2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊 　計數(shù)原理 課件（29張）

核心素養(yǎng)思維脈絡(luò)1.理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理.(數(shù)學(xué)抽象)2.會用這兩個原理分析和解決一些簡單的實際計數(shù)問題.(邏輯推理與數(shù)學(xué)運算)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思設(shè)從東、西、南、北四個方向通往山頂?shù)穆贩謩e有2,3,3,4條,若要使從四個方向中的任一方向上山,而從剩余的三個方向中的任一方向下山的走法最多,則應(yīng)選擇從哪邊上山呢?知識點撥一、分類加法計數(shù)原理1.內(nèi)容:完成一件事,可以有n類辦法,在第1類辦法中有m1種方法,在第2類辦法中有m2種方法……在第n類辦法中有mn種方法,那么,完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種方法.(也稱“加法原理”)2.特點:①完成一件事有若干種方法,這些方法可以分成n類,且類與類之間兩兩不交;②用每一類中的每一種方法都可以完成這件事;③把各類的方法數(shù)相加,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù).名師點析(1)定性:①明確原理中所指的“完成一件事”是什么事;②怎樣才算完成這件事;③完成這件事可以有哪些辦法.(2)獨立性:①完成這件事的n類辦法是相互獨立的;②每一類辦法中的方法都可以單獨完成這件事,不需要用到其他的方法.(3)分類:這是利用分類加法計數(shù)原理解題的關(guān)鍵,分類必須明確標(biāo)準(zhǔn),①每一種方法都必須屬于某一類,不同類的任意兩種方法是不同的;②每一類中的任意兩種方法也不相同.微判斷(1)在分類加法計數(shù)原理中,兩類不同辦法中的方法可以相同.(

)(2)在分類加法計數(shù)原理中,每類辦法中的方法都能完成這件事.(

)√×微思考用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號,總共能編出多少種不同的號碼?提示因為英文字母共有26個,阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個,所以總共可以編出26+10=36種不同的號碼.二、分步乘法計數(shù)原理1.內(nèi)容:完成一件事需要經(jīng)過n個步驟,缺一不可,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法,那么,完成這件事共有N=m1·m2·…·mn種方法(也稱“乘法原理”).2.特點:①完成一件事需要經(jīng)過n個步驟,缺一不可;②完成每一步有若干方法;③把各個步驟的方法數(shù)相乘,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù).名師點析(1)定性:①明確原理中所指的“完成一件事”是什么事;②要經(jīng)過幾步才能完成這件事.(2)相關(guān)性:①完成這件事需要分成若干個步驟;②只有每個步驟都完成了,才算完成這件事,缺少任一步驟,這件事都不可能完成.(3)分步:這是利用分步乘法計數(shù)原理解題的關(guān)鍵,①準(zhǔn)確確定分步的標(biāo)準(zhǔn),一般地,分步的標(biāo)準(zhǔn)不同,分成的步驟數(shù)也會不同;②要注意各步驟之間必須連續(xù);③各步驟之間既不能重復(fù),也不能遺漏.微判斷(1)在分步乘法計數(shù)原理中,每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.(

)(2)在分步乘法計數(shù)原理中,事情若是分兩步完成的,那么其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事,只有兩個步驟都完成后,這件事情才算完成.(

)√√微思考用A,B,C,D,E,F這6個大寫英文字母和1~9這9個阿拉伯?dāng)?shù)字,以A1,A2,…和B1,B2,…的方式給教室里的座位編號,總共能編出多少個不同的號碼?提示編寫一個號碼要先確定一個英文字母,后確定一個阿拉伯?dāng)?shù)字,由于這6個英文字母中的任意一個都能與9個數(shù)字中的任意一個組成一個號碼,而且它們各不相同,因此共有6×9=54個不同的號碼.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一分類加法計數(shù)原理例1個位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個?解

(方法一)按個位數(shù)字分類,有以下幾類:個位是9,則十位可以是1,2,3,…,8中的一個,故有8個;個位是8,則十位可以是1,2,3,…,7中的一個,故有7個;同理,個位是7的有6個;個位是6的有5個;…;個位是2的有1個.由分類加法計數(shù)原理知,滿足條件的兩位數(shù)有1+2+3+4+5+6+7+8=36(個).(方法二)按十位上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類,在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有8個,7個,6個,5個,4個,3個,2個,1個.由分類加法計數(shù)原理知,滿足條件的兩位數(shù)有1+2+3+4+5+6+7+8=36(個).反思感悟

應(yīng)用分類加法計數(shù)原理應(yīng)注意如下問題:(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,完成這件事可以有哪些方法,怎樣才算是完成這件事.(2)無論哪類辦法中的哪種方法都可以獨立完成這件事,而不需要再用到其他的方法,即各類方法之間是互斥的,并列的,獨立的.變式訓(xùn)練1若a,b均屬于{-1,0,1,2},且關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實數(shù)解,則有序數(shù)對(a,b)的個數(shù)為(

