有理數(shù)的乘法和除法完整版

有理數(shù)的乘法(chéngfǎ)和除法本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容1.5第一頁，共六十八頁。1.5.1有理數(shù)的乘法(chéngfǎ)第二頁，共六十八頁。我們已經(jīng)(yǐjing)熟悉了非負(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，那么(nàme)如何計(jì)算

（-5）×3，

3×（-5），（-5）×（-3）呢？5×3=15，①例如第三頁，共六十八頁。動腦筋

我們把向東走的路程記為正數(shù).如果小麗從點(diǎn)O出發(fā)，以5km/h的速度向西行走3h后，小麗從O點(diǎn)向哪個(gè)方向(fāngxiàng)行走了多少千米？小麗從O點(diǎn)向西行走了（5×3）km.由此，我們(wǒmen)有（-5）×3=—（5×3）-②第四頁，共六十八頁。

我們已經(jīng)(yǐjing)知道(-5)×3=

-(5×3)，探究那么(nàme)3×(-5)，(-5)×(-3)又應(yīng)怎樣計(jì)算呢？第五頁，共六十八頁。

非負(fù)數(shù)的乘法與加法是用分配律聯(lián)系起來的，因此，當(dāng)數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)后，要規(guī)定有理數(shù)的乘法法則(fǎzé)，當(dāng)然也要求它滿足分配律，以便把乘法與加法聯(lián)系起來.如果它滿足分配律，那么就會有3×(-5)+3×5=3×

[(-5)+5]=3×0=0這表明(biǎomíng)3×(-5)與3×5互為相反數(shù)，于是有3×(-5)=-(3×5).③第六頁，共六十八頁。結(jié)論異號兩數(shù)相乘(xiānɡchénɡ)得負(fù)數(shù)，并且把絕對值相乘(xiānɡchénɡ).從②、③式受到啟發(fā)，一般(yībān)規(guī)定：3×(-5)=-(3×5)

③(-5)×3=-(5×3)②（-）×（+）→（-）（+）×（-）→（-）第七頁，共六十八頁。結(jié)論任何(rènhé)數(shù)與0相乘，都得0.第八頁，共六十八頁。

類似(lèisì)地，我們有(-5)×(-3)+(-5)×3=(-5)×[(-3)+3]=(-5)×0=0這表明(-5)×(-3)與(-5)×3互為相反數(shù).因?yàn)?yīnwèi)(-5)×3=-15，而-15的相反數(shù)是15，所以(-5)×(-3)=15.即(-5)×(-3)=15=5×3.④由④式看出(kànchū)，(-5)×(-3)得正數(shù)，并且把絕對值5與3相乘.第九頁，共六十八頁。結(jié)論同號兩數(shù)相乘(xiānɡchénɡ)得正數(shù)，并且把絕對值相乘(xiānɡchénɡ).從①、④式受到啟發(fā)，于是(yúshì)規(guī)定：(-5)×(-3)=15=5×3③5×3=15

②（+）×（+）→（+）（-）×（-）→（+）第十頁，共六十八頁。1.填表:因數(shù)因數(shù)積的符號絕對值的積積-27-10.3-10-14-+3-14-3練習(xí)第十一頁，共六十八頁。

例1

計(jì)算(jìsuàn)：（1）3.5×（-2）；（2）；（3）；（4）（-0.57）×

0.舉例第十二頁，共六十八頁。解（1）3.5×（-2）=-(3.5×2)根據(jù)乘法(chéngfǎ)法則=-73.5)和(-2)為異號，結(jié)果(jiēguǒ)為負(fù)3.5和(-2)的絕對值相乘(xiānɡchénɡ)解（2）=根據(jù)乘法法則=

為異號，結(jié)果為負(fù)它們的絕對值相乘第十三頁，共六十八頁。解（3）=根據(jù)乘法(chéngfǎ)法則=1

為同號，結(jié)果(jiēguǒ)為正解（4）（-0.57）×0根據(jù)(gēnjù)乘法法則=0任何數(shù)與0相乘，結(jié)果為0第十四頁，共六十八頁。2.計(jì)算(jìsuàn)：（1）；（2）.第十五頁，共六十八頁。乘法(chéngfǎ)法則異號兩數(shù)相乘(xiānɡchénɡ)得負(fù)數(shù)，并且把絕對值相乘(xiānɡchénɡ).任何(rènhé)數(shù)與0相乘，都得0.同號兩數(shù)相乘得正數(shù)，并且把絕對值相乘.作業(yè)：P391,3（-）×（+）→（-）（+）×（-）→（-）（+）×（+）→（+）（-）×（-）→（+）第十六頁，共六十八頁。

