專題一二次函數(shù)

專題一二次函數(shù)[差不多知識(shí)]二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；二次函數(shù)、二次不等式、二次方程的關(guān)系。[例題]例1、假如函數(shù)在區(qū)間上有最小值，那么實(shí)數(shù)的值為（）A、2B、C、D、例2、已知二次函數(shù)的最大值為3，求的值。例3、二次函數(shù)且時(shí)，當(dāng)時(shí)，恒成立；（1）求之間的關(guān)系；（2）當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)？若存在，求出的范疇，若不存在，說(shuō)明理由。例4、設(shè)二次函數(shù)，方程的兩根為，滿足；（1）當(dāng)時(shí)，證明：（2）設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，證明：。[練習(xí)]1、二次函數(shù)（I）用定義證明：當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；（II）當(dāng)時(shí)，在上是否存在一個(gè)使得；（III）若且上，恒成立，求的取值范疇。集合設(shè)全集，集合，集合，則的真子集共有個(gè)。已知集合，則（）A、B、C、D、已知全集I=R，集合，那么（）A、B、C、D、4、已知集合，若，則實(shí)數(shù)（）A、B、C、D、全集為R，（a為常數(shù)），且則（）A、B、C、D、已知集合，且，則實(shí)數(shù)m組成的集合是設(shè)全集，集合，那么等于設(shè)集合，則集合Q的元素個(gè)數(shù)為定義，若，則=10、某中學(xué)高一（1）班有學(xué)生50人，參加數(shù)學(xué)小組的有25人，參加物理小組的有32人，求既參加數(shù)學(xué)小組，又參加物理小組的人數(shù)的最大值與最小值。專題二：抽象函數(shù)[差不多知識(shí)]抽象函數(shù)的差不多模型。抽象函數(shù)的性質(zhì)。抽象函數(shù)的求解方法。[例題]1、（1）設(shè)函數(shù)定義在實(shí)數(shù)集上，函數(shù)與的圖象關(guān)于（）A、直線對(duì)稱B、直線對(duì)稱C、直線對(duì)稱D、直線對(duì)稱（2）設(shè)是R上的奇函數(shù)，則函數(shù)是R上的函數(shù)；是R上的函數(shù)。（3）假如奇函數(shù)在在區(qū)間[3，7]上是增函數(shù)，那么在區(qū)間[-7，-3]上是（）A、增函數(shù)且最小值為-5B、增函數(shù)且最大值為-5C、減函數(shù)且最小值為-5D、減函數(shù)且最大值為-5（4）設(shè)函數(shù)定義域?yàn)镽且滿足：1）；2）；3）3）且；4）（5）設(shè)是R上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則等于（）A、B、C、D、2、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，并滿足條件：存在，使得，又對(duì)任何成立，證明：（1）；（2）對(duì)任何都成立。3、已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意，恒有；（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若時(shí)，恒有成立，則必有反函數(shù)；（3）設(shè)是的反函數(shù)，則在其定義域內(nèi)恒有成立。4、設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)任意，都有，且；（I）求，（II）證明是周期函數(shù)；（III）記，求。練習(xí)：1、已知是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且，若有；（I）證明是[-1，1]單調(diào)函數(shù)；（II）解不等式。2、定義在上的函數(shù)，對(duì)任意的都，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立；設(shè)，求證：；（2）設(shè)，若比較的大??；（3）解不等式專題四：函數(shù)[差不多知識(shí)]1、的性質(zhì)和圖象。2、性質(zhì)的應(yīng)用。[例題]例1、（1）設(shè)函數(shù)的圖象如圖所示，則的范疇是（）A、B、C、D、（2）函數(shù)的值域?yàn)橹瘮?shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）若對(duì)任意橫成立，試求實(shí)數(shù)的取值范疇。例3、已知函數(shù)（1）解不等式（2）設(shè)時(shí)，的最小值為6，求的值。