第二次和第三次課合訂單純形法

11三月2024第二次和第三次課合訂單純形法一、基本思想從標(biāo)準(zhǔn)型的LP模型的一個(gè)基可行解出發(fā)，判斷是否是最優(yōu)。如果是最優(yōu)解，結(jié)束運(yùn)算；否則，設(shè)法找到一個(gè)更優(yōu)（目標(biāo)函數(shù)值減?。┑幕究尚薪?。如此繼續(xù)，經(jīng)過有限次迭代代，就可以找到LP的最優(yōu)解或判別LP問題有沒有最優(yōu)解。第三節(jié)單純形法（Simplexmethod）(1947)G.B.Dantzig找出一個(gè)初始基本可行解是否最優(yōu)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)基本可行解（找出更小的目標(biāo)函數(shù)值）最優(yōu)解是否循環(huán)結(jié)束基本思想框圖如何找初始基本可行解？如何判斷是否最優(yōu)解？如何轉(zhuǎn)換基本可行解？求回顧上一節(jié)例1：的一個(gè)基本解和一個(gè)基本可行解.解:約束方程的增廣矩陣為：x2

x4注意到A是2×4矩陣,r(A)＝2.由于第2列和第4列線性無(wú)關(guān),構(gòu)成一個(gè)2階單位子塊，因此可構(gòu)成一個(gè)基矩陣.取為基變量,為自由變量,用自由變量表表示基變量得如下同解方程組:又因5>0,6>0,該解顯然非負(fù)，因此這個(gè)解也是一個(gè)基本可行解。x2

x4基變量取為其他變量的情況若取為基變量,為自由變量,由于基本解中自由變量全取零,所以只需對(duì)第一列,第二列以及常數(shù)項(xiàng)列組成的矩陣初等行變換至行最簡(jiǎn)形:由此可得基本解:又因3>0,8>0,該解顯然非負(fù)，因此這個(gè)解也是一個(gè)基本可行解。結(jié)論:

若系數(shù)矩陣A中存在m階單位子塊,得到基本可行解之后,如何判斷它是否是最優(yōu)解呢?

設(shè)約束線性方程組AX=b的系數(shù)矩陣A的秩R(A)=m,則有如下結(jié)論成立：記增廣矩陣為（A,b），其中,基變量的取值為單位子塊中1所對(duì)應(yīng)的右邊常數(shù)項(xiàng)非負(fù),且對(duì)應(yīng)的常數(shù)那么從增廣矩陣中便可讀出一個(gè)基本可行解.項(xiàng)的值,自由變量取值全為零.該解是否最優(yōu)呢?將代入目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式中消去得注意到的系數(shù)為-10<0,而可行域中可見,當(dāng)時(shí),目標(biāo)函數(shù)值減小,所以不是最優(yōu)解.思考:若此時(shí)目標(biāo)函數(shù)中自由變量的系數(shù)均大于零,那么這個(gè)解是否是最優(yōu)解?1.單純形表中心部位

A

右列

b

底行(檢驗(yàn)行)

0

右下端目標(biāo)函數(shù)中常數(shù)項(xiàng)的相反數(shù)目標(biāo)函數(shù)中變量的系數(shù)底線二、單純形表及容許的運(yùn)算r(A)＝m2.容許運(yùn)算中心部位Ab右列底行

0右下端1)底線以上的行可進(jìn)行初等行變換(三種);2)底線以上的行乘常數(shù)后加至底行(包括右下端).底線使表具備下面四個(gè)特點(diǎn):①

②

③④3.終止條件(最優(yōu)性條件)當(dāng)表格具備如下特點(diǎn):②右列元素非負(fù)①

中心部位具有m階單位子塊③底行中相應(yīng)于單位子塊位置的元素為0(基變量對(duì)應(yīng)的底行元素為零)④底行其他元素非負(fù)(自由變量對(duì)應(yīng)的元素非負(fù))則從表格中即可讀得LP問題的最優(yōu)解和最優(yōu)值.滿足①②時(shí),可讀出基本可行解滿足①②③時(shí),判斷該解是否最優(yōu).滿足①②③④時(shí),可斷定該基本可行解是最優(yōu)解.最優(yōu)解(值)的讀法:單位子塊中1所在列對(duì)應(yīng)的變量(基變量)取相應(yīng)右列的值,其余變量(自由變量)取值為零,將它們寫在一起即是一個(gè)最優(yōu)解.而此時(shí)右下端元素的相反數(shù)即為相應(yīng)的最優(yōu)值.20-41

