二項分布 （教學(xué)設(shè)計）（人教A版2019選擇性必修第三冊）

.4.1二項分布教學(xué)設(shè)計課時教學(xué)內(nèi)容本節(jié)的主要內(nèi)容是n重伯努利試驗這一概念性知識和二項分布的應(yīng)用這一程序性知識，它是在學(xué)習(xí)了古典概型，離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的重伯努利試驗是研究隨機(jī)現(xiàn)象的重要途徑之一，很多概率模型的建立都以n重伯努利試驗為背景，二項分布就是來自n重伯努利試驗的一個概率分布模型.二項分布是在“互斥事件”和“相互獨(dú)立事件”以及“二項式定理”的基礎(chǔ)上，對〃重伯努利試驗概率的深化研究.課時教學(xué)目標(biāo)1.理解n重伯努利試驗的概念.2.掌握二項分布.3.能利用n重伯努利試驗及二項分布解決一些簡單的實際問題．教學(xué)重點、難點1．重點：n重伯努利試驗、二項分布及其數(shù)字特征.2．難點：在實際問題中抽象出模型的特征，識別二項分布.教學(xué)過程設(shè)計環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題劉備帳下的智囊團(tuán)除諸葛亮以外還有9名謀士，假定對某事進(jìn)行決策時，這9名謀士貢獻(xiàn)正確意見的概率均為0.7,諸葛亮貢獻(xiàn)正確意見的概率為0.85.現(xiàn)劉備為某事可

行與否征求智囊團(tuán)的意見.有以下兩種方案：

(1)征求每名謀士的意見，并按多數(shù)人的意見作出決策.(2)采納諸葛亮的意見.應(yīng)按哪種方案作出決定？學(xué)完本節(jié)課，你就能夠幫助劉備作出決定了.【設(shè)計意圖】通過具體的問題情境，引發(fā)學(xué)生思考，積極參與互動，說出自己的見解，從而引入伯努利試驗的概念.前面我們學(xué)習(xí)了離散型隨機(jī)變量的有關(guān)知識，本節(jié)將利用這些知識研究兩類重要的概率模型——二項分布和超幾何分布．在實際問題中，有許多隨機(jī)試驗與擲硬幣試驗具有相同的特征，它們只包含兩個可能結(jié)果．例如，檢驗一件產(chǎn)品結(jié)果為合格或不合格，飛碟射擊時中靶或脫靶，醫(yī)學(xué)檢驗結(jié)果為陽性或陰性等．我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗（Bernoullitrials）．思考1：你能根據(jù)"重伯努利試驗的定義，歸納總結(jié)它的特征嗎？我們將一個伯努利試驗獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗稱為n重伯努利試驗．顯然，n重伯努利試驗具有如下共同特征：（1）同一個伯努利試驗重復(fù)做n次；（2）各次試驗的結(jié)果相互獨(dú)立．“重復(fù)”意味著各次試驗成功的概率相同．學(xué)生思考、討論、交流，得出n重伯努利試驗具有如下共同特征：(1)同一個伯努利試驗重復(fù)做n次；(2)各次試驗的結(jié)果相互獨(dú)立.【設(shè)計意圖】在具體實例的基礎(chǔ)上理解伯努利試驗和n重伯努利試驗的概念，并探究江重伯努利試驗的特征，提升數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).在歸納總結(jié)出n重伯努利試驗的特征后，教師提出以下問題讓學(xué)生思考：環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念思考：下面3個隨機(jī)試驗是否為n重伯努利試驗？如果是，那么其中的伯努利試驗是什么？對于每個試驗，定義“成功”的事件為A，那么A的概率是多大？重復(fù)試驗的次數(shù)是多少？（1）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次．（2）某飛碟運(yùn)動員每次射擊中靶的概率為0.8，連續(xù)射擊3次．（3）一批產(chǎn)品的次品率為5%，有放回地隨機(jī)抽取20件．在伯努利試驗中，我們關(guān)注某個事件A是否發(fā)生，而在n重伯努利試驗中，我們關(guān)注事件A發(fā)生的次數(shù)X．進(jìn)一步地，因為X是一個離散型隨機(jī)變量，所以我們實際關(guān)心的是它的概率分布列．例如，對產(chǎn)品抽樣檢驗，隨機(jī)抽取n件，我們關(guān)心樣本中不合格品數(shù)的概率分布列．思考2：伯努利試驗和n重伯努利試驗有什么不同？【師生活動】教師展示問題，讓學(xué)生思考.在學(xué)生思考的同時，教師可以適當(dāng)引導(dǎo),讓學(xué)生在充分理解這兩個概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行辨析.伯努利試驗是一個“只有兩個結(jié)果的試驗”，在試驗中，只關(guān)注某個事件發(fā)生或不發(fā)生；"重伯努利試驗是對一個“只有兩個結(jié)果的試驗”重復(fù)進(jìn)行了n次，試驗中的關(guān)注點是某個事件“發(fā)生”的次數(shù)X.進(jìn)一步地，因為X是一個離散型隨機(jī)變量，所以我們實際關(guān)心的是它的概率分布列.【設(shè)計意圖】通過辨析伯努利試驗和?重伯努利試驗,加深學(xué)生對這兩個概念的理解.探究：某飛碟運(yùn)動員每次射擊中靶的概率為0.8．連續(xù)3次射擊，中靶次數(shù)X的概率分布列是怎樣的？