離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征（六個(gè)題型）-高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題型練習(xí)（解析版）

考向41離散型隨機(jī)變量

的分布列與數(shù)字特征

經(jīng)典題型目錄

經(jīng)典題型一：離散型隨機(jī)變量

經(jīng)典題型二：求離散型隨機(jī)變量的分布列

經(jīng)典題型三：離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)

經(jīng)典題型四：離散型隨機(jī)變量的均值

經(jīng)典題型五：離散型隨機(jī)變量的方差

經(jīng)典題型六：決策問題

(2022?全國?高考真題(理))甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分,

負(fù)方得0分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝

的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

【解析】(1)設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為4民C,所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為

P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P[ABC)

=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

(2)依題可知,X的可能取值為°4°，2°，3°,所以，

P(X=O)=O.5x0.4x0.8=0.16,

P(X=IO)=O.5X0.4X0.8+0.5X0.6×0.8+0.5×0.4X0.2=0.44,

P(X=20)=0.5X0.6X0.8+0.5X0.4X0.2+0.5X0.6X0.2=0.34,

p(χ=30)=0.5χ0.6χ0.2=0.06.

即X的分布列為

X0IO2030

P0.160.440.340.06

期望E(X)=OXO.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

(2022?浙江?高考真題)現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機(jī)抽取3

張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為J,則PV=2)=,EG)=.

,,...1612

【答λλ案1】-y

【解析】從寫有數(shù)字122,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有C；種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小

值為2的取法有C+Gc：種，所以產(chǎn)?=2)=Cqe=?l

由已知可得J的取值有1,2,3,4,

—嚕^=3)=f=?-P(I)W

^?f(?)=l×-+2×-+3×^+4×-!-=-

353535357

故答案為:g.導(dǎo)

知識點(diǎn)一.離散型隨機(jī)變量的分布列

1、隨機(jī)變量

在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們確定了一個(gè)對應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示.在這個(gè)對

應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化.像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量.隨機(jī)

變量常用字母X,Y,ξ,〃，…表示.

注意：

(1)一般地，如果一個(gè)試驗(yàn)滿足下列條件：①試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；②試驗(yàn)的所有可能

結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前

不能確定這次試驗(yàn)會出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果.這種試驗(yàn)就是隨機(jī)試驗(yàn).

(2)有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)來表示.如擲一枚硬幣，X=O表示反面

向上，X=I表示正面向上.

(3)隨機(jī)變量的線性關(guān)系：若X是隨機(jī)變量，Y=aX+b,α,6是常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量.

2、離散型隨機(jī)變量

對于所有取值可以一一列出來的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量.

注意：

(1)本章研究的離散型隨機(jī)變量只取有限個(gè)值.

(2)離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：①如果隨機(jī)變量的可能取值是某一區(qū)間內(nèi)的一

切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量；②離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)

的結(jié)果，但離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定的次序一一列出，而連續(xù)型隨機(jī)變量的結(jié)果不能一一列出.

3,離散型隨機(jī)變量的分布列的表示

一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為玉，X?，，七，，x,,，X取每一個(gè)值外。=1，2,,〃)

的概率P(X=X,)=P,,以表格的形式表示如下：

x

X?X2Xi

PPlPlPiPn

我們將上表稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列.有時(shí)為了簡單起見，也用等式

P(X=X)=P;,i=?,2,,〃表示X的分布列.

4、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)

根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì)：

(1)Pj≥0，i=?,2,,n;(2)p∣+°]++p,,=].

注意：

①性質(zhì)(2)可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數(shù).

②隨機(jī)變量J所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率.

知識點(diǎn)二.離散型隨機(jī)變量的均值與方差

1、均值

若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X?l?..Xi%

PPlPlPiPn

稱E(X)=X〃,+WP++xiPi++x∕,,=l為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變

量取值的平均水平.

注意：(1)均值E(X)刻畫的是X取值的“中心位置”，這是隨機(jī)變量X的一個(gè)重要特征；

(2)根據(jù)均值的定義，可知隨機(jī)變量的分布完全確定了它的均值.但反過來，兩個(gè)不同的分布可以有

相同的均值.這表明分布描述了隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，從而也決定了隨機(jī)變量的均值.而均值只是刻畫了隨機(jī)

變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機(jī)變量的性質(zhì).

