高等數(shù)學(xué)（第三版）教案 第1章 函數(shù)、極限與連續(xù)

1.1.1反函數(shù)

教學(xué)目標(biāo)：

(1)復(fù)習(xí)、理解函數(shù)(含分段函數(shù))的概念、函數(shù)的性質(zhì)、幾種常見(jiàn)函數(shù);

(2)學(xué)習(xí)反函數(shù)的概念，及反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)；

(3)介紹微軟高級(jí)計(jì)算器Mathematics4.0o

教學(xué)重點(diǎn)：

(1)函數(shù)知識(shí)復(fù)習(xí)(銜接高職階段知識(shí))；

(2)反函數(shù)。

教學(xué)難點(diǎn)：

反函數(shù)的概念

授課時(shí)數(shù)：2課時(shí)

教學(xué)過(guò)程

______________________________________i∣?______________________________________備注

引言

介紹本學(xué)科學(xué)習(xí)要求及本章主要內(nèi)容。

知識(shí)回顧

我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的概念.大家知道，在某個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量X和y,

設(shè)。是實(shí)數(shù)集的某個(gè)子集，如果對(duì)于任意的Xe。，按照確定的法則，變量y總有通過(guò)

唯一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，那么變量y叫做變量X的函數(shù)，記作y=∕(x).其中X叫幻燈

做自變量，y叫做因變量，實(shí)數(shù)集。叫這個(gè)函數(shù)的定義域.片演

示引

自變量X取定義域D中的數(shù)值與時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)值為叫做函數(shù)y=∕(χ)在與點(diǎn)

領(lǐng)學(xué)

生回

處的函數(shù)值，記作或yIx=ro.當(dāng)X遍取。內(nèi)的所有數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值所組

顧

成的集合叫做函數(shù)的值域.

定義域和對(duì)應(yīng)法則是函數(shù)的兩個(gè)要素.

在定義域的不同子集內(nèi)，對(duì)應(yīng)法則由不同的解析式所確定的函數(shù)稱(chēng)為分段函

數(shù).例如，

%,x<0,

f(χ)=<x÷l,0加1,

H

X,x>1.

其中X=0,X=I稱(chēng)為分段函數(shù)/(X)的分段點(diǎn).

函數(shù)性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、有界性、周期性。30,

學(xué)習(xí)過(guò)的幾類(lèi)函數(shù)：幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)。______________

問(wèn)題

一個(gè)裝有液體的圓柱形容器，其底面直徑為D,高為h,則容器內(nèi)液體體積y引領(lǐng)

與液面高度X的函數(shù)關(guān)系為學(xué)生

2討論

y--πDx.士

-4TG成

知道液面高度X,就可以知道容器內(nèi)液體體積以反過(guò)來(lái)，知道了容器內(nèi)液體體

積y，如何求得液面高度X呢？35'

新知識(shí)

解決提出的問(wèn)題之前，先來(lái)研究函數(shù)圖像的一個(gè)特征.

作出函數(shù)y=2x+l與函數(shù)y=/的圖像(圖1一2).觀察圖像發(fā)現(xiàn),函數(shù)y=2x+1

的圖像(圖1-2(1))與任何水平直線相交的交點(diǎn)最多有一個(gè)，具有這種特征的函

數(shù)稱(chēng)為一對(duì)一函數(shù)；而函數(shù)y=f的圖像(圖1一2(2))與水平直線相交的交點(diǎn)會(huì)

多于1個(gè)，具有這種特征的函數(shù)稱(chēng)為非一對(duì)一函數(shù).

動(dòng)畫(huà)

演示

對(duì)于一對(duì)一函數(shù)，值域中的每個(gè)函數(shù)值只有唯一的一個(gè)自變量值與之對(duì)應(yīng)，因

此可以用函數(shù)y來(lái)表示自變量X.例如，y=2x+l可以寫(xiě)成X=U,這樣就構(gòu)成

一個(gè)以函數(shù)值y為自變量的新函數(shù)，叫做原來(lái)函數(shù)的反函數(shù).按照數(shù)學(xué)習(xí)慣，仍然

用字母X表示自變量，用字母y表示函數(shù).這樣，函數(shù)y=2x+l的反函數(shù)就是

x-1

V=--------

2

函數(shù)/(X)的反函數(shù)一般記作尸(X).如/(X)=2x+l的反函數(shù)為/-'(X)=-.

