2023級高三數(shù)學一輪學案直線、平面平行的判定與性質(zhì)

考點一空間中平行關系的判定

例1（2021?河南?臨潁縣第一高級中學高二階段練習）已知α,b,C為三條不同的直線α1,y

為三個不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若a"b,bua,貝［|a〃aB.若αuα,bu0,ɑ//b,貝IJa〃￡

C.若α〃夕，α∕∕α,貝∣Jα∕//5D.若α∏0=α,Sny=b,α∏y=c,

α∕∕b則b〃c

【答案】D

【詳解】希buα,貝必〃α或αuα,故A選項錯誤；

若αuα,buβ,a〃b,則a〃夕或a與/?相交，故B選項錯誤.

若a〃。，a∕∕a,則a〃?；騛u￡,故C選項錯誤；

若a∏S=a,BeY=b,aΓ?γ=c,a〃b,貝IJb〃c,正確，

證明如下：ra〃b,aφγ,buy,.?.a〃y,

又aua,且any=c,二a〃c,貝帕〃c,故D選項正確；

故選：D.

例2（2007?全國?高考真題（文））直線與平面平行的充要條件是這條直線與平面內(nèi)的

（）

A.一條直線不相交B,兩條直線不相交

C.任意一條直線都不相交D.無數(shù)條直線不相交

【答案】C

例3（2022?四川省峨眉第二中學校高二階段練習（理））下列命題為真命題的是（）

A.若兩條直線和同一條直線所成的角相等，則這兩條直線平行

B.若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行

C.若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行

D.一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條直線也異面

【答案】B

【詳解】若兩條直線和同一條直線所成的角相等，則這兩條直線平...

行或相交或異面，

BB

如圖1,直線AB1BC,BB11BC,但4B與'相交，A錯誤；

B選項，如圖2,直線GH〃平面ABCD,且直線G"http://平面力DE匕平面

ABCDC平面/WEF=AD,

過直線GH的平面α,交平面ABCD與直線L

則GH〃4因為G”〃平面ADEF,而，C平面ADEF,

所以，〃平面力DEF,

因為，U平面ABCD,平面ABCDCi平面ADEF=AD,

所以〃/皿

故若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行，B正確；

C選項，如圖3,平面01α,交線為DE,在平面ɑ內(nèi)有一直線2,1與DE平行，在直線Z

上，存在3點A8,C到另一個平面0的距離相等，故C錯誤；

若一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條直線異面或相交，

如圖1,441與DC異面，AB與DC平行，但AB與441相交，D錯誤.

故選：B4

例4(2022?黑龍江?哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校高二階段練習)已知m,n是不同的直線。,0

是不同的平面,下列命題中真命題為()

A.若mUa,MIla,則m||nB.若n?Ila,m||0,則aIlβ

C.若a??β,mCL/?,則m〃aD.若aIlβ,mIla,則m〃S

【答案】C

例5(2022.廣東.深圳市華美外國語(國際)學校高一期中)已知直線a,b,c,平面a.下

述命題中，真命題的個數(shù)是()

(1)若a與b是異面直線，b與C是異面直線，貝IJa與C是異面直線；

(2)若aIlb,bIlc,貝IJaIlC；

(3)若aIlb,bca,則a∣∣a；

(4)若aIla,b??a,則aIlb.

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【詳解】(1)若a與b是異面直線，b與C是異面直線，貝M與C可能是異面直線，也可能不是

異面直線，故命題錯誤；

(2)由線線平行關系的傳遞性可知，命題正確；

(3)由線面平行的判斷定理可得aIla或者aua,命題錯誤；

(4)由線面平行的概念可知，a與b相交，或者平行或者a與b異面，故命題錯誤.

綜上所述，真命題的個數(shù)是L

故選：A.

例6(2022?安徽,高二階段練習)平面a與平面￡平行的充分條件是()

A.α內(nèi)有無窮多條直線都與S平行B.直線aUa,直線bUβ,且α∣∣β,bWa

C.α內(nèi)的任何一條直線都與0平行D.直線aHa,a∣∣β,且直線ɑ不在α內(nèi)，也不

在S內(nèi)

【答案】C

例7（2022?全國?高三專題練習）下列能保證直線α與平面α平行的條件是（）

A.h?α,a\\bB.αζtα,bc∑a,a??b

C.buaκA,BEa,C,DEb,且力C∣∣BDD.bua,cHa,a??b,a∣∣c

【答案】B

例8（2022?山東,高密三中高二階段練習）設有兩條不同的直線以”和兩個不同的平面

`則下列命題正確的是（)

A若〃?〃&,〃〃or,則機〃”B巖mua、nua、mB貝IJa〃/?