6-1130

5

1

-3

24

0

20-41

6-1130

5

-10

0

270

-9

的系數(shù)為-10<0滿足①②滿足①②③但④不滿足4.舉例以上講述了利用單純形表以及容許運(yùn)算求得一個(gè)基本可行解,并判斷其是否最優(yōu)的方法.若該基本可行解不是最優(yōu)的,那么如何由當(dāng)前表得到一個(gè)更優(yōu)(對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值下降)的基本可行解呢?由上面例題知,取值大于零時(shí),目標(biāo)函數(shù)值下降.這就意味著將成為基變量,不再是自由變量;那么中至少一個(gè)將由基變量變?yōu)樽杂勺兞?單純形法的后半部分討論的主要內(nèi)容.當(dāng)前基本可行解不是最優(yōu)怎么辦?設(shè)當(dāng)前表格已具備①②③三個(gè)特點(diǎn),但④不滿足:三、基可行解的轉(zhuǎn)換1)進(jìn)基變量的確定對(duì)應(yīng)的取為進(jìn)基變量;從底行中任選一個(gè)負(fù)元素,比如2)離基變量的確定“最小比例原則”也稱

原則選取一個(gè),記為

從所選元素所在的列(第j列)底線以上的正元素中按其中:3)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)運(yùn)算利用容許的運(yùn)算將變?yōu)?,該列其它元素(包括底行相應(yīng)的元素)變?yōu)?,從而實(shí)現(xiàn)將變?yōu)榛兞康哪康?1.單純形法的迭代步驟1）將問題化為標(biāo)準(zhǔn)型,寫出相應(yīng)的表格;2）建立滿足①②③三個(gè)特點(diǎn)的初始單純形表:若1)對(duì)應(yīng)的表格滿足①②③,直接進(jìn)入第3)步;若1)對(duì)應(yīng)的表格滿足①②,但③不滿足,則利用將底行以上行的若干倍數(shù)加到底行,使③滿足;若1)對(duì)應(yīng)的表格不滿足①②,則借助大M法(下一節(jié)的內(nèi)容)使①②滿足,然后再使③滿足.四、單純形算法及應(yīng)用3）若底行元素全非負(fù),則得到最優(yōu)解，結(jié)束運(yùn)算;否則轉(zhuǎn)4）.4)確定進(jìn)基變量對(duì)應(yīng)的取為進(jìn)基變量;從底行中任選一個(gè)負(fù)元素,比如令5)確定離基變量從所選元素所在的列(第j列)底線以上的正元素中按“最小比例原則”選取一個(gè),記為其中:6)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)運(yùn)算利用容許的運(yùn)算將變?yōu)?,該列其它元素變?yōu)?,從而實(shí)現(xiàn)將變?yōu)榛兞康哪康?7）觀察得到的新表(滿足①②③).若底行所有元素均非負(fù),則已得最優(yōu)解,結(jié)束運(yùn)算;否則,返回第4)步.2.例題解析例1.求解LP20-41

6-1130

5

1

-3

24

0

解:該LP已是標(biāo)準(zhǔn)形,故直接列出如下表格:滿足①②為判斷該解是否最優(yōu),利用容許的運(yùn)算使③滿足,得:

2

0

-4

1

6

-1

1

3

0

5

-10

0

270-9

1

0

-21/23

0

1

11/2800

75

21

滿足①②③但④不滿足滿足①②③④可見此LP有最優(yōu)解最優(yōu)值為例2.