函數(shù)y=2x+l與其反函數(shù)y=q的關(guān)系如圖1-3所示.

IIILl

y=2x+ly=~

圖1一3

顯然，函數(shù)/(x)的定義域是反函數(shù)∕T(χ)的值域，函數(shù)f(x)的值域是反函數(shù)

/T(X)的定義域.

求一對(duì)一函數(shù)的反函數(shù)的基本步驟是：

(1)用函數(shù)y來(lái)表示自變量x；

(2)自變量和函數(shù)互換字母.45,

知識(shí)鞏固

例1求函數(shù)y=?的反函數(shù)，并在同一個(gè)直角坐標(biāo)系內(nèi)作出它們的圖像.

解函數(shù)y=6的定義域?yàn)椋?,+∞),值域?yàn)椋跲,÷χ).

將y=五兩邊平方，整理得x=y2.

互換字母得y=/.

由于函數(shù)y=√7的值域?yàn)椋跲,go),故函數(shù)y=五的反函數(shù)的定義域?yàn)椋跲,go)?因

此所求反函數(shù)為

y=χ1(x∈［0,+oo)).

函數(shù)的圖像如圖1?4所示.

55,

鏈接軟件演示

利用MicrosoftMathematiC4.0(簡(jiǎn)體中文版)作出函數(shù)的圖像60,

新知識(shí)

顯然，不同角的同名三角函數(shù)值有可能相等，例如Sine=Sin也=」.也就是

662

說(shuō).正弦函數(shù)圖像與平行于X軸的直線y=J的交點(diǎn)會(huì)多余一個(gè)(圖1—6),所以三

教師

角函數(shù)不是一對(duì)一的函數(shù).講授

為保證三角函數(shù)存在反函數(shù)，需要改變?nèi)呛瘮?shù)的定義域，使之在所定義的區(qū)

間上為一對(duì)一的函數(shù).因此將反三角函數(shù)定義如下：

正弦函數(shù)y=Sinx在［-?∣［］上的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx,其

定義域?yàn)椋?1,1］,值域?yàn)?函數(shù)圖形如圖1—7(1)所示..

22

余弦函數(shù)y=cosx在［0,兀］上的反函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作y=arccosx,其定

義域?yàn)椋?1,1］，值域?yàn)椋?,π］,函數(shù)圖形如圖1—7(2)所示.

正切函數(shù)y=tanx在（-5令上的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，記作y=arctaIlX,

其定義域?yàn)椋?8,+8）,值域?yàn)椋?早殳，函數(shù)圖形如圖1—7（3）所示.

80,

做一做教師

利用高級(jí)計(jì)算器依次作出反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)的圖像并分析演示

函數(shù)的性質(zhì).

82,

練習(xí)題

求出下列函數(shù)的反函數(shù)，并在同一個(gè)直角坐標(biāo)系內(nèi)作出它們的圖像.學(xué)生

課上

33

(1)y=-x+6；(2)y=兀成

2

88

小結(jié)

函數(shù)的概念

復(fù)習(xí)內(nèi)容，幾類(lèi)常見(jiàn)函數(shù)新知識(shí)：反函數(shù)

函數(shù)的性質(zhì)

作業(yè)

1.進(jìn)一步梳理高中階段函數(shù)的相關(guān)知識(shí);

2.自學(xué)微軟高級(jí)計(jì)算器Mathematics4.0;

3.完成習(xí)題冊(cè)作業(yè)1.1.k

1.1.2初等函數(shù)

教學(xué)目標(biāo)：

(1)學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)的概念及其復(fù)合與分解;

(2)學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)及初等函數(shù)的概念。

教學(xué)重點(diǎn)：

復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)的概念；

教學(xué)難點(diǎn)：

復(fù)合函數(shù)的分解。

授課時(shí)數(shù)：1課時(shí).