在小學(xué)我們已經(jīng)學(xué)過乘法的交換律、結(jié)合律，那么這兩個(gè)運(yùn)算律在有理數(shù)范圍(fànwéi)內(nèi)是否也適用呢？第十七頁，共六十八頁。

填空(tiánkòng)：

（1）(-2)×4=

，4×(-2)=

；-8-8動腦筋（2）[(-2)×(-3)]×(-4)=

×(-4)=

，

(-2)×[(-3)×(-4)]=(-2)×

=

.6-2412-24從上面(shàngmiɑn)的填空題中，你發(fā)現(xiàn)了什么？第十八頁，共六十八頁。結(jié)論乘法(chéngfǎ)交換律：

×

=

×

.abab即，兩個(gè)有理數(shù)相乘(xiānɡchénɡ)，交換因數(shù)的位置，積不變.第十九頁，共六十八頁。結(jié)論乘法(chéngfǎ)結(jié)合律：(×)×

=

×(×).a

babcc

即，對于三個(gè)有理數(shù)相乘，可以(kěyǐ)先把前兩個(gè)數(shù)相乘，再把結(jié)果與第三個(gè)數(shù)相乘；或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再把第一個(gè)數(shù)與所得結(jié)果相乘，積不變．第二十頁，共六十八頁。

和加法類似，根據(jù)乘法交換律和乘法結(jié)合律可以推出：三個(gè)或三個(gè)以上有理數(shù)相乘，可以寫成這些數(shù)的連乘式．對于連乘式，可以任意交換因數(shù)(yīnshù)的位置，也可先把其中的幾個(gè)數(shù)相乘．第二十一頁，共六十八頁。

（1）填空(tiánkòng)：動腦筋(-6)×[4+(-9)]=(-6)×

=

，(-6)×4+(-6)×(-9)=

+

=

.-53054-2430

（2）換幾個(gè)(jǐɡè)有理數(shù)試一試，你發(fā)現(xiàn)了什么？第二十二頁，共六十八頁。結(jié)論乘法(chéngfǎ)對加法的分配律（簡稱為分配律）：

×(

+

)

=

×

+

×

.b

caabac

（-1）a=-a利用分配律，可以(kěyǐ)得出

即，一個(gè)有理數(shù)與兩個(gè)(liǎnɡɡè)有理數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別與這兩個(gè)(liǎnɡɡè)數(shù)相乘，再把積相加.第二十三頁，共六十八頁。

例2

計(jì)算(jìsuàn)：

（1）；

（2）

（-12.5）×（-2.5）×（-8）×4

.舉例第二十四頁，共六十八頁。解（1）=將分?jǐn)?shù)逐個(gè)(zhúgè)與60相乘=30-20-15+12=7分?jǐn)?shù)(fēnshù)與整數(shù)60相乘計(jì)算結(jié)果第二十五頁，共六十八頁。解（2）(-12.5)×(-2.5)×(-8)×4=(-12.5)

×(-8)×(-2.5)×4(-12.5)和(-8)相乘(xiānɡchénɡ)為整數(shù)=100×(-10)(-2.5)和4相乘(xiānɡchénɡ)為整數(shù)=-1000相乘為整數(shù)(zhěngshù)的先結(jié)合起來(-12.5)和(-8)為同號相乘(-2.5)和4為異號相乘(-10)和100相乘為異號第二十六頁，共六十八頁。

下列(xiàliè)各式的積是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？積的符號與負(fù)因數(shù)（因數(shù)為負(fù)數(shù)）的個(gè)數(shù)之間有什么關(guān)系？（1）（-2）×（-3）×（-4）；（2）（-2）×（-3）×（-4）×（-5）.

