2022年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型+難題型練習(xí)二匯總

類型二恒成立問題與有解問題

不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：

一般地，已知函數(shù))=∕(x),xe[α,5∣,y=g(x),x∈[c,4]

⑴若％∈[o,句，Vx2w[c,d],總有/α)<g(x2)成立,故/'(x)max<g(巧)由；

⑵若％∈[a,可，3Λ2∈[c,t∕],有〃xj<g(x2)成立，故/(x)mιx<g(w)max；

(3)若玉le[4,句，3x2∈[c,d],有∕α)<g(x2)成立,故〃力=<g(w)min;

(4)若DXl∈[α,b],3?∈[c,d],有/(F)=g(x2),則/(x)的值域是g(x)值域的子

集.

二.恒成立問題的一般解答方法如下：

(1)參數(shù)分離法：將原不等式化為4>g(x)或α<g(x)恒成立的問題，然后分析函數(shù)g(x)

在所給區(qū)間的單調(diào)性及最值，只需滿足最值成立即可；

(2)分類討論：討論函數(shù)“*)在所給區(qū)間單調(diào)性及最值，需滿足∕≡(x)<°或

Znin(X)>。

【典例1】已知函數(shù)f(x)=(l—X)e'—1.

(1)求f(x)的極值；

⑵設(shè)g(x)=(x—t”+(InX—9，存在x∣∈(—8,+8),χ2∈(0,+∞),使方程f(*ι)

=晨就成立，求實(shí)數(shù)卬的最小值.

【典例2】設(shè)函數(shù)f(x)=aχ2-χinχ-(2a—1)x+a-l(5∈R).若對任意的x0[l,÷o°),

F(X)20恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【典例3]已知f(x)=A,2—4%—61nX.

(1)求F(X)在(1,F(D)處的切線方程以及F(X)的單調(diào)性；

(2)對任意x∈(l,+o0),有Xf(x)—F(X)>1+64?12恒成立，求攵的最

大整數(shù)解；

(3)令g(x)=F(x)+4x—(a—6)In%若g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)分別為汨，照(汨VX2)且施為

g(x)的唯一的極值點(diǎn)，求證：?I+3A2>4Λ?().

【典例4】已知函數(shù)f(x)=V+五cosX.

(1)求函數(shù)F(X)的最小值；

(2)若函數(shù)g(x)=f(x)—a在(0,+8)上有兩個(gè)零點(diǎn)汨，χ2f且矛1<如求證：x?+x2<

π.

【典例5】已知函數(shù)F(X)=ae'f-Inx+lna.若F(x)Nl,求a的取值范圍.

1—a

【典例6】設(shè)函數(shù)f(x)=alnx+-yAγ2-6x(aWl),曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,F(D)處的切線

斜率為0.

⑴求6;

(2)若存在於21,使得f(x0)〈告，求a的取值范圍.

a—1

2思路分析

?存在冊21,使得fO>)<T

a-I

I

?FXmin<?

I

?求fXmin

【典例7】已知函數(shù)AX)=21nx+1.若AX)W2x+c,求C的取值范圍.

【典例8】已知函數(shù)f(x)=lnX—ax,g(x)=f,a∈R.

(1)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；

(2)若f(x)<g(x)恒成立，求a的取值范圍.

1

【典例9】已知為函數(shù)F(X)=X"InX的極值點(diǎn).

(1)求a的值;

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/，若對VXl￡(0,+∞),3Λ2∈RT使得F(xι)—g(E)20,求力的取值

范圍.

Ip

【典例10】設(shè)函數(shù)/(x)="Λ2-a-lnx,?(x)=--^7,其中“GR,e=2.718…為自然對數(shù)的底

數(shù).

(1)討論Kr)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)x>1時(shí)，g(x)>0:

(3)確定"的所有可能取值，使得/(x)>g(x)在區(qū)間(1,+oo)內(nèi)恒成立.

【典例11】已知函數(shù)兀V)=InX—2-

(1)求函數(shù)./U)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)x>l時(shí)，火x)<χ-l;

(3)確定實(shí)數(shù)k的所有可能取值，使得存在刈>1,當(dāng)Xe(1,xo)時(shí)，恒有J(X)>%(x—1).

類型三等比數(shù)列

1.下列結(jié)論中,錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（）

①滿足an+1=qan（n∈N*,q為常數(shù)）的數(shù)列區(qū)｝為等比數(shù)列.

②a,b,c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac.

③如果數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列,b,,=a2n-1+a2n,則數(shù)列｛bn｝也是等比數(shù)列.

④如果數(shù)列為等比數(shù)歹U,則數(shù)列（lna,,｝是等差數(shù)列.