教學(xué)過(guò)程

____________________________________________________________________________備注

問(wèn)題教師

設(shè)疑

正弦函數(shù)y=5皿1與正弦型函數(shù)^=$也(3+夕)是同一個(gè)函數(shù)嗎？

分析

3,____

新知識(shí)

根據(jù)函數(shù)的定義，這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù).正弦型函數(shù)y=sin(w+s)是

由正弦函數(shù)y=sinu和一次函數(shù)"=0x+e所組成的，這樣的函數(shù)稱(chēng)為復(fù)合函數(shù).

一般地，設(shè)函數(shù)y=∕(")是"的函數(shù)，〃=g(x)是X的函數(shù)，如果由X通過(guò)g所

確定的〃使得y有意義，則把y叫做由函數(shù)y=∕Q)及"=g(χ)復(fù)合而成的復(fù)合函

數(shù).記作y=∕[g(x)],其中X叫做自變量，〃叫做中間變量，/叫做外層函數(shù)，g叫

教師

做內(nèi)層函數(shù).講授

需要注意：

(1)不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合組成復(fù)合函數(shù)的.例如，y=4及

”=-3-f就不能復(fù)合組成復(fù)合函數(shù)，因?yàn)閷?duì)于內(nèi)層函數(shù)〃=_3-W的定義域R中

的任何X值，對(duì)應(yīng)的W值都是負(fù)數(shù)，從而使得外層函數(shù)y=4無(wú)意義.

(2)復(fù)合函數(shù)的中間變量可以不只一個(gè).例如N=*1?'是由

y=eu,u=？,?nt,t=3x復(fù)合而成，其中"和f都是中間變量U和f都是中間變量.

將幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)通稱(chēng)為基本初等函數(shù).

將由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合所構(gòu)成，并且

能用一個(gè)式子來(lái)表示的函數(shù)叫做初等函數(shù).

在研究問(wèn)題的時(shí)候，通常將比較復(fù)雜的函數(shù)看作是由幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成

的，從而使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單一些.這里所說(shuō)的簡(jiǎn)單函數(shù)一般指基本初等函數(shù)或基本初等

函數(shù)與常數(shù)的四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù).13,

知識(shí)鞏固

例2設(shè)函數(shù)y=u2,u=cosV,v=2x＞試將y寫(xiě)成X的函數(shù).

教師

解y=(cosv)2=cos2(2x),

引領(lǐng)

完成

說(shuō)明這個(gè)函數(shù)由三層函數(shù)復(fù)合而成.外層是幕函數(shù)y=〃2；中層是三角函數(shù)

M=COSV;內(nèi)層是幕函數(shù)與常數(shù)的四則運(yùn)算V=2x?

例3指出下列函數(shù)的復(fù)合過(guò)程.

(1)y=?j5+2x；(2)y-e~x^~1:(3)y=Igsin2X.

學(xué)生

完成

解(1)函數(shù)y=,5+2x是由y=&,〃=5+2X復(fù)合而成的.

⑵函數(shù)y=e-'τ是由y=e",w=-χ2一1復(fù)合而成的.

(3)函數(shù)y=lgsi∏2χ是由y=lgw,:，V=SinX復(fù)合而成的.

說(shuō)明分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程是非常重要的.設(shè)復(fù)合函數(shù)y=∕{dg(x)]},對(duì)教師

于給定的X值，計(jì)算函數(shù)值的順序是先計(jì)算內(nèi)層函數(shù)值g(x)=u,再計(jì)算中層函強(qiáng)調(diào)

數(shù)值e")=〃，最后計(jì)算外層函數(shù)值f(")=y.即“由內(nèi)向外''逐層計(jì)算,并且每一層

都是計(jì)算一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的值.分析函數(shù)的復(fù)合順序的過(guò)程恰好與計(jì)算函數(shù)值的順序

相反，是“由外向內(nèi)''逐層復(fù)合.28,

練習(xí)1.1.2

1.指出下列函數(shù)的復(fù)合過(guò)程學(xué)生

課上

(1)y=siι√(8x+5)；(3)y≈5(x+2)2

i完成

2.寫(xiě)出由各函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)并求其定義域.

(1)?=Inw,H=4-V2,V=Cosx；(2)y=?[u,w=X3+8.

