趣，體會數(shù)形結(jié)合思想的運用.

二、重難點目標

【教學重點】

探究用勾股定理表示無理數(shù)的方法.

【教學難點】

會用勾股定理表示無理數(shù).

教學過程

環(huán)節(jié)1自學提綱，生成問題

【5min閱讀】閱讀教材P26?P27的內(nèi)容，完成下面練習.

【3min反饋】

I.勾股定理的內(nèi)容是：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

2.教材P27,利用勾股定理在數(shù)軸上畫出表示粗，√2,√3,5，…的點.

3.JW的線段是直角邊為正整數(shù)工復的直角三角形的斜邊.

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生互學）

【例1】如圖所示，數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為m則”的值是（)

A.^?∣5+1B.一小+1

C.√5-lD.√5

【互動探索】（引發(fā)學生思考）先根據(jù)勾股定理求出三角形的斜邊長，再根據(jù)兩點間的距

離公式即可求出A點的坐標.

【分析】圖中的直角三角形的兩直角邊為1和2,斜邊長為肝轉(zhuǎn)=小，，一1到A

的距離是小，那么點A所表示的數(shù)為小一1.故選C.

【答案】C

【互動總結(jié)】（學生總結(jié)，老師點評）本題考查的是勾股定理及兩點間的距離公式，解答

此題時要注意，確定點A的位置，再根據(jù)A的位置來確定α的值.

活動2鞏固練習（學生獨學）

1.小明學了利用勾股定理在數(shù)軸上找一個無理數(shù)的準確位置后，又進一步進行練習：首

先畫出數(shù)軸，設(shè)原點為點0,在數(shù)軸上的2個單位長度的位置找一個點4,然后過點A作AB

LOA,且AB=3.以點。為圓心，OB為半徑作弧，設(shè)與數(shù)軸右側(cè)交點為點P,則點P的位置

在數(shù)軸上（C）

A.1和2之間B.2和3之間

C.3和4之間D.4和5之間

2.如圖，0尸=1,過P作尸Pl_LoP且PPl=1,根據(jù)勾股定理，得OPl=也；再過Pl

作PiP2A.OPi且P↑P2=?,得。22=√3;又過P2作P2P3?hOP2且尸2心=1，得。鼻=2；….

依此繼續(xù)，得OP2<M8=病歷，op,,=yi（"為自然數(shù)，且〃>0）.

3.利用如圖4X4的方格，作出面積為8平方單位的正方形，然后在數(shù)軸上表示實數(shù)道

和-■乖.

解：面積為8平方單位的正方形的邊長為乖，乖是直角邊長為2,2的兩個直角三角形的

斜邊長，畫圖如下：

活動3拓展延伸（學生對學）

【例2】如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1,每個小格的頂點叫做格點，以

格點為頂點分別按下列要求畫三角形.

（1）在圖1中，畫一個三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)；

（2）在圖2中，畫一個直角三角形，使它們的三邊長都是無理數(shù);

（3）在圖3中，畫一個正方形，使它的面積是10.

【互動探索】（1）利用勾股定理，找長為有理數(shù)的線段，畫三角形即可；（2）先找出幾個能

構(gòu)成勾股數(shù)的無理數(shù)，再畫出來即可，如畫一個邊長啦，2√2,√T5的三角形：（3）畫一個邊

長為?的正方形即可.

【解答】（1）直角三角形的三邊分別為3,4,5,如圖1.

（2）直角三角形的三邊分別為ML2√2,√10,如圖2.

（3）畫一個邊長為√記的正方形，如圖3.

【互動總結(jié)】（學生總結(jié)，老師點評）本題考查了格點三角形的畫法，需仔細分析題意,

結(jié)合圖形，利用勾股定理和正方形的性質(zhì)即可解決問題.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當堂達標

（學生總結(jié)，老師點評）

利用勾股定理表示無理數(shù).

練習設(shè)計

請完成本課時對應(yīng)練習!

17.2勾股定理的逆定理

教學目標

一、基本目標

【知識與技能】

掌握勾股定理的逆定理，并能進行簡單運用；理解互逆命題的有關(guān)概念.

【過程與方法】

經(jīng)歷探索直角三角形的判定條件過程，理解勾股定理的逆定理.

【情感態(tài)度與價值觀】

激發(fā)學生解決問題的愿望，體會勾股定理逆向思維所獲得的結(jié)論，明確其應(yīng)用范圍和實

際價值.

二、重難點目標

【教學重點】

掌握勾股定理的逆定理，勾股數(shù)，理解互逆命題的有關(guān)概念.

【教學難點】

利用勾股定理的逆定理解決問題.

教學過程

環(huán)節(jié)1自學提綱，生成問題

【5min閱讀】閱讀教材P31?P33的內(nèi)容，完成下面練習.

