2022年北京地安門中學高二數(shù)學理上學期摸底試題含解析

2022年北京地安門中學高二數(shù)學理上學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知f（x）=x5+2x3+3x2+x+1，應用秦九韶算法計算x=3時的值時，v3的值為（）A．27 B．11 C．109 D．36參考答案：D【考點】中國古代數(shù)學瑰寶．【分析】秦九韶算法可得f（x）=（（（（x+0）x+2）x+3）x+1）x+1，進而得出．【解答】解：由秦九韶算法可得f（x）=x5+2x3+3x2+x+1=（（（（x+0）x+2）x+3）x+1）x+1，∴v0=1，v1=1×3+0=3，v2=3×3+2=11，v3=11×3+3=36．故選：D．2.函數(shù)f（x）=x+2cosx在區(qū)間上的最大值為(

) A．2 B．π﹣2 C． D．參考答案：D考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專題：導數(shù)的概念及應用．分析：先求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值．解答： 解：f′（x）=1﹣2sinx，令f′（x）＞0，解得：x＜或x＞，令f′（x）＜0，解得：＜x＜，∴函數(shù)f（x）在遞增，在（，）遞減，∴f（x）極大值=f（）=+，f（x）極小值=f（）=﹣，又f（0）=2，f（π）=π﹣2，故所求最大值為+．點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道基礎題．3.若實數(shù)x，y滿足則的取值范圍是（）A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．[1，+∞）參考答案：B【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】本題屬于線性規(guī)劃中的延伸題，對于可行域不要求線性目標函數(shù)的最值，而是求可行域內(nèi)的點與點（1，0）構(gòu)成的直線的斜率范圍．【解答】解：可行域為圖中陰影部分，的幾何意義是區(qū)域內(nèi)點與點A（1，0）連線的斜率．當過點A的直線與l：x﹣y+1=0平行時，斜率k=1；當直線過點A和B（0，1）時，斜率k=﹣1，故欲使過點A的直線與可行域有公共點，應有k＞1或k＜﹣1，故＞1或＜﹣1．故選B．4.下列結(jié)論中正確的是

（

）A.導數(shù)為零的點一定是極值點B.如果在附近的左側(cè)右側(cè)那么是極大值C.如果在附近的左側(cè)右側(cè)那么是極小值D.如果在附近的左側(cè)右側(cè)那么是極大值參考答案：B略5.過點且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線的方程是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略6.命題“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”為真命題的一個充分不必要條件是（）A．a(chǎn)≥4 B．a(chǎn)≤4 C．a(chǎn)≥5 D．a(chǎn)≤5參考答案：C【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】本題先要找出命題為真命題的充要條件{a|a≥4}，從集合的角度充分不必要條件應為{a|a≥4}的真子集，由選擇項不難得出答案．【解答】解：命題“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”為真命題，可化為?x∈[1，2]，a≥x2，恒成立即只需a≥（x2）max=4，即“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”為真命題的充要條件為a≥4，而要找的一個充分不必要條件即為集合{a|a≥4}的真子集，由選擇項可知C符合題意．故選C7.總體編號為01,02,……19,20的20個個體組成.利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體,選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字,則選出來的第5個個體的編號為（）A．08 B．07 C．02 D．01參考答案：D略8.設某大學的女生體重（單位：）與身高（單位：）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法建立的回歸方程為，則下列結(jié)論中不正確的是

()A.與具有正的線性相關(guān)關(guān)系

B.回歸直線過樣本點的中心）C．若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg參考答案：D9.(x4++2x)5的展開式中含x5項的系數(shù)為（

）A.160 B.210 C.120 D.252參考答案：D【分析】先化簡，再由二項式通項，可得項的系數(shù)?！驹斀狻浚?，當時，.故選D.【點睛】本題考查二項式展開式中指定項的系數(shù)，解題關(guān)鍵是先化簡再根據(jù)通項公式求系數(shù)。10.命題“所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)”的否定是A.所有不能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)B.所有能被2整除的數(shù)都不是偶數(shù)C.存在一個不能被2整除的數(shù)是偶數(shù)D.存在一個能被2整除的數(shù)不是偶數(shù)參考答案：D試題分析：命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是“存在一個能被2整除的數(shù)不是偶數(shù)”．故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設函數(shù)f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若對于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，則實數(shù)a的值為．參考答案：4【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】計算題．【分析】先求出f′（x）=0時x的值，進而討論函數(shù)的增減性得到f（x）的最小值，對于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，可轉(zhuǎn)化為最小值大于等于0即可求出a的范圍．【解答】解：由題意，f′（x）=3ax2﹣3，當a≤0時3ax2﹣3＜0，函數(shù)是減函數(shù)，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a≥2，與已知矛盾，當a＞0時，令f′（x）=3ax2﹣3=0解得x=±，①當x＜﹣時，f′（x）＞0，f（x）為遞增函數(shù)，②當﹣＜x＜時，f′（x）＜0，f（x）為遞減函數(shù)，③當x＞時，f（x）為遞增函數(shù)．所以f（）≥0，且f（﹣1）≥0，且f（1）≥0即可由f（）≥0，即a?﹣3?+1≥0，解得a≥4，由f（﹣1）≥0，可得a≤4，由f（1）≥0解得2≤a≤4，綜上a=4為所求．故答案為：4．【點評】本題以函數(shù)為載體，考查學生解決函數(shù)恒成立的能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．12.已知，，則