【師生活動】教師和學(xué)生共同完成這一問題的分析和解答過程，讓學(xué)生體驗二項分布模型的構(gòu)建過程.用A：表示“第i次射擊中靶”，用如圖7.4-1的樹狀圖表示試驗的可能結(jié)果．由分步乘法計數(shù)原理，3次獨(dú)立重復(fù)試驗共有種可能結(jié)果，它們兩兩互斥，每個結(jié)果都是3個相互獨(dú)立事件的積．由概率的加法公式和乘法公式得，，，．為了簡化表示，每次射擊用1表示中靶，用0表示脫靶，那么3次射擊恰好2次中靶的所有可能結(jié)果可表示為011，110，101，這三個結(jié)果發(fā)生的概率都相等，均為，并且與哪兩次中靶無關(guān)．因此，3次射擊恰好2次中靶的概率為．同理可求中靶0次、1次、3次的概率．于是，中靶次數(shù)X的分布列為，．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念思考：如果連續(xù)射擊4次，類比上面的分析，表示中靶次數(shù)X等于2的結(jié)果有哪些？寫出中靶次數(shù)X的分布列．【師生活動】學(xué)生類比上面的分析，自己獨(dú)立完成解答.3次射擊恰好2次中靶的所有可能結(jié)果可表示為0011，0110，0101，1001，1010，1100．中靶次數(shù)X的分布列為，．一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為，如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項分布（binomialdistribution），記作．對比二項分布與二項式定理，你能看出它們之間的聯(lián)系嗎？由二項式定理，容易得到．【設(shè)計意圖】通過對具體問題的分析，讓學(xué)生掌握二項分布的概念及其特點，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念例1將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次，求：（1）恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率；（2）正面朝上出現(xiàn)的頻率在內(nèi)的概率．分析：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)“正面朝上”和“反面朝上”兩種結(jié)果且可能性相等，這是一個10重伯努利試驗．因此，正面朝上的次數(shù)服從二項分布．解：設(shè)“正面朝上”，則．用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則，（1）恰好出現(xiàn)5次正面朝上等價于，于是；（2）正面朝上出現(xiàn)的頻率在內(nèi)等價于，于是．【設(shè)計意圖】通過典例解析，在具體的問題情境中，深化學(xué)生對二項分布的理解.發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).例2圖7.4-2是一塊高爾頓板的示意圖．在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子從左到右分別編號為0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的號碼，求X的分布列．【師生活動】教師展示例題，設(shè)計以下問題引導(dǎo)學(xué)生分析.對于本例題來說：(1)伯努利試驗是什么？(2)“成功”的事件是什么？“成功”的概率是多少？(3)重復(fù)試驗的次數(shù)是多少？各次試驗結(jié)果之間是否相互獨(dú)立？(4)成功的次數(shù)與落入格子的號碼的對應(yīng)關(guān)系是什么？分析：小球落入哪個格子取決于在下落過程中與各小木釘碰撞的結(jié)果．設(shè)試驗為觀察小球碰到小木釘后下落的方向，有“向左下落”和“向右下落”兩種可能結(jié)果，且概率都是0.5．在下落的過程中，小球共碰撞小木釘10次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影響，因此這是一個10重伯努利試驗．小球最后落入格子的號碼等于向右落下的次數(shù)，因此X服從二項分布．解：設(shè)“向右下落”，則“向左下落”，且．因為小球最后落入格子的號碼X等于事件A發(fā)生的次數(shù)，而小球在下落的過程中共碰撞小木釘10次，所以．于是，X的分布列為．X的概率分布圖如圖7.4-3所示．【設(shè)計意圖】以問題引導(dǎo)學(xué)生分析，幫助他們逐步掌握抽象模型特征的一般步驟.釘板試驗可以使學(xué)生認(rèn)識到隨機(jī)現(xiàn)象的特點，即偶然中蘊(yùn)含著必然規(guī)律，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例3甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲更有利？分析：判斷哪個賽制對甲有利，就是看在哪個賽制中甲最終獲勝的概率大．可以把“甲最終獲勝”這個事件，按可能的比分情況表示為若干事件的和，再利用各局比賽結(jié)果的獨(dú)立性逐個求概率；也可以假定賽完所有n局，把n局比賽看成n重伯努利試驗，利用二項分布求“甲最終獲勝”的概率．解法1：采用3局2勝制，甲最終獲勝有兩種可能的比分2：0或2：1，前者是前兩局甲連勝，后者是前兩局甲、乙各勝一局且第3局甲勝．因為每局比賽的結(jié)果是獨(dú)立的，甲最終獲勝的概率為．類似地，采用5局3勝制，甲最終獲勝有3種比分3：0，3：1或3：2．