例4、設(shè)計(jì)一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840，畫面的寬與高的比為，畫面的上、下各留8空白，左右各留5空白，如何樣確定畫面的高與寬尺寸，能使宣傳畫所用紙張面積最?。考偃缫?，那么為何值時(shí)，能使宣傳畫所用紙張面積最??？練習(xí)：1、設(shè)定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)是增函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，求的取值范疇。2、已知，函數(shù)；（1）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意都有，證明：；（2）當(dāng)時(shí)，證：對(duì)任意，的充要條件是；（3）當(dāng)時(shí)，討論：對(duì)任意，的充要條件。3、已知二次函數(shù)：的圖象與軸有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，若，且時(shí)，；（1）比較與的大?。唬?）證明：；（3）當(dāng)時(shí)，求證：4、二次函數(shù)若的根在內(nèi)，（1）求證：；（2）（3）若有一個(gè)根為，且當(dāng)時(shí)，的最大值為M，求證：。5、已知（1）若，在上的最大值為2，最小值為，證明：且。（2）若，是滿足的實(shí)數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)均滿足，證明：。高考數(shù)學(xué)填空題如何填填空題是數(shù)學(xué)高考的三種差不多題型之一，其求解方法分為：直截了當(dāng)運(yùn)算推理法、賦值運(yùn)算法、規(guī)律發(fā)覺(jué)法、數(shù)形互助法等等.解題時(shí)，要有合理的分析和判定，要求推理、運(yùn)算的每一步驟都正確無(wú)誤，還要求將答案表達(dá)得準(zhǔn)確、完整.合情推理、優(yōu)化思路、少算多思將是快速、準(zhǔn)確地解答填空題的差不多要求.下面將按知識(shí)分類加以例說(shuō).函數(shù)與不等式例1已知函數(shù)，則講解由，得，應(yīng)填4.請(qǐng)摸索什么緣故不必求呢？集合的真子集的個(gè)數(shù)是講解，明顯集合M中有90個(gè)元素，其真子集的個(gè)數(shù)是，應(yīng)填.快速解答此題需要記住小結(jié)論;關(guān)于含有n個(gè)元素的有限集合,其真子集的個(gè)數(shù)是若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則講解由已知拋物線的對(duì)稱軸為,得，而，有，故應(yīng)填6.假如函數(shù)，那么講解容易發(fā)覺(jué)，這確實(shí)是我們找出的有用的規(guī)律，因此 原式＝，應(yīng)填 本題是2002年全國(guó)高考題，十分有味的是，2003年上海春考題中也有一道類似題： 設(shè)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的方法，可求得三角與復(fù)數(shù)已知點(diǎn)P在第三象限，則角的終邊在第象限.講解由已知得從而角的終邊在第二象限，故應(yīng)填二.不等式（）的解集為.講解注意到，因此原不等式可變形為而，因此，故應(yīng)填假如函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，那么講解，其中.是已知函數(shù)的對(duì)稱軸，，即，因此故應(yīng)填. 在解題的過(guò)程中，我們用到如下小結(jié)論： 函數(shù)和的圖象關(guān)于過(guò)最值點(diǎn)且垂直于x軸的直線分別成軸對(duì)稱圖形.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)向量，將按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到向量，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則講解應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，得，因此 故應(yīng)填例9設(shè)非零復(fù)數(shù)滿足，則代數(shù)式的值是____________. 講解將已知方程變形為，解那個(gè)一元二次方程，得 明顯有,而,因此 原式＝ ＝ ＝ 在上述解法中，“兩邊同除”的手法達(dá)到了集中變量的目的，這是減少變?cè)囊粋€(gè)上策，值得重視.數(shù)列、排列組合與二項(xiàng)式定理例10已知是公差不為零的等差數(shù)列，假如是的前n項(xiàng)和，那么 講解專門取，有，因此有故應(yīng)填2.數(shù)列中，,則 講解分類求和，得 ，故應(yīng)填．有以下四個(gè)命題：①②③凸n邊形內(nèi)角和為

