2022-2023學(xué)年大慶市肇州縣高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)考試卷附答案解析

-2023學(xué)年大慶市肇州縣高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)考試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．計(jì)算的值為（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．二次函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A．， B．，1C．， D．，4．已知的二項(xiàng)展開式中，第項(xiàng)與第項(xiàng)的系數(shù)相等，則所有項(xiàng)的系數(shù)之和為（

）A． B． C． D．5．“”是“在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且是直角三角形，的面積等于（

）A．3 B． C．3或 D．3或7．已知向量滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．8．某學(xué)校有男生400人，女生600人.為調(diào)查該校全體學(xué)生每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況，按照男女比例通過分層隨機(jī)抽樣的方法取到一個(gè)樣本，樣本中男生每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均值為80分鐘，方差為10，女生每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均值為60分鐘，方差為20.結(jié)合數(shù)據(jù)，估計(jì)該校全體學(xué)生每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的方差為（

）A．15 B．16 C．96 D．112二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.9．正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為的中點(diǎn)，則（

）A．直線與直線垂直B．直線與直線異面C．平面截正方體所得的截面面積為D．點(diǎn)C到平面的距離為10．下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，均值與方差都不變B．在一組樣本數(shù)據(jù)，（，，不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)，，2，，都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為C．在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量的計(jì)算中，若由獨(dú)立性檢驗(yàn)知，在犯錯(cuò)誤率不超過0.01的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系．若某人吸煙，則他有的可能性患肺病D．以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則，的值分別是和11．已知事件，滿足，，，則（

