2022-2023學(xué)年湖北省恩施市長樂中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年湖北省恩施市長樂中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面積為，則BC＝()A．3

B．5

C．7

D．15參考答案：C2.某商場在國慶黃金周的促銷活動中，對10月2日9時至14時的銷售額進(jìn)行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖1所示，已知9時至10時的銷售額為2.5萬元，則11時至12時的銷售額為（

）A.6萬元

B.8萬元

C.10萬元

D.12萬元參考答案：C略3.四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱與底面所成的角都等于60°，它的所有頂點都在直徑為2的球面上，則該四棱錐的體積為

參考答案：B略4.2007名學(xué)生中選取50名學(xué)生參加湖北省中學(xué)生夏令營，若采用下面的方法選取:先用簡單隨機(jī)抽樣從2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取，則每人入選的概率（

）A.不全相等

B.均不相等C.都相等，且為

D.都相等，且為參考答案：C略5.△ABC的兩個頂點為A(-4,0)，B(4,0)，△ABC周長為18，則C點軌跡為(

)A．(y≠0)

B.(y≠0)C.(y≠0)

D.(y≠0)參考答案：A略6.已知圓O為坐標(biāo)原點，則以O(shè)C為直徑的圓的方程(

)A. B.C. D.參考答案：C【分析】先求出圓心和半徑，即得圓的方程.【詳解】由題得OC中點坐標(biāo)為（3,4），圓的半徑為，所以圓的方程為.故選：C【點睛】本題主要考查圓的方程的求法，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.7.如圖直三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為V，點P、Q分別在側(cè)棱AA1和CC1上，AP=C1Q，則四棱錐B﹣APQC的體積為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】組合幾何體的面積、體積問題．【分析】把問題給理想化，認(rèn)為三棱柱是正三棱柱，設(shè)底面邊長a和側(cè)棱長h均為1，P、Q分別為側(cè)棱AA′，CC′上的中點求出底面面積高，即可求出四棱錐B﹣APQC的體積．【解答】解：不妨設(shè)三棱柱是正三棱柱，設(shè)底面邊長a和側(cè)棱長h均為1

則V=SABC?h=?1?1??1=

認(rèn)為P、Q分別為側(cè)棱AA′，CC′上的中點

則VB﹣APQC=SAPQC?=

（其中表示的是三角形ABC邊AC上的高）

所以VB﹣APQC=V故選B8.雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與直線x+2y+1=0垂直，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左右焦點，A為雙曲線上一點，若|F1A|=3|F2A|，則cos∠AF2F1=（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由兩直線垂直的條件可得漸近線的斜率為2，即有b=2a，再求c=a，運用雙曲線的定義和條件，解得三角形AF2F1的三邊，再由余弦定理，即可得到所求值．【解答】解：由于雙曲線的一條漸近線y=x與直線x+2y+1=0垂直，則一條漸近線的斜率為2，即有b=2a，c=a，|F1A|=3|F2A|，且由雙曲線的定義，可得|F1A|﹣|F2A|=2a，解得，|F1A|=3a，|F2A|=a，又|F1F2|=2c，由余弦定理，可得cos∠AF2F1==．故選：A．9.從2004名學(xué)生中選取50名組成參觀團(tuán)，若采用下面的方法選?。合扔煤唵坞S機(jī)抽樣從2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行，則每人入選的概率為（）A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且為 D．都相等，且為參考答案：C【考點】系統(tǒng)抽樣方法；簡單隨機(jī)抽樣．【分析】本題是一個系統(tǒng)抽樣，在抽樣過程中每個個體被抽到的概率是樣本容量除以總體個數(shù)，從2004名學(xué)生中選取50名組成參觀團(tuán)，因為不能整除，要剔除一部分個體，在剔除過程中每個個體被抽到的概率相等．【解答】解：由題意知本題是一個系統(tǒng)抽樣，在抽樣過程中每個個體被抽到的概率是樣本容量除以總體個數(shù)，從2004名學(xué)生中選取50名組成參觀團(tuán)，因為不能整除，要剔除一部分個體，在剔除過程中每個個體被抽到的概率相等∴得到每個個體被抽到的概率是故選C．10.設(shè)x，y滿足約束條件，則的最大值為