.參考答案：13.已知f（x﹣）=x2+，則f（2）=

．參考答案：6【考點】3T：函數(shù)的值．【分析】利用配湊法，把x﹣看成一個整體，將等式右邊表示成x﹣的形式，然后把x﹣整體換成x，即可得f（x），令x=2，即可得f（2）的值．【解答】解：∵f（x﹣）=x2+，∴f（x﹣）=x2+=（x﹣）2+2，把x﹣整體換成x，可得，f（x）=x2+2，∴f（2）=22+2=6．故答案為：6．14.已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，b﹣c為半徑作圓F2，過橢圓上一點P作此圓的切線．切點為T，且|PT|的最小值為，則橢圓的離心率e的取值范圍是

．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】利用切線的性質(zhì)和勾股定理可得|PT|=，利用橢圓的性質(zhì)可得|PF2|的最小值為a﹣c，再利用題意可|PT|的最小值為，即可得出離心率e滿足的不等式，再利用b＞c，可得b2＞c2，即a2﹣c2＞c2，又得出e滿足的不等式，聯(lián)立解出即可．【解答】解：∵|PT|=，而|PF2|的最小值為a﹣c，∴，∴（a﹣c）2≥4（b﹣c）2，∴a﹣c≥2（b﹣c），∴a+c≥2b，∴（a+c）2≥4（a2﹣c2），化為5c2+2ac﹣3a2≥0，即5e2+2e﹣3≥0

①．∵b＞c，∴b2＞c2，∴a2﹣c2＞c2，∴a2＞2c2，∴．②由①②解得．故橢圓離心率的取值范圍為．故答案為．【點評】熟練掌握橢圓的性質(zhì)、離心率的計算公式、圓的切線的性質(zhì)、勾股定理、一元二次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．15.直線2ρcosθ=1與圓ρ=2cosθ相交的弦長為．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標方程．【分析】化極坐標方程為直角坐標方程，然后由直線和圓的位置關(guān)系求得弦長．【解答】解：由2ρcosθ=1，可得直線方程為x=，由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，化為標準方程得（x﹣1）2+y2=1．如圖，∴弦AB的長為．故答案為：．16.雙曲線的兩條漸近線的方程為

▲

.參考答案：17.各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則的通項公式

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝PA＝2，E，F(xiàn)分別為PB，AD的中點.（1）證明：AC⊥EF；（2）求直線EF與平面PCD所成角的正弦值．參考答案：(1)易知AB，AD，AP兩兩垂直．如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．設AB＝t，則相關(guān)各點的坐標為：A(0,0,0)，B(t,0,0)，C(t,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(，0,1)，F(xiàn)(0,1,0)．從而＝(－，1，－1)，＝(t,1,0)，＝(－t,2,0)．因為AC⊥BD，所以·＝－t2＋2＋0＝0.解得t＝或t＝－(舍去)．…3分于是＝(－，1，－1)，＝(，1,0)．因為·＝－1＋1＋0＝0，所以⊥，即AC⊥EF.…………5分(2)

由(1)知，＝(，1，－2)，＝(0,2，－2)．設n＝(x，y，z)是平面PCD的一個法向量，則令z＝，則n＝(1，，)．…………10分設直線EF與平面PCD所成角為θ，則sinθ＝|cos＜n，＞|＝.即直線EF與平面PCD所成角的正弦值為.………………12分19.用數(shù)學歸納法證明：求證：．．參考答案：見解析解：①當時，左邊，右邊，等式成立．②設當時，等式也成立，即：，則當時，，，，，，得證．∴時，成立，故等式成立．20.已知拋物線y2=-x與直線y=k(x+1)交于A、B兩點.(1)求證：OA^OB；（2）當DAOB的面積等于時，求k的值.參考答案：略21.（本小題滿分6分）

已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的最小正周期；

（2）判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由。參考答案：（1）因，故最小正周期為

………………（3分）（2）因，且。

故是奇函數(shù)。

………………（6分）22.(本小題滿分12分)一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4，(1)從袋中隨機取出兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求n＜m＋2的概率．參考答案：(1)從袋子中隨機取兩個球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6個．[從袋中隨機取出的球的編號之和不大于4的事件共有1和2,1和3兩個．因此所求事件的概率為.(