40'

小結(jié)

新知識(shí)：復(fù)合函數(shù)一初等函數(shù)

作業(yè)

1.梳理1.1節(jié)知識(shí)內(nèi)容；45,

2.自學(xué)微軟高級(jí)計(jì)算器Mathematics4.0;

3.完成習(xí)題冊(cè)作業(yè)1.1.2°

1.2.1極限的定義

教學(xué)目標(biāo)：

(1)結(jié)合圖像理解極限的的概念及其兩種變化過(guò)程；

(2)了解兩種趨近過(guò)程中極限存在的充要條件，會(huì)判斷極限是否存在;

教學(xué)重點(diǎn)：

函數(shù)在自變量?jī)煞N變化過(guò)程的極限;

教學(xué)難點(diǎn)：

極限的概念。

授課時(shí)數(shù)：2課時(shí).

教學(xué)過(guò)程

過(guò)程__備__注________________________________

劉徽在“割圓術(shù)”中提到，如果不斷地分割下去，直到圓周無(wú)法再分割為止，動(dòng)畫(huà)

即圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限多的時(shí)候，正多邊形的周長(zhǎng)就與圓的周長(zhǎng)“合演示

體”而完全一致了.下面對(duì)這種數(shù)學(xué)思想做進(jìn)一步研究.主要研究在自變量X的某

種變化趨勢(shì)下，函數(shù)y=/(X)的變化趨勢(shì).

自變量的變化規(guī)律分為兩大類(lèi).

(1)自變量X的絕對(duì)值無(wú)限增大，記為X→8,當(dāng)X只取正數(shù)而無(wú)限增大時(shí)，

記為X→+00,當(dāng)X只取負(fù)數(shù)而絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，記為X→Y.結(jié)合

圖像

(2)自變量X無(wú)限趨近于某定值X。，記為X→々，當(dāng)X從左側(cè)無(wú)限趨近于?(即

動(dòng)畫(huà)

演示

只取小于麗的值)時(shí)，記為X→X(f,當(dāng)X從右側(cè)無(wú)限趨近于兩(只取大于與的值)

時(shí)，記為X→X(1*.

10,

l.x→8時(shí)，函數(shù)y=f(x)的極限

探究利用高級(jí)計(jì)算器作出函數(shù)y=?!?的圖像(圖1-8),觀察圖像，研究當(dāng)X的絕

X

對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)值y的變化情況.

教師

演示

分析

講解

新知識(shí)

觀察圖1-8發(fā)現(xiàn)，隨著自變量X絕對(duì)值的增大，圖像越來(lái)越接近X軸，說(shuō)明函

數(shù)y=」的絕對(duì)值越來(lái)越小，并且無(wú)限趨近于0.

X

一般地，設(shè)/(x)對(duì)任意大的N有意義，如果當(dāng)X→8(或Xf-OO,Xf400)時(shí),

/(幻的值無(wú)限趨近于確定的常數(shù)A,則把常數(shù)A叫做函數(shù)/(x)當(dāng)x→8(或

Xf-OO,%―+∞)時(shí)的極限，記作xI→im∞/(x)=A(或xI→im-∞/(x)=A,xI→im+∞/(x)=A).還

可以記作/(x)→A(X→00,或X→-8或冗->+8).

符號(hào)X—>00包括X―>-8與X―>+8,因此25,

Iimf(X)=Iim/(?)=A=Iim/(x)=A.

X→-∞X→+∞X—>00

知識(shí)鞏固

例1作出下列函數(shù)的圖像，寫(xiě)出x→8時(shí)的極限.

(1)y=77;(2)y=arctanx

國(guó)教師

解(1)利用高級(jí)計(jì)算器作出函數(shù)圖像(圖1-9),觀察圖像知，Iiml=O;引領(lǐng)

完成

學(xué)生

完成

教師

.πJl強(qiáng)調(diào)

I1imarctanx=——，Iimarctanx=-Iim/(x)=2.

x→-∞2x→+∞2χ→÷∞

因此Iimarctan?≠I(mǎi)imarctanx,

X→-O0x→+∞

35'

所以xI→im∞arctanx不存在.

2.X→J?時(shí)，函數(shù)y=∕(x)的極限

學(xué)生

探究課上

Y2-I完成

觀察函數(shù)y=的圖像(圖1-11),研究當(dāng)X無(wú)限趨近1時(shí)，函數(shù)值)，的變

X-I

化情況.