2、均值的性質(zhì)

(1)E(C)=C(C為常數(shù)).

(2)^Y=aX+h,其中α,0為常數(shù)，則y也是隨機(jī)變量，且EmX+A)="E(X)+人

(3)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).

(4)如果X∣,X?相互獨(dú)立，則E(X/X?)=E(XI)?E(Xz).

3、方差

若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X?lXiXn

PPlPlPiPn

則稱。(X)=f(x,-E(X))2化為隨機(jī)變量X的方差，并稱其算術(shù)平方根瘋石為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.

I=I

注意：(1)(Xj-E(X))2描述了%(i=1,2,,〃)相對于均值E(X)的偏離程度，而。(X)是上述偏離程度

的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差均反映了隨機(jī)變

量取值偏離于均值的平均程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越??；

(2)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量有相同的單位，而方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方.

4,方差的性質(zhì)

(1)若y=αX+8,其中α,b為常數(shù)，則F也是隨機(jī)變量，且。(aX+A)=∕θ(X).

(2)方差公式的變形：D(X)=E(X2)-[E(X)]2.

1常用結(jié)論

1、用定義法求離散型隨機(jī)變量g的分布列及均值、方差的步驟：

（1）理解J的意義，寫出g可能取的全部值；

（2）求J取每個(gè)值的概率；

（3）寫出J的分布列；

（4）由均值的定義求E（9?

2、求離散型隨機(jī)變量的分布列一般要涉及到隨機(jī)變量概率的求法，求概率時(shí)一定要弄清相應(yīng)的概率類型

（古典概型、相互獨(dú)立事件的概率、獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)、條件概率）.

（1）利用古典概型求事件N的概率，關(guān)鍵是要分清基本事件總數(shù)〃與事件/包含的基本事件數(shù)根.如果

基本事件的個(gè)數(shù)比較少，可用列舉法把古典概型試驗(yàn)所含的基本事件一一列舉出來，然后再求出事件N中

的基本事件數(shù)，利用公式P（A）='求出事件N的概率，注意列舉時(shí)必須按照某一順序做到不重不漏；如果

n

基本事件個(gè)數(shù)比較多，列舉有一定困難時(shí)，也可借助兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及排列組合知識直接計(jì)算〃?，n,再運(yùn)用

公式P（A）='求概率.

n

（2）較為復(fù)雜的概率問題的處理方法有：

①轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；

②采用間接法，先求事件/的對立事件入的概率，再由尸（A）=I-P（X）求事件/的概率.

3、高考對離散型隨機(jī)變量的均值與方差的考查主要有以下三個(gè)命題角度：（1）已知離散型隨機(jī)變量符合

條件，求其均值與方差；（2）已知離散型隨機(jī)變量的均值與方差，求參數(shù)值；（3）已知離散型隨機(jī)變量

滿足兩種方案，試作出判斷.利用隨機(jī)變量的期望與方差可以幫助我們作出科學(xué)的決策，品種的優(yōu)劣、儀

器的好壞、預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確與否等很多問題都與這兩個(gè)特征兩量有關(guān).若我們希望實(shí)際的平均水平較理想，則

先求隨機(jī)變量△的期望，當(dāng)Eo=E與時(shí)，不應(yīng)認(rèn)為它們一定一樣好，需要用。配來比較這兩個(gè)隨

機(jī)變量的方差，確定它們的偏離程度.若我們希望比較穩(wěn)定性，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或接

近.

JZ典

經(jīng)典題型一：離散型隨機(jī)變量

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）袋中有大小相同質(zhì)地均勻的5個(gè)白球、3個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，則可以作

為隨機(jī)變量的是（）

A.至少取到1個(gè)白球B.取到白球的個(gè)數(shù)

C.至多取到1個(gè)白球D.取到的球的個(gè)數(shù)

【答案】B

【解析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義，能夠一一列出的只能是B選項(xiàng)，

其中A、C選項(xiàng)是事件，D選項(xiàng)取到球的個(gè)數(shù)是2個(gè)，ACD錯(cuò)誤；

故選：B.