)A.14 B.13 C.12 D.10答案

B解析

因為a,b均屬于{-1,0,1,2},可分為兩類:①當(dāng)a=0時,b可能為-1或0或1或2,即b有4種不同的選法;②當(dāng)a≠0時,依題意得Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1.當(dāng)a=-1時,b有4種不同的選法;當(dāng)a=1時,b可能為-1或0或1,即b有3種不同的選法;當(dāng)a=2時,b可能為-1或0,即b有2種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,有序數(shù)對(a,b)的個數(shù)為4+4+3+2=13.探究二分步乘法計數(shù)原理例2已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的點(a∈M,b∈M),則(1)P可表示平面上多少個不同的點?(2)P可表示平面上多少個第二象限的點?(3)P可表示平面上多少個不在直線y=x上的點?解

(1)確定平面上的點P(a,b)可分兩步完成:第一步確定a的值,共有6種方法;第二步確定b的值,也有6種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,得到平面上的點的個數(shù)是6×6=36.(2)確定第二象限的點P(a,b)可分兩步完成:第一步確定a的值,由于a<0,所以有3種不同的方法;第二步確定b的值,由于b>0,所以有2種不同的方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,得到平面上第二象限點的個數(shù)是3×2=6.(3)P在直線y=x上的充要條件是a=b.因此a和b必須在集合M中取同一個元素,共有6種取法,即在直線y=x上的點有6個.由(1)知不在直線y=x上的點有36-6=30(個).反思感悟

利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時,一定要正確設(shè)計“分步”的程序,即完成這件事共分幾步,每一步的具體內(nèi)容是什么,各步的方法種數(shù)是多少,最后用分步乘法計數(shù)原理求解.變式訓(xùn)練2(1)4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個項目,每人必報一項,共有多少種報名方法?(2)4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項冠軍(每項冠軍只允許一人獲得),共有多少種可能的結(jié)果?解

(1)要完成的是“4名同學(xué)每人從3個項目中選一項報名”這件事,因為每人必報一項,4名同學(xué)都報完才算完成,于是按人分步,且分為四步,又每人可在三項中選一項,選法為3種,所以共有3×3×3×3=81種報名方法.(2)要完成的是“三個項目冠軍的獲取”這件事,因為每項冠軍只能由一人獲得,三項冠軍都有得主,這件事才算完成,所以應(yīng)以“確定三項冠軍得主”為線索進(jìn)行分步,而每項冠軍是4名同學(xué)中的某一人,有4種可能的情況,于是共有4×4×4=64種可能的情況.探究三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用例3現(xiàn)有5幅不同的國畫,2幅不同的油畫,7幅不同的水彩畫.(1)從中任選一幅畫布置房間,有幾種不同的選法?(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間,有幾種不同的選法?(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間,有幾種不同的選法?解

(1)從國畫中選,有5種不同的選法;從油畫中選,有2種不同的選法;從水彩畫中選,有7種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有5+2+7=14種不同的選法.(2)從國畫、油畫、水彩畫各選一幅,分別有5種、2種、7種不同的選法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有5×2×7=70種不同的選法.(3)第一類是一幅選自國畫,一幅選自油畫,由分步乘法計數(shù)原理知,有5×2=10種不同的選法;第二類是一幅選自國畫,一幅選自水彩畫,有5×7=35種不同的選法;第三類是一幅選自油畫,一幅選自水彩畫,有2×7=14種不同的選法.所以共有10+35+14=59種不同的選法.反思感悟

(1)在處理具體的應(yīng)用題時,首先必須弄清是“分類”還是“分步”,其次要搞清“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么,選擇合理的標(biāo)準(zhǔn)處理事件,關(guān)鍵是看能否獨立完成這件事,避免計數(shù)的重復(fù)或遺漏.(2)對于一些比較復(fù)雜的既要運用分類加法計數(shù)原理又要運用分步乘法計數(shù)原理的問題,我們可以恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格,使問題更加直觀、清晰.(3)明晰兩個原理,進(jìn)行正確運算,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).變式訓(xùn)練3在7名學(xué)生中,有3名會下象棋但不會下圍棋,有2名會下圍棋但不會下象棋,另2名既會下象棋又會下圍棋.現(xiàn)在從7人中選2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽,共有多少種不同的選法?解

從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,有3×2=6種選法;從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,有3×2=6種選法;從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,有2×2=4種選法;2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生分別參加象棋比賽和圍棋比賽,有2種選法.所以共有6+6+4+2=18種選法.所以共有18種不同的選法.素養(yǎng)形成高考熱點分析高考對本節(jié)內(nèi)容的考查,側(cè)重對兩個計數(shù)原理的理解及運用兩個計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題的能力,題目難度較低,求解時需先明確分類或分步的標(biāo)準(zhǔn).對考生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)要求較高.典例如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(

)A.24 B.18 C.12 D.9命題立意本題以實際生活為背景,考查分步乘法計數(shù)原理.解析

由題意知,