40,

-2Λ]p1

/^τ

圖1-11

知識(shí)

由于當(dāng)XWl時(shí)

x~-1(x÷l)(?-1)

y=-------=--------------=x+1l.

x-1?-l

r2-1

函數(shù)y=L的圖像就是在函數(shù)),=χ+l的圖像中挖去點(diǎn)(1,2)(圖1-11).觀

x-1結(jié)合

察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量X從1的左側(cè)無(wú)限趨近于1時(shí)，函數(shù)值無(wú)限趨近于2；當(dāng)自變量圖像

X從1的右側(cè)無(wú)限趨近于1時(shí)，函數(shù)值無(wú)限趨近于2；如果自變量從1的兩側(cè)以任分析

意方式無(wú)限趨近于1時(shí)，函數(shù)值無(wú)限趨近于2.

一般地，設(shè)/(無(wú))在點(diǎn)與近旁有意義(在質(zhì)點(diǎn)可以沒(méi)有定義)，如果當(dāng)x→同時(shí).，

/(幻的值無(wú)限趨近于確定的常數(shù)A,則把常數(shù)A叫做函數(shù)/(幻當(dāng)X→Λ0時(shí)的極限，

記作Iimf(x)=A.還可以記作/(x)→A(X→J?)??從左側(cè)趨近點(diǎn)通時(shí)的極限叫

XfXo

做左極限，記作Iim/(X)=A;X從右側(cè)趨近點(diǎn)聞時(shí)的極限叫做右極限，記作

Iimf(x)=A.

符號(hào)X→?包括X→X。一與尤與+，故

Iimf(X)=Iimf(x)=AOIimf(x)=A.

+

X→XQ^X→Λ?XT&55,

知識(shí)鞏固

X+l,X<0,

例2已知函數(shù)/(冗)=0,x=0,

x-?x>0.

9教師

(1)求當(dāng)x→l時(shí)，函數(shù)F(X)的極限;引領(lǐng)

(2)求當(dāng)x→0時(shí).，函數(shù)/*)極限.學(xué)生

解作出函數(shù)圖形(圖1-12),觀察圖像知：完成

(1)Iim/(x)=O；

x→?

(2)Iimf(x)=1,Iimf(X)=-L因?yàn)镮im/(x)≠I(mǎi)imf(X),

X→0-Λ→0+X→O-Λ→0+

所以當(dāng)x→O時(shí)，/(x)的極限不存在.

Jz

65,

圖1-12

練習(xí)1.2.1

1.利用函數(shù)圖像求下列極限.

(1)IimC(C為常數(shù))；(2)Iim2'；學(xué)生

x~^xQχ->-<c課上

(3)Iimd)%(4)Iimsinx;完成

X→+OO2Λ→0教師

講評(píng)

2.作出函數(shù)f(x)=L2X'的圖像，并求Hmf(X).

[i-x,ICXW2.l→ι

85,

______________新知識(shí)：函數(shù)極限的定義_______________________________________

1.自學(xué)微軟高級(jí)計(jì)算器MathematiCS4.0;

2.完成習(xí)題冊(cè)作業(yè)1.2.1。90,

1.2.2極限的運(yùn)算

教學(xué)目標(biāo)：

（1）結(jié)合圖像，根據(jù)定義認(rèn)知幾個(gè)常用的極限；

（2）了解極限的運(yùn)算法則，能利用法則和常用極限進(jìn)行簡(jiǎn)單的極限運(yùn)算;

（3）掌握利用微軟高級(jí)計(jì)算器計(jì)算極限的方法。

教學(xué)重點(diǎn)：

利用極限的運(yùn)算法則和常用極限進(jìn)行簡(jiǎn)單的極限運(yùn)算；

教學(xué)難點(diǎn)：

極限計(jì)算中轉(zhuǎn)化思想的理解與運(yùn)用。

授課時(shí)數(shù)：2課時(shí).