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）下面是離散型隨機(jī)變量的是（）

A.電燈炮的使用壽命X

B.小明射擊1次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)X

C.測量一批電阻兩端的電壓，在IOV?20V之間的電壓值X

D.一個(gè)在y軸上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在y軸上的位置X

【答案】B

【解析】對于A,電燈炮的使用壽命是變量，但無法將其取值一一列舉出來，故A不符題意；

對于B,小明射擊1次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)X是變量，且其取值為0』,2,...,10,故X為離散型隨機(jī)變量，故B

符合題意；

對于C,測量一批電阻兩端的電壓,在10V~20V之間的電壓值X是變量,但無法一一列舉出X的所有取值，

故X不是離散型隨機(jī)變量，故C不符題意；

對于D,一個(gè)在y軸上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在y軸上的位置X是變量，但無法一一列舉出其所有取值，故X

不是離散型隨機(jī)變量，故D不符題意.

故選：B.

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得。分，共下三局.用

J表示甲的得分，則｛4=3｝表示（）

A.甲贏三局

B.甲贏一局輸兩局

C.甲、乙平局三次

D.甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次

【答案】D

【解析】甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，

所以歸=3｝有兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次.

故選：D.

4.(2022?浙江?高三專題練習(xí))對一批產(chǎn)品逐個(gè)進(jìn)行檢測,第一次檢測到次品前已檢測的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為焉則E=左

表示的試驗(yàn)結(jié)果為()

A.第h1次檢測到正品,而第上次檢測到次品

B.第k次檢測到正品,而第％+1次檢測到次品

C.前hl次檢測到正品,而第左次檢測到次品

D.前％次檢測到正品,而第k+1次檢測到次品

【答案】D

【解析】由題意4表示第一次檢測到次品前已檢測的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為底因此前人次檢測到的都是正品，第

Z+1次檢測的是一件次品.

故選D.

經(jīng)典題型二：求離散型隨機(jī)變量的分布列

5.(2022?全國?高三專題練習(xí))隨機(jī)變量X的概率分布滿足P(X=k)=%(&=0,1,2,10),則用

的值為.

【答案】1024

【解析】山題意CCHCetC="2=]nM=]024.

MM

故答案為：1024.

6.(2022?河南?上蔡縣衡水實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)(理))設(shè)隨機(jī)變量J的概率分布列如下表：

g1234

???

Pa

643

則啡—2|=1)=()

【答案】C

【解析】根據(jù)隨機(jī)變量J分布列的概率分布列知I，:+:+α+:=l,解得α=:?又/一2∣=1,.Y=I或"3,

64341

則P(∣?-2∣=1)=P(?=1)+P(?=3)=→i=1∣.

故選:C.

7.(2022?浙江省蒼南中學(xué)高三階段練習(xí))甲，乙兩位同學(xué)組隊(duì)去參加答題拿小豆的游戲，規(guī)則如下：甲同

學(xué)先答2道題，至少答對一題后，乙同學(xué)才有機(jī)會答題，同樣也是兩次機(jī)會.每答對一道題得10粒小豆.己

知甲每題答對的概率均為P，乙第一題答對的概率為：，第二題答對的概率為若乙有機(jī)會答題的概率為

15

?e,

⑴求P;

（2）求甲，乙共同拿到小豆數(shù)量X的分布列及期望.

【解析】（1）由已知得，當(dāng)甲至少答對1題后，乙才有機(jī)會答題.

所以乙有機(jī)會答題的概率為P=I-（I-PP=與

Io

3

解得P=?;

4

（2）X的可能取值為0,10,20,30,40；

31111

P(X=IO)=C*?-X-X-X-

443216

尸（X=2。）=圖一

21

32111+×2113

P(X=30)=—×-+—×-4-×-×-=

32323232

/、2

八f3Y213

Pdz(Xv=40)=—×-×-=—

⑷3216

所以X的分布列為:

XO10203040

119133

P

1616323216

119133415

E(X)=Ox-+10×-+20×-+30×-+40×-=—.