[3min反饋】

1.⑴勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為b,斜邊為C,那么/+∕=c2.

(2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長〃、尻C滿足/+〃=/；那么這個三角形

是直南三角形.

2.能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

3.兩個命題的題設(shè)、結(jié)論整好相反，我們把像這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其

中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.一般地,原命題成立時，它的逆命題可能

成立，也可能不成立.

4.一般地，如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個定理，稱這兩個

定理互為逆定理.

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論(師生互學)

【例1】判斷滿足下列條件的三角形是否是直角三角形.

oo

(1)在AABC中，ZA=20,ZB=70i

(2)在4A8C中，AC=!,AB=24,BC=25；

(3)Z?ABC的三邊長a、b、C滿足(a+b)(a-b)=c2.

【互動探索】(引發(fā)學生思考)分別已知三角形的邊和角，如何判定一個三角形是直角三

角形呢？

【解答】(1)在4ABC中，VZA=20o,28=70。，

4C=180°-ZA-/8=90°,

即AABC是直角三角形.

(2)AC2+AB2=72+242=625,BC2=252=625,

：.AC2+AB2^BC2.

根據(jù)勾股定理的逆定理可知，^ABC是直角三角形.

(3)?.?(a+b)(a—Z?)=C2,

.,.a2-h2=c1,

即a2=?2+c2.

根據(jù)勾股定理的逆定理可知，AABC是直角三角形.

【互動總結(jié)】(學生總結(jié)，老師點評)判斷直角三角形的常用方法有兩種：(1)兩銳角互余

的三角形是直角三角形(即有一個角等于90。的三角形是直角三角形);(2)利用勾股定理的逆定

理判斷三角形的三邊是否滿足a2+b2=c1(c為最長邊).

【例2】寫出命題“等腰三角形兩腰上的高線長相等”的逆命題，判斷這個命題的真假，

并說明理由.

【互動探索】(引發(fā)學生思考)原命題的題設(shè)為等腰三角形，結(jié)論為腰上的高相等，然后

交換題設(shè)與結(jié)論得到其逆命題：可根據(jù)三角形面積公式判斷此命題的真假.

【解答】命題“等腰三角形兩腰上的高線長相等”的逆命題是兩邊上的高相等的三角形

為等腰三角形，此逆命題為真命題.

如圖，在44BC中，CDlAB,BELAC,且CZ)=8E.

?：BC=BC,

.?.ΔCBD^?BCE(HL),

,/DBC=NECB,

ΛΔABC為等腰三角形.

【互動總結(jié)】(學生總結(jié)，老師點評)兩個命題的題設(shè)、結(jié)論整好相反，我們把像這樣的

兩個命題叫做互逆命題.一般地，原命題成立時，它的逆命題可能成立，也可能不成立.

［例3］某港口位于東西方向的海岸線上.“遠航”號“海天”號輪船同時離開港口，

各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里.它

們離開港口1.5小時后相距30海里.如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”

號沿哪個方向航行嗎？

【互動探索】（引發(fā)學生思考）根據(jù)“路程=速度X時間”分別求得PQ,PR的長，再進

一步根據(jù)勾股定理的逆定理可以證明三角形PQR是直角三角形，從而求解.

【解答】根據(jù)題意，得PQ=I6X1.5=24（海里），PR=I2X1.5=18（海里），0R=3O海里.

V242+I82=3O2,

.?PQ2+PR2=QR2,

：.NQPR=90。.

由“遠航”號沿東北方向航行可知，NQPS=45。,

NSPR=45°,

即“海天”號沿西北方向航行.

【互動總結(jié)】（學生總結(jié)，老師點評）本題考查路程、速度、時間之間的關(guān)系，勾股定理

的逆定理、方位角等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考

?？碱}型.

活動2鞏固練習（學生獨學）

1.以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（C）

A.5,6,7B.10,8,4

C.7,25,24D.9,17,15

2.下列各命題都成立，寫出它們的逆命題，這些逆命題成立嗎？

（1）同旁內(nèi)角相等，兩直線平行；

（2）如果兩個角是直角，那么這兩個角相等.

解：（1）“同旁內(nèi)角相等，兩直線平行”的逆命題是兩直線平行，同旁內(nèi)角相等，逆命題

不成立.

（2）“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”的逆命題是如果兩個角相等，那么兩個角

是直角，逆命題不成立.

3.古希臘的哲學家柏拉圖曾指出，如果加表示大于1的整數(shù)，a=2m,b=m1-?,C=

/M2+1,那么“、氏C為勾股數(shù).你認為對嗎？如果對，你能利用這個結(jié)論得出一些勾股數(shù)嗎？

解：對.因為q2+b2=（2%）2+G,2-］）2=4川