C.若“〃",初Uα,貝［jw〃aD希a〃B、mua∣JJ∣JmlIβ

【答案】D

【詳解】若加〃則犯〃可以平行、相交或異面，故A錯誤；

若機ue,"ua,/M〃4,〃〃夕,相與〃相交，則α〃夕，故B錯誤；

若〃則"〃α或〃uα,故C錯誤；若C〃⑸機ua,則，〃//"，故D正確.

故選：D.

例9（多選）（2022?江蘇南通?高三期中）設a,夕是兩個不重合的平面，下列選項中，是

'S'的必要不充分條件的是（）

A.a內(nèi)存在無數(shù)條直線與月平行B.存在平面L滿足且尸

C.存在直線/與a,6所成的角相等D.a內(nèi)存在不共線的三個點到夕的距離

相等

【答案】ACD

【詳解】解：a內(nèi)存在無數(shù)條直線與夕平行不可以得到°〃,，反過來可以，A對；

存在/滿足且則°〃尸，滿足充分性，B錯；

存在/與a,夕所成的角相等，?,夕有可能相交不能得到°〃?，反過來

一定存在/使得~夕所成角相等，C對；

a內(nèi)存在不共線的三個點到夕的距離相等，也可能兩平面相交，不能得到a〃1，反過來

0〃分時a內(nèi)一定存在不共線的三個點到夕的距離相等，D對.

故選：ACD.

例10（多選）（2023?江蘇?蘇州中學高三階段練習）在四棱錐尸-Aβ8中，底面ABC。為

梯形，ABHCD則（）

A.平面PBC內(nèi)存在無數(shù)條直線與平面皿＞平行

B.平面尸A￡＞和平面PBC的交線與底面A88平行

c.平面A鉆和平面PS的交線與底面ABa）平行

D.平面弘。內(nèi)任意一條直線都不與8C平行

【答案】ACD

【詳解】解：設平面PBCC平面PAD=/,在平面PBC內(nèi)存在無數(shù)條直線與/平行，且不

含于平面PA。，則在平面PBC內(nèi)存在無數(shù)條直線與平面PAO平行，故A正確；

若/〃平面ABCa/u平面PBC平面PBCC平面ABCD=BC則〃/BC,

同理，〃/A〃，則BC〃4￡＞,這與四邊形ABCD為梯形矛盾，故B錯誤；

設平面PABC平面PCD=m,AB//CD,AB（Z平面PC/）,Cf）U平面PCD

:.AB〃平面PC。，

又ABu平面「A8,,AB〃加，ABu平面ABCWJa平面ABez）,

.?.m〃平面468,故C正確；

若平面PAD內(nèi)存在一條直線a與BC平行，則BC〃平面PAD,BCU平面ABCD

平面ASCDc平面皿）=4）,則Ba/A。矛盾，

???平面PAD內(nèi)任意一條直線都不與BC平行，故D正確，

故選：ACD

例11（2022?上海?高二階段練習）如圖，E、F、G、H分別為空間四邊形ABCD的邊

AE

AB、BC、CD、DA上的點，且AC=6,BD=4,則當班=時，四邊形EFGH為

菱形.

3

【答案】2

【詳解】解：???E?F、GsH分別為空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上的點，且

AC=6,BD=4,

AEahCFCG33

當BE=而=BFOG=彳時，EH〃BD〃FG,EF〃AC:〃GH,且EH=GF=MBD=

2Ie乜

5,EF=GH=5=5,

AE33

?當BE=Q時，四邊形EFGH為菱形.故答案為：2.

例12（2022?全國?高一課時練習）”也C為三條不重合的直線8民7為三個不重合的平

面，直線均不在平面內(nèi)，給出六個命題：

a∕∕c}a∕∕v]a∕∕c]aUc?allγ?