161632321616

0,兩球全紅，

8.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知袋內(nèi)有5個(gè)白球和6個(gè)紅球,從中摸出2個(gè)球,記X=<

1,兩球非全紅,

求X的分布列.

【解析】由題意得，X的可能取值為0,1,

P(X=O)=舟看，

Jl

可得X的分布列如表所示:

X01

38

PTTTT

經(jīng)典題型三：離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)

9.(2022?全國?模擬預(yù)測)隨機(jī)變量X的分布列如表：其中。，h,C成等差數(shù)列，則P(IXI=I)=()

X-101

Pabc

【答案】D

【解析】因?yàn)椤?，b,C成等差數(shù)列，所以6=華∩4-C，根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)：a+b+c=?,所以

2

3gc)=]nα+c=2,所以尸(IXI=I)=P(X=I)+P(X=-1)=：

233

故選：D.

10.(2022?重慶九龍坡?三模)若隨機(jī)變量X的分布列如下所示，且E(X)=O.5,則a、b的值分別是()

X-1012

P0.3ab0.2

A.0.1,0.4B.0.4,0.1

C.0.3,0.2D.0.2,0.3

【答案】A

【解析】因?yàn)镋(X)=O.5,

所以TχO.3+Oχa+lχ6+2χO.2=O.5,解得6=0.4,

因?yàn)?.3+α+匕+0.2=1,所以0.3+a+0.4+0.2=l,解得α=0.1,

故選：A

IL（2022?浙江紹興?二模）設(shè)。<α,b,c<l,隨機(jī)變量4的分布列是

ξO12

Pabc

45

-^=-

3,?9

1111

A=-?--=-6--

4663

B.

1D.11

C=-b--

4-62

【解析】由分布列可知：a+b+c=l.

4

E(?)=O×6Z÷1×?+2×C=-,

OO=(O-g)xα+(l-g)xb+(2-g)Xe=焉，即16α+8+4c=5

1

a=一

a+b+c=?6

4A,

所以聯(lián)立方程組得：?O×67÷l×?+2×c=-,解得：,b=-

3

16〃+b+4c=51

c=-

2

故選：B

12.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量J的分布列是

ξ-1O1

?

P2-PP_

333

隨機(jī)變量〃的分布列是

123

?I-P

PP_

222

以下錯(cuò)誤的為（）

A.O≤p≤lB.尸（切=O）=Z^

c.EM)=E⑷+2D.E(∕7+g)=E(g)+E(7)

【答案】C

3

?>0

2,解得所以/正確.

【解析】對于A中，由分布列的性質(zhì)，可得()≤p≤l,

Lo

3

對于B中，尸信;7=0)=P《=0)=21￡,所以8正確.

對于C中，E(J)=,,Ee)=等，

所以E(∕+2=T+2=等≠E(∕;)=學(xué)，所以C錯(cuò)誤.

對于D中，P(?+7=0)=P(?=-l,7∕=l)=→∣=^τp(?+77=l)=^?,

P+22p+3p

P[ξ+η=2)=-?-P(^+7=3)=-6'P(?+7=4)=-y)

計(jì)算得E(g+∕7)=2;，所以E信+〃)=E(J)+E(〃)，所以。正確.

O

故選：C.

13.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知離散型隨機(jī)變量X的分布列P(X=g)="k(k=1,2,3,4,5),則。=

()

211

A.1B.?C.—D.-

3153

【答案】C

【解析】山題意得隨機(jī)變量X的分布列如表所示.

234

X?1

5555

Pa2a3a4a5a

由分布列的性質(zhì)得，a+2a+3a+4a+5a=l,解得α=’.

故選：C.

14.(2022?全國?高三專題練習(xí))設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如下：則P(IX-I∣≤1)=()

X-1012

???