幾個(gè)(jǐɡè)不等于0的數(shù)相乘，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正.說一說第二十七頁，共六十八頁。

例3

計(jì)算(jìsuàn)：

（1）（-8）×4×（-1）×（-3）；（2）.舉例第二十八頁，共六十八頁。解（1）(-8)×4×

(-1)×(-3)=-(8×4×1×3)將負(fù)號(fùhào)提出來絕對值進(jìn)行(jìnxíng)相乘=-96先確定(quèdìng)積的符號第二十九頁，共六十八頁。解四個(gè)負(fù)號(fùhào)相乘，結(jié)果為正號絕對值進(jìn)行(jìnxíng)相乘=32先確定(quèdìng)積的符號（2）第三十頁，共六十八頁。1.計(jì)算(jìsuàn):

（1）(-2)×17×(-5)；（2）(-15)×3×(-4)；（3）；（4）0.125×9×(-8)；（5）(-5)×(-4)×(-3)；（6）(-1.5)×6×(-4)；（7）；（8）(-10)×28×0.練習(xí)第三十一頁，共六十八頁。1.解（1）(-2)×17×(-5)=2×5×17=170（2）(-15)×3×(-4)=15×4×3=180（3）（4）0.125×9×(-8)=-(8×0.125)×9=-9第三十二頁，共六十八頁。（5）(-5)×(-4)×(-3)=-(5×4×3)=-60（6）(-1.5)×6×(-4)=1.5×4×6=36（7）（8）(-10)×28×0=0第三十三頁，共六十八頁。2.計(jì)算(jìsuàn):

（1）

；（2）（-4）×（-3）×（-

5）×（-2.5）.

第三十四頁，共六十八頁。2.解（1）（2）（-4）×（-3）×（-

5）×（-2.5）

=4×3×5×2.5

=150第三十五頁，共六十八頁。你這節(jié)課掌握(zhǎngwò)了些什么？你感興趣的是什么？你覺得有困難的是什么？作業(yè)(zuòyè)：P394,5第三十六頁，共六十八頁。1.5.2有理數(shù)的除法(chúfǎ)第三十七頁，共六十八頁。我們(wǒmen)知道

2×3=6，因此(yīncǐ)

6÷3=2.①那么如何(rúhé)計(jì)算（-6）÷3，

6÷（-3），（-6）÷（-3）呢？第三十八頁，共六十八頁。

探究（-6）÷3=?，

6÷（-3）=?，（-6）÷（-3）=?由于(yóuyú)

（-2）×3=-6，因此(yīncǐ)，

（-6）÷3=-2.

②類似(lèisì)地，由于（-2）×（-3）=6，由于

2×（-3）=-6，因此，

6÷（-3）=-2，

③因此，

（-6）÷（-3）=2.④第三十九頁，共六十八頁。

從這些例子受到啟發(fā)，抽象出有理數(shù)的除法運(yùn)算；

對于兩個(gè)有理數(shù)a，b，其中(qízhōng)b≠0，如果有一個(gè)有理數(shù)c，使得cb=a，那么規(guī)定a÷b=c，且把c叫作a除以b的商.第四十頁，共六十八頁。結(jié)論同號兩數(shù)相除得正數(shù)(zhèngshù)，異號兩數(shù)相除得負(fù)數(shù)，并且把它們的絕對值相除.0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)都得0.有理數(shù)的除法是通過乘法(chéngfǎ)來規(guī)定的，因此由①至④式可以得出：（+）÷（+）→（+）（-）÷（-）→（+）6÷

3=2

①(-6)÷3=-2

②6÷(-3)=-2

③(-6)÷(-3)=2④（-）÷（+）→（-）（+）÷（-）→（-）第四十一頁，共六十八頁。

例4

計(jì)算(jìsuàn)：

（1）（-24）÷4；（2）（-18）÷（-9）；（3）10÷（-5）.舉例第四十二頁，共六十八頁。解（1）（-24）÷

4=-

(24÷

4)根據(jù)(gēnjù)除法法則(-24)和4為異號相除結(jié)果(jiēguǒ)為負(fù)解（2）（-18）÷

（-9）=+(18÷

9)根據(jù)(gēnjù)除法法則（-18）和(-9)為同號結(jié)果為正=-6=2第四十三頁，共六十八頁。解（3）10÷（-5）=-(10÷

5)根據(jù)(gēnjù)除法法則10和(-5)為異號相除結(jié)果(jiēguǒ)為負(fù)=-2第四十四頁，共六十八頁。

試問(shìwèn)：10÷(-5)