）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的單調(diào)減區(qū)間為B．若有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，，，則C．若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D．對任意的，，不等式恒成立三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．我們知道，任何一個(gè)正實(shí)數(shù)可以表示成，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，是位數(shù)．試用上述方法，判斷是位數(shù)．14．已知數(shù)列滿足，，則的最小值為.15．如圖，將繪有函數(shù)部分圖象的紙片沿軸折成直二面角，此時(shí)之間的距離為，則＝．16．第24屆冬奧會(huì)，是中國歷史上第一次舉辦的冬季奧運(yùn)會(huì)，國家體育場(鳥巢)成為北京冬奧會(huì)開、閉幕式的場館．國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．18．已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，是的前項(xiàng)和，證明：．19．2022年卡塔爾世界杯于北京時(shí)間11月20日在卡塔爾正式開賽，該比賽吸引了全世界億萬球迷觀看.為了了解喜愛觀看世界杯是否與性別有關(guān)，某體育臺隨機(jī)抽取200名觀眾進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下2×2列聯(lián)表.男女合計(jì)喜愛看世界杯602080不喜愛看世界杯4080120合計(jì)100100200(1)試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜愛觀看世界杯與性別有關(guān)聯(lián)?(2)在喜愛觀看世界杯的觀眾中，按性別用分層抽樣的方式抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取人參加某電視臺的訪談節(jié)目，設(shè)參加訪談節(jié)目的女性觀眾與男性觀眾的人數(shù)之差為，求的分布列.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82820．如圖：在正方體中，為中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)．（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．21．已知點(diǎn)A(?2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點(diǎn)G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.22．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的，有．1．C【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為特殊角三角函數(shù)值即可解決.【詳解】故選：C2．A【分析】由題知，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第一象限.故選：A3．A【分析】函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，求解即可．【詳解】解：二次函數(shù)的零點(diǎn)就是的解，解得，或，故選：A．4．C【分析】利用二項(xiàng)式定理求得的展開通項(xiàng)，從而利用與的系數(shù)相等得到關(guān)于的方程，進(jìn)而求得的值，由此得解.【詳解】因?yàn)榈恼归_通項(xiàng)為又因?yàn)榈陧?xiàng)與第項(xiàng)的系數(shù)相等，所以，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，則，故，所以的二項(xiàng)展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為.故選：C.5．A【分析】充分性直接證明，必要性舉特值驗(yàn)證.【詳解】在單調(diào)遞增，充分性成立，若時(shí)在單調(diào)遞增，但是不滿足，所以必要性不成立.故選：A6．C【分析】根據(jù)橢圓定義和勾股定理，結(jié)合三角形面積公式即可求解．【詳解】由于是橢圓上一點(diǎn)，∴，兩邊平方可得，即，因?yàn)槭侵苯侨切?，?dāng)時(shí)，，∴根據(jù)勾股定理可得，綜上可解得，∴的面積等于；當(dāng)時(shí)，，∴根據(jù)勾股定理可得，結(jié)合,計(jì)算可得,∴的面積等于；當(dāng)時(shí)，，∴根據(jù)勾股定理可得，結(jié)合,計(jì)算可得,∴的面積等于.故選:.7．D【分析】根據(jù)投影向量的概念直接求解即可.【詳解】解：因?yàn)闈M足，且，所以，向量在向量上的投影向量為故選：D8．D【分析】根據(jù)男、女學(xué)生比例，不妨設(shè)男、女學(xué)生分別為，則總數(shù)為，求得所有樣本的平均值，代入方差公式，即可得答案.【詳解】由題意，按分層抽樣方式抽取樣本，且該校男、女學(xué)生比例為，不妨設(shè)抽取男、女學(xué)生分別為，則總數(shù)為，則所有樣本平均值為，所以方差為.故選：D9．CD【分析】對A，設(shè)，易證平面AEF判斷；對B，延長和交于，連接并延長與的延長線交于，利用中位線可得到兩點(diǎn)重合，即可判斷；對C，連接，易證，得到截面為等腰梯形求解判斷；對D，利用等體積法，由求解判斷.【詳解】對于A，若，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，則，又，平面AEF，所以平面AEF，又平面AEF，則，因?yàn)椋?，故A錯(cuò)誤；對于B，延長和交于，連接并延長與的延長線交于，因?yàn)椋允堑闹形痪€，所以是的中點(diǎn)，因?yàn)椋允堑闹形痪€，所以是的中點(diǎn)，所以兩點(diǎn)重合，所以直線與直線交于，故直線與直線不異面，故錯(cuò)誤；對于C，連接，易得，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則，所以共面，又，則截面為等腰梯形，等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，故正確；對于D，因?yàn)?，且，所以點(diǎn)C到平面的距離為，故正確.故選：CD10．ABC【分析】對A，由均值的理解可知；對B，由線性相關(guān)系數(shù)的理解與求法都可得；對C，根據(jù)對獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的理解可知；對D，非線性轉(zhuǎn)化線性回歸，由換元的關(guān)系可得.【詳解】對A，將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，均值也應(yīng)加上或減去同一個(gè)常數(shù)，故A錯(cuò)誤；對B，所有樣本點(diǎn)都在直線上，法一：由此成對樣本數(shù)據(jù)的兩個(gè)分量之間滿足一種線性關(guān)系，則線性相關(guān)系數(shù)，由成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)，則，法二：由公式得，故B錯(cuò)誤；對C，在犯錯(cuò)誤率不超過0.01的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，我們可以認(rèn)為吸煙更容易引發(fā)肺病.獨(dú)立性檢驗(yàn)可以推斷分類變量吸煙與患肺病是否獨(dú)立，而不能得到一個(gè)吸煙的人有多大可能性患病的結(jié)論，故C錯(cuò)誤；對D，由，且，若線性回歸方程為，則，即，的值分別是和，故D正確.故選：ABC.11．ACD【分析】對于A選項(xiàng)，利用概率的乘法公式，即可求解；對于B、C選項(xiàng)，利用條件概率的性質(zhì)，即可求解；對于D選項(xiàng)，利用全概率公式，即可求解.【詳解】對于A選項(xiàng)，，所以A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，，所以C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，，則，所以D選項(xiàng)正確．故選：ACD．12．BCD【分析】對于A，作出函數(shù)的圖象即可判斷；對于B，根據(jù)題意結(jié)合圖象的對稱性分析運(yùn)算即可判斷；對于C，根據(jù)圖象結(jié)合圖象平移分析運(yùn)算即可判斷；對于D，利用作差法計(jì)算證明即可.【詳解】對于A，作出函數(shù)的圖象，如圖1所示：

由圖可知，的單調(diào)減區(qū)間為，但不能用并集符號鏈接，A錯(cuò)誤；對于B，根據(jù)題意作交于3點(diǎn)，并且三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，不妨設(shè)，易知關(guān)于對稱，所以，又因?yàn)?，所以，B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，顯然不成立，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，可以通過向左平移個(gè)單位得到，如圖2，顯然不成立，舍去；