（）A．0 B． C．1 D．2參考答案：D【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】首先畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最大值．【解答】解：約束條件對應(yīng)的區(qū)域如圖：由的幾何意義得到：區(qū)域內(nèi)的點A（1，2）與O的連接直線斜率最大即的最大值為=2；故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a2=9，a1·a2·a3=27，則{an}的前n項和Sn=________.參考答案：解：等比數(shù)列{an}中，由a1·a2·a3=27，得a2=3，又a1＋a2=9，所以a1=6，公比，所以.12.若函數(shù)在和時取極小值，則實數(shù)a的取值范圍是

▲

．參考答案：(0,1)由題可得：，令故原函數(shù)有三個極值點為0,1，a，即導(dǎo)函數(shù)有三個解，由在0,1處要取得極小值所以0和1的左邊導(dǎo)函數(shù)的值要為負(fù)值，右邊要為正值，故a值只能放在0和1的中間，所以a的取值范圍是(0,1).

13.如果對任意一個三角形，只要它的三邊都在函數(shù)的定義域內(nèi)，就有也是某個三角形的三邊長，則稱為“和美型函數(shù)”.現(xiàn)有下列函數(shù)：①；

②；③.其中是“和美型函數(shù)”的函數(shù)序號為

.（寫出所有正確的序號）參考答案：①③14.在正三棱錐（頂點在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,過作與分別交于和的截面，則截面的周長的最小值是________參考答案：

解析：沿著將正三棱錐側(cè)面展開，則共線，且15.已知橢圓中心在原點，一個焦點為(，0)，且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

．參考答案：16.已知函數(shù)無極值，則實數(shù)a的取值范圍是______．參考答案：【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)無極值得到，導(dǎo)函數(shù)恒成立，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，又函數(shù)無極值，所以恒成立，故，即，解得.故答案為【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)無極值求參數(shù)問題，屬于?？碱}型.17.若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則Z的共軛復(fù)數(shù)__________．參考答案：【分析】先由復(fù)數(shù)的除法運算，求出復(fù)數(shù)，進(jìn)而可得出其共軛復(fù)數(shù).【詳解】因為，所以，因此其共軛復(fù)數(shù)為故答案為【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算，以及共軛復(fù)數(shù)，熟記運算法則與共軛復(fù)數(shù)的概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知曲線y=x3+x﹣2在點P0處的切線l1平行直線4x﹣y﹣1=0，且點P0在第三象限，（1）求P0的坐標(biāo)；（2）若直線l⊥l1，且l也過切點P0，求直線l的方程．參考答案：【考點】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）根據(jù)曲線方程求出導(dǎo)函數(shù)，因為已知直線4x﹣y﹣1=0的斜率為4，根據(jù)切線與已知直線平行得到斜率相等都為4，所以令導(dǎo)函數(shù)等于4得到關(guān)于x的方程，求出方程的解，即為切點P0的橫坐標(biāo)，代入曲線方程即可求出切點的縱坐標(biāo)，又因為切點在第3象限，進(jìn)而寫出滿足題意的切點的坐標(biāo)；（2）由直線l1的斜率為4，根據(jù)兩直線垂直時斜率的乘積為﹣1，得到直線l的斜率為﹣，又根據(jù)（1）中求得的切點坐標(biāo)，寫出直線l的方程即可．【解答】解：（1）由y=x3+x﹣2，得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解之得x=±1．當(dāng)x=1時，y=0；當(dāng)x=﹣1時，y=﹣4．又∵點P0在第三象限，∴切點P0的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）；（2）∵直線l⊥l1，l1的斜率為4，∴直線l的斜率為﹣，∵l過切點P0，點P0的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）∴直線l的方程為y+4=﹣（x+1）即x+4y+17=0．19.橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合,且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為,傾斜角為的直線過點.

（Ⅰ）求該橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓的另一個焦點為,問拋物線上是否存在一點,使得與關(guān)于直線對稱,若存在,求出點的坐標(biāo),若不存在,說明理由.參考答案：解：（1）拋物線的焦點為,準(zhǔn)線方程為,……………2分

∴

①

…3分又橢圓截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為,

∴

得上交點為,∴

②…4分由①代入②得,解得或（舍去）,從而

∴

該橢圓的方程為該橢圓的方程為

…6分（2）∵傾斜角為的直線過點,∴直線的方程為,即,…7分由（1）知橢圓的另一個焦點為,設(shè)與關(guān)于直線對稱,………8分則得

……10分

解得,即

又滿足,故點在拋物線上。

…11分所以拋物線上存在一點,使得與關(guān)于直線對稱?！?2分20.（本小題滿分15分）已知函數(shù)

（Ⅰ）若有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)時，討論函數(shù)的零點個數(shù).參考答案：解：（Ⅰ），法1：

………2分有兩個極值點等價于方程在上有兩個不等的實根，等價于

，解得，即為所求的實數(shù)的取值范圍.