Pm

346

【答案】C

【解析】由分布列性質(zhì)可得：→∕∕7+→l=l,則,W=L,

3464

1112

由∕,(∣X-l∣≤l)=P(0<X<2)=P(X=0)+P(X=l)+P(X=2)--+-+-=-,

故選：C

15.(2022?全國,高三專題練習(xí))設(shè)隨機(jī)變量4的分布列為PG=：)=公(λ=l,2,3,4,5),則下列說

法錯(cuò)誤的是()

A.15α=lB.P(0.5VgVo.8)=0.2

C.P(0,1<?<0.5)=0.2D.PG=I)=0.3

【答案】D

【解析】由題意可得α+24+3α+4α+54=l,貝IJa=白，則150=l,故A正確；

P(0.5<<<0,8)=P{ξ=0,6)=3t∕=-j∣=0.2,故B正確；

113

P(0.1<?<0.5)=PM=0.2)+P(g=0.4)=—×I+-×2=-=0.2,故C正確；

Pe=I)=七x5=；,故D不正確，

故選：D.

16.(2022?廣西桂林?模擬預(yù)測(文))設(shè)0<α<l.隨機(jī)變量X的分布列是

X0a1

???

P

333

則當(dāng)α在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，()

A.E(X)不變B.E(X)減小C.V(X)先增大后減小D.V(X)先減小后增大

【答案】D

【解析】E(X)=OX?+1Xg=等，E(X)增大；

=^y[(α+1)2+(2a-l)2+(β-2)2]=ξ(β2-β+l)=∣fβ-^J+：，

O<α<l,W(X)先減小后增大.

故選：D.

經(jīng)典題型四：離散型隨機(jī)變量的均值

17.(2022?浙江省春暉中學(xué)模擬預(yù)測)盒中有大小相同的5個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出3個(gè)小球,

記摸到白球的個(gè)數(shù)為X,則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=()

11c9c7

A.—B.-C.-

888

【答案】B

【解析】?盒中有大小相同的5個(gè)紅球和3個(gè)白球，

從中隨機(jī)摸出3個(gè)球,記摸到白球的個(gè)數(shù)為X,

.?.X的可能取值為0,1,2,3,

所以尸(X=O)噌=MP(X=D=詈嗡

123

P(X=2)=?CC=-15P(X=3)=VC=-!1-

Cl56C：56

故選：B.

18.(2022?湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測)小明班的語文老師昨天報(bào)了一次聽寫,語文老師給了小明滿分100分，

但實(shí)際上小明有一處寫了個(gè)錯(cuò)別字，告訴了小王和小丁，錯(cuò)一處扣4分，但小明自己不會給老師說，小王有

?的可能告訴老師，小丁有二的可能告訴老師，他們都不會告訴其他同學(xué)，老師知道后就會把分扣下來，則

34

最后小明的聽寫本上的得分期望E(X)=()

298289

A.-----B.98D.97

3

【答案】D

【解析】由題意可知X的可能取值為:96、100,

則P(X=96)=M一m，P(X=IoO)=(I一即用T

因此，E(X)=96×∣+IOO×∣=97.

故選：D.

19.(2022?遼寧?鞍山一中模擬預(yù)測)冬奧會的兩個(gè)吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”.“冰墩墩”將熊貓形象

與富有超能量的冰晶外殼相結(jié)合，體現(xiàn)了冰雪運(yùn)動(dòng)和現(xiàn)代科技特點(diǎn).冬殘奧會吉祥物“雪容融”以燈籠為原型

進(jìn)行設(shè)計(jì)創(chuàng)作，頂部的如意造型象征吉祥幸福.小明在紀(jì)念品商店買了6個(gè)“冰墩墩”和3個(gè)“雪容融”，隨機(jī)

選了3個(gè)寄給他的好朋友小華，則小華收到的“冰墩墩'’的個(gè)數(shù)的平均值為()

A.1B.2C.3D.1.5

【答案】B

【解析】設(shè)小華收到的“冰墩墩”的個(gè)數(shù)為鼻則入=0,1,2,3.

貝"C=O)=?∣=/PC=I)=皆$

*—?gO4T1'

213

P(?=2)=?CC=1-5；PC=3)=C??=5±

C；28C；21

所以EC)=IX33+2χ1上5+3χ53=2.