A.1B.2C.3I）.4

2.[2021陜西百校聯(lián)考]已知等比數(shù)列｛an｝的公比為q,前4項(xiàng)的和為a∣+14,且a2,a3+l,乙成等

差數(shù)列,則q的值為（）

A.ElIl32回或2B.1或EllEI2I3C.2D.3

3.[2021安徽省四校聯(lián)考]已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛a,,｝的前n項(xiàng)和為S,,,若

a產(chǎn)團(tuán)1團(tuán)8團(tuán)，$3-@|=回3團(tuán)4回，貝（]S=（）

A.01016EIB.01080C.0310160D.EH508E1

4.在等比數(shù)列｛a,J中，若a3=2,a7=8,則as等于（）

A.4B.-4C.±4D.5

S

5.（2020哈國∏）記S”為等比數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)和.若as—a3=12,a<Laι=24,則'等于（）

a,）

Λ.2"-lB.2-2'^n

C.2-2n^'D.21^"-l

6.已知等差數(shù)列｛a.｝和等比數(shù)列｛bj的各項(xiàng)都是正數(shù)，且al=b,,a.1=b1,.那么一定有（）

A.ae≤beB.C.di2^bi2D.3i2^bi2

7.已知等比數(shù)列｛&）的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q,且a∣>l,aβ+a7>a6a7+l>2,記｛aj的前n

項(xiàng)積為Tn,則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.0<q<lB.a6>l

C.T12>1D.T13>1

8.數(shù)列瓜｝中,aι=2,ara+n=ama∏,若ak+dak+2T--5+3=2"一2',則k等于（）

A.2B.3C.4D.5

2

9.已知函數(shù)f（x）=]+χ2（xWR）,若等比數(shù)列｛aj滿足aιa2020=l,則f（a?）+f（a2）+f（a?）4—

+f（a2020）等于（）

A.2020B.1010C.2D.∣

10.(2020?全國I)設(shè)｛a∣1｝是等比數(shù)列,?al+a2+a3=l,a2+a3+a4=2,則ae+ar+as等于

()

Λ.12B.24C.30D.32

(2)已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S1,,且SIO=I0,S30=130,則8。等于()

A.-510B.400

C.400或一510D.30或40

11.[2021四省八校聯(lián)考]設(shè)無窮數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為S,”有三個(gè)條件：

①an,,n=aπ,?an,②S.=a?i+1,a∣≠0,③Sn=2an+l≡ll3pEI(p是與n無關(guān)的參數(shù))，則從中選出兩個(gè)條件,

能使數(shù)列EJ為唯一確定的等比數(shù)列的條件是.

12.數(shù)歹(]｛an｝,｛bn｝滿足aι=T,b∣=2,且回甌a團(tuán)n+1回=-

IZIbEIn團(tuán),1ZIEIb團(tuán)n+1團(tuán)=2團(tuán)al3nl2l-3l2lbmnEII2團(tuán)(n∈N*),則b2oιs+b2o?e=.

13.已知點(diǎn)(n,a.)在函數(shù)f(x)=2一的圖象上(n∈N*).數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S“，設(shè)b”=

IOgH,數(shù)列｛bj的前n項(xiàng)和為T0.則T,,的最小值為

叵64

14.(2020?江蘇)設(shè)區(qū)｝是公差為d的等差數(shù)列，｛b?｝是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列⑸

+bj的前n項(xiàng)和Sn=ι√-n+2"-l(nCN*),則d+q的值是.

?1

15.已知等比數(shù)列｛aj的首項(xiàng)為萬，公比為一],前n項(xiàng)和為權(quán),且對任意的n∈N',都有A

≤2Sn-?B恒成立，則B-A的最小值為.

?n

16.(2020?聊城模擬)在①a5=b3+b5,(S)S3=87,③ag-a∣°=b∣+b2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，

補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答.

設(shè)等差數(shù)列｛a,,｝的前n項(xiàng)和為S“，數(shù)列｛b,J的前n項(xiàng)和為T“，,al=b6,若對于任

意n∈N'都有T"=2b,「l,且SnWSk(k為常數(shù))，求正整數(shù)k的值.

17.(2019?全國∏)已知數(shù)列｛a,,｝和｛bj滿足a∣=l,b∣=0,4an+1=3an-b?+4,4bn+ι=3b,,-

-

an4.

(1)證明：｛a,,+bj是等比數(shù)列，｛a,,一bj是等差數(shù)列；

(2)求｛aj和｛bj的通項(xiàng)公式.

18.已知數(shù)列⑸｝滿足a∣=l,nan+ι=2(n+l)a”.設(shè)b”=郎.

⑴求b∣,b2>b3;

(2)判斷數(shù)列｛b,J是不是等比數(shù)列，并說明理由;

(3)求｛aj的通項(xiàng)公式.

19.已知等比數(shù)列｛atl｝的公比q>l,aι=2,且a”a2,a3—8成等差數(shù)列，數(shù)列｛a,h｝的前n

—Hrd2n—1,3"+1

項(xiàng)和為-------2-------

⑴分別求出數(shù)列瓜｝和?｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為S“，任意n∈N*,S“Wm恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值.

