《角平分線(xiàn)的性質(zhì)》教案、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《12.3第1課時(shí)角平分線(xiàn)的性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能1.能夠利用三角形全等，證明角平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定．2.會(huì)用尺規(guī)作已知角的平分線(xiàn)．3.能利用角平分線(xiàn)性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，解決一些實(shí)際問(wèn)題．過(guò)程與方法經(jīng)歷探索、猜想、證明的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力．情感態(tài)度價(jià)值觀在探討作角的平分線(xiàn)的方法及角的平分線(xiàn)的性質(zhì)的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題的興趣，增強(qiáng)解決問(wèn)題的信心，獲得解決問(wèn)題的成功體驗(yàn)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的理性精神教學(xué)重點(diǎn)角平分線(xiàn)畫(huà)法、性質(zhì)和判定．教學(xué)難點(diǎn)角的平分線(xiàn)的性質(zhì)的探究教學(xué)準(zhǔn)備平分角的儀器(自制)三角尺、多媒體課件等．教學(xué)過(guò)程（師生活動(dòng)）設(shè)計(jì)理念創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課1.在紙上任意畫(huà)一個(gè)角，用剪刀剪下，用折紙的方法，如何確定角的平分線(xiàn)？2.有一個(gè)簡(jiǎn)易平分角的儀器（如圖），其中AB=AD,BC=DC,將A點(diǎn)放角的頂點(diǎn)，AB和AD沿AC畫(huà)一條射線(xiàn)AE,AE就是∠BAD的平分線(xiàn)，為什么？復(fù)習(xí)舊知識(shí)，回憶角的平分線(xiàn)的定義讓學(xué)生體驗(yàn)利用證明三角形全等的方法來(lái)對(duì)畫(huà)法做出說(shuō)明．要求學(xué)生能說(shuō)明所作的射線(xiàn)是角平分線(xiàn)的理由．探索新知，建立模型探究1.(1)從上面對(duì)平分角的儀器的探究中，可以得出作已知角的平分線(xiàn)的方法。已知什么？求作什么？【已知：∠AOB求作：∠AOB的平分線(xiàn)】(2)把簡(jiǎn)易平分角的儀器放在角的兩邊.且平分角的儀器兩邊相等,從幾何角度怎么畫(huà)?【以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N.】(3)簡(jiǎn)易平分角的儀器BC=DC,從幾何角度如何畫(huà)【分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于二分之一MN長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在角的內(nèi)部交于點(diǎn)C.(4)OC與簡(jiǎn)易平分角的儀器中,AE是同一條射線(xiàn)嗎?【是】(5)你能說(shuō)明OC是∠AOB的平分線(xiàn)嗎?【提示：利用全等的性質(zhì)】探究2.(1)在已畫(huà)好的角的平分線(xiàn)OC上任意找一點(diǎn)P,過(guò)P點(diǎn)分別作OA、OB的垂線(xiàn)交OA、O于M、N,PM、PN的長(zhǎng)度是∠AOB的平分線(xiàn)上一點(diǎn)到∠AOB兩邊的距離。量出它們的長(zhǎng)度，你發(fā)現(xiàn)了什么？【多媒體課件動(dòng)態(tài)演示(可用“幾何畫(huà)板”制作)，當(dāng)拖動(dòng)∠AOB平分線(xiàn)OC上的點(diǎn)P時(shí)，觀察PM、PN(PM⊥OA，PN⊥OB)度量值的變化規(guī)律.探究結(jié)果后可得到：PM⊥OA，PN⊥OB，且PM＝PN】(2)你能歸納角的平分線(xiàn)的性質(zhì)嗎?【角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等】(3)你能用三角形全等證明這個(gè)性質(zhì)嗎?探究3.那么若一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，這個(gè)點(diǎn)是否在這個(gè)角的平分線(xiàn)上呢？如圖，已知PD⊥OA,PE⊥OB,且PD=PE，那么P點(diǎn)在∠AOB的平分線(xiàn)上嗎？為什么？歸納：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上．從實(shí)驗(yàn)中抽象出幾何模型,明確幾何作圖的基本思路和方法.培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線(xiàn)的能力.讓學(xué)生體驗(yàn)成功在已有成功經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，繼續(xù)探究與應(yīng)用，提升分析解決問(wèn)題的能力并增進(jìn)運(yùn)用數(shù)學(xué)的情感體驗(yàn)．在說(shuō)理的過(guò)程中加深對(duì)角平分線(xiàn)性質(zhì)、判定定理的理解．解析、應(yīng)用與拓展思考：如圖所示，要在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路、鐵路距離相等，離公路與鐵路交叉處500m，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建于何處（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1：20000）？問(wèn)題1．集貿(mào)市場(chǎng)建于何處，和本節(jié)學(xué)的角平分線(xiàn)性質(zhì)有關(guān)嗎？用哪一個(gè)性質(zhì)可以解決這個(gè)問(wèn)題？2．比例尺為1：20000是什么意思？結(jié)論：1．應(yīng)該是用第二個(gè)性質(zhì)．這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)該建在公路與鐵路形成的角的平分線(xiàn)上，并且要求離角的頂點(diǎn)500米處．2．圖中1cm表示實(shí)際距離200m的意思．作圖如下：第一步：作∠AOB的平分線(xiàn)OP．第二步：在射線(xiàn)OP上截取OC=2.5cm，確定C點(diǎn)，C點(diǎn)就是集貿(mào)市場(chǎng)所建地了．例題講解：如圖，△ABC的角平分線(xiàn)BM、CN相交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等．分析：點(diǎn)P到AB、BC、CA的垂線(xiàn)段PD、PE、PF的長(zhǎng)就是P點(diǎn)到三邊的距離，也就是說(shuō)要證：PD=PE=PF．而B(niǎo)M、CN分別是∠B、∠C的平分線(xiàn)，根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)和等式的傳遞性可以解決這個(gè)問(wèn)題．鞏固練習(xí)教材50頁(yè)練習(xí)1,2發(fā)展學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)與能力只要作法合理，均應(yīng)給予肯定．小結(jié)與作業(yè)小結(jié)提高我們學(xué)習(xí)了關(guān)于角平分線(xiàn)的兩個(gè)性質(zhì)：①角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；②角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上．它們具有互逆性．與角平分線(xiàn)有關(guān)的求證線(xiàn)段相等、角相等問(wèn)題，可以直接利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)，而不必再去證明三角形全等來(lái)得出線(xiàn)段相等．