2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊(cè) 　計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 課件（50張）

隨著人們生活水平的提高，車輛擁有量迅速增長(zhǎng)，汽車牌號(hào)僅用一個(gè)字母和數(shù)字表示已經(jīng)不能滿足需求，再加上許多車主還希望車牌號(hào)“個(gè)性化”，因此，汽車號(hào)碼需要進(jìn)行擴(kuò)容，這樣就需要“數(shù)出”某種方案下的所有號(hào)碼數(shù)，號(hào)碼的個(gè)數(shù)是如何進(jìn)行計(jì)算的呢？導(dǎo)語隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、組數(shù)問題二、抽取與分配問題三、涂色與種植問題內(nèi)容索引一、組數(shù)問題例1

用0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且比2000大的四位偶數(shù)？解完成這件事可分為三類：第一類是個(gè)位數(shù)字為0的比2000大的四位偶數(shù)，可以分三步完成：第一步，選取千位上的數(shù)字，只有2,3,4,5可以選擇，有4種選法；第二步，選取百位上的數(shù)字，除0和千位上已選定的數(shù)字以外，還有4個(gè)數(shù)字可以選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數(shù)字，有3種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，這類數(shù)的個(gè)數(shù)為4×4×3＝48.第二類是個(gè)位數(shù)字為2的比2000大的四位偶數(shù)，可以分三步完成：第一步，選取千位上的數(shù)字，除去2,1,0只有3個(gè)數(shù)字可以選擇，有3種選法；第二步，選取百位上的數(shù)字，在去掉已經(jīng)確定的首尾2個(gè)數(shù)字之后，還有4個(gè)數(shù)字可以選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數(shù)字，有3種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，這類數(shù)的個(gè)數(shù)為3×4×3＝36.第三類是個(gè)位數(shù)字為4的比2000大的四位偶數(shù)，其方法步驟同第二類.對(duì)以上三類用分類加法計(jì)數(shù)原理，得所求無重復(fù)數(shù)字且比2000大的四位偶數(shù)有48＋36＋36＝120(個(gè)).反思感悟常見的組數(shù)問題及解題原則(1)常見的組數(shù)問題：奇數(shù)、偶數(shù)、整除數(shù)、各數(shù)位上的和或數(shù)字間滿足某種特殊關(guān)系等.(2)常用的解題原則：首先明確題目條件對(duì)數(shù)字的要求，針對(duì)這一要求通過分類、分步進(jìn)行組數(shù)；其次注意特殊數(shù)字對(duì)各數(shù)位上數(shù)字的要求，如偶數(shù)的個(gè)位數(shù)字為偶數(shù)、兩位及其以上的數(shù)首位數(shù)字不能是0、被3整除的數(shù)各位數(shù)上的數(shù)字之和能被3整除等；最后先分類再分步從特殊數(shù)字或特殊位置進(jìn)行組數(shù).跟蹤訓(xùn)練1

(1)從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為A.24 B.18 C.12 D.6解析由于題目要求是奇數(shù)，那么對(duì)于此三位數(shù)可以分成兩種情況：奇偶奇，偶奇奇.如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個(gè)位開始分析(3種情況)，之后十位(2種情況)，最后百位(2種情況)，共12種；如果是第二種偶奇奇的情況：個(gè)位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共6種，因此總共有12＋6＝18(種)情況.故選B.√(2)用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為A.243 B.252 C.261 D.279解析0,1,2，…，9共能組成9×10×10＝900(個(gè))三位數(shù)，其中無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8＝648(個(gè))，∴有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900－648＝252(個(gè)).√二、抽取與分配問題例2

(1)高三年級(jí)的四個(gè)班到甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級(jí)去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有A.360種