還可以怎樣計(jì)算

？我們(wǒmen)已經(jīng)知道10÷（-5）=-2，

所以⑤動腦筋又

由于，因此，我們把叫做-5的倒數(shù)，把-5叫做的倒數(shù).第四十五頁，共六十八頁。

一般地，如果兩個(gè)(liǎnɡɡè)數(shù)的乘積等于1，那么把其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，也稱它們互為倒數(shù).0沒有倒數(shù).因此，⑤式表明(biǎomíng)10除以-5等于10乘-5的倒數(shù).⑤第四十六頁，共六十八頁。結(jié)論除以一個(gè)(yīɡè)不等于零的數(shù)等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù).一般地，有理數(shù)的除法(chúfǎ)運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，即也可以表示成第四十七頁，共六十八頁。

例5

計(jì)算(jìsuàn)：

（1）

；（2）；（3）.舉例第四十八頁，共六十八頁。解（1）=（-12）×3根據(jù)除法(chúfǎ)法則異號相乘(xiānɡchénɡ)，結(jié)果為負(fù)解（2）=根據(jù)除法(chúfǎ)法則異號相乘，結(jié)果為負(fù)

的倒數(shù)是3=-36=-35

的倒數(shù)是第四十九頁，共六十八頁。解（3）=根據(jù)除法(chúfǎ)法則同號相乘(xiānɡchénɡ)，結(jié)果為正=

的倒數(shù)是第五十頁，共六十八頁。

1.計(jì)算(jìsuàn)：

（1）14÷(-7)；（2）(-36)÷(-3)；（3）0÷

(-0.618)；（4）(-48)÷12.

練習(xí)第五十一頁，共六十八頁。1.解（1）14÷

(-7)=-2；（2）(-36)÷(-3)=12；（4）(-48)÷12=-4.（3）0÷

(-0.618)=0；第五十二頁，共六十八頁。

2.填空(tiánkòng)：

（1）因?yàn)?yīnwèi)

×

=1，所以

的倒數(shù)是

；（2）的倒數(shù)是

；-3的倒數(shù)是

.-6-6第五十三頁，共六十八頁。

3.計(jì)算(jìsuàn)：

（1）

(-36)÷(-0.6)

；（2）

；（3）

；（4）

.

60-28第五十四頁，共六十八頁。你有哪些(nǎxiē)收獲？同號(tónɡhào)兩數(shù)相除得正數(shù)，異號兩數(shù)相除得負(fù)數(shù)，并且把它們的絕對值相除.0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)都得0.除以一個(gè)不等于(děngyú)零的數(shù)等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù).第五十五頁，共六十八頁。

下面的算式(suànshì)含有乘、除兩種運(yùn)算，怎樣進(jìn)行有理數(shù)的乘、除混合運(yùn)算呢？議一議可以(kěyǐ)按從左到右的順序依次計(jì)算.也可以(kěyǐ)先將除法轉(zhuǎn)化為乘法.第五十六頁，共六十八頁。

例3

計(jì)算(jìsuàn)：（1）（-56）÷（-2）

÷（-8）；舉例（2）（-10）÷[（-5）×（-2）]；（3）（4）第五十七頁，共六十八頁。解（1）（-56）÷（-2）

÷（-8）=28

÷（-8）可以(kěyǐ)依次計(jì)算先算前兩個(gè)(liǎnɡɡè)數(shù)異號相除，結(jié)果(jiēguǒ)為負(fù)=（2）（-10）÷[（-5）×（-2）]；解=（-10）÷10先計(jì)算后兩個(gè)=-1第五十八頁，共六十八頁。解=-30

×（-3）可以依次(yīcì)計(jì)算先算前兩位數(shù)=90依次(yīcì)計(jì)算=0.8（3）（4）解第五十九頁，共六十八頁。

下面是小明同學(xué)做的一道計(jì)算題，他的計(jì)算是否(shìfǒu)正確？如果不正確，說說他錯(cuò)在哪里.說一說不正確，應(yīng)該依次計(jì)算第六十頁，共六十八頁。

1.計(jì)算(jìsuàn)：

（1）24÷(-3)÷(-4)

；（2）(-6)÷(-2)÷3；（3）2÷(-7)×(-4)；（4）18÷6×(-2).

練習(xí)第六十一頁，共六十八頁。1.解（1）24÷(-3)÷(-4)=-8÷(-4)=2；（2）(-6)÷(-2)÷3=3÷3=1；（3）2÷(-7)×(-4)=×(-4)

=；（4）18÷6×(-2)=3×(-2)=-6.第六十二頁，共六十八頁。

2.計(jì)算(jìsuàn)：

（1）；

（2）；