通過(guò)小結(jié)歸納，完善學(xué)生對(duì)知識(shí)的梳理．布置作業(yè)1．必做題：2．選做題：本題是對(duì)所學(xué)內(nèi)容的復(fù)習(xí)，又為下節(jié)課學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備．《12.3第1課時(shí)角平分線(xiàn)的性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)年級(jí)八年級(jí)課題角的平分線(xiàn)的性質(zhì)課型新授教學(xué)媒體多媒體教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能鞏固三角形全等的性質(zhì)和判定的應(yīng)用.會(huì)用不同作圖工具作已知角的平分線(xiàn).掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.了解證明幾何命題的一般步驟和格式.過(guò)程方法提高學(xué)生綜合運(yùn)用三角形全等的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.了解我的平分線(xiàn)的性質(zhì)在生活、生產(chǎn)中的應(yīng)用.情感態(tài)度在探究角的平分線(xiàn)的作法及性質(zhì)的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題的興趣，獲得解決問(wèn)題的成功體驗(yàn)，增強(qiáng)解決問(wèn)題的信心.教學(xué)重點(diǎn)角的平分線(xiàn)的性質(zhì)的證明及運(yùn)用.教學(xué)難點(diǎn)角平分線(xiàn)的性質(zhì)的探究.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)教學(xué)程序及教學(xué)內(nèi)容師生行為設(shè)計(jì)意圖一、情境引入1.復(fù)習(xí)角平分線(xiàn)的定義；2.提出問(wèn)題：給定一個(gè)角，你能做出它的角平分線(xiàn)嗎？方法都有哪些？二、探究新知探究一：角的平分線(xiàn)的畫(huà)法多媒體展示：已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分線(xiàn)。思考：1.用圓規(guī)和直尺作已知角的平分線(xiàn)的依據(jù)是什么？2.在角平分線(xiàn)作法的第二步中，去掉“大于MN的長(zhǎng)”這個(gè)條件行嗎3.第二步中所作的兩弧交點(diǎn)一定在∠AOB的內(nèi)部嗎？鞏固練習(xí)：教材第19頁(yè)練習(xí)。探究二：角的平分線(xiàn)的性質(zhì)實(shí)驗(yàn)：1.讓學(xué)生在已經(jīng)畫(huà)好的角平分線(xiàn)上任取一點(diǎn)P.2.分別過(guò)P點(diǎn)向OA、OB邊作垂線(xiàn)PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E。3.測(cè)量PD和PE的長(zhǎng)，觀察PD與PE的數(shù)量關(guān)系。4.再換一個(gè)新的位置比較一下，并試著說(shuō)明理由。歸納角的平分線(xiàn)的性質(zhì)：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。應(yīng)用：如圖，已知中，D為BC中點(diǎn)，且AD恰好平分∠BAC。求證：AB=AC三、課堂訓(xùn)練1.如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE、CD相交于點(diǎn)O，若∠1=∠2，求證OB=OC.2.如圖，四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，求證：AD=CD四、小結(jié)歸納1.用尺規(guī)作圖法作出已知角的角平分線(xiàn)的方法；2.角的平分線(xiàn)的性質(zhì)；3.角的平分線(xiàn)的性質(zhì)是證明線(xiàn)段相等的又一種方法。五、作業(yè)設(shè)計(jì)1.教材習(xí)題11.3第2、4小題；2.補(bǔ)充作業(yè)：①如圖，AB∥CD，∠BAC與∠ACD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，OE⊥AC于E，且OE=2，求AB、CD間的距離.②如圖，在△ABC中∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E，且AB=6㎝，則△DEB的周長(zhǎng)為_(kāi)________㎝。②思考題：已知：如圖，任意中，AD為∠BAC的平分線(xiàn)。求證：BD∶DC=AB∶AC（提示：可參照例題［點(diǎn)撥］，利用面積證明）思考并回答問(wèn)題。提出問(wèn)題，學(xué)生自學(xué)教材19頁(yè)探究題，并獨(dú)立作∠AOB的平分線(xiàn)，教師巡視指導(dǎo)。學(xué)生思考并回答。學(xué)生做練習(xí)。學(xué)生畫(huà)圖，教師巡視指導(dǎo)。觀察、討論P(yáng)D與PE的數(shù)量系。學(xué)生通過(guò)三角形全等，說(shuō)明PD=PE。教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出角的平分線(xiàn)的性質(zhì)。教師引導(dǎo)，學(xué)生思考并解題，寫(xiě)出證明過(guò)程。學(xué)生充分討論，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題。學(xué)生小結(jié)本節(jié)所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)及知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用。搞好新舊知識(shí)的銜接，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境。培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，強(qiáng)化角平分線(xiàn)的畫(huà)法。培養(yǎng)學(xué)生用全等三角形解決問(wèn)題的能力。鞏固用尺規(guī)作圖法作已知角的角平分線(xiàn)的方法。通過(guò)學(xué)生實(shí)驗(yàn)得到結(jié)論，重視知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程。使學(xué)生明確角的平分線(xiàn)的性質(zhì)是證明線(xiàn)段相等的又一種方法。鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí)及提升綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。從總體上把握學(xué)知識(shí)。板書(shū)設(shè)計(jì)課題11.3角的平分線(xiàn)的性質(zhì)一、角的平分線(xiàn)的作法：作已知角的角平分線(xiàn)例題分析二、角的平分線(xiàn)的性質(zhì)：教學(xué)反思22《第1課時(shí)角平分線(xiàn)的性質(zhì)》教案總課題全等三角形總課時(shí)數(shù)第15課時(shí)課題角的平分線(xiàn)的性質(zhì)主備人課型新授教學(xué)目標(biāo)1．應(yīng)用三角形全等的知識(shí)，解釋角平分線(xiàn)的原理．2．會(huì)用尺規(guī)作一個(gè)已知角的平分線(xiàn)．教學(xué)重點(diǎn)利用尺規(guī)作已知角的平分線(xiàn)教學(xué)難點(diǎn)角的平分線(xiàn)的作圖方法的提煉教學(xué)過(guò)程教學(xué)內(nèi)容一．提出問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境問(wèn)題1：三角形中有哪些重要線(xiàn)段．問(wèn)題2：你能作出這些線(xiàn)段嗎？三角形中有三條重要線(xiàn)段，它們分別是：三角形的高，三角形的中線(xiàn)，三角形的角的平分線(xiàn)．