當(dāng)時(shí)，可以通過向右平移個(gè)單位得到，如圖3，以射線與相切為臨界.即，則，，解得，則，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是，C正確；

對于D，對任意的，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，即，則，，D正確.故選：BCD.13．16【分析】計(jì)算的值,由此確定的位數(shù).【詳解】是16位數(shù).故答案為：1614．【分析】由累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】，，，，由累加得，所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，或5時(shí)最小，時(shí)，；時(shí)，；所以的最小值為故答案為：．15．【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)圖象求解即可.【詳解】如圖，因?yàn)榈闹芷跒?，所以，，所以，解得，所以，所以，，因?yàn)?，所以或，又因?yàn)楹瘮?shù)在軸右側(cè)單調(diào)遞減，所以．故答案為:.16．【分析】分別設(shè)出內(nèi)外橢圓的方程，求出、點(diǎn)的坐標(biāo)，得到直線與的方程，分別與內(nèi)橢圓聯(lián)立，根據(jù)得到的一元二次方程中的，表示出與，根據(jù)，即可得到離心率的值.【詳解】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為，由于內(nèi)外橢圓離心率相同，由題意可設(shè)外層橢圓方程為.所以點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)切線的方程為，切線的方程為，聯(lián)立直線的方程與內(nèi)層橢圓方程得，，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，整理可得，.同理，聯(lián)立直線的方程與內(nèi)層橢圓方程，可推出，所以.因?yàn)椋?，則，所以.故答案為：.17．(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【詳解】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.18．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系求解；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可證明.【詳解】（1）時(shí)，，時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證時(shí)∴（2）時(shí)

時(shí)，，，

∴．19．(1)喜愛觀看世界杯與性別有關(guān)聯(lián)(2)分布列詳見解析【分析】（1）計(jì)算的值，由此作出判斷.（2）根據(jù)分布列的求法求得的分布列.【詳解】（1）零假設(shè)為喜愛觀看世界杯與性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)列表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，所以喜愛觀看世界杯與性別有關(guān)聯(lián).（2）按照分層抽樣的方式抽取人，其中男觀眾人，女觀眾人，的可能取值為，，所以的分布列為：20．（1）證明見解析；（2）．【分析】(1)首先將平面進(jìn)行擴(kuò)展，然后結(jié)合所得的平面與直線的交點(diǎn)即可證得題中的結(jié)論；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間直角坐標(biāo)系求得相應(yīng)平面的法向量，然后解方程即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】(1)如圖所示，取的中點(diǎn)，連結(jié)，由于為正方體，為中點(diǎn)，故，從而四點(diǎn)共面，即平面CDE即平面，據(jù)此可得：直線交平面于點(diǎn)，當(dāng)直線與平面相交時(shí)只有唯一的交點(diǎn)，故點(diǎn)與點(diǎn)重合，即點(diǎn)為中點(diǎn).(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為2，設(shè)，則：，從而：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，從而：，則：，整理可得：，故（舍去）.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線面關(guān)系和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，對于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.21．（1）詳見解析（2）詳見解析【分析】（1）分別求出直線AM與BM的斜率，由已知直線AM與BM的斜率之積為?，可以得到等式，化簡可以求出曲線C的方程，注意直線AM與BM有斜率的條件；（2）（i）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系求出的坐標(biāo)，再求出直線的斜率，計(jì)算的值，就可以證明出是直角三角形；（ii）由（i）可知三點(diǎn)坐標(biāo)，是直角三角形，求出的長，利用面積公式求出的面積，利用導(dǎo)數(shù)求出面積的最大值.【詳解】（1）直線的斜率為，直線的斜率為，由題意可知：，所以曲線C是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上，不包括左右兩頂點(diǎn)的橢圓，其方程為；（2）（i）[方法一]【分別求得斜率的表達(dá)式利用斜率之積為即可證得題中的結(jié)論】依題意設(shè)，直線的斜率為，則，所以．又，所以，進(jìn)而有，即是直角三角形．[方法二]【利用三點(diǎn)共線和點(diǎn)差法真的斜率之積為即可證得題中的結(jié)論】