④凸n邊形對(duì)角線的條數(shù)是其中滿足“假設(shè)時(shí)命題成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立’’.但不滿足“當(dāng)（是題中給定的n的初始值）時(shí)命題成立”的命題序號(hào)是.講解①當(dāng)n=3時(shí)，，不等式成立；當(dāng)n=1時(shí)，，但假設(shè)n=k時(shí)等式成立，則；③，但假設(shè)成立，則④，假設(shè)成立，則故應(yīng)填②③.例13某商場(chǎng)開(kāi)展促銷活動(dòng)，設(shè)計(jì)一種對(duì)獎(jiǎng)券，號(hào)碼從000000到999999.若號(hào)碼的奇位數(shù)字是不同的奇數(shù)，偶位數(shù)字均為偶數(shù)時(shí)，為中獎(jiǎng)號(hào)碼，則中獎(jiǎng)面（即中獎(jiǎng)號(hào)碼占全部號(hào)碼的百分比）為. 講解中獎(jiǎng)號(hào)碼的排列方法是：奇位數(shù)字上排不同的奇數(shù)有種方法，偶位數(shù)字上排偶數(shù)的方法有，從而中獎(jiǎng)號(hào)碼共有種，因此中獎(jiǎng)面為 故應(yīng)填的展開(kāi)式中的系數(shù)是講解由知，所求系數(shù)應(yīng)為的x項(xiàng)的系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的和，即有故應(yīng)填1008.4.立體幾何例15過(guò)長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)為3、4、5,且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，那個(gè)球的表面積是________.講解長(zhǎng)方體的對(duì)角線確實(shí)是外接球的直徑,即有從而，故應(yīng)填例16若四面體各棱的長(zhǎng)是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積是（只需寫出一個(gè)可能的值）．講解本題是一道專門好的開(kāi)放題，解題的開(kāi)竅點(diǎn)是：每個(gè)面的三條棱是如何樣構(gòu)造的，依據(jù)“三角形中兩邊之和大于第三邊”，就可否定｛1，1，2｝，從而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三種形狀，再由這三類面構(gòu)造滿足題設(shè)條件的四面體，最后運(yùn)算出這三個(gè)四面體的體積分別為：,,，故應(yīng)填.、、中的一個(gè)即可.eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)ABDCEFA1B1C1D1講解因?yàn)檎襟w是對(duì)稱的幾何體，因此四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可分為：上下、左右、前后三個(gè)方向的射影，也確實(shí)是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影.四邊形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如圖eq\o\ac(○,2)所示；四邊形BFD1E在該正方體對(duì)角面的ABC1D1內(nèi)，它在面ADD1A1上的射影明顯是一條線段，如圖eq\o\ac(○,3)所示.故應(yīng)填eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3).解析幾何例18直線被拋物線截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是___________.講解由消去y，化簡(jiǎn)得設(shè)此方程二根為，所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則故應(yīng)填.例19橢圓上的一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的乘積為m，則當(dāng)m取最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是_____________________.講解記橢圓的二焦點(diǎn)為，有則知 明顯當(dāng)，即點(diǎn)P位于橢圓的短軸的頂點(diǎn)處時(shí)，m取得最大值25. 故應(yīng)填或例20一只酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的函數(shù)解析式是，在杯內(nèi)放一個(gè)玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的取值范疇是___________.講解依拋物線的對(duì)稱性可知，大圓的圓心在y軸上，同時(shí)圓與拋物線切于拋物線的頂點(diǎn)，從而可設(shè)大圓的方程為 由消去x，得（*）解出或 要使（*）式有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，只要且只需要即 再結(jié)合半徑，故應(yīng)填填空題的類型一樣可分為：完形填空題、多選填空題、條件與結(jié)論開(kāi)放的填空題.這說(shuō)明了填空題是數(shù)學(xué)高考命題改革的試驗(yàn)田，創(chuàng)新型的填空題將會(huì)不斷顯現(xiàn).因此，我們?cè)趥淇紩r(shí)，既要把關(guān)注這一新動(dòng)向，又要做好應(yīng)試的技能預(yù)備.高考數(shù)學(xué)選擇題如何選解答高考數(shù)學(xué)選擇題既要求準(zhǔn)確破解，又要快速選擇，正如《考試說(shuō)明》中明確指出的，應(yīng)“多一點(diǎn)想的，少一點(diǎn)算的”，該算不算，巧判關(guān).因而，在解答時(shí)應(yīng)該突出一個(gè)＂選＂字，盡量減少書寫解題過(guò)程，在對(duì)比選支的同時(shí)，多方考慮間接解法，依據(jù)題目的具體特點(diǎn)，靈活、巧妙、快速地選擇巧法，以便快速智取.下面按知識(shí)版塊加以例說(shuō).函數(shù)與不等式已知?jiǎng)t的值等于().A.0B.C.D.9講解由,可知選C.例2函數(shù)是單調(diào)函數(shù)的充要條件是().A.B.C.D.講解拋物線的開(kāi)口向上,其對(duì)稱軸為，因此有是遞增區(qū)間，從而即應(yīng)選A.例3不等式的解集是（）.A.B.C.D.講解當(dāng)與異號(hào)時(shí)，有,則必有，從而，解出，故應(yīng)選A.關(guān)于函數(shù)，有下面四個(gè)結(jié)論：（1）是奇函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立；（3）的最大值是;(4)的最小值是.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）. A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè) 講解由是偶函數(shù)，可知（1）錯(cuò)； 又當(dāng)時(shí)，，因此錯(cuò)（2）; 當(dāng)，故（3）錯(cuò)； 從而對(duì)比選支應(yīng)選A.2.三角與復(fù)數(shù)例5假如函數(shù)y=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于ｘ＝對(duì)稱，則ａ＝（）.A.B.－C.1D.－1講解因?yàn)辄c(diǎn)（0，0）與點(diǎn)（，0）關(guān)于直線ｘ＝對(duì)稱，因此ａ必滿足：sin0+acos0=sin（）+acos（），解出ａ＝－1，從而能夠排除A，B，C.，故應(yīng)選D.例6在內(nèi)，使成立的的取值范疇是（）．A.B.C.D.講解將原不等式轉(zhuǎn)化為由，知，從而，故應(yīng)選C.事實(shí)上，由明顯滿足，從而否定A,B,D,故應(yīng)選C.亦可在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)和在上的圖象，進(jìn)行直觀求解．例7復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于（）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限講解由無(wú)解，可知應(yīng)選A.亦可取特值進(jìn)行排除．事實(shí)上記復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P．若取，點(diǎn)P在第二象限；若取，則點(diǎn)P在第三象限;若取，則點(diǎn)P在第四象限，故應(yīng)選A.例8把曲線先沿軸向右平移個(gè)單位，再沿軸向下平移1個(gè)單位，得到的曲線方程是（）．A.B.C.D.講解對(duì)作變換得即． 故應(yīng)選C. 記住一些運(yùn)動(dòng)變換的小結(jié)論是有效的．本題是函數(shù)向方程式的變式，較為新穎．3.數(shù)列與排列組合由給出的數(shù)列的第34項(xiàng)是().A.B.100C.D.講解對(duì)已知遞推式兩邊取倒數(shù),得即. 這說(shuō)明數(shù)列是以為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列,從而有 即故應(yīng)選B. 構(gòu)造等差數(shù)列、等比數(shù)列是解決數(shù)列考題的常用方法,值得我們重視. 例10一種細(xì)胞，每三分鐘分裂一次（一個(gè)分裂為兩個(gè)），把一個(gè)這種細(xì)胞放入一個(gè)容器內(nèi)，恰好一小時(shí)充滿；假如開(kāi)始時(shí)把兩個(gè)這種細(xì)胞放入該容器內(nèi)，那么細(xì)胞充滿容器的時(shí)刻為（）. A.57分鐘B.30分鐘C.27分鐘D.45分鐘 講解設(shè)容器內(nèi)細(xì)胞共分裂n次，則，即從而共花去時(shí)刻為分鐘，故應(yīng)選A. 例11從正方形的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有（）. A.8種B.12種C.16種D.20種講解采納補(bǔ)集思想求解.從6個(gè)面中任取3個(gè)面的取法共有種方法，其中三個(gè)面交于一點(diǎn)共有8種可能，從而滿足題意的取法共有種，故應(yīng)選B.請(qǐng)讀者摸索：關(guān)系式：的含義是什么？ 4.立體幾何AFDECB例12如圖，在多面體ABCDEFAFDECB正方形，EF∥AB，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為（）A.B.5C.6D.講解本題的圖形是專門規(guī)的多面體，需要對(duì)其進(jìn)行必要的分割.連EB、EC，得四棱錐E―ABCD和三棱錐E―BCF，這當(dāng)中，四棱錐E―ABCD的體積易求得,又因?yàn)橐粋€(gè)幾何體的體積應(yīng)大于它的部分體積，因此不必運(yùn)算三棱錐E―BCF的體積，就可排除A，B.，C.，故應(yīng)選D.“體積變換”是解答立體幾何題的常用方法，請(qǐng)予以關(guān)注.例13關(guān)于直線以及平面，下面命題中正確的是（）.若則若則若且則若則講解關(guān)于選支D,過(guò)作平面P交平面N于直線，則，而從而又故應(yīng)選D. 請(qǐng)讀者舉反例說(shuō)明命題A,B,C,均為假命題.解析幾何例14過(guò)拋物線ｙ＝ｘ2（ａ>0）的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段FP與FQ的長(zhǎng)分別是ｐ、ｑ，則＝（）.A.2ａB.C.4ａD.講解由題意知，對(duì)任意的過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線，的值差不多上的表示式，因而取拋物線的通徑進(jìn)行求解，則ｐ＝ｑ＝，因此=，故應(yīng)選D.例15點(diǎn)P到曲線（其中參數(shù)）上的點(diǎn)的最短距離是（）.A.0B.1C.D.2講解由兩點(diǎn)間的距離公式，得點(diǎn)P到曲線上的點(diǎn)Q的距離為當(dāng)時(shí)，故應(yīng)選B.將曲線方程轉(zhuǎn)化為，明顯點(diǎn)P是拋物線的焦點(diǎn)，由定義可知：拋物線上距離焦點(diǎn)最近的點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，故應(yīng)選B.例16已知橢圓=1(a＞b＞0)，雙曲線=1和拋物線y2=2px(p＞0)的離心率分別為e1、e2、e3，則().A.e1e2＞e3B.e1e2＝e3C.e1e2＜e3D.e1e2≥e3講解故應(yīng)選C.例17平行移動(dòng)拋物線，使其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)非負(fù)，并使其頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離多，如此得到的所有拋物線所通過(guò)的區(qū)域是A.xOy平面B.C.D.講解我們先求出到點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離多的點(diǎn)的軌跡.設(shè)P（x,y）是合條件的點(diǎn)，則，兩邊平方并整理得再設(shè)平移后拋物線的頂點(diǎn)為，因此平移后拋物線的方程為按a整理得.，化簡(jiǎn)得.故應(yīng)選B.綜合性性問(wèn)題例18某電腦用戶打算使用不超過(guò)500元的資金購(gòu)買單價(jià)分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，依照需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購(gòu)方式共有()A.5種B.6種C.7種D.8種 講解設(shè)購(gòu)買單片軟件片,磁盤盒,由題意得 經(jīng)檢驗(yàn)可知,該不等式組的正整數(shù)解為: 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),總共有7組,故應(yīng)選C.例19銀行打算將某資金給項(xiàng)目