求解LP解:先化LP為標(biāo)準(zhǔn)形,列出如下表格:方法一：

-1

1

1

00

2

1

2

0

10

1031001

15

-2

-3

000

0

-1

1

1

00

2

3

0

-2

10

640-101

13

-5

0

300

6

0

1

1/31/30

4

1

0

-2/31/3

0

2

0

05/3-4/31

50

0-1/35/3016

010

3/5-1/53

1

0

0

-1/52/54

001-4/53/53

0

0

0

7/5

1/5

17

滿足①②③④

010

3/5-1/53

1

0

0

-1/52/54

001-4/53/53

0

0

0

7/5

1/5

17

滿足①②③④是化為標(biāo)準(zhǔn)形的LP的最優(yōu)解.

略去松弛變量，故原LP問題的最優(yōu)解為最優(yōu)值為方法二：取底行中左邊第一個(gè)負(fù)元素對(duì)應(yīng)的變量為進(jìn)基變量

-1

1

1

00

2

1

2

0

10

1031001

15

-2

-3

000

0

04/3

1

01/3

7

05/3

01-1/3

5

1

1/3

001/3

5

0-7/3

002/310

0

01-4/5

3/5

3

0

103/5

-1/5

3

1

0

0-1/5

1/5

4

0007/51/5

17

滿足①②③④是化為標(biāo)準(zhǔn)形的LP的最優(yōu)解.

略去松弛變量，故原LP問題的最優(yōu)解為最優(yōu)值為3.注意事項(xiàng)（可能出現(xiàn)的情況）1）若迭代過程中右列元素中出現(xiàn)‘‘0’’元素(此時(shí)對(duì)應(yīng)的基本可行解中某基變量的取值為0)，那么稱該基本可行解是退化的,接下來(lái)的迭代可能出現(xiàn)循環(huán).解決辦法:在每次選進(jìn)基變量時(shí),每次選底行中左邊第一個(gè)負(fù)元素對(duì)應(yīng)的變量為進(jìn)基變量,這就是改進(jìn)的單純形法.2）若最終表格中底行元素均非負(fù),且所有自由變量(非基變量)對(duì)應(yīng)的底行元素(檢驗(yàn)數(shù))均大于‘‘0’’

,則此時(shí)LP有唯一最優(yōu)解.3）若最終表格中底行元素均非負(fù),且存在某自由變量(非基變量)對(duì)應(yīng)的底行元素(檢驗(yàn)數(shù))等于‘‘0’’

,則此時(shí)LP有無(wú)窮多最優(yōu)解.4）若最終表格中底行存在負(fù)元素,且有一個(gè)進(jìn)基變量所在的列中底線以上沒有正元素(無(wú)法迭代下去),則此LP問題無(wú)最優(yōu)解.以上結(jié)論的證明參見<<運(yùn)籌學(xué)>>清華大學(xué)出版社.例3.用單純形法求解解:將上述線性規(guī)劃化為標(biāo)準(zhǔn)形:方法一：

1

1

1

1

00

12

2

1

-1

010

6-130001

9

-1

2

-1000

0

01/2

3/2

1

-1/20

9

1

1/2

-1/201/20

3

07/2

-1/201/21

12

05/2

-3/2

01/20

3

滿足①②③但④不滿足滿足①②③但④不滿足

0

1/3

1

2/3

-1/30

6

1

2/3

0

1/3

1/30

6

0

11/3

01/3

1/31

15

0

3

0100

12

滿足①②③④略去松弛變量,得原LP最優(yōu)解為最優(yōu)解:注:由于最終表底行中自由變量對(duì)應(yīng)的系數(shù)為0,故有無(wú)窮多最優(yōu)解，即該最優(yōu)解不是唯一最優(yōu)解。方法二：

1

1

1

1

00

12

2

1

-1

010

6-130001

9

-1

2

-1000

0

1

1

1

1

00

12

3

2

011

0

18

-13

00

0

1

9

03

0100

12

滿足①②③但④不滿足滿足①②③④1

1

1

1

00

12

3

2

011

0

18

-13

00

0

1

9

03

01