過(guò)三角形的頂點(diǎn)作這個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)邊的垂線(xiàn)，交對(duì)邊于一點(diǎn)，頂點(diǎn)與垂足的連線(xiàn)就是這個(gè)三角形的高．取三角形一邊的中點(diǎn)，此中點(diǎn)與這個(gè)邊對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)就是這條邊的中線(xiàn)．用量角器量出三角形的角的大小，量角器零度線(xiàn)與這個(gè)角的一邊重合，這個(gè)角一半所對(duì)應(yīng)的線(xiàn)就是這個(gè)角的角平分線(xiàn)．三角形的角平分線(xiàn)是一條線(xiàn)段，而一個(gè)已知角的平分線(xiàn)是一條射線(xiàn)，這兩個(gè)概念是有區(qū)別的．如果老師手里只有直尺和圓規(guī)，你能設(shè)計(jì)一個(gè)作角的平分線(xiàn)的操作方案嗎？二．導(dǎo)入新課在∠AOB的兩邊OA和OB上分別取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC與NC交于C點(diǎn)．求證：∠MOC=∠NOC．通過(guò)證明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可證明∠MOC=∠NOC，所以射線(xiàn)OC就是∠AOB的平分線(xiàn)．受這個(gè)題的啟示，我們能不能這樣做：在已知∠AOB的兩邊上分別截取OM=ON，再分別過(guò)M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC與NC交于C點(diǎn)，連接OC，那么OC就是∠AOB的平分線(xiàn)了．（學(xué)生思考、討論后，統(tǒng)一思想，認(rèn)為可行）議一議：下圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC．將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫(huà)一條射線(xiàn)AE，AE就是角平分線(xiàn)．你能說(shuō)明它的道理嗎？學(xué)生活動(dòng)：討論操作原理．要說(shuō)明AC是∠DAC的平分線(xiàn)，其實(shí)就是證明∠CAD=∠CAB．∠CAD和∠CAB分別在△CAD和△CAB中，那么證明這兩個(gè)三角形全等就可以了．看看條件夠不夠．所以△ABC≌△ADC（SSS）．所以∠CAD=∠CAB．即射線(xiàn)AC就是∠DAB的平分線(xiàn)．原來(lái)用三角形全等，就可以解決角相等．線(xiàn)段相等的一些問(wèn)題．看來(lái)溫故是可以知新的．提出問(wèn)題：通過(guò)上述探究，能否總結(jié)出尺規(guī)作已知角的平分線(xiàn)的一般方法．自己動(dòng)手做做看．然后與同伴交流操作心得．（分小組完成這項(xiàng)活動(dòng)，教師可參與到學(xué)生活動(dòng)中，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，給予啟發(fā)和指導(dǎo)，使講評(píng)更具有針對(duì)性）討論結(jié)果展示：作已知角的平分線(xiàn)的方法：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分線(xiàn)．作法：（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交OA、OB于M、N．（2）分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑作?。畠苫≡凇螦OB內(nèi)部交于點(diǎn)C．（3）作射線(xiàn)OC，射線(xiàn)OC即為所求．議一議：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的長(zhǎng)”這個(gè)條件行嗎？2．第二步中所作的兩弧交點(diǎn)一定在∠AOB的內(nèi)部嗎？（設(shè)計(jì)這兩個(gè)問(wèn)題的目的在于加深對(duì)角的平分線(xiàn)的作法的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)嚴(yán)密性的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣）學(xué)生討論結(jié)果總結(jié)：1．去掉“大于MN的長(zhǎng)”這個(gè)條件，所作的兩弧可能沒(méi)有交點(diǎn)，所以就找不到角的平分線(xiàn)．2．若分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)兩弧，兩弧的交點(diǎn)可能在∠AOB的內(nèi)部，也可能在∠AOB的外部，而我們要找的是∠AOB內(nèi)部的交點(diǎn)，否則兩弧交點(diǎn)與頂點(diǎn)連線(xiàn)得到的射線(xiàn)就不是∠AOB的平分線(xiàn)了．3．角的平分線(xiàn)是一條射線(xiàn)．它不是線(xiàn)段，也不是直線(xiàn)，所以第二步中的兩個(gè)限制缺一不可．4．這種作法的可行性可以通過(guò)全等三角形來(lái)證明．練一練：任意畫(huà)一角∠AOB，作它的平分線(xiàn)．三．隨堂練習(xí)：課本P50練習(xí)．練后總結(jié)：平角∠AOB的平分線(xiàn)OC與直線(xiàn)AB垂直．將OC反向延長(zhǎng)得到直線(xiàn)CD，直線(xiàn)CD與AB也垂直．四．課時(shí)小結(jié)本節(jié)課中我們利用已學(xué)過(guò)的三角形全等的知識(shí)，探究得到了角平分線(xiàn)儀器的操作原理，由此歸納出角的平分線(xiàn)的尺規(guī)畫(huà)法，進(jìn)一步體會(huì)溫故而知新是一種很好的學(xué)習(xí)方法．五．課后作業(yè)課本P51習(xí)題12．2第1、2題．課后反思《第2課時(shí)角平分線(xiàn)的性質(zhì)》教案總課題全等三角形總課時(shí)數(shù)第16課時(shí)課題角平分線(xiàn)的性質(zhì)主備人課型新授時(shí)間教學(xué)目標(biāo)1．會(huì)敘述角的平分線(xiàn)的性質(zhì)，即“到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上”．2．能應(yīng)用這兩個(gè)性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．教學(xué)重點(diǎn)角平分線(xiàn)的性質(zhì)及其應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)靈活應(yīng)用兩個(gè)性質(zhì)解決問(wèn)題．教學(xué)過(guò)程教學(xué)內(nèi)容一．創(chuàng)設(shè)情境，引入新課師：請(qǐng)同學(xué)們拿出一張紙，自己動(dòng)手，撕下一個(gè)角，把撕下的角對(duì)折，使角的兩邊疊合在一起，再把紙片展開(kāi)，你看到了什么？把對(duì)折的紙片再任意折一次，然后把紙片展開(kāi)，又看到了什么？生：我發(fā)現(xiàn)第一次對(duì)折后的折痕是這個(gè)角的平分線(xiàn)；再折一次，又會(huì)出現(xiàn)兩條折痕，而且這兩條折痕是等長(zhǎng)的．這種方法可以做無(wú)數(shù)次，所以這種等長(zhǎng)的折痕可以折出無(wú)數(shù)對(duì)．師：你的敘述太精彩了．這說(shuō)明角的平分線(xiàn)除了有平分角的性質(zhì)，還有其他性質(zhì)，今天我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題．二．導(dǎo)入新課角平分線(xiàn)的性質(zhì)即已知角的平分線(xiàn)，能推出什么樣的結(jié)論．操作：1．折出如圖所示的折痕PD、PE．2．你與同伴用三角板檢測(cè)你們所折的折痕是否符合圖示要求．畫(huà)一畫(huà)：按照折紙的順序畫(huà)出一個(gè)角的三條折痕，并度量所畫(huà)PD、PE是否等長(zhǎng)？拿出兩名同學(xué)的畫(huà)圖，放在投影下，請(qǐng)大家評(píng)一評(píng)，以達(dá)明確概念的目的．[生]同學(xué)乙的畫(huà)法是正確的．