20.［2016全國卷HI,17,12分］［理］已知數(shù)列⑸｝的前n項(xiàng)和Sn=l+λa∏,其中λ≠0.

(1)證明｛aj是等比數(shù)歹并求其通項(xiàng)公式；

(2)若Ss=EI31團(tuán)32團(tuán)，求λ.

21.[2020全國卷m,17,12分]設(shè)等比數(shù)列｛aj滿足a,+a2=4,a3-al=8.

(1)求｛&,｝的通項(xiàng)公式；

｛｝

(2)記Sn為數(shù)列l(wèi)og3an的前n項(xiàng)和.若SBI+S"∣=S*J,求m.

22.[2020海南，18,12分]已知公比大于1的等比數(shù)列｛a,J滿足a2+a1=20,a3=8.

(1)求｛a,,｝的通項(xiàng)公式；

+-

⑵求a∣a2-a2a3???+(l)"'anan+∣.

類型二概率、隨機(jī)變量及分布

考點(diǎn)一古典概型

古典概型的概率公式

P小m事件A中所含的基本事件數(shù)

P(A)-tl-試驗(yàn)的基本事件總數(shù).

【典例】1已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有

一件次品的概率為()

A.0.4B.0.6C.0.8D.1

(2)從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率

為

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

【拓展訓(xùn)練】1(1)我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥

德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30=7+23.在不超過30

的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是()

a±b±e?DL

12141518

(2)某公司安排甲、乙、丙、丁4人到A,B,C三個(gè)城市出差，每人只去一個(gè)城市，且

每個(gè)城市必須有人去，則A城市恰好只有甲1人去的概率為()

1111

----

A.5B.4C.3D.6

考點(diǎn)二隨機(jī)變量的分布列

1.超幾何分布

在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件｛X=k｝發(fā)生的概率

pkzxn-k

P(X=k)=二；,k=0,1,2,???,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈fΓ.

2.二項(xiàng)分布

一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的

概率為P，則

P(X=k)=C?∣k(l-p)"f,k=0,1,2,…，n.

考向一超幾何分布

【典例】2如圖，在直角坐標(biāo)系中，圓的方程為x2+y2=l,Λ(l,0),B

<44I為圓上三個(gè)定點(diǎn)，某同學(xué)從A點(diǎn)開始，用擲骰子的方法移動棋子.規(guī)定：①

每擲一次骰子，把一枚棋子從一個(gè)定點(diǎn)沿圓弧移動到相鄰的下一個(gè)定點(diǎn)；②棋子移動的方向

由擲骰子決定，若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，則按圖中箭頭方向移動，若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為奇

數(shù)，則按圖中箭頭相反的方向移動.設(shè)擲骰子n次時(shí)，棋子移動到A,B,C處的概率分別為

P“(A),P“(B),P“(C).例如，擲骰子一次時(shí)，棋子移動到A,B,C處的概率分別為R(A)=0,

P1(B)P∣(C)=1,

(1)分別擲骰子二次，三次時(shí)，求棋子分別移動到A,B,C處的概率；

(2)擲骰子n次時(shí)，若以X軸非負(fù)半軸為始邊，以射線0A,OB,OC為終邊的角的余弦值

記為隨機(jī)變量X“，求L的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)記P“(A)=a“，P,.(B)=b,1,P,1(C)=c,1,其中a“+b“+c“=l.證明：數(shù)列卜一1是等比

數(shù)列，并求a2020.

【拓展訓(xùn)練】2PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的可

入肺顆粒物.根據(jù)現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)GB3095—2012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)

量為一級；在35微克/立方米?75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以

上空氣質(zhì)量為超標(biāo).從某自然保護(hù)區(qū)2018年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10

天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示：

PM2.5日均值

[25,35

(微克/立方[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85]

)

米)

頻數(shù)311113

(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的

概率；

(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分

布列.

考向二二項(xiàng)分布

【典例】32019年是中華人民共和國成立70周年.為了讓人民了解建國70周年的風(fēng)

雨歷程，某地的民調(diào)機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了該地的100名市民進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：

[20,30),[30,40),[70,80],并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

O20304050607080年齡/歲

(1)現(xiàn)從年齡在[20,30),[30,40),[40,50)內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再

從這8人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行座談，用X表示年齡在[30,40)內(nèi)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)

學(xué)期望；

(2)若用樣本的頻率代替概率，用隨機(jī)抽樣的方法從該地抽取20名市民進(jìn)行調(diào)查，其中

有k名市民的年齡在[30,50)的概率為P(X=k)(k=0,l,2,…，20).當(dāng)P(X=k)最大時(shí)，求

k的值.