5=>allb>=>allb>nallβ>=>alia?=>alia

IbHeJ:②初/丹?,③BHCJ.（^allc?，?⑤。〃川

其中正確的命題是.（將正確的序號都填上）

[答案]①?⑤

【詳解】對于①，當“"J匕〃C且“力不重合時，a"①正確；

對于②，當“〃，兇7時，“力可能相交、平行或異面，②錯誤；

對于③，當aHc,"∕c時，區(qū)￡可能相交或平行，③錯誤；

對于④，當a!∕ctα〃。且ONa時，a"a、④正確；

對于⑤，當W"且α<Zα時，alia⑤正確.

故答案為：d通⑤.

考點二直線與平面平行的判定與性質(zhì)

例1（多選）（2022?全國?高一課時練習）如圖，這是四棱錐尸一Aβ8的平面展開圖，其中

四邊形A38是正方形，E,F,G,H分別是PAPaPC,PB的中點，則在原四棱錐

中，下列結論中正確的有（）

A,平面EFGH〃平面ABCDB.PA〃平面BDG

C.EF〃平面PBCD.FH〃平面BDG

【答案】ABCD

【詳解】由平面展開圖還原四棱錐，如圖所示，可知ABCD均正確.

若0為肛AC交點則0為町AC中點，

連接。G,G為PC中點，故OG〃PAOGU面BDGPAa面BDG

所以尸A〃平面的，B正確；

又F，H為PD,PB中點則F"http://BD,BDU面BDG,FHa面BDG,

所以切〃平面BOG,D正確；

由E,尸為PAPo中點，則防〃AL>,BC//ADi故EFuBC,

又BCU面PBC,EFa面PBC,故EF〃平面PBC,C正確；

由EF//AD,AoU面ABCQEFZ面ABCD則￡尸//面ABCf)

同理可得E“〃面ABC0而EHEF=EEH,EFu面EFGH,

所以平面歷G"〃平面ABCe>,A正確.

故選：ABCD

例2（2022?甘肅定西高二開學考試）如圖是正方體的平面展開圖.在這個正方體

中①BM〃平面aend..②CNH平面ABFE;③平面BDM//平面AFN;④平面

BDE//平面NCE以上四個命題中，正確命題的序號是.

［答案］（≡③④

【詳解】把正方體的平面展開圖還原成正方體ABCA-EFMN,如圖所示：

對于①，因為B""AN,BMU平面AEND,?u平面AEND,所以在〃平面

AEND,命題］正確；

對于②，CN〃BE,CNU平面ABFE,BEu平面ABFE,所以CN〃平面ABFE,

命題②正確；

對于③BDHFNBM//ANJBf）U面AFN,BMa面AFN,

所以8。//面AFN,BM//面AFN,BDBM=BBDxJBMU平面BDN,

BDM

所以平面〃平面AFN1命題③正確；

對于④，BD"FNBEHCN,面NCF,BE（Z面NCF

所以BD//面NCF,BE//面NCF,BDCBE=B,BD、BEu平面BDE,

所以平面BDE//平面NCF,命題④正確.故答案為：①（2）③④.

例3（2022?四川省峨眉第二中學校高二階段練習（理））如圖1,透明塑料制成的長方體

ABC"-ASGR內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊8C于水平地面上，再將容器傾斜，如

圖2.隨著傾斜度不同，有下面五個命題：

①有水的部分可以為棱臺；

②沒有水的部分始終呈棱柱形；

③水面EFGH所在四邊形的面積為

定值；

④棱AA始終與水面所在平面平圖2圖3

行；

⑤當容器傾斜如圖3所示時，是定值.

其中所有正確命題的序號是.