同學(xué)甲畫(huà)的是過(guò)角平分線(xiàn)上一點(diǎn)畫(huà)角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，而不是過(guò)角平分線(xiàn)上一點(diǎn)畫(huà)兩邊的垂線(xiàn)段，所以同學(xué)甲的畫(huà)法不符合要求．[生甲]噢，對(duì)，我知道了．[師]同學(xué)甲，你再做一遍加深一下印象．問(wèn)題1：你能用文字語(yǔ)言敘述所畫(huà)圖形的性質(zhì)嗎？[生]角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．問(wèn)題2：（出示投影片）能否用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)翻譯“角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”這句話(huà)．請(qǐng)?zhí)钕卤恚簩W(xué)生通過(guò)討論作出下列概括：已知事項(xiàng)：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E為垂足．由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)：PD=PE．于是我們得角的平分線(xiàn)的性質(zhì)：在角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．[師]那么到角的兩邊距離相等的點(diǎn)是否在角的平分線(xiàn)上呢？（出示投影）問(wèn)題3：根據(jù)下表中的圖形和已知事項(xiàng)，猜想由已知事項(xiàng)可推出的事項(xiàng)，并用符號(hào)語(yǔ)言填寫(xiě)下表：[生討論]已知事項(xiàng)符合直角三角形全等的條件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠PDE=∠POD．由已知推出的事項(xiàng)：點(diǎn)P在∠AOB的平分線(xiàn)上．[師]這樣的話(huà)，我們又可以得到一個(gè)性質(zhì)：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上．同學(xué)們思考一下，這兩個(gè)性質(zhì)有什么聯(lián)系嗎？[生]這兩個(gè)性質(zhì)已知條件和所推出的結(jié)論可以互換．[師]對(duì)，這是自己的語(yǔ)言，這一點(diǎn)在數(shù)學(xué)上叫“互逆性”．下面請(qǐng)同學(xué)們思考一個(gè)問(wèn)題．思考：如圖所示，要在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路、鐵路距離相等，離公路與鐵路交叉處500m，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建于何處（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1：20000）？1．集貿(mào)市場(chǎng)建于何處，和本節(jié)學(xué)的角平分線(xiàn)性質(zhì)有關(guān)嗎？用哪一個(gè)性質(zhì)可以解決這個(gè)問(wèn)題？2．比例尺為1：20000是什么意思？（學(xué)生以小組為單位討論，教師可深入到學(xué)生中，及時(shí)引導(dǎo)）討論結(jié)果展示：1．應(yīng)該是用第二個(gè)性質(zhì)．這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)該建在公路與鐵路形成的角的平分線(xiàn)上，并且要求離角的頂點(diǎn)500米處．2．在紙上畫(huà)圖時(shí)，我們經(jīng)常在厘米為單位，而題中距離又是以米為單位，這就涉及一個(gè)單位換算問(wèn)題了．1m=100cm，所以比例尺為1：20000，其實(shí)就是圖中1cm表示實(shí)際距離200m的意思．作圖如下：第一步：尺規(guī)作圖法作出∠AOB的平分線(xiàn)OP．第二步：在射線(xiàn)OP上截取OC=2.5cm，確定C點(diǎn)，C點(diǎn)就是集貿(mào)市場(chǎng)所建地了．總結(jié)：應(yīng)用角平分線(xiàn)的性質(zhì)，就可以省去證明三角形全等的步驟，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化．所以若遇到有關(guān)角平分線(xiàn)，又要證線(xiàn)段相等的問(wèn)題，我們可以直接利用性質(zhì)解決問(wèn)題．[例]如圖，△ABC的角平分線(xiàn)BM、CN相交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等．[師生共析]點(diǎn)P到AB、BC、CA的垂線(xiàn)段PD、PE、PF的長(zhǎng)就是P點(diǎn)到三邊的距離，也就是說(shuō)要證：PD=PE=PF．而B(niǎo)M、CN分別是∠B、∠C的平分線(xiàn)，根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)和等式的傳遞性可以解決這個(gè)問(wèn)題．證明：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足為D、E、F．因?yàn)锽M是△ABC的角平分線(xiàn)，點(diǎn)P在BM上．所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF．即點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等．三．隨堂練習(xí)1．課本P50練習(xí)．2．課本P51習(xí)題12．3第3題．在這里要提醒學(xué)生直接利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)，無(wú)須再證三角形全等．四．課時(shí)小結(jié)今天，我們學(xué)習(xí)了關(guān)于角平分線(xiàn)的兩個(gè)性質(zhì)：①角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；②到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上．它們具有互逆性，可以看出，隨著研究的深入，解決問(wèn)題越來(lái)越簡(jiǎn)便了．像與角平分線(xiàn)有關(guān)的求證線(xiàn)段相等、角相等問(wèn)題，我們可以直接利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)，而不必再去證明三角形全等而得出線(xiàn)段相等．五．課后作業(yè)：課本P51頁(yè)習(xí)題12．3第4、5、6題．課后反思12.3角的平分線(xiàn)的性質(zhì)《第1課時(shí)角平分線(xiàn)的性質(zhì)》教案一、教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)與技能1.會(huì)作已知角的平分線(xiàn)；2.了解角的平分線(xiàn)的性質(zhì),能利用三角形全等證明角的平分線(xiàn)的性質(zhì)；3.會(huì)利用角的平分線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行證明與計(jì)算.（二）過(guò)程與方法在探究作角的平分線(xiàn)的方法及角的平分線(xiàn)的性質(zhì)的過(guò)程中,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力.（三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀在探究作角的平分線(xiàn)的方法及角的平分線(xiàn)的性質(zhì)的過(guò)程中,培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題的興趣、合作交流的意識(shí)、動(dòng)手操作的能力與探索精神,增強(qiáng)解決問(wèn)題的信心,獲得解決問(wèn)題的成功體驗(yàn).二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：角的平分線(xiàn)的性質(zhì)的證明及應(yīng)用；難點(diǎn)：角的平分線(xiàn)的性質(zhì)的探究.三、教法學(xué)法三步導(dǎo)學(xué)的教學(xué)模式；自主探索,合作交流的學(xué)習(xí)方式.四、教與學(xué)互動(dòng)設(shè)計(jì)（一）激情導(dǎo)課如圖是小明制作的風(fēng)箏，他根據(jù)AB=AD，BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分線(xiàn)，你知道其中的道理嗎？（二）民主導(dǎo)學(xué)1、探究一：角的平分線(xiàn)的作法Ⅰ、議一議ADADBCE請(qǐng)你拿出準(zhǔn)備好的角，用你自己的方法畫(huà)出它的角平分線(xiàn).問(wèn)題2如圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，畫(huà)一條射線(xiàn)AE，AE就是∠DAB的平分線(xiàn).你能說(shuō)明它的道理嗎?問(wèn)題3通過(guò)上面的探究，你有什么啟發(fā)？你能用尺規(guī)作圖作已知角的平分線(xiàn)嗎？請(qǐng)你試著做一做，并與同伴交流.已知：∠MAN求作：∠MAN的角平分線(xiàn).CADCADBMN（2）分別以B、D為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠MAN的內(nèi)部交于點(diǎn)C.（3）畫(huà)射線(xiàn)AC.∴射線(xiàn)AC即為所求.Ⅱ、練一練平分平角∠AOB.通過(guò)上面的步驟得到射線(xiàn)OC以后，把它反向延長(zhǎng)得到直線(xiàn)CD.直線(xiàn)CD與直線(xiàn)AB是什么關(guān)系？思考：你能總結(jié)出“過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)”的方法嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的方法。2、探究二：角的平分線(xiàn)的性質(zhì)Ⅰ、做一做如圖，將∠AOB對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開(kāi).觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？試著證明你的結(jié)論.CACABOABO（1）角的平分線(xiàn)的性質(zhì):角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.（2）角的平分線(xiàn)性質(zhì)的證明步驟：①明確命題中的已知和求證;已知:一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線(xiàn)上.結(jié)論:這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.②M根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和求證;已知：如圖，∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D、E.求證:PD=PE.③M經(jīng)過(guò)分析,找出由已知推出求證的途徑,寫(xiě)出證明過(guò)程.BPBPOACED∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定義)在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO（已證）∠AOC=∠BOC（已證）OP=OP（公共邊）∴△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）符號(hào)語(yǔ)言：∵∠AOC=∠BOC,PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D、E.（已知）∴PD=PE（角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）Ⅱ、練一練BPOACEBPOACEDPOABCEDPOABCEDPOABCEDDACBDCB(2)下圖中,PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D、E，則圖中PD＝PE嗎?DACBDCBBBPOACED(3)在S區(qū)有一個(gè)貿(mào)易市場(chǎng)P，它建在公路與鐵路所成角的平分線(xiàn)上，要從P點(diǎn)建兩條路，一條到公路，一條到鐵路，怎樣修才能使路最短？它們有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？SS公路鐵路P思考：角的平分線(xiàn)的性質(zhì)在應(yīng)用時(shí)應(yīng)該注意什么問(wèn)題?3、角的平分線(xiàn)性質(zhì)的應(yīng)用（1）如圖,△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3cm，則點(diǎn)D到AB的距離為cm．CDACDABEBADCCDBAEF（第1題圖）（第2題①圖）（第2題②圖）（2）變式訓(xùn)練，深化新知變式①，如圖,△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，AC=8cm，則AD+DE=cm.變式②，如圖,△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，F(xiàn)在BC上，AD=DF求證：CF=EA（三）檢測(cè)導(dǎo)結(jié)1、目標(biāo)檢測(cè)(本測(cè)試題共三道題，相信大家一定會(huì)做得非常棒！)(1)如圖，OC是∠AOB的平分線(xiàn)，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=_____cm.DEDEPAOBCBBAC(第1題圖)(第2題圖)(第3題圖)(2)如圖，點(diǎn)C為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)MN，使MN⊥AB.（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，寫(xiě)出結(jié)論）(3)已知:如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線(xiàn)，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F.求證:EB=FC.2、請(qǐng)你談?wù)剬W(xué)習(xí)這節(jié)課的收獲.（四）布置作業(yè)1.必做題：習(xí)題2.思考題如圖，要在Ｓ區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng),使它到公路、鐵路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺1：20000）?（五）結(jié)束寄語(yǔ)嚴(yán)格性之于數(shù)學(xué)家,猶如道德之于人.條理清晰,因果相應(yīng),言必有據(jù),是學(xué)習(xí)者謹(jǐn)記和遵循的原則.希望每一個(gè)同學(xué)都能用聰明和智慧編織出更加精彩的人生！五、板書(shū)設(shè)計(jì)第1課時(shí)角的平分線(xiàn)的性質(zhì)角的平分線(xiàn)的作法2.角的平分線(xiàn)的性質(zhì)：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.3.應(yīng)用已知：∠MAN已知：如圖，∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，求作：∠MAN的角平分線(xiàn)垂足分別為點(diǎn)D、E.求證:PD=PE.BPBPOACEDCADNBMNM∴射線(xiàn)AC即為所求.符號(hào)語(yǔ)言：∵∠AOC=∠BOC,PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D、E.∴PD=PE第十二章全等三角形12.3角平分線(xiàn)的性質(zhì)《第1課時(shí)角平分線(xiàn)的性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.