【拓展訓(xùn)練】3某機(jī)器生產(chǎn)商對一次性購買2臺機(jī)器的客戶推出2種超過質(zhì)保期后2年內(nèi)

的延保維修方案：

方案一：交納延保金6000元，在延保的2年內(nèi)一共可免費(fèi)維修2次，超過2次每次收取維

修費(fèi)1500元；

方案二：交納延保金7740元，在延保的2年內(nèi)一共可免費(fèi)維修4次，超過4次每次收取維

修費(fèi)a元.

某工廠準(zhǔn)備一次性購買2臺這種機(jī)器，現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)購買哪種延保方案，為此搜

集并整理了100臺這種機(jī)器超過質(zhì)保期后2年內(nèi)維修的次數(shù)，統(tǒng)計(jì)得下表：

維修次數(shù)0123

機(jī)器臺數(shù)20104030

以這100臺機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率,記X表示這2臺機(jī)器超

過質(zhì)保期后2年內(nèi)共需維修的次數(shù).

(D求X的分布列；

(2)以所需延保金與維修費(fèi)用之和的均值為決策依據(jù)，該工廠選擇哪種延保方案更合算？

專題訓(xùn)練

一、單項(xiàng)選擇題

1.［2021安徽模擬］某中學(xué)舉辦電腦知識競賽,滿分為100分,80分以上(含80分)為優(yōu)秀.現(xiàn)

將參賽學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分成五組:第一組［50,60),第二組［60,70),第三組［70,80),第

四組［80,90),第五組［90,100］.其中第一、三、四、五小組的頻率分別為

0.30,0.15,0.10,0.05.而第二小組的頻數(shù)是40,則參賽的人數(shù)及成績優(yōu)秀的概率分別是

()

?.50,0.15B.50,0.75C.100,0.15D.100,0.75

2.［2021北京模擬］圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中任意取出2粒,都是黑子的概率

為團(tuán)1酊團(tuán)，都是白子的概率為回12團(tuán)35團(tuán)，則從中任意取出2粒，恰好是同一色的概率是

()

A.團(tuán)1團(tuán)7團(tuán)B.團(tuán)12團(tuán)35團(tuán)C.團(tuán)17團(tuán)35回D.1

3.如圖，電路從A到B上共連接著6個(gè)燈泡，每個(gè)燈泡斷路的概率是:，整個(gè)電路的連通與

否取決于燈泡是否斷路，則從A到B連通的概率是()

10448,10040

A-27b'729c'243D-81

4.已知消費(fèi)者購買家用小電器有兩種方式:網(wǎng)上購買和實(shí)體店購買.經(jīng)工商局抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn),

網(wǎng)上家用小電器合格率約為忸4團(tuán)5團(tuán)，而實(shí)體店里家用小電器的合格率約為團(tuán)9回10團(tuán).工商局

12315電話接到關(guān)于家用小電器不合格的投訴，統(tǒng)計(jì)得知I,被投訴的是在網(wǎng)上購買的概率約

為75%,那么估計(jì)在網(wǎng)上購買家用小電器的人約占()

A.團(tuán)3團(tuán)5團(tuán)B.0212150C.團(tuán)4團(tuán)7團(tuán)D.B307I3

5.(2020?山東棗莊市八中月考)某校有IoOO人參加某次模擬考試，其中數(shù)學(xué)考試成績近

似服從正態(tài)分布N(IO5,σ2)(σ>0),試卷滿分150分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀(高于

120分)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的士則此次數(shù)學(xué)考試成績在90分到105分(含90分和105分)之間

□

的人數(shù)約為()

A.150B.200

C.300D.400

6.［文］若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概

率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為()

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

二、多項(xiàng)選擇題

7.已知隨機(jī)變量&i滿足P(&i=l)=Pi,P(&i=0)=1—pi,i=l,2.若O<pKp2<∣,則下列

結(jié)論正確的是()

A.E(ξι)<E(ξ2)

B.E(ξ.)>E(ξ2)

C.D(ξ,)<D(ξ2)

D.D(ξ,)>D(ξ2)

8.某國產(chǎn)殺毒軟件的比賽規(guī)則為每個(gè)軟件進(jìn)行四輪考核，每輪考核中能夠準(zhǔn)確對病毒進(jìn)行

查殺的進(jìn)入下一輪考核，否則被淘汰.已知某個(gè)軟件在四輪考核中能夠準(zhǔn)確殺毒的概率依次

是1?,彳，?,且各輪考核能否通過互不影響，則()

A.該軟件通過考核的概率為:

O

B.該軟件在第三輪考核被淘汰的概率為!

O

9

C.該軟件至少能夠通過兩輪考核的概率為可

?