B.420種

C.369種

D.396種√解析方法一(直接法)以甲工廠分配班級(jí)情況進(jìn)行分類，共分為四類：第一類，四個(gè)班級(jí)都去甲工廠，此時(shí)分配方案只有1種情況；第二類，有三個(gè)班級(jí)去甲工廠，剩下的一個(gè)班級(jí)去另外四個(gè)工廠，其分配方案共有4×4＝16(種)；第三類，有兩個(gè)班級(jí)去甲工廠，另外兩個(gè)班級(jí)去其他四個(gè)工廠，其分配方案共有6×4×4＝96(種)；第四類，有一個(gè)班級(jí)去甲工廠，其他三個(gè)班級(jí)去另外四個(gè)工廠，其分配方案有4×4×4×4＝256(種).綜上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(種).方法二(間接法)先計(jì)算四個(gè)班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即5×5×5×5－4×4×4×4＝369(種)方案.(2)甲、乙、丙、三人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己的賀卡，則不同取法的種數(shù)有___.解析不妨由甲先來取，共2種取法，而甲取到誰的將由誰在甲取后第二個(gè)來取，余下來的人，都只有了一種選擇，所以不同取法共有2×1×1＝2(種).2延伸探究若將“甲、乙、丙、三人”改為“甲、乙、丙、丁四人”，其它條件不變，則有多少種不同的取法？解不妨由甲先來取，共3種取法，而甲取到誰的將由誰在甲取后第二個(gè)來取，共3種取法，余下來的人，都只有了一種選擇，所以不同取法共有3×3×1×1＝9(種).反思感悟選(抽)取與分配問題的常見類型及其解法(1)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目不大時(shí)，一般選用枚舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法.(2)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目很大時(shí)，一般有兩種方法：①直接使用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理.一般地，若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行；若按對(duì)象特征抽取的，則按分類進(jìn)行.②間接法：去掉限制條件計(jì)算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.跟蹤訓(xùn)練2

(1)有4位老師在同一年級(jí)的4個(gè)班級(jí)中各教一個(gè)班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)考試時(shí)，要求每位老師均不在本班監(jiān)考，則安排監(jiān)考的方法種數(shù)是A.11 B.10 C.9 D.8√解析方法一設(shè)四個(gè)班級(jí)分別是A，B，C，D，它們的老師分別是a，b，c，d，并設(shè)a監(jiān)考的是B，則剩下的三個(gè)老師分別監(jiān)考剩下的三個(gè)班級(jí)，共有3種不同的方法；同理當(dāng)a監(jiān)考C，D時(shí)，剩下的三個(gè)老師分別監(jiān)考剩下的三個(gè)班級(jí)也各有3種不同的方法.這樣，由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有3＋3＋3＝9(種)不同的安排方法.方法二讓a先選，可從B，C，D中選一個(gè)，即有3種選法.若選的是B，則b從剩下的3個(gè)班級(jí)中任選一個(gè)，也有3種選法，剩下的兩個(gè)老師都只有一種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有3×3×1×1＝9(種)不同的安排方法.解析由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1人，有4種選法.后面三項(xiàng)工作的選法有5×4×3種，因此共有4×5×4×3＝240(種)選派方案.(2)從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購(gòu)、保潔四項(xiàng)不同的工作，若其中甲、乙2名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有A.280種

B.240種C.180種

D.96種√三、涂色與種植問題例3

(1)如圖所示，有A，B，C，D四個(gè)區(qū)域，用紅、黃、藍(lán)三種顏色涂色，要求任意兩個(gè)相鄰區(qū)域的顏色各不相同，共有___種不同的涂法.解析①若A，C涂色相同，則按照分步乘法計(jì)數(shù)原理，A，B，C，D可涂顏色的種數(shù)依次是3,2,1,2，則有3×2×1×2＝12(種)不同的涂法.②若A，C涂色不相同，則按照分步乘法計(jì)數(shù)原理，A，B，C，D可涂顏色的種數(shù)依次是3,2,1,1，則有3×2×1×1＝6(種)不同的涂法.所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有12＋6＝18(種)不同的涂法.18(2)從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，則有___種不同的種植方法.解析方法一(直接法)若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2＝6(種)不同的種植方法.同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2＝6(種)不同的種植方法.故不同的種植方法共有6×3＝18(種).方法二(間接法)從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，有4×3×2＝24(種)，其中不種黃瓜有3×2×1＝6(種)，故共有24－6＝18(種)不同的種植方法.18反思感悟涂色與種植問題的四個(gè)解答策略涂色與種植問題是考查計(jì)數(shù)方法的一種常見問題，由于這類問題常常涉及分類與分步，所以在高考題中經(jīng)常出現(xiàn)，處理這類問題的關(guān)鍵是要找準(zhǔn)分類標(biāo)準(zhǔn)，求解涂色與種植問題一般是直接利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解，常用的方法有：(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，并用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算.(2)以顏色(種植作物)為主分類討論法，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”問題，用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算.(3)將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題.(4)對(duì)于不相鄰的區(qū)域，常分為同色和不同色兩類，這是常用的分類標(biāo)準(zhǔn).跟蹤訓(xùn)練3