142821

故選：B

20.(2022?江西南昌?模擬預(yù)測(理))如圖是飛行棋部分棋盤圖示，飛機(jī)的初始位置為0號格，拋擲一

個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，若拋出的點(diǎn)數(shù)為1,2,飛機(jī)在原地不動(dòng)；若拋出的點(diǎn)數(shù)為3,4,飛機(jī)向前移一格；若

拋出的點(diǎn)數(shù)為5,6,飛機(jī)向前移兩格.記拋擲骰子一次后，飛機(jī)到達(dá)1號格為事件A.記拋擲骰子兩次后，

飛機(jī)到達(dá)2號格為事件B.

⑴求P(AB);

(2)判斷事件AB是否獨(dú)立，并說明理由；

(3)拋擲骰子2次后，記飛機(jī)所在格子的號為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

21P(AB)=Ixl=I

【解析】(1)由題意，因?yàn)轱w機(jī)每前移一格的概率為6=3,故'/339：

(2)山題意，A事件拋擲骰子一次后，飛機(jī)到達(dá)1號格，只能是前移了1格；8事件拋擲骰子兩次后，飛

機(jī)到達(dá)2號格可能前移了兩次一格，或一次前移兩格一次原地不動(dòng).

故「(A)=；,P(B)=→→2χlχl=l

因此P(AB)=P(A)P(B),所以事件A,8相互獨(dú)立.

(3)隨機(jī)變量X的可能取值為O,I,2,3,4,

P(X=O)=0q,P(X=I)=2χ1χL2,

339

1

P(X=2)=(^?+2×-×-=~.P(X=3)=2×∣×^=f,P(χ=4)=j??]=I,

UJ333339⑶9

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X01234

12121

P

99399

12121

所以EX=OX-+lx-+2x-+3x-+4x-=2.

99399

21.(2022?湖南益陽?模擬預(yù)測)已知一個(gè)袋子里裝有顏色不同的6個(gè)小球，其中紅球2個(gè)，黃球4個(gè)，現(xiàn)

從中隨機(jī)取球，每次只取一球.

(1)若每次取球后都放回袋中，求事件“連續(xù)取球三次，至少兩次取得紅球”的概率；

(2)若每次取球后都不放回袋中，且規(guī)定取完所有紅球或取球次數(shù)達(dá)到四次就終止取球，記取球結(jié)束時(shí)一共

取球X次，求隨機(jī)變量X的分布列與期望.

【解析】(1)連續(xù)取球三次，記取得紅球的次數(shù)為g,則g<4

則Pq≥2)=C(g)2χ∣+C(g)3=V?

(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為2,3,4,

211

p(χ=2}=-×-=-

,76515f

“V■2414212

P(X=3)=—X—X—+—X—X—=—

\765465415

P(x=4)=ι-<2_4

15^5

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X234

124

P

15155

所以隨機(jī)變量X的期望為E(X)=2xA+3x?j∣+4xt=∣∣.

22.(2022?四川成都?模擬預(yù)測(理))成都高中為了鍛煉高三年級同學(xué)的身體，同時(shí)也為了放松持續(xù)不

斷的考試帶來的緊張感，調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)狀態(tài)，特組織學(xué)生進(jìn)行投籃游戲.投籃只有“命中”和“不命中”兩種結(jié)果，“命

中”加io分，“不命中”減io分.某班同學(xué)投籃“命中”的概率為推2，“不命中”的概率為1每次投籃命中與否

相互獨(dú)立.記該班同學(xué)"次投籃后的總得分為.

⑴求％=20且4?。?1,2,3)的概率;

(2)記x=∣/∣,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【解析】(Da=20,即投籃6次，4次命中，2次不命中，若第1次和第2次命中，則其余4次可任意命中

兩次；若第1次命中，第2次不命中，第3次命中，則其余3次可任意命中2次，故所求概率為

尸嗎Y*守嗎2+*x∣y×(∣)216

X—=

3iT.

(2)乂的可能取值為1°，3°，50

2

P(X=IO)=C；創(chuàng)§)36+C照>(撲畀

2

P(X=30)=C創(chuàng)§)4

2

P(X=50)=W

C嗎?’9o1

X的分布列為

X103050

403011

P

878?8?