65

D.在此次比賽中該軟件平均考核了左輪

三、填空題

9.[2021重慶巴蜀中學(xué)第二次月考]2019年下半年,新一代的無線網(wǎng)絡(luò)技術(shù)WiFi6發(fā)布,相

比于上一代,WiFi6采用了OFDMA技術(shù),并支持多個(gè)終端同時(shí)傳輸,有效提升了傳輸效率.已

知小明使用了支持WiFi6的新路由器,設(shè)在某一時(shí)刻,家里有n(n?O)個(gè)設(shè)備接入該路由器的

概率為P(n),且P(n)=回回P(O),n=OMP(O)?(國1團(tuán)3團(tuán)團(tuán))團(tuán)11團(tuán),1?11?3,國0,1124,團(tuán)團(tuán)那么沒有設(shè)

備接入的概率P(O)=.

10.出租車司機(jī)從飯店到火車站途中經(jīng)過六個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈這一事件

是相互獨(dú)立的，并且概率都是《，則這位司機(jī)遇到紅燈前已經(jīng)通過了兩個(gè)交通崗的概率為

IL[2021河北安平中學(xué)月考]高三某位同學(xué)參加物理、化學(xué)、政治科目的等級考試，已知這

位同學(xué)的物理、化學(xué)、政治科目考試成績是等級A的概率分別為團(tuán)1回5回，團(tuán)3團(tuán)4團(tuán),團(tuán)1團(tuán)3團(tuán),這

三門科目考試成績的結(jié)果互不影響,則這位考生至少得1個(gè)等級A的概率是.

12.(2020?浙江)盒中有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球，從盒中隨機(jī)取球，

每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹?設(shè)此過程中取到黃球的個(gè)數(shù)為&,則P(g=0)

=,E(ξ)=.

四、解答題

13.隨機(jī)抽取一個(gè)年份，對西安市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下:

B

123456789101112131415

期

"?

晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴晴晴

氣

-0-

161718192021222324252627282930

期

天

晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨

氣

(1)在4月份任取一天，估計(jì)西安市在該天不下雨的概率;

(2)西安市某學(xué)校擬從4月份的一個(gè)晴天開始舉行連續(xù)2天的運(yùn)動會，估計(jì)運(yùn)動會期間不

下雨的概率.

14.(2020?壽光市第二中學(xué)月考)十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實(shí)國家精準(zhǔn)扶

貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康.經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)

取得巨大進(jìn)步，農(nóng)民年收入也逐年增加，為了制定提升農(nóng)民收入力爭早日脫貧的工作計(jì)戈∣J,

該地扶貧辦統(tǒng)計(jì)了2019年50位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)50位農(nóng)民的年平均收入X(單位：千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組

數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示)；

(2)由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民收入X服從正態(tài)分布N(口，。②)，其中U

近似為年平均收入7,。②近似為樣本方差s',經(jīng)計(jì)算得s'=6.92,利用該正態(tài)分布，求：

①在扶貧攻堅(jiān)工作中，若使該地區(qū)約有84.14%的農(nóng)民的年收入不低于扶貧辦制定的最低年

收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大約為多少千元？

②為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的政策要求落實(shí)情況,扶貧辦隨機(jī)走訪了1000位農(nóng)民.若

每位農(nóng)民的年收入互相獨(dú)立，這1000位農(nóng)民中的年收入不少于12.14千元的人數(shù)為ξ,求

E(ξ).

附參考數(shù)據(jù)：√Γ92≈2.63,

若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(u,。2),則

P(μ-o<X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2ɑ<X≤μ+2σ)≈0.9545,P(U-3o<XWu+3

O)QO.9973.

15.服裝店對其過去100天實(shí)體店和網(wǎng)店的銷售量(單位:件)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),制成的頻率分布直

方圖分別如圖IITT和圖11-1^2所示.

0.024

0.020

455055606570

實(shí)體店相傳置/件尚唐俯仰量/件

圖11-1-1圖11-1-2

(1)若將上述頻率視為概率，已知該服裝店過去100天的銷售中，實(shí)體店和網(wǎng)店銷售量都不低

于50的概率為0.24,求過去100天的銷售中，實(shí)體店和網(wǎng)店至少有一方銷售量不低于50的

天數(shù)；

(2)若將上述頻率視為概率，已知該服裝店實(shí)體店每天的人工成本為500元，門市成本為1

200元,每售出一件利潤為50元,求該實(shí)體店一天獲利不低于800元的概率；

⑶根據(jù)銷售量的頻率分布直方圖，求該服裝店網(wǎng)店銷售量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到

0.01).

類型二空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

【典例】1［2021陜西省部分學(xué)校摸底檢測］已知a,b,c是三條不同的直線，β是一個(gè)平面,給

出下列命題:①若a±b,b〃c,則a_Lc;②若a±b,b±c,則a〃c;③若a±b,b〃β,則a±β;

④若a_LB,b〃6,則2_1鼠其中為真命題的是()

A.①③B.①④C.②④D.①③④

(2)［2021河南省名校4月模擬］如圖8-2-1,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=ΛΛ尸團(tuán)團(tuán)2團(tuán),BC=2,

點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),則異面直線AD與AlC所成的角為()

圖8-2-1

A.0πl(wèi)22l21B.回Tt團(tuán)3回C.團(tuán)ττlΣI4團(tuán)D.UInE)6忸

【拓展訓(xùn)練】1［2021貴陽市摸底測試］如圖8-2-3,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則下

列四個(gè)命題:①直線BC與平面ABGDl所成的角等于團(tuán)皿回4回;②點(diǎn)C到平面ABCD的距離為

團(tuán)團(tuán)團(tuán)2團(tuán)團(tuán)2團(tuán);③異面直線DlC和BG所成的角為回πZ4回;④三棱柱AAD-BBc的外接球的半徑

為國團(tuán)團(tuán)3日團(tuán)2"其中正確的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

(2)［2021安徽省四校聯(lián)考］在棱長為1的正方體ABCD-ABeD中，點(diǎn)E,F分別是棱ClDbBlC1

的中點(diǎn),P是上底面ABCD內(nèi)一點(diǎn),若AP〃平面BDEF,則線段AP長度的取值范圍是()

A.［團(tuán)團(tuán)回5團(tuán)團(tuán)2團(tuán)，團(tuán)團(tuán)2團(tuán)］B.［團(tuán)3團(tuán)團(tuán)2團(tuán)團(tuán)4團(tuán)，團(tuán)回回5回回2國］

C.［團(tuán)3團(tuán)團(tuán)2回回8回，回回回6回回2團(tuán)］I).［團(tuán)回回6回團(tuán)2團(tuán)，國團(tuán)2回］

(2)[2021黑龍江省六校聯(lián)考]如圖8-2-5,已知正方體ABCD-Λ1B1C1D1的棱長為2,點(diǎn)M,N

分別是棱BC,CD的中點(diǎn),點(diǎn)P在平面ABeD內(nèi)，點(diǎn)Q在線段A1N上,若PM=的5團(tuán),則PQ長度

的最小值為.

【典例】2(2021?山西省長治第二中學(xué)月考)如圖，四邊形ABCD是正方形，0是正方形的

中心，POL底面ABCD,E是PC的中點(diǎn).求證:

(I)PA〃平面BDE：

(2)平面PACJ_平面BDE.

【典例】3(2021?莆田第一聯(lián)盟體聯(lián)考)如圖，正方形ABCD的邊長為2√i以AC為折痕

把a(bǔ)ACD折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PA=PB.

(1)證明：平面PACL平面ABC；

O

(2)若M是PC的中點(diǎn)，設(shè)麗=A而(0<λ<l),且三棱錐A-BMN的體積為求λ的值.

【拓展訓(xùn)練】2(2019?全國In)圖①是由矩形ADEB,RtΔΛBC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面

圖形，其中AB=I,BE=BF=2,NFBC=60°.將其沿ΛB,BC折起使得BE與BF重合，連接

DG,如圖②.

（1）證明：圖②中的A,C,G,D四點(diǎn)共面，且平面ABCJ_平面BCGE；

（2）求圖②中的四邊形ACGD的面積.

專題訓(xùn)練

一、單項(xiàng)選擇題

L［廣東高考,5分］［文］若直線L和L是異面直線，L在平面α內(nèi)，L在平面B內(nèi)，1是平面ɑ

與平面B的交線,則下列命題正確的是（）

Al與L,L都不相交B.1與LJ都相交

C.1至多與1∣,k中的一條相交D.1至少與lι,k中的一條相交

2.如圖，點(diǎn)E,F分別是正方體ABCD-ABeD的棱AB,AAl的中點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別是線段DiE

與CF上的點(diǎn)，則與平面ABCD垂直的直線MN的條數(shù)有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.無窮多個(gè)

3.在正方體ABCD—ABCD中，E為棱CD的中點(diǎn)，則（）

A.A1E±DC1B.A1ElBD

C.A1EXBC1D.A1EIAC

4.［2021湖南四校聯(lián)考］如圖8-2-8所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,N為底面ABCD的中心,P

為線段AD上的動點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)），M為線段AP的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

（）

A.CM與PN是異面直線

B.CM>PN

C.平面PANJ_平面BDD∣Bι

D.過P,Λ,C三點(diǎn)的正方體的截面一定是等腰梯形

5.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-AECD中,M,N分別是AD,AB的中點(diǎn)，過直線BD

的平面α〃平面AMN,則平面a截該正方體所得截面的面積為（）

O1

MZf

Λ.√2

6.已知正方體ABCD—ABCD的體積為16√L點(diǎn)P在正方形ABeD上且A∣,C到P的距離

分別為2,2√3,則直線CP與平面BDDB所成角的正切值為（）

7.如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，翻折aABD和AACD,使得平

面ABDl.平面ACD.下列結(jié)論正確的是（）

BD

Λ.BD±ΛC

B.ABAC是等邊三角形

C.三棱錐D-ABC是正三棱錐

D.平面ADC_L平面ABC

8如圖,在下列四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)

9.ɑ,β是兩個(gè)平面,m,n是兩條直線,有下列四個(gè)命題：

①如果mJLn,m_Lɑ,nZzβ,那么ɑ?β.