(1)如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的種數(shù)為____.解析按照S→A→B→C→D的順序進(jìn)行染色，按照A，C是否同色分類：第一類，A，C同色，則有5×4×3×1×3＝180(種)不同的染色方法.第二類，A，C不同色，則有5×4×3×2×2＝240(種)不同的染色方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有180＋240＝420(種)不同的染色方法.420(2)如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，共有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有____種(以數(shù)字作答).72解析①當(dāng)使用4種顏色時(shí)，先著色第1區(qū)域，有4種方法，剩下3種顏色涂其他4個(gè)區(qū)域，即有1種顏色涂相對(duì)的2塊區(qū)域，有3×2×2＝12(種)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有4×12＝48(種).②當(dāng)使用3種顏色時(shí)，從4種顏色中選取3種，有4種方法，先著色第1區(qū)域，有3種方法，剩下2種顏色涂4個(gè)區(qū)域，只能是一種顏色涂第2,4區(qū)域，另一種顏色涂第3,5區(qū)域，有2種著色方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得有4×3×2＝24(種).綜上，共有48＋24＝72(種).1.知識(shí)清單：(1)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系.(2)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用：組數(shù)問題、選取問題、涂色問題及種植問題.2.方法歸納：分類討論、正難則反.3.常見誤區(qū)：分類標(biāo)準(zhǔn)不明確，會(huì)出現(xiàn)重復(fù)或遺漏問題.課堂小結(jié)隨堂演練1.某乒乓球隊(duì)里有6名男隊(duì)員，5名女隊(duì)員，從中選取男、女隊(duì)員各1名組成混合雙打隊(duì)，則不同的組隊(duì)方法的種數(shù)為A.11 B.30 C.56 D.651234√解析先選1名男隊(duì)員，有6種方法，再選1名女隊(duì)員，有5種方法，故共有6×5＝30(種)不同的組隊(duì)方法.12342.由數(shù)字1,2,3組成的無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為A.15 B.12 C.10 D.5√解析分三類，第一類組成一位整數(shù)，偶數(shù)有1個(gè)；第二類組成兩位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個(gè)；第三類組成三位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有偶數(shù)5個(gè).12343.甲、乙、丙三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下.由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有A.4種

B.5種

C.6種

D.12種√解析若甲先傳給乙，則有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3種不同的傳法；同理，甲先傳給丙也有3種不同的傳法，故共有3＋3＝6(種)不同的傳法.12344.如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂1種顏色，要求相鄰的2個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有____種.(用數(shù)字作答)解析首先給最左邊的一個(gè)格子涂色，有6種選擇，左邊第二個(gè)格子有5種選擇，第三個(gè)格子有5種選擇，第四個(gè)格子也有5種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有6×5×5×5＝750(種)涂色方法.750課時(shí)對(duì)點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.某城市的電話號(hào)碼由七位升為八位(首位數(shù)字均不為零)，則該城市可增加的電話部數(shù)是A.9×8×7×6×5×4×3×2

B.8×97C.9×107

D.8.1×107√解析電話號(hào)碼是七位數(shù)字時(shí)，該城市可安裝電話9×106部，同理升為八位時(shí)為9×107部，所以可增加的電話部數(shù)是9×107－9×106＝8.1×107.123456789101112131415162.6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為A.144 B.120 C.72 D.24√解析先將3把空椅子隔開擺放，此時(shí)3把空椅子中間和兩邊共有4個(gè)空隙供3人(不妨記為甲、乙、丙)選擇就座，因此可分三步：甲從4個(gè)空隙中任選一個(gè)空隙，有4種不同的選擇；乙從余下的3個(gè)空隙中任選一個(gè)空隙，有3種不同的選擇；丙從余下的2個(gè)空隙中任選一個(gè)空隙，有2種不同的選擇.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為4×3×2＝24.123456789101112131415163.某市汽車牌照號(hào)碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左數(shù)第2個(gè)號(hào)碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個(gè)號(hào)碼可以從0～9這10個(gè)數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù)).若某車主第1個(gè)號(hào)碼(從左到右)只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他號(hào)碼只想在1,3,6,9中選擇，則他可選的車牌號(hào)碼的所有可能情況有A.180種 B.360種

C.720種 D.960種解析按照車主的要求，從左到右第1個(gè)號(hào)碼有5種選法，第2個(gè)號(hào)碼有3種選法，其余3個(gè)號(hào)碼各有4種選法，因此共有5×3×4×4×4＝960(種)情況.√123456789101112131415164.一植物園的參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不重復(fù)，則不同的參觀路線共有A.6種