通過(guò)操作、驗(yàn)證等方式，探究并掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理.2.能運(yùn)用角的平分線(xiàn)性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題.重點(diǎn)：掌握角的平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，用直尺和圓規(guī)作角的平分線(xiàn).難點(diǎn)：角平分線(xiàn)定理的應(yīng)用.一、知識(shí)鏈接1.判定兩個(gè)三角形全等的方法有哪幾種？2.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，則∠=∠.過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，則圖中線(xiàn)段的長(zhǎng)度表示點(diǎn)D到BC的距離.二、新知預(yù)習(xí)1.OC是∠AOB的平分線(xiàn)，點(diǎn)P是射線(xiàn)OC上的任意一點(diǎn)，操作測(cè)量：取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置，分別過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OA，PE⊥OB,點(diǎn)D、E為垂足，測(cè)量PD、PE的長(zhǎng).將三次數(shù)據(jù)填入下表：觀察測(cè)量結(jié)果,猜想線(xiàn)段PD與PE的大小關(guān)系，寫(xiě)出結(jié)論P(yáng)DPE第一次第二次第三次下面四個(gè)圖中,點(diǎn)P都在∠AOB的平分線(xiàn)上,則PD＝PE的是（）ABCD3.猜想：角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)到兩邊的相等.三、我的疑惑___________________________________________________________________________________________________________________________________要點(diǎn)探究探究點(diǎn)1：角平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖活動(dòng)1：如圖,是一個(gè)平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫(huà)一條射線(xiàn)AE,AE就是角平分線(xiàn).你能說(shuō)明它的道理嗎?活動(dòng)2：已知∠AOB，類(lèi)比平分角儀器的原理，用尺規(guī)作∠AOB的平分線(xiàn)．并書(shū)寫(xiě)主要步驟.提示：(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的儀器放在角的兩邊，儀器的頂點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重合，且儀器的兩邊相等，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個(gè)過(guò)程呢?(3)在平分角的儀器中，BC=DC，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個(gè)過(guò)程呢？(4)你能說(shuō)明為什么OC是∠AOB的平分線(xiàn)嗎？注意:作角平分線(xiàn)是最基本的尺規(guī)作圖,大家一定要掌握.針對(duì)訓(xùn)練已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的角平分線(xiàn).探究點(diǎn)2：角平分線(xiàn)的性質(zhì)畫(huà)一畫(huà)：如圖，任意作一個(gè)角∠AOB，作出∠AOB的平分線(xiàn)OC.在OC上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P畫(huà)出OA,OB的垂線(xiàn)，分別記垂足為D、E，測(cè)量PD，PE并作比較，你得到什么結(jié)論？在OC上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試.證明結(jié)論：已知：如圖，∠AOC=∠BOC,點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證：PD=PE.要點(diǎn)歸納：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的相等.應(yīng)用所需要的條件：（1）（2）（3）幾何語(yǔ)言：∵OP是∠AOB的平分線(xiàn)，∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴典例精析例1:已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線(xiàn)，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.方法總結(jié)：先利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理得到對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等，再利用這個(gè)條件證明我們需要證明的兩個(gè)三角形全等.例2:如下左圖,AM是∠BAC的平分線(xiàn),點(diǎn)P在AM上,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分別是D、E,PD=4cm,則PE=______cm..變式：如上右圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4,AB=14.（1）則點(diǎn)P到AB的距離為_(kāi)______.（2）求△APB的面積.（3）求△PDB的周長(zhǎng).方法總結(jié)：利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)作輔助線(xiàn)構(gòu)造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線(xiàn)段的長(zhǎng)度是常用的方法．針對(duì)訓(xùn)練1.如圖1，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.PD=PEB.OD=OEC.∠DPO=∠EPOD.PD=OD2.如圖2，Rt△ABC中，∠C=90°,∠ABC的平分線(xiàn)BD交AC于D，若CD=3cm，則點(diǎn)D到AB的距離DE是（）A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm3.如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm

二、課堂小結(jié)屬于基本作圖，必須熟練掌握尺規(guī)作圖屬于基本作圖，必須熟練掌握尺規(guī)作圖一個(gè)點(diǎn)：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)；一個(gè)點(diǎn)：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)；角平分線(xiàn)角平分線(xiàn)性質(zhì)定理二距離：點(diǎn)到角兩邊的距離；性質(zhì)定理二距離：點(diǎn)到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線(xiàn)段相等兩相等：兩條垂線(xiàn)段相等過(guò)角平分線(xiàn)上一點(diǎn)向兩邊作垂線(xiàn)段添加輔助線(xiàn)過(guò)角平分線(xiàn)上一點(diǎn)向兩邊作垂線(xiàn)段添加輔助線(xiàn)如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=度，BE=.第1題圖第2題圖第3題圖第4題圖2.如圖，△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點(diǎn)D到AB的距離是.3.用尺規(guī)作圖作一個(gè)已知角的平分線(xiàn)的示意圖如圖所示，則能說(shuō)明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等4.如圖，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長(zhǎng)是()A．6B．5C．4D．35.如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線(xiàn)的交點(diǎn)，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD與BC之間的距離.6.如圖所示，D是∠ACG的平分線(xiàn)上的一點(diǎn)．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn).求證：CE＝CF.12.3角的平分線(xiàn)的性質(zhì)《第1課時(shí)角平分線(xiàn)的性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷角的平分線(xiàn)性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，初步掌握角的平分線(xiàn)的性質(zhì)．2.通過(guò)測(cè)量操作，發(fā)現(xiàn)角的平分線(xiàn)的性質(zhì)定理3.能運(yùn)用角的平分線(xiàn)性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：掌握角的平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：角的平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定的應(yīng)用學(xué)法指導(dǎo)：觀察思考，動(dòng)手操作，合作探究學(xué)習(xí)過(guò)程一、學(xué)前準(zhǔn)備1．什么是角的平分線(xiàn)？怎樣畫(huà)一個(gè)角的平分線(xiàn)？2.有一個(gè)簡(jiǎn)易平分角的儀器（如圖），其中AB=AD,BC=DC,將A點(diǎn)放角的頂點(diǎn)，AB和AD沿AC畫(huà)一條射線(xiàn)AE,AE就是∠BAD的平分線(xiàn)，為什么？二、合作探究探究1.(1)從上面對(duì)平分角的儀器的探究中，可以得出作已知角的平分線(xiàn)的方法。已知什么？求作什么？(2)把簡(jiǎn)易平分角的儀器放在角的兩邊.且平分角的儀器兩邊相等,從幾何角度怎么畫(huà)?(3)簡(jiǎn)易平分角的儀器BC=DC,從幾何角度如何畫(huà)(4)OC與簡(jiǎn)易平分角的儀器中,AE是同一條射線(xiàn)嗎?(5)你能說(shuō)明OC是∠AOB的平分線(xiàn)嗎?探究2.在角的平分線(xiàn)OC上任意找一點(diǎn)P,過(guò)P點(diǎn)分別作OA、OB的垂線(xiàn)交OA、O于M、N,PM、PN的長(zhǎng)度是∠AOB的平分線(xiàn)上一點(diǎn)到∠AOB兩邊的距離.(1)操作測(cè)量：取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置，分別過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OA，PE⊥OB,點(diǎn)D、E為垂足，測(cè)量PD、PE的長(zhǎng).將三次數(shù)據(jù)填入下表：PMPN第一次第二次第三次觀察測(cè)量結(jié)果，猜想線(xiàn)段PD與PE的大小關(guān)系，寫(xiě)出結(jié)論：____________(2)你能歸納角的平分線(xiàn)的性質(zhì)嗎?(3)你能用三角形全等證明這個(gè)性質(zhì)嗎?三、新知應(yīng)用1.思考：如圖所示，要在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路、鐵路距離相等，離公路與鐵路交叉處500m，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建于何處（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1：20000）？2.例題講解：如圖，△ABC的角平分線(xiàn)BM、CN相交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等．分析：點(diǎn)P到AB、BC、CA的垂線(xiàn)段PD、PE、PF的長(zhǎng)就是P點(diǎn)到三邊的距離，也就是說(shuō)要證：PD=PE=PF．而B(niǎo)M、CN分別是∠B、∠C的平分線(xiàn)，根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)和等式的傳遞性可以解決這個(gè)問(wèn)題．四、鞏固練習(xí)教材練習(xí)五、課堂小結(jié)1.這節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？2.你還有什么疑惑？六、當(dāng)堂清1.在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線(xiàn)，若BC＝5㎝，BD＝3㎝，則點(diǎn)D到AB的距離為。2.∠AOB的平分線(xiàn)上一點(diǎn)M，M到OA的距離為1.5㎝，則M到OB的距離為㎝。3.如圖,∠A＝90°,BD是△ABC的角平分線(xiàn),AC＝8㎝,DC＝3DA,則點(diǎn)D到BC的距離為。4.如圖，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A、PD＝PEB、OD＝OEC、∠DPO＝∠EPOD、PD＝OD5.三角形中到三邊距離相等的點(diǎn)是（）A、三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)B、三條高的交點(diǎn)C、三條中線(xiàn)的交點(diǎn)D、三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)6.如圖，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC，求證：BE＝CF7.已知，如圖BD為∠ABC的平分線(xiàn)，AB＝BC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于D，求證：PM＝PN8.如圖，某鐵路MN與公路PQ相交于點(diǎn)O且交角為90°，某倉(cāng)庫(kù)G在A區(qū)，到公、鐵路距離相等，且到公路與鐵路的相交點(diǎn)O的距離為200ｍ。在圖上標(biāo)出倉(cāng)庫(kù)G的位置。（比例尺：1：10000。用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）參考答案：1.2㎝2.1.53.2㎝4.D5.D6.∵AD是∠BAC的平分線(xiàn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF∠E=∠DFC=90°∵DB＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF∴BE＝CF7.∵BD為∠ABC的平分線(xiàn)，∴∠ABD=∠CBD又AB＝BC，BD=DB∴△ABD≌△CBD∴∠ADB=∠CDB∵PM⊥AD，PN⊥CD∴PM＝PN8.作∠NOQ的平分線(xiàn)OP，在OP上截取OG=2cm12.3角的平分線(xiàn)的性質(zhì)《第1課時(shí)角平分線(xiàn)的性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1、能用三角形全等的知識(shí)，解釋角平分線(xiàn)的原理；2、會(huì)用尺規(guī)作已知角的平分線(xiàn)．二、溫故知新圖1圖1求證：（1）Rt△MOC≌Rt△NOC（2）∠MOC=∠NOC．三、自主探究合作展示探究（一）1、依據(jù)上題我們應(yīng)怎樣平分一個(gè)角呢？2、思考:把上面的方法改為“在已知∠AOB的兩邊上分別截取OM=ON，使MC=NC，連接OC，則OC即為∠AOB的平分線(xiàn)?！苯Y(jié)論是否仍然成立呢？