［答案］②Φ⑤

【詳解】依題意，BC"水面EFGH,而平面'CC4c平面EFGH=FG,BCu平面

BCC4貝IJBC//FG

同理BC//E"而3C〃ADBC=FG=EH=AD又BC工平面ABB人平面

AB同A"平面。M)C,

因此有水的部分的幾何體是直棱柱，長方體去掉有水部分的棱柱，沒有水的部分始終呈棱

柱形，①不正確，②正確；

水面EFG"是矩形，線段FG長一定，從圖1到圖2,再到圖3的過程中，線段EF長逐漸

增大，

則水面EFG”所在四邊形的面積逐漸增大，③不正確；

因ADJ/BCUFG,FGU平面EFGHARa平面EFG”，因此AA〃平面EFGH,4

正確；

當容器傾斜如圖3所示時，有水部分的幾何體是直三棱柱，其高和體積都是定值，因此底

面MASEE的面積是定值，

SRFF=-BEBF

又2,于是得3E?8戶是定值，⑤正確，

所以所有正確命題的序號是②④⑤.P

故答案為：②3)⑤R

例4(2022?上海?高二專題練習)已知P是矩形ABCD所在平面外一點，M,N分別\

是AB,PC的中點，求證：MN〃平面PAD.?j

【詳解】證明：取DC中點H,聯(lián)結HM,HN,

因為H是DC中點，N是PC中點,AMB

所以HN〃DP,因為〃VZ平面PAD,PDU平面PAD

則HN〃平面PAD;

因為M是PC中點，ABCD為矩形,

所以HM〃DA,

因為“MS平面PAD,ADu平面PAD,貝IJ〃平面PAD；AMB

又"NU平面HNM,"Mu平面HNM,HNHM=H

故平面HNM〃平面PAD,

?.?MNu平面HNM,

MN〃平面PAD.

例5（2023?上海?高二專題練習）如圖，長方體中，

IM=M=I"M∣=2,點,,為明的中點

⑴求證：直線8"〃平面PAC；

【詳解】（1）設AC和8。交于點°,則。為8。的中點，連接P。，

?.*是明的中點，??∕°〃町

又?.?POU平面PACBRa平面PAC

???直線叫〃平面PAC；

例6（2022?全國?高三階段練習（文））在三棱柱"SC-ABC中，ABYACBCL平面

ABC,E、F分別是棱AC、的中點.

小

⑴設G為8￡的中點，求證：EF//平面8℃內(nèi).

√2

⑵若AB=AC=2,直線8片與平面ACq所成角的正切值為2,

求多面體A

E

與yGe的體積V.

B

2

【答案】⑴證明見解析(2)3

【詳解】（1）連接尸G,GC

因為點E,F,G分別為AC,AA,BC的中點，

所以FG〃AG且/G=gAGECV/ACEC=^AC=^AtCt

所以EC〃尸G,且EC=FG,

所以四邊形ECGF是平行四邊形，所以E尸〃CG,

又因為CGU平面8CC4,EFCZ平面BCCS,

所以EF〃平面SC。4

J

⑵因為BC■平面ABC,所以BGAB,BtCYACι又因為ABUC,所以ABL平

面AC4,

tanZBβ1Λ=-=—

所以NBgA即是直線8片與平面ACg所成的角，所以AB12

因為AB=2,所以陰=2夜,因為BC'AC,AC=2,所以耳。=2,

因為A6//ABAB，平面AC用所以FBl1平面B1EC,

VF-%EC=ZFB]?SABlEC=WFB∣?—EC-B∣C

所以§32,

v=1

因為A8=AC=gC=2,所以2=1,EC=I1所以-EC3,

例7（2022?陜西西安?模擬預測（文））如圖，在棱長為2的正方體

ABCD-AIBCDl中，E為BBl的中點.

⑴求證:嶼〃平面ADIE；

⑵在線段8C上（包括端點）任取一點P,求三棱錐「-A。IE的體積.

2

【答案】（1）證明見解析（2）3

【詳解】（1）證明：由正方體的性質(zhì)可知A8〃G口，且AB=CB,

??.四邊形abc'd,是平行四邊形，???g//ad'.

又BClU平面AAEAAU平面ARE,

.?.8C∣〃平面AAE.

（2）???BG∕/平面AR￡

，直線BC上的點到平面ARE的距離相等.

.??點P的位置變化，三棱錐P-AQE的體積不變，

匕-哂E=%-∕≡=!x（!x2xl]x2=?∣

不妨讓P點與B點重合，則’312J3.

例8（2022?四川省峨眉第二中學校高二階段練習（理））如圖，E,F,G,”為空間

四邊形ABCD的邊A8,BC,CQ,D4上的點（除端點外），且EH"FG.

（1）求證：EHilBD-

里=2

⑵若E為AB的中點，F(xiàn)點滿足FC,求證：ER"G,AC必交于一點

【詳解】（1）在空間四邊形ABa）中，因為RG為8C,CD上的點即FGU平面

BCD

而EH〃FG,EH0平面68,則￡4//平面BCZ）,又U平面ABD,平面ABDc平

面BCD=BD,

所以EH//BD.