因為每局比賽的結(jié)果是獨(dú)立的，所以甲最終獲勝的概率為．解法2：采用3局2勝制，不妨設(shè)賽滿3局，用X表示3局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為．采用5局3勝制，不妨設(shè)賽滿5局，用X表示5局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則．甲最終獲勝的概率為．因為，所以5局3勝制對甲有利．實際上，比賽局?jǐn)?shù)越多，對實力較強(qiáng)者越有利．為什么假定賽滿3局或5局，不影響甲最終獲勝的概率？歸納一般地，確定一個二項分布模型的步驟如下：（1）明確伯努利試驗及事件A的意義，確定事件A發(fā)生的概率p；（2）確定重復(fù)試驗的次數(shù)n，并判斷各次試驗的獨(dú)立性；（3）設(shè)X為n次獨(dú)立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則．對于一個離散型隨機(jī)變量，除了關(guān)心它的概率分布列外，我們還關(guān)心它的均值和方差等數(shù)字特征．因此，一個服從二項分布的隨機(jī)變量，其均值和方差也是我們關(guān)心的．【設(shè)計意圖】對于例3,給出了兩種解法.前一種解法符合比賽實際規(guī)則，比較容易理解，但不符合二項分布的特征.后一種解法用二項分布求解，解法較簡單，但不易理解.需要思考的問題是為什么假定賽滿3局或5局不影響甲最終獲勝的概率.利用不同方法解決問題，拓展學(xué)生的思維，提高學(xué)生解決問題的能力，同時培養(yǎng)他們的邏輯推理和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).探究假設(shè)隨機(jī)變量X服從二項分布，那么X的均值和方差各是什么？我們知道，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，“正面朝上”的概率為0.5，如果擲100次硬幣，期望有次正面朝上．根據(jù)均值的含義，對于服從二項分布的隨機(jī)變量X，我們猜想．我們不妨從簡單開始，先考察n較小的情況．（1）當(dāng)時，X服從兩點分布，分布列為，．均值和方差分別為，．（2）當(dāng)時，X的分布列為，，．均值和方差分別為，．一般地，可以證明：如果，那么，．下面我們對均值進(jìn)行證明．令，由，可得．令，則．由，可得（注意到）令，則．二項分布的應(yīng)用非常廣泛．例如，生產(chǎn)過程中的質(zhì)量控制和抽樣方案，都是以二項分布為基礎(chǔ)的；參加某保險人群中發(fā)生保險事故的人數(shù)，試制藥品治愈某種疾病的人數(shù)，感染某種病毒的家禽數(shù)等，都可以用二項分布來描述．環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？(1)n重伯努利試驗的概念及特征．(2)二項分布的概念及表示．一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為，如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項分布（binomialdistribution），記作．2.在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？（1）方法歸納：數(shù)學(xué)建模．（2）常見誤區(qū)：二項分布的判斷錯誤．3.確定一個二項分布模型的步驟如下：（1）明確伯努利試驗及事件A的意義，確定事件A發(fā)生的概率p；（2）確定重復(fù)試驗的次數(shù)n，并判斷各次試驗的獨(dú)立性；（3）設(shè)X為n次獨(dú)立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則．【設(shè)計意圖】通過總結(jié)，進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括總結(jié)的能力.環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測，作業(yè)布置完成教材：教材第76?77頁練習(xí)第1,2,3題.練習(xí)（第76頁）1．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲4次，X表示“正面朝上”出現(xiàn)的次數(shù)．（1）求X的分布列；（2）________，________．1．【解析】（1）一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲一次正面朝上的概率為，且每次是否正面朝上是相互獨(dú)立，所以，，所以X的分布列為：X01234P（2）根據(jù)（1），所以，．2．雞接種一種疫苗后，有80%不會感染某種病毒．如果5只雞接種了疫苗，求：（1）沒有雞感染病毒的概率；（2）恰好有1只雞感染病毒的概率．2．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由題意可得雞接種一種疫苗后，感染某種病毒的概率為20%，沒有雞感染病毒為事件A，則．（2）恰好有1只雞感染病毒為事件B，．3．判斷下列表述正確與否，并說明理由：（1）12道四選一的單選題，隨機(jī)猜結(jié)果，猜對答案的題目數(shù)；（2）100件產(chǎn)品中包含10件次品，不放回地隨機(jī)抽取6件，其中的次品數(shù)．