②如果m±ɑ,n//ɑ,那么m?n.

③如果CI〃B,muα,那么m//β.

④如果m∕∕n,a〃（3,那么m與a所成的角和n與B所成的角相等.

其中正確的命題有.（填寫所有正確命題的編號）

10.正方體ABCD-ABCD的棱和六個(gè)面的對角線共有24條，其中與體對角線ACl垂直的有

________條.

11..如圖,在直角梯形ABCD中,BC±DC,ΛE±DC,M,

N分別是AD,BE的中點(diǎn)，將三角形ADE沿AE折起.下列說法正確的是（填上

所有正確的序號）.

①不論D折至何位置（不在平面ABC內(nèi)）都有MN〃平面DEC；

②不論D折至何位置都有MN1AE；

EC

③不論D折至何位置（不在平面ABC內(nèi)）都有MN〃AB；°x?―K

④在折起過程中，一定存在某個(gè)位置，使ECAD.\

ΛB

12.如圖,已知棱長為1的正方體ABCD-AIBcD中,E,F,M分別是線段AB,ΛD,AAl的中

點(diǎn)，又P,Q分別在線段AB,AD上，且AF=AIQ=X（O<x<l）.

設(shè)平面MEF∩平面MpQ=1,現(xiàn)有下列結(jié)論：

①1〃平面ABCD；

②UAC；

③直線1與平面BCClBl不垂直；

④當(dāng)X變化時(shí)，1不是定直線.

其中成立的結(jié)論是.(寫出所有成立結(jié)論的序號)

13.如圖所示,在三棱柱ABC—ABG中，AB=AC,側(cè)面BCCB_L底面ABC,E,F分別為棱BC

和AC的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面ABBA；

(2)求證：平面AEF_L平面BCCB.

14.如圖，菱形ABCD的邊長為a,∕D=60°,點(diǎn)H為DC的中點(diǎn)，現(xiàn)以線段AH為折痕將4

DAIl折起使得點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面PHAL平面ABCH,點(diǎn)E,F分別為AB,AP的中點(diǎn).

(1)求證：平面PBC〃平面EFH；

⑵若三棱錐P-EFH的體積等于七，求a的值.

類型二三角恒等變換與解三角形

【要點(diǎn)提煉】

考點(diǎn)一三角恒等變換

1.三角求值“三大類型”

“給角求值”“給值求值”“給值求角”.

2.三角恒等變換“四大策略”

(1)常值代換：常用到“1”的代換，1=Sinf+cos2θ=tan450等.

(2)項(xiàng)的拆分與角的配湊：如sin2ɑ+2COSJɑ=(sin"ɑ÷COSJɑ)÷cos"ɑ,α=(α-。)

+B等.

(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.

(4)弦、切互化.

【熱點(diǎn)突破】

【典例】1(1)已知角。的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與謝的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)431

,成，加)2,施，且cos2a=團(tuán)羽光I,貝帆〃次=

A.回[回寵B.回回團(tuán)宛團(tuán)宛C.團(tuán)2團(tuán)回宛回宛D.1

(2)[2021江西紅色七校第一次聯(lián)考]若sln(a+!2n團(tuán)6團(tuán))=團(tuán)1團(tuán)3團(tuán)，則sln(2。+回5"團(tuán)60)=

()

A.國7國9團(tuán)B.0812190C.團(tuán)1回3團(tuán)D.0203121

4

【拓展訓(xùn)練】1(1)己知Sina-COSa=―,則sin2a=()

3

7227

A.一一B.一一C.-D.-

9999

(2)[2021河南省名校第一次聯(lián)考]已知sin(a-EIJt團(tuán)3團(tuán))=-3CoS(a-回It回6回)，則tan2。=

()

A.-40030B.-EH303Ξ02E1C.40030D.00030020

(3)△48C的內(nèi)角4,氏C的對邊分另IJ為a,6,c.已知小60°,左?,c=3,貝∣J4=.

(4)已知夕是第四象限角，且Sinle+?)=《，則tan,—7]=.

【要點(diǎn)提煉】

考點(diǎn)二正弦定理、余弦定理

1.正弦定理：在aABC中，一y=一二=—y=2R（R為^ABC的外接圓半徑）.變形：a

sinAsinBsinC

abc

=2RsinΛ,b=2RsinB,c=2RsinC,sin???,sinB=τ∑:,sinC=7∑7,a：b：c=SinA：sinB：

ZK/KZK

sinC等.

2.余弦定理：在aABC中，a2=b2+c2-2bccosA.

b2+c2_

變形：b"+c2-a2=2bccosA,cosA=----τr------.

Zbc

3.三角形的面積公式：s??absinC=JacsinB=^bcsin?.