B.8種

C.36種

D.48種√12345678910111213141516解析選擇參觀路線分步完成：第一步選擇三個(gè)“環(huán)形”路線中的一個(gè)，有3種方法，再按逆時(shí)針或順時(shí)針方向參觀有2種方法；第二步選擇余下兩個(gè)“環(huán)形”路線中的一個(gè)，有2種方法，也按逆時(shí)針或順時(shí)針方向參觀有2種方法；最后一個(gè)“環(huán)形”路線，也按逆時(shí)針或順時(shí)針方向參觀有2種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有3×2×2×2×2＝48(種)方法，故選D.123456789101112131415165.中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，三位同學(xué)按甲、乙、丙的順序依次選一個(gè)作為禮物，如果讓三位同學(xué)選取的禮物都滿意，那么不同的選法有A.360種 B.50種

C.60種 D.90種√解析①甲同學(xué)選擇牛，乙有2種選法，丙有10種選法，選法有1×2×10＝20(種)，②甲同學(xué)選擇馬，乙有3種選法，丙有10種選法，選法有1×3×10＝30(種)，所以共有20＋30＝50(種)選法.故選B.123456789101112131415166.體育老師把9個(gè)相同的足球放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)箱子中，要求每個(gè)箱子放球的個(gè)數(shù)不少于其編號(hào)，則不同的放球方法有A.8種 B.10種

C.12種 D.16種√解析首先在三個(gè)箱子中放入個(gè)數(shù)與編號(hào)相同的球，這樣剩下三個(gè)足球，這三個(gè)足球可以隨意放置，第一種方法，可以在每一個(gè)箱子中放一個(gè)，有1種結(jié)果；第二種方法，可以把球分成兩份，1和2，這兩份在三個(gè)位置，有3×2＝6(種)結(jié)果；第三種方法，可以把三個(gè)球都放到一個(gè)箱子中，有3種結(jié)果.綜上可知共有1＋6＋3＝10(種)結(jié)果.123456789101112131415167.如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中與正八邊形有公共邊的三角形有___個(gè).解析滿足條件的有兩類：第一類：與正八邊形有兩條公共邊的三角形有8個(gè)；第二類：與正八邊形有一條公共邊的三角形有8×4＝32(個(gè))，所以滿足條件的三角形共有8＋32＝40(個(gè)).40123456789101112131415168.用數(shù)字1,2組成一個(gè)四位數(shù)，則數(shù)字1,2都出現(xiàn)的四位偶數(shù)有__個(gè).7解析由四位數(shù)是偶數(shù)，知最后一位是2.在四位數(shù)中，當(dāng)出現(xiàn)1個(gè)1時(shí)，有1222,2122,2212，共3個(gè)，當(dāng)出現(xiàn)2個(gè)1時(shí)，有1122,1212,2112，共3個(gè)，當(dāng)出現(xiàn)3個(gè)1時(shí)，只有1112這1個(gè)四位偶數(shù)，故數(shù)字1,2都出現(xiàn)的四位偶數(shù)有3＋3＋1＝7(個(gè)).123456789101112131415169.將三個(gè)分別標(biāo)有A，B，C的球隨機(jī)放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒子中.求：(1)1號(hào)盒中無球的不同放法種數(shù)；解1號(hào)盒中無球即A，B，C三個(gè)球只能放入2,3,4號(hào)盒子中，有33＝27(種)放法.12345678910111213141516(2)1號(hào)盒中有球的不同放法種數(shù).解1號(hào)盒中有球可分三類：一類是1號(hào)盒中有一個(gè)球，共有3×32＝27(種)放法，一類是1號(hào)盒中有兩個(gè)球，共有3×3＝9(種)放法，一類是1號(hào)盒中有三個(gè)球，有1種放法.共有27＋9＋1＝37(種)放法.1234567891011121314151610.有4種不同的作物可供選擇種植在如圖所示的4塊試驗(yàn)田中，每塊種植一種作物，相鄰的試驗(yàn)田(有公共邊)不能種植同一種作物，共有多少種不同的種植方法？解方法一第一步，種植A試驗(yàn)田有4種方法；第二步，種植B試驗(yàn)田有3種方法；第三步，若C試驗(yàn)田種植的作物與B試驗(yàn)田相同，則D試驗(yàn)田有3種方法，此時(shí)有1×3＝3(種)種植方法.若C試驗(yàn)田種植的作物與B試驗(yàn)田不同，則C試驗(yàn)田有2種種植方法，D試驗(yàn)田也有2種種植方法，共有2×2＝4(種)種植方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，有3＋4＝7(種)種植方法.第四步，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有N＝4×3×7＝84(種)不同的種植方法.12345678910111213141516方法二(1)若A，D