?BFC

EH=-BD——=2

（2）由（1）知，F(xiàn)GHEHHBD且E為AB的中點，則2,又FC,則有

FG=-BD

3I

因此E"*FG,即四邊形同6"為梯形，EF與G”必相交，令EFGH=P

顯然PWE尸，EFU平面ABC,即Pe平面ABC,PGGHG"u平面AoC即Pe平

面ADG

則?為平面ABC和平面AOC的公共點，而平面ABCC平面4）C=AC,因此PeAC,

所以EF,"G，AC必交于一點

例9（2022,全國?高三專題練習）如圖①，在直角梯形?CP中，APIIBC,APYABi

AB=BC=-APCC

2,。為AP的中點，E、F、G分別為PC、PD、CB的中點，將△pc。

沿8折起，得到四棱錐P-ABCD,如圖②,求證：在四棱錐P-ABCD中，AP〃平面

EFG

【詳解】證明：在四棱錐P-MCZ）中，E、G分別為PC、8C的中點，則EG//PB,

P30平面￡FG,EGU平面￡FG,PB//平面EFG,

在圖①中，APilBC,且AP=2BC

。為AP的中點，則AD//BC且AD=BC,所以，四邊形ABCo為平行四邊形,

所以，ABIICD,

因為E、F分別為PC、PZ）的中點，所以，EFHCD則ΛB〃砂，

.?.ABα平面￡R7,JEFU平面￡FG,/.ABIIΞμEFG

AB

PB=Bap^P8u平面PAB,所以，平面PAB〃平面EFG

APU平面∕?B,因此，AP〃平面E尸G.

例10（2022?四川省峨眉第二中學校高二階段練習（文））幾何體E-ABC。是四棱

錐，ZXABO為正三角，BC=CD=2ZBCD=UOo”為線段AE的中點.

⑴求證：DM〃平面BEC；

BN

⑵線段所上是否存在一點N,使得RM,MC四點共面？若存在請求出正的

值；若不存在，并說明理由.

BN1

【答案】（1）證明見解析⑵存在，正一§

【詳解】（1）記F為AB的中點，連接?！辍笆?，如圖1,

因為AM分別為A8,AE的中點，板MFlIEB、

因為（Z平面EBC,EBU平面EBC,

所以MF〃平面EBC,

又因為AM）B為正三角形，所以ND84=60°,E>F±AB,

o

又ABCD為等腰三角形，ZBCD=?20ι所以NOBC=30。

所以NAfiC=90。，即BCLAB

所以DF//BC,又。Fa平面EBC,8CU平面EBc

所以Z)F〃平面EBC,又DMCMF=F,DM,MFu平面DMF

故平面OMF〃平面EBC,

又因為DWU平面E8C,故。M〃平面BEC

(2)延長CaA8相交于點匕連接PM交BE于點、N,連接CN,

過點N作NO"AE交AB于點0,如圖2,

因為。M//平面EC8,￡>MU平面PnW,平面PDM平面

ECB=CN

。B

所以Z）M//CN,此時。,M,MC四點共面，圖2

由（1）可知BC=CD=2,/PCB=60。,CB上BP得NCPB=30。,PC=4

PNCP42NQPN2

故PM-02一％—3,又因為NQ//AE,所以AM一尸M一§,

NQNQ」.2_1BNNQ1

則有AE2AM233,故BEAE3

例11(2022?全國?高三專題練習)如圖，戶為圓錐的頂點，°為圓錐底面的

圓心，圓錐的底面直徑"=4,母線PH=2近,M是PB的中點，四邊形

OBC〃為正方形.設平面PO"C平面PBC=/,證明：///BC；

【詳解】因為四邊形OBeH為正方形，

???BCUOH.

...BCS平面PoHO"U平面POH

.?.8C7/平面P0”

?.?BCu平面PBC,平面POHc平面PBC=/,

IHBC

考點三平面與平面平行的判定與性質(zhì)

例1(2022河南?濮陽南樂一高高二階段練習(理))在正方體

ABCf)-ABICa中M,N,E分別是AB,OZ)∣,A4i的中點.

證明：平面MNE〃平面BCR.