教學(xué)過(guò)程

____________________________________________________________________備注

做一做

利用高級(jí)計(jì)算器作出并觀察函數(shù)圖像，可以得到下列幾個(gè)常用極限：教師

(1)IimJ-=O(α為正實(shí)數(shù))；(2)IimC=C(C為常數(shù))；引領(lǐng)

Λ→OOXaX—>00師生

(3)IimC=C(C為常數(shù))；(4)IimX=兩；共同

X->3X→Λ()完成

(5)IimXa=XOa(當(dāng)α<0時(shí)，?≠0)..

?'r→?20'

新知識(shí)

計(jì)算函數(shù)的極限時(shí)，經(jīng)常要用到極限的下列運(yùn)算法則（證明略）：

教

設(shè)Iim/(x)=A,Iimg(x)=B.K1J師

X→?X→Λθ利用

1.lim[∕(x)±g(x)]=Iim/(x)±Iimg(x)=A±B；微軟

X→Λ0XfXo.v→x0計(jì)算

2.Iim[/(x)?g(x)]=Iimf(x)-Iimg(x)=AB;特別當(dāng)g(x)=C(C為常數(shù))器通

)A—>x

X—>7XfN)0過(guò)特

時(shí)，有例驗(yàn)

IimCf(x)=CIim/(九)=CA.證法

X→XQXfW則

、Iim/(x).

3.Iim=-------=-(B≠0).

XT與g(x)Iimg(x)B

以上極限運(yùn)算法則對(duì)于X→8的情況也成立，并且法則1與法則2還可推廣到

存在極限的有限個(gè)函數(shù)的情形.

利用極限的運(yùn)算法則和上述幾個(gè)常用極限，可以計(jì)算函數(shù)的極限.30'

知識(shí)鞏固

例1求lim(2x3+2).

Λ→2

解因?yàn)镮imX3=23=8,所以

x→2教師

領(lǐng)

lim(2x3+2)=Iim2x3+Iim2引

Λ→2X→2X→2完成

=21imX3+2

.r→2

=2×8+2=18.

[、一.2廠+1

例2求1Iim---------,

XTlx-3

解因?yàn)閘im(x-3)=-2≠0且IimQ-+1)=3,

x→lx→?學(xué)生

2χ2+ιJ?Q∕+D3完成

所以hm______—___?________-___

XTlX-3Iim(X-3)2

χ→?<?

r2-O

例3求Iim-----------.

XT-3χ÷3

解因?yàn)镮ima+3)=0,所以不能直接應(yīng)用法則來(lái)計(jì)算.考慮到函數(shù)的分子和

X—>-3

分母存在公因式(x+3),于是，可以先約去公因式，再求極限.即

..x?-9.(x+3)(x—3)

Iim--------=I1im------------------

1-3χ+3XT-3χ+3

=Iim(X-3)

x→-3教師

=-6.強(qiáng)調(diào)

2轉(zhuǎn)化

例4求Iim—："—.的思

Λ→∞2X+X-1

想和

方法

解當(dāng)工→8時(shí)，(χ2+χ)->8,(2X2+X-1)→∞,即分子與分母的極限不存

在，故不能直接應(yīng)用法則來(lái)計(jì)算.考慮到分子和分母都是多項(xiàng)式，可以先將分子、

分母同時(shí)除以分母中自變量的最高次幕，然后再求極限.即

2I+-

Iim—?+A—=Iim------λ

^→oc2x+%-1λ→∞??11

2+-------γ

XX

Iim1+Iim?

X→∞X->∞X

Iim2÷Iim----Iim—

Λ→∞X->8XX→00?-

1+0165,

____________________________2+0-011?_________________________________

鏈接軟件

利用高級(jí)計(jì)算器可以方便的計(jì)算函數(shù)的極限(詳見(jiàn)實(shí)驗(yàn)1)?

計(jì)算例4操作如下：師生

1.單擊極限輸入符號(hào)，在命令窗口出現(xiàn)的極限號(hào)下的方框中輸入“8”，后面共同

輸入極限式；完成

2.單擊“輸入”，得到極限值05

請(qǐng)同學(xué)自己操作一下，利用高級(jí)計(jì)算器求出下列兩個(gè)重要極限：

(1)Iim"n?=1；(2)Iim(I+3*=e?

XTOXX->8X

70'

練習(xí)1.2.2

計(jì)算下列極限：學(xué)生

課上

(I)lim(3x2-5x+2)；(2)Iim———?—；

x->2X→∞X4-3x+1完成

x-3X2-9教師

(3)Iim?—；(4)Iim--------.