故E(XE糕+3。X親5。X小甯

經(jīng)典題型五：離散型隨機(jī)變量的方差

23.(2022?浙江?紹興一中模擬預(yù)測)己知袋中有大小相同、質(zhì)地均勻的黑色小球m個(gè)和白色小球2〃?個(gè)

(m≥2),從中任取3個(gè)，記隨機(jī)變量g為取出的3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)，則()

A.E?),都與,”有關(guān)B.EC)與有關(guān)，D(G與fn無關(guān)

C.Ee)與m無關(guān)，D(J)與m有關(guān)D?E("D(J)都與m無關(guān)

【答案】C

【解析】山題可知：

S)=*舞常號S=詈=前≡?

P(>2)=CC廠2加3-1)=c；?=(∕n-l)(2m-3)

CtT⑶〃一1)(3〃?-2)'`e?,,,3(3m-l)(3m-2)

4,r“、_2m(2m-l)4m(m-1)(m-l)(m-2)_

II/^?ζ)—+?-1

(3m-1)(3∕∏-2)(3/72一1)(3〃？-2)(3w-1)(3/7/-2)

_2(2"?-l)(2m-2)2m(m-1)4(m-1)(∕∏-2)

3(3ΠZ-1)(3AΠ-2)(3m-l)(3∕n-2)3(3∕π-1)(3∕H-2)

2(2，〃-l)(2∕n-2)+3×2m(m-l)÷4(^-l)(∕n-2)

3(3∕n-l)(3m-2)

(m-l)(6m-4)__2(τn-l)

(3m-l)(3∕n-2)3m-1,

故選：C.

24.(2022?江蘇徐州?模擬預(yù)測)如圖，在數(shù)軸上，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)。出發(fā)，每次

等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)3次，設(shè)質(zhì)點(diǎn)最終所在位置的坐標(biāo)為X,則X的方差為()

-??_?_???~??~_A

-4-3-2-101234X

A.0B.√3C.3D.5

【答案】C

【解析】X可能取值為1,-1,3,-3

P(X=3)=-×-×---,P(X--3)=1χ-！^χ1=L

22282228

3311

貝IJE(X)=IXj+(T)χR+3x8+(-3)xQ=0,

OOOO

DX=(I-Oyχ3+(-l-0)2x?+(3-0)2x?(-3-OyXL3

8888

故選：C.

25.(2022?河南洛陽?模擬預(yù)測(理))隨機(jī)變量J的概率分布列為P(O=Z)=記%,左=1,2,3,其中

C是常數(shù)，則。(9。-3)的值為()

A.10B.117C.38D.35

【答案】C

【解析】P(J=Z)=WPk=l,2,3,

ccc左刀/口4

—---=[,t解得c=

26123

fi(?)=l×j+2×∣+3×∣=^?,

?1■^)=(l-y)2×j+(2-y)2×∣+(3-y)2×∣=B

.?.D(9ξ-3)=92D(ξ}=81D(<)=38.

故選：C

26.(2022?浙江紹興?模擬預(yù)測)設(shè)0<p,?<l(i=l,2),隨機(jī)變量欠i=1,2)的分布列分別如下，則()

0012

I-Pl2

PPL

333

虞0I2

2I-〃2

PPi

333

A.若0<化<3，則。夠)<。?)B.若P∣<P2<g'則/>(4)>。(約

C.若α<；<必，則。(4)<。值)D.若P∣<g<P2,則。⑷>D(4)

【答案】A

【解析】設(shè)隨機(jī)變量為X,其可能的取值是%(i=l,2,3,...,","eN"),對■應(yīng)概率為p,(i=l,2,3,...,w,〃eN*),

則其數(shù)學(xué)期望(均值)為E(X)=SPixi,

i=?