【詳解】連接AB

?.?N,E分別是。0，AA的中點，.?.AEUDN支AE=DN

.?.四邊形ADNE是平行四邊形，.?.EN∕ΛW,

又AD//BC,：.EN/IBC,

；BCU平面BCZ)IENa平面BCDl...EN//平面8CD∣

...M,E分別是A8,M的中點.?.ME/∕AiB,AiB//DiC

.ME//DiC又￡)]CU平面8Cf>∣MEz平面BCDl

ME〃平面8C°,又...MEEN=E,ME,ENu平面MNE

二平面MNE//平面BCR；

例2(2022?山東?高密三中高二階段練習)如圖，在三棱柱ABC-ABC中，￡

F,G分別為BC,M,AB的中點

(1)求證：平面AGG〃平面8瓦`；

⑵若平面AGGCBC="求證：“為BC的中點.

(1)證明：如圖

E,k分別為吟AA的中點，???M∕∕AG,

ACIU平面AC]G,Mz平面AGG,.?.瓦7/平面AGG,

又F,G分別為ABlAB的中點，???A∕=8G,

又AF//BG,..四邊形AGBF為平行四邊形，BF//A1G

AGU平面AGG,J?77?平面AGG.?.由7/平面AGG,

又EF?BF=FEEBFU平面BE尸

.?.平面AelG//平面BEF；

(2)證明：平面A5C//平面A耳G,平面AGGC平面ABCl=ACl

平面AGG與平面ABC有公共點G,則有經(jīng)過G的直線，交BC于G,

則ACj/GH,得GH"ACG為AB的中點

???”為BC的中點.

例3(2022?四川.綿陽中學高二開學考試(理))如圖所示，在三棱柱ABC-A&G中，e

F`G,H分別是AB,ACA與AG的中點，求證：

(l)β,c,H,G四點共面；

⑵平面EFA'/f平面BCHG

(1)由于G，"分別是A綜AG的中點，所以GH//BC,

根據(jù)三棱柱的性質(zhì)可知，BC"B'C',

所以BC//GH,所以民C",G四點共面

(2)由于E，F(xiàn)分別是A'，AC的中點，所以BC//EF,

由于斯,平面BCHGBCU平面8C，G所以EF〃平面BCHG

根據(jù)三棱柱的性質(zhì)可知AG//BE,AlG=SEt

所以四邊形BEAG是平行四邊形，所以A￡〃8G

由于AEtt平面8C"G,BGU平面BC"G,所以AE〃平面BCWG.

由于EFCAE=E,EEAEU平面EFAI,所以平面EFAl//平面BCHG

例4(2022?浙江省杭州學軍中學高三期中)如圖，在正方體A8CC-A4GA

中，點E,F分別是棱B/,4G的中點，點G是棱GC的中點，則過線段AG且

平行于平面AEF'的截面圖形為()

A.等腰梯形B.三角形C.正方形D.矩形

【答案】A

【詳解】取BC中點H,連接AH,GH.AD',A。.如下圖所示：

由題意得G”∕∕EF,A”/)/又GHtZ平面AEF,EFU平面兒后尸，

.?.G"〃平面AEF同理AH〃平面AE尸又G”AH=HG〃,AHu平面

■Gj,.?.平面A//GR//平面AEF,故過線段AG且與平面AEF平行的截面

為四邊形AHGD'顯然四邊形AHGD1為等腰梯形

故選：A

例5（2022?河南?鄭州市第一O六高級中學高二階段練習）如圖，在棱長為1的正方體

A88-A8CQ中，點匕尸分別是棱BC,CCl的中點，P是側面小6瓦內(nèi)—點，若

A「"平面AE/,則線段八百長度的取值范圍是（）

DIC1

≡

ASB1舞

C厚圖d[4]

4B

【答案】C

【詳解】

DlC1

如圖所示，分別取網(wǎng)中G的中點M,N,連接8G,S

因為M,ME,F為所在棱的中點，

所以MN〃BC"EF"BG所以MN“EF

又因為MNU平面AEE,MU平面AET7,

所以MN//平面AEF;/B

因為AAI//NE,m=NE,所以四邊形AENA為平行四邊形，

所以AN〃AE，又ANa平面AEF,AEU平面AM,

所以AN〃平面AEF；又因為ANMN=N，且ANU平面AMNMNU平面AMN,

所以平面AMN//平面AM,因為p是側面BCCt耳內(nèi)一點,且AP//平面力EF,

A.M=JAB,2+B.M2=?/?+f?"!=—

在直角三角形ABM中，N⑴2

則點戶必在線段MN上,

22

y∣AiBl+B1N

V、乙）乙

在直角三角形分/中，I

當P在MN中點。時APwAPj最短，P在M,N時Af最長,

/一。閨[圖=-

40=JAM=JΛ∕2R

TAM=AN=三

，，

^3√2叵

所以線段AP長度的取值范圍是142-

故選：c.