δ

XT3x+]XT3X-3講評(píng)

85'

幾個(gè)常用結(jié)果

法則及其應(yīng)用一一兩種情況下的轉(zhuǎn)化酢窮

極限的運(yùn)算■b

［趨近某一點(diǎn)

微軟計(jì)算器

作業(yè)

I.自學(xué)微軟高級(jí)計(jì)算器MathematiCS4.0;90,

2.完成習(xí)題冊(cè)作業(yè)1.2.2。_____________________________________________________

1.2.3無(wú)窮小量

教學(xué)目標(biāo)：

(1)結(jié)合圖像，了解無(wú)窮小的概念；

(2)能進(jìn)行無(wú)窮小的比較。

教學(xué)重點(diǎn)：

無(wú)窮小的比較；

教學(xué)難點(diǎn)：

無(wú)窮小的比較。

授課時(shí)數(shù)：1課時(shí).

教學(xué)過(guò)程

___________________M___________________備注

新知識(shí)

《莊子天下篇》中有一個(gè)命題：“一尺之棱，日取其半，萬(wàn)世不竭”.意思課件

是說(shuō)，一尺長(zhǎng)的木棍，今天取其一半，明天取其一半的一半，…，如是“日取其半”或?qū)?/p>

無(wú)限的取下去，總會(huì)有剩下的存在.顯然，當(dāng)時(shí)間趨近無(wú)窮時(shí)，所剩的木棍的長(zhǎng)度物演

是以零為極限的量.示

在生活和科研中，經(jīng)常遇到某一個(gè)過(guò)程中極限為零的量.

一般地，若Iim/(x)=0,貝!|函數(shù)/(x)叫做當(dāng)x->玉)或(x→8)時(shí)的無(wú)窮

Xf?

(χ→∞)

小量，簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮小.

注意(I)無(wú)窮小不是一個(gè)很小的數(shù)，它是在自變量的某一變化過(guò)程中的以零

為極限的一個(gè)變量.但數(shù)“0”是一個(gè)例外，數(shù)“0”是無(wú)窮小，那是因?yàn)閿?shù)“0”

可以視為常函數(shù)并且Iim0=0.

XfxO

(χ→0>)

(2)一個(gè)函數(shù)是否為無(wú)窮小量，取決于它的自變量的變化趨勢(shì).例如，由

教師

IimX2=0知，/是當(dāng)Xfo時(shí)的無(wú)窮小；由IimX2=1知，/不是當(dāng)X時(shí)的無(wú)

X→0Λ→l強(qiáng)調(diào)

窮小.因此，說(shuō)某一變量是無(wú)窮小量，必須指明自變量的變化趨勢(shì).

當(dāng)X→0時(shí)，函數(shù)X、■?、/都是無(wú)窮小.觀察圖1—13看出，它們趨近于

0的速度是不同的，乘方的次數(shù)越高，趨近于0的速度越快.

為了反映出在自變量的同一變化過(guò)程中，不同函數(shù)變化過(guò)程的差異，需要進(jìn)行

無(wú)窮小的比較.

一般地，設(shè)α和夕是同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小，即lima=0,lim￡=0.則

結(jié)合

具體

(1)如果lim2=0,則夕叫做比α較高階的無(wú)窮小，即夕趨近O的速度高

a函數(shù)

引出

于a,記作β=o(a)；并介

紹比

(2)如果Iim2=oo,則尸叫做比口較低階的無(wú)窮小，即夕趨近O的速度

a較方

法

低于α；

(3)如果lim2=C(C為非零常數(shù))，則方叫做與α同階的無(wú)窮小，即尸

a

趨近。的速度與α相當(dāng).特別地，當(dāng)C=I時(shí)，即IimH=I時(shí)，?叫做與ɑ等價(jià)的無(wú)窮

a

小.記作：a?B.讀做“a等價(jià)于β,'.25,

知識(shí)鞏固

例5比較下列各組無(wú)窮小.

(1)當(dāng)x→?l時(shí)，比較x-1與X2-1；

2教師

(2)當(dāng)XfO時(shí)，比較X2與工.