其方差為：Q(X)=SP,民一E(X)]2=f化卜：+囪X)『-2x,.E(X)}

/=1I=I')

=?p,.x,2+[￡(X)]2Jp,.-2￡(X).Jp,.x.=E(X2)+[E(X)]2-2[￡(X)]2=E(X2)-[E(X)]2,

ι=l/=Iι=l

則E（O）=Ix∣+2x^=∣（l+pj,E圖=lx∣+4x?∣=∣+手，

°（4）=E（$）-［E⑹于=|+號-和+pj=g+與一1：；

EG）=IX∣+2x^^=∣（2-pJ,E（S）=Iχ∣+4χ?^^=2-gp2,

*）=E㈤-［E㈤了=2-累-1（2-夕2）2=|+/-/；

D（A）-O㈤=［（口-。2）-《（。：-。；）=S（Pl-P2）［l-（P∣+P2）］

若則P∣-P2<0,pl+p2<l,故。（。）一。值）<0,即。（。）<。㈤，故A正確，B錯(cuò)誤；

若P∣<g<P2,則PLP2<O,但無法判斷P∣+生與1的大小，故無法判斷。（。）,。倡）的大小，故CD錯(cuò)

'LJ

京?

故選：A.

27.（2022?浙江溫州?三模）已知隨機(jī)變量X,Y的分布列如下：

X1OY2-1

P0.50.5P0.50.5

則()

A.ɑX)=3E>(Y)B.￡>(Y)=3￡>(X)C.O(X)=9。(丫)D.D(Y)=9D(X)

【答案】D

【解析】E(X)=g,E(χ2)=g,D(X)=E(X2)-E2(X)=^,E(Y)=E(r2)?∣,

D(Y)=E(Y2)-E2(Y)=^.

故選：D.

28.(2022?浙江?三模)設(shè)0<P<1,隨機(jī)變量J的分布列是

則當(dāng)P在區(qū)間（0,1）內(nèi)增大時(shí)，（）

A.。倍）減小B.DG）增大

C.先減小后增大D.。但）先增大后減小

【答案】D

【解析】E(<)=pχK+lχK=三+K,Z)C)=(O上一4(1-p)+L-Z-^上+.上_竹.￡

bv7

'2222Ik22jIk22)2[22)2

=-；p4-；p2+gp=；(-p4-p2+2p),令/(〃)=一"4一/?2+2〃,"€(0,1),則r(p)=-4∕-2p+2,易得

/'(P)單調(diào)遞減，

又/(0)=2,/⑴=T,故存在POW(0,1),使得r(p0)=0,則F(P)在(0,Po)單增,在(馬』)單減,即De)

先增大后減小.

故選：D.

29.(2022?浙江?湖州市菱湖中學(xué)模擬預(yù)測)設(shè)0<“<1,隨機(jī)變量X的分布列為

X012

2-a?

Pb

?"3

則當(dāng)α在(0,1)內(nèi)增大時(shí)()

A.O(X)增大B.ZXX)減小C.D(X)先減小后增大D.D(X)先增大后減小

【答案】A

【解析】根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知等+g+%=I=人=g4,

E(X)=OX^^+lxg+26=g(l+24),

D(X)?[θ-?(?+2^)]2×^y^+[l-∣(l+2α)J2×→[2-^(l+20)J2×?^

4824,八22

=—a2+—〃+—=—(6Z—1)+一,

99993

因?yàn)?<α<l,所以。(X)單調(diào)遞增,

故選：A

30.(2022?湖北?鄂南高中模擬預(yù)測)已知A,8兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤率分別為隨機(jī)變量X∣和X?,根據(jù)市

場分析，X∣和X2的分布列如下:

X∣5%10%

P0.60.4

X22%8%12%

P0.10.50.4

⑴在A,B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資200萬元，X和X(單位：萬元)表示投資項(xiàng)目A和8所獲得的利潤，求Da)

和。(U);

(2)將X(O<x<200)萬元投資A項(xiàng)目，(2007)萬元投資B項(xiàng)目，/(x)表示投資A項(xiàng)目所得利潤的方差與投

資B項(xiàng)目所得利潤的方差之和.則當(dāng)X為何值時(shí)，f(x)取得最小值？

【解析】(1)依題意得：

XIO2()

P0.60.4

Y241624

P0.10.50.4

Ea)=IOXO.6+20x0.4=14,E(N)=4x0.