例6（2022?湖北武漢高二階段練習）已知正方體48C0-ABCα的棱長為2,E,尸分

別是棱A4、AA的中點，點P為底面ABCO內(nèi)（包括邊界）的一動點，若

R尸與平面B瓦'無公共點，則點P的軌跡長度為（）

A.3+1B,石

C.6及D.18垃

【答案】B

【詳解】解：取BC的中點G,連接AG、"A、D1G如圖所示：

因為E,F分別是棱AA、AR的中點，

所以EF/MR,AAa平面8所，EFU平面跳尸，所以AA〃平面

BEFI

又D'F"BG且DF=BG所以D1FBG為平行四邊形

所以RG//8尸，DQB平面BEF,BFu平面BEF,所以RG〃平面

BEF又ADlCDlG=DlAD1,DQu平面AGDl

所以平面BEF〃平面AGR,

因為AP與平面際無公共點，Ae平面"GA,所以DfU平面AGR,

又點P為底面λβCO內(nèi)（包括邊界）的一動點，平面AGA平面ABS=AG,

所以AG是點P在底面ABCD內(nèi)的軌跡，

又正方體ABS-AAGA的棱長為2,所以AG=JAB2+BG[=,2°+'=#>,

所以點尸的軌跡長度為石.

故選：B.

例7（多選）（2022?全國肩三專題練習）如圖，在三棱柱'SC-A蜴G中，已知點G,H分

別在4月，AG上，且GH經(jīng)過G的重心，點E,F分別是AB,AC的中點，且B、

C、G、H四點共面，則下列結論正確的是（）

A.EF∕∕GHb.Ga//平面Am

GH4

C.EF3D.平面AEQ/平面BCC的

【答案】ABC

【詳解】對于A,因為平面AqG〃平面ABC,平面ANGC平面8C"G="G,平面

ABCC平面BCHG=BC,所以用〃8C,因為E,F分別是AB,AC的中點，所以E尸〃

EF1

BC,BC~2t所以EF〃GH,所以A正確，

對于B,由選項A可知E尸〃G”,因為G"<Z平面AEf,EFU平面AE/,所以G”〃

平面AEF,所以B正確，

對于C,因為/￡〃8C,B1C1//BCt所以加〃4C,,因為GH經(jīng)過AABG的重心，所以

GH=2GH2EF1GH_4

BG?,因為4￡=8C,所以正一§,因為8C-E,所以￡尸一§,所以C正確，

對于D,因為2,AC=AC,所以2,因為尸C〃4G,所以四邊形

A/CG為梯形，且AF與CG為腰，所以AF與Cc必相交，因為AJu平面Am

CC

'U平面BCGBI所以平面4EF與平面BCC1片相交，所以D錯誤，

故選：ABC

例8(2022?山東濰坊?高二期中)如圖，四邊形ABC。是正方形，PA，平面

ABCD,PA//BE且∕?=ΛB=3

(1)求平面PAD與平面EBC的距離；

⑵若PA=3BE,求直線PO與直線CE所成的角的余弦值.

2√5

【答案】(1)3(2)—

【詳解】(1)因為四邊形4BCO是正方形，所以BC〃AO,BCu平面EBC,

A。Z平面EBC,所以BCU平面EBC

因為B4〃3E,同理R4∣∣平面EBC又BAcAD=A,

所以平面皿(11平面EBc

所以點A到到平面EBC的距離即為平面PA。與平面EBC的距離.

因為AB=3,且AB為點到A到平面EBe的距離,

所以平面PAD與平面EBC的距離為3.

(2)如圖所示，在以上取一點尸使得AF=8平連接EFQF,則四邊形ABfiF為平行四

邊形，所以四邊形OCM為平行四邊形，所以尸EQ

則NPDF為直線P。與直線CE所成的角，

在APDF中，W=3五,PF=2,DF=歷T=M,由余弦定理可得：

PD°+DF?-PF?2√5

COs/PDF=

2PD-DF丁

2√5

所以直線產(chǎn)短與直線CE所成的角的余弦值為亍.