……5分法2：

……1分

有兩個極值點等價于方程在上有兩個不等的實根，即方程

在上有兩個不等的實根，等價于

,,解得，即為所求的實數(shù)的取值范圍.

…………………5分法3：…，即方程在上有兩個不等的實根，令，則其圖象對稱軸為直線，圖象恒過點，問題條件等價于的圖象與軸正半軸有兩個不同的交點，等價于，……（評分參照法2）（Ⅱ）法1：（1）當(dāng)時，，由得，，解得，由得，，解得，從而在、上遞減，在上遞增，……………7分，

……………8分，因為，所以，又，所以，從而.…………10分又的圖象連續(xù)不斷，故當(dāng)時，的圖象與軸有且僅有一個交點.

…………………11分法2：……，令，考察函數(shù)，由于，所以在上遞減，，即，……（如沒有給出嚴(yán)格證明，而用極限思想說明的，扣2分）（2）當(dāng)時，因為，所以，則當(dāng)時，；當(dāng)時，.從而在上遞減，在上遞增,.…12分①若，則，此時的圖象與軸無交點.………………13分②若，則，的圖象與軸有且僅有一個交點.…14分綜上可知，當(dāng)或時，函數(shù)有且僅有一個零點；當(dāng)時，函數(shù)無零點.……………………15分21.如圖，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，DE∥PA．（Ⅰ）求證：BC⊥CE；（Ⅱ）若直線m?平面PAB，試判斷直線m與平面CDE的位置關(guān)系，并說明理由；（Ⅲ）若AB=PA=2DE=2，AD=3，求三棱錐E﹣PCD的體積．參考答案：【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LO：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出DE⊥BC．，BC⊥CD，由此能證明BC⊥CE．（Ⅱ）推導(dǎo)出DE∥平面PAB，CD∥平面PAB，從而平面PAB∥平面CDE，從而得到m∥平面CDE．（Ⅲ）三棱錐E﹣PCD的體積等于三棱錐P﹣CDE的體積，由此能求出三棱錐E﹣PCD的體積．【解答】（本小題滿分14分）證明：（Ⅰ）因為PA⊥底面ABCD，PA∥DE所以DE⊥底面ABCD．所以DE⊥BC．又因為底面ABCD為矩形，所以BC⊥CD．又因為CD∩DE=D，所以BC⊥平面CDE．所以BC⊥CE．

…解：（Ⅱ）若直線m?平面PAB，則直線m∥平面CDE．證明如下，因為PA∥DE，且PA?平面PAB，DE?平面PAB，所以DE∥平面PAB．在矩形ABCD中，CD∥BA，且BA?平面PAB，CD?平面PAB，所以CD∥平面PAB．又因為CD∩DE=D，所以平面PAB∥平面CDE．又因為直線m?平面PAB，所以直線m∥平面CDE．

…（Ⅲ）由題意知，三棱錐E﹣PCD的體積等于三棱錐P﹣CDE的體積．由（Ⅰ）可知，BC⊥平面CDE．又因為AD∥BC，所以AD⊥平面CDE．易證PA∥平面CDE，所以點P到平面CDE的距離等于AD的長．因為AB=PA=2DE=2，AD=3，所以．所以三棱錐E﹣PCD的體積．

…22.已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于兩點，且.（1）求拋物線的方程;（2）O為坐位原點，C為拋物線上一點，若，求的值.參考答案：（1）y2＝8x.（2）λ＝0，或λ＝2.試題分析：第一問求拋物線的焦點弦長問題可直接利用焦半徑公式，先寫出直線的方程，再與拋物線的方程聯(lián)立方程組，設(shè)而不求，利用根與系數(shù)關(guān)系得出，然后利用焦半徑公式得出焦點弦長公式，求出弦長，第二問根據(jù)聯(lián)立方程組解出的A、B兩點坐標(biāo)，和向量的坐標(biāo)關(guān)系表示出點C的坐標(biāo)，由于點C在拋物線上滿足拋物線方程，求出參數(shù)值.試題解析：(1)直線AB的方程是y＝2（x-2），與y2＝8x聯(lián)立，消去y得x2－5x＋4＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝5.由拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝9