第12講 幾個三角恒等式（四大題型）（解析版）

第12講幾個三角恒等式【題型歸納目錄】【知識點梳理】知識點一：半角公式（以下公式只要求會推導(dǎo)，不要求記憶），以上三個公式分別稱作半角正弦、余弦、正切公式，它們是用無理式表示的．以上兩個公式稱作半角正切的有理式表示．知識點二：積化和差公式知識點詮釋：規(guī)律1：公式右邊中括號前的系數(shù)都有．規(guī)律2：中括號中前后兩項的角分別為和．規(guī)律3：每個式子的右邊分別是這兩個角的同名函數(shù)．知識點三：和差化積公式知識點詮釋：規(guī)律1：在所有的公式中，右邊積的系數(shù)中都有2．規(guī)律2：在所有的公式中，左邊都是角與的弦函數(shù)相加減，右邊都是與的弦函數(shù)相乘．規(guī)律3：在第三個公式中，左邊是兩個余弦相加，右邊是兩個余弦相乘，于是得出“扣（cos）加扣等于倆扣”；而第四個公式中，左邊是兩個余弦相減，右邊沒有余弦相乘，于是得出“扣減扣等于沒扣”．規(guī)律4：兩角正弦相加減時，得到的都是正弦、余弦相乘．注意1、公式中的“和差”與“積”，都是指三角函數(shù)間的關(guān)系，并不是指角的關(guān)系．2、只有系數(shù)絕對值相同的同名三角函數(shù)的和與差，才能直接應(yīng)用公式化成積的形式．如就不能直接化積，應(yīng)先化成同名三角函數(shù)后，再用公式化成積的形式．3、三角函數(shù)的和差化積，常因采用的途徑不同，而導(dǎo)致結(jié)果在形式上有所差異，但只要沒有運算錯誤，其結(jié)果實質(zhì)上是一樣的．4、為了能把三角函數(shù)的和差化成積的形式，有時需要把某些特殊數(shù)值當(dāng)作三角函數(shù)值，如．5、三角函數(shù)式和差化積的結(jié)果應(yīng)是幾個三角函數(shù)式的最簡形式．【典型例題】題型一：積化和差與和差化積公式的應(yīng)用【例1】（2023上·全國·高一專題練習(xí)）求證：(1)；(2).【解析】（1）證明：因為,將以上兩式的左右兩邊分別相加，得，故（2）由（1）可得①，設(shè)，把代入①，即得.【變式1-1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）把下列各式化成積的形式：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）原式（2）原式（3）因為，所以.【變式1-2】（2023下·遼寧葫蘆島·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知．(1)利用三角函數(shù)的積化和差或和差化積公式，求的值；(2)求的值．【解析】（1），可得；（2）因為，所以，則，解得或3．【變式1-3】（2022下·高一單元測試）在中，求證：(1)；(2).【解析】（1）證明：左邊，∴等式成立.（2）證明：左邊，∴原等式成立.題型二：應(yīng)用半角公式求值【例2】（2023上·高一課時練習(xí)）已知，α為第四象限角，求，，.【解析】，，.∵為第四象限角，∴為第二、四象限角．當(dāng)為第二象限角時，；當(dāng)為第四象限角時，.【變式2-1】（2021·高一課時練習(xí)）在△ABC中，若，，求，，的值.【解析】因為A，B，C均為三角形的內(nèi)角，所以，，所以，所以，，.【變式2-2】（2021·高一課時練習(xí)）已知，求，，的值．【解析】解

，，．【變式2-3】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）已知，，求，，．【解析】因為，故，則，由可得，解得，由可得，解得，故.題型三：三角函數(shù)式的化簡【例3】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）化簡：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.【變式3-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）化簡求值(1)(2)已知，，，，求.【解析】（1）；（2）因為，是銳角，所以，因為，為銳角，所以，，因為，所以，，則，，故.【變式3-2】（2023·全國·高一課堂例題）化簡：(1)；(2)，其中．【解析】（1）∵，∴，，，，故，故，又，故，又，故，又，故，∴原式．（2）原式．①當(dāng)時，，，此時原式．②當(dāng)時，，，此時原式．【變式3-3】（2020·高一課時練習(xí)）化簡：．【解析】因為，所以，原式＝＝，所以原式.題型四：恒等式的證明【例4】（2021下·上海松江·高一統(tǒng)考期末）（1）已知角終邊上有一點的坐標(biāo)是，其中，求的值．（2）證明恒等式：．【解析】（1）當(dāng)時，點到原點的距離為，由三角比的定義得：，，∴；（2）證明：．【變式4-1】（2023下·上海奉賢·高一?？茧A段練習(xí)）(1)證明恒等式：(2)化簡：【解析】（1）得證.（2）【變式4-2】（2021·高一課時練習(xí)）證明：(1)；(2)．【解析】（1）證明：左邊右邊，所以；（2）證明：左邊右邊，所以．【變式4-3】（2021·高一課時練習(xí)）證明：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】（1）左邊==右邊，原式成立.（2）左邊=右邊，原式成立.（3）左邊=右邊，原式成立.（4）左邊=右邊，原式成立.（5）左邊=右邊，原式成立.（6）左邊=右邊，原式成立.【變式4-4】（2021下·高一課時練習(xí)）證明下列恒等式.（1）；（2）.【解析】（1）左邊右邊，原等式成立.（2）左邊右邊，原等式成立.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)二倍角的余弦公式可得：.故選：D2．（2024·云南·高一校聯(lián)考期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.3．（2024·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）求值：（

）A．0 B． C．2 D．【答案】B【解析】，故選：4．（2024·河北保定·高一河北省保定市清苑區(qū)清苑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，即，由，得，則，即，所以.故選：B5．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，又，所以，所以，所以.故選：D6．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故選：B7．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知，，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，，又，，，.故選：A.8．（2024·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】，，故，故函數(shù)的最大值為.故選：C二、多選題9．（2024·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．的一個周期為 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的一個零點為 D．在單調(diào)遞減【答案】AB【解析】，所以的周期為，的一個周期為，A選項正確.，所以的圖象關(guān)于直線對稱，B選項正確.，當(dāng)時，，所以C選項錯誤.，所以在區(qū)間上不單調(diào)，所以D選項錯誤.故選：AB10．（2024·江蘇蘇州·高一校考階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．函數(shù)的最大值為3B．點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心C．是函數(shù)的圖象的一條對稱軸D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】AC【解析】因為，所以當(dāng)，即，即時，函數(shù)有最大值3，選項A正確.又令，得，即函數(shù)的對稱中心為，顯然選項B錯誤.令，得函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)時，，選項C正確.令得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.則，選項D錯誤.故選：AC.11．（2024·吉林·高一吉林一中?？计谀┫铝懈魇街校禐榈氖牵?/p>

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】對于A，因為，所以，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D錯誤.故選：AB.12．（2024·河北唐山·高一期末）已知，且，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由，由，由上兩式解得，所以A,B正確；對于C：，C錯誤；對于D：，所以或者，又因為，所以，所以，D正確，故選：ABD三、填空題13．（2024·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中?？计谀┖瘮?shù)的值域是．【答案】【解析】由題，因為，所以.故答案為：.14．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知，則.【答案】/【解析】由得，所以，兩邊平方得，解得.故答案為：15．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】依題意，，因為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，所以，解得：，，因為，則需要滿足，且，，所以，，即，所以.故答案為：.16．（2024·湖南長沙·高一雅禮中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，則下列描述正確的是（填正確命題的序號）①的最小正周影為2π；

②的最小正周期為π；③函數(shù)的最大值和最小值分別是0，－2：

④函數(shù)的最大值和最小值分別是，.【答案】②【解析】由已知，則其最小正周期，①錯誤，②正確；又當(dāng)時，，所以當(dāng)，即時，函數(shù)最大值，當(dāng)，即時，函數(shù)最小值，③④錯誤.故答案為：②.四、解答題17．（2024·河北保定·高一河北省保定市清苑區(qū)清苑中學(xué)?？几傎悾┮阎瘮?shù)(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求圖象的對稱軸方程和對稱中心的坐標(biāo).【解析】（1）由函數(shù)，令，解得，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為（2）由（1）知，令，解得，即函數(shù)的對稱軸的方程為；再令，解得，即函數(shù)的對稱中心為.18．（2024·福建廈門·高一廈門外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知．(1)若，求的值；(2)若，且，求的值．【解析】（1），（2）依題意，由，可得，．，又．19．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)若在區(qū)間上的值域為，求的取值范圍.【解析】（1），的最小正周期.（2），，在區(qū)間上的值域為，，得，即的取值范圍為.20．（2024·廣東珠?！じ咭恍？计谀┮阎瘮?shù)，(1)求的最小周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象上每一點的橫坐標(biāo)伸長到原來的兩倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．當(dāng)時，求的值域．【解析】（1），∴的最小周期，令，，∴遞增區(qū)間是，．（2）由條件可知：，當(dāng)時，有，從而，那