例9(2022?青海?海南藏族自治州高級中學高二階段練習)如圖，在正方體

AB。-ANCQ中S是8Q的中點反EG分別是BC,OCSC的中點

求證：

⑴EG//平面反肛4；

⑵平面EFG〃平面BDDlB1

【詳解】(1)如圖，連接加,丁瓦6分別是3。,5。的中點，...瓦;//58

又..SHq平面BORAEGa平面8。。圈.?.直線EG//平面BORg

(2)連接SD,?「RG分別是0C,SC的中點，

FGHSD:SD?平面BDDlB1FGB平面BDRB1

.?.FG〃平面BDD國由⑴知，EG//平面BDD再

且EGU平面EFG,尸Gq平面E尸G,EG-FG=G,

???平面EFG〃平面BDD網(wǎng)

考點四綜合應用

例1(2022,四川.仁壽一中高二期中(文))如圖，已知正方體A8C0-AB∣GR的棱長為

zλβBB

a,點E,F,G,H,I分別為線段Av'',',BC1Ba的中

點，連接"VB'D',B,C,DE,BF,Cl,則下列正確結論的個數(shù)是

()

①點E,F,G,H在同一個平面上；

②平面CBa〃平面EFD；

③直線DE,BF,Cl交于同一點；

√10

④直線BF與直線與。所成角的余弦值為5.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【詳解】對于①，連接EF,FG、GHEH,A%作圖如下：

)

在正方體ABa-ABea中，易知EH//A1B,在中，,￡G分別為

A綜明的中點???4B∕∕FG則FG//EH,命題①正確；

β

對于②，連接EF,FG、GHtEHtA,DF,作圖如下：

在4BCB∣中QG,”分別為明,8C的中點，.?.GH∕/CA同理在ABa中

EFUBR

?.,G”CZ平面Cg￡>|,u平面CBQ,.?.G////平面CBQ,同理可得石尸〃平

?CBD

面一11，

FG≠EH,EF與GH相交由EEG"u平面EFG”則平面EFG〃//平

面CC百，因為平面EFG"平面EFZ)=JEF,所以命題②錯誤；

對于③，連接BD,延長DE、BF交于點M,

?

因為EF〃BD,且EF~5BD,所以MF=BF,又因為Fl〃BC,且

?

F「2BC,所以B、C、F、I四點共面，所以BF與CI相交，設

BF與CI的交點為N,則NF=FB,所以M與N重合，即直線

DE1BF1Cl交于同一點，命題③正確；

AB

對于④，取ClDl的中點K,連接CK,

則CK〃BF,則CK與BC所成的角。即為直線BF與直線8。所成的角，連接用長,設正方

體的棱長。=2,則4。=2&,BlK=y∕5CK=非由余

弦定理得

222

,、B1C+CK-BtK8+5-58√10

COSU---------------------------------------=----------------------J==-----T==--------

2BtCCK2×2^×√54√105命題

④正確.

綜上知，①③④正確.故選：C.

PAt=AlO=∕ΛIE2-P"EF)=I---=—

此時，Y〔2JV484,故選：C

例2（多選）（2022?江蘇海安高級中學高二階段練習）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為

1,E,F,G分別為BC,CCl,BBI的中點，則（）

A.點C與點G到平面AEF的距離相等B.直線AlG與平面AEF平行

√io

C.異面直線AlG與EF所成角的余弦值為1°

9

D.平面AEF截正方體所得的截面面積為W

【答案】BCD

【詳解】正方體A'C°-A4GA中連接ADLFDl,GF,BCl,設

GCCBG=P,GCcEF=O如圖.

ncfcfBG=-CC?GP=_PCAf>cc

對A,根據(jù)SG"*12,可得2,又所為CCI中位線

CO--PC

可得2,GP=PO=COt故G0=2C0,點C與點G到直線EF的距離

不相等，故點C與點G到平面AEF的距離也不相等，故A錯誤；

對B,因點E,F是BC,CCl中點，貝IJEF〃BC1,而正方體人'。。一AqCa的對角面

ABClDl是矩形，則AD1