【熱點(diǎn)突破】

考向1求解三角形中的角、邊

【典例】2已知角。的頂點(diǎn)與原點(diǎn)0重合，始邊與X軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)尸(-

05050,-?√050).

(I)求sin(α+“)的值；

(11)若角￡滿足Sin(。+￡)=回究I施，求COSs的值.

考向2求解三角形中的最值與范圍問題

【典例】3(2021?新高考測評聯(lián)盟聯(lián)考)在：①a=/CSin?-aeosC,②(2a-b)sinA

+(2b-a)sinB=2csinC這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題中，并解答.

已知aABC的角A,B,C的對邊分別為a,b,c,c=y∣3,而且.

⑴求角C；

(2)求AABC周長的最大值.

【拓展訓(xùn)練】2⑴在aABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若AABC的面積為S,

且a=l,4S=t)2+c2-l,則AABC外接圓的面積為()

A.4πB.2JiC.πD.y

(2)在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若A=3B,則就取值范圍是()

A.(0,3)B.(1,3)C.(0,1]D.(1,2]

(3)在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若tanC=^，a=b=^?∕T^,BC邊

上的中點(diǎn)為D,則SinNBAC=,AD=.

專題訓(xùn)練

一、單項(xiàng)選擇題

1.下列說法錯(cuò)誤的是()

A.兩角和與差的正弦、余弦公式中的角明￡是任意的

B.存在實(shí)數(shù)。，￡,使等式Sir1(。+P)=SinQ+sin尸成立

C.公式tan(?！?二團(tuán)tana+tan∕01-tan酒n∕θ可以變形為tan。+tanβ=tan(a+

β)(l-tanαrtan￡),且對任意角a,￡都成立

D.存在實(shí)數(shù)。，使tan2。=2tana

2.(2020?全國ΠI)已知Sin0+sin(θ+?∣?)=1,則Sin(。+看)等于()

1√32√2

A.5B.--C.~D.?-

3.[2021陜西省部分學(xué)校摸底檢測]數(shù)學(xué)家華羅庚倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在各領(lǐng)域都應(yīng)用

廣泛,0.618就是黃金分割比爐團(tuán)回團(tuán)5團(tuán)-1團(tuán)2團(tuán)的近似值，黃金分割比還可以表示成2sin18°,

貝IJ團(tuán)〃?團(tuán)團(tuán)4-0次回2團(tuán)回團(tuán)2coEls回2團(tuán)27°-10=()

Λ.4B.團(tuán)團(tuán)5團(tuán)+1C.2D.團(tuán)團(tuán)5團(tuán)-1

4.在aABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,acosB÷bcosA=2ccosC,c=y∣7,

且aABC的面積為平，則AABC的周長為()

A.l+√7B.2+√7

C.4+√7D.5+√7

5.[2021云南省部分學(xué)校統(tǒng)一檢測]已知α為銳角，cosα=回3回5國，則tan(0π

回4回+回函2回)=()

A.010313B.0112120C.2D.3

6.己知4∈(0,團(tuán)JI團(tuán)2團(tuán))，E∈(0,團(tuán)n團(tuán)2團(tuán))，tan。二團(tuán)cos2加I-Sin2網(wǎng)，貝IJ）

A.。+￡=團(tuán)兀團(tuán)213B.a-β-^?π040C.。+￡二團(tuán)九回413D.。+2￡=團(tuán)r團(tuán)213

二、多項(xiàng)選擇題

7.（2020?臨沂模擬）在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若b=2∕,c=3,A

+3C=n,則下列結(jié)論正確的是（）

,r√3√2

A.cosB.sinB=q-

C.a=3D.SAABC=

cos20=n且m≠n,則下列選項(xiàng)中與tanf~θ）恒相

8.已知0<0<—,若sin20=m,

4

等的有（）

三、填空題

9.(2020?保定模擬)己知tan仔+ɑ)=),貝產(chǎn);j0~~ɑθ?ɑ~.

?4JL1+cos2ɑ

10.已知Je(0,JI),Sin，+cos"=酬團(tuán)3回-1團(tuán)2團(tuán)，則tan。的值為.

11.［向量與三角函數(shù)綜合］已知向量a=(sln2α,l),?=(cosα,1),若a〃&(Kα＜國n團(tuán)2團(tuán),

則a=______

12.(2020?山東省師范大學(xué)附中月考)在aABC中，設(shè)角A,B,C對應(yīng)的邊分別為a,b,c,

S

記AABC的面積為S,且4￡士+2廣則下的最大值為一

四、解答題

13.（2020?全國∏）Z?ABC中，sin2A-sin2B-sin^C-sinBsinC.

⑴求A；

（2）若BC=3,求AABC周長的最大值.

14.(2020?重慶模擬)在AABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,2b2=(b2+c2-a2)(1

—tanA).

(D求角C；

(2)若C=245,D為BC的中點(diǎn)，在下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)，求AD的長度.

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