圖2圖2探究（二）思考：如何作出一個(gè)角的平分線(xiàn)呢？已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分線(xiàn)．作法：（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交OA、OB于M、N．（2）分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧．兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C．BOBOA請(qǐng)同學(xué)們依據(jù)以上作法畫(huà)出圖形。議一議：1、在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的長(zhǎng)”這個(gè)條件行嗎？2、第二步中所作的兩弧交點(diǎn)一定在∠AOB的內(nèi)部嗎？探究（三）如圖3，OA是∠BAC的平分線(xiàn)，點(diǎn)O是射線(xiàn)AM上的任意一點(diǎn).操作測(cè)量：取點(diǎn)O的三個(gè)不同的位置，分別過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，OD⊥AC,點(diǎn)D、E為垂足，測(cè)量OD、OE的長(zhǎng).將三次數(shù)據(jù)填入下表：觀察測(cè)量結(jié)果，猜想線(xiàn)段OD與OE的大小關(guān)系，寫(xiě)出結(jié)論：ODOEODOE第一次第二次第三次圖圖4下面用我們學(xué)過(guò)的知識(shí)證明發(fā)現(xiàn)：已知：如圖4，AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC。求證：OE=OD。四、雙基檢測(cè)1、如圖5所示，在△ABC中，∠C=，BC=40，AD是∠BAC的平分線(xiàn)交BC于D，且DC：DB=3：5，則點(diǎn)D到AB的距離是___________。2、如圖6所示，∠AOC=∠BOC，CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分別為M、N，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．CM=CNB.OM=ONC.∠MCO=∠NCOD.ON=CM圖7圖圖7圖6ABCD圖53、如圖7,在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，則：⑴圖中相等的線(xiàn)段有哪些？相等的角呢？⑵哪條線(xiàn)段與DE相等？《第1課時(shí)角平分線(xiàn)的性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)內(nèi)容：通過(guò)獨(dú)立思考和小組合作，掌握角的平分線(xiàn)的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、應(yīng)用三角形全等的知識(shí)，解釋角平分線(xiàn)的原理．2．會(huì)用尺規(guī)作一個(gè)已知角的平分線(xiàn)．3.用角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理解決課后習(xí)題.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：利用尺規(guī)作已知角的平分線(xiàn)．學(xué)習(xí)難點(diǎn)：角的平分線(xiàn)的作圖方法的提煉學(xué)習(xí)過(guò)程：Ⅰ．提出問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境問(wèn)題1：三角形中有哪些重要線(xiàn)段．問(wèn)題2：你能作出這些線(xiàn)段嗎？Ⅱ．導(dǎo)入新課已知：∠AOB．AOB求作：∠AOB1．在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的長(zhǎng)”這個(gè)條件行嗎？2．第二步中所作的兩弧交點(diǎn)一定在∠AOB的內(nèi)部嗎？基礎(chǔ)練習(xí)把一個(gè)平角三等分，則邊上的兩角的平分線(xiàn)的夾角是鄰補(bǔ)角的平分線(xiàn)的夾角為3,已知點(diǎn)O是⊿ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且點(diǎn)O到三邊的距離相等，則點(diǎn)O是（）A,三條中線(xiàn)的交點(diǎn)B,三條高的交點(diǎn)C,三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)D,一條角平分線(xiàn)的中點(diǎn)4，⊿ABC中，∠C＝90°,AD平分∠BAC交BC于D,BD：DC＝3：2,點(diǎn)D到AB的距離為6，則BC等于（）A,10B,20C,15D,255.如圖，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC。求證：OE=OD。鞏固練習(xí)：已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上BD=DF，求證：CF=EB。拓展延伸已知:如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線(xiàn),且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.求證:EB=FC.AEFBDC當(dāng)堂檢測(cè)1、如圖：在△ABC中，∠C=90℃，AD平分∠BAC，DE⊥AB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，則DE=。2．已知：△ABC的角平分線(xiàn)BM,CN相交于點(diǎn)P,求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等3.如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線(xiàn)上．4.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點(diǎn)B，C，D在一條直線(xiàn)上求證：BE=AD《第1課時(shí)角平分線(xiàn)的性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)內(nèi)容：教材P21，通過(guò)獨(dú)立思考和小組合作，能夠證明幾何命題。學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、進(jìn)一步熟練角平分線(xiàn)的畫(huà)法，證明幾何命題的步驟2、進(jìn)一步理解角平分線(xiàn)的性質(zhì)及運(yùn)用學(xué)習(xí)重點(diǎn)：角平分線(xiàn)的性質(zhì)及運(yùn)用學(xué)習(xí)難點(diǎn)：角平分線(xiàn)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用學(xué)習(xí)方法：探究、交流、練習(xí)學(xué)習(xí)過(guò)程：課前鞏固畫(huà)出三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)你發(fā)現(xiàn)了什么特點(diǎn)嗎？2、如圖，△ABC的角平分線(xiàn)BM，CN相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等學(xué)習(xí)新知思考：教材P21證明一個(gè)幾何命題的一般步驟：①；②；③。（二）應(yīng)用：1、求證：到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上2、如圖所示，要在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路、鐵路距離相等，離公路與鐵路交叉處500m，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建于何處（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1：20000）？（1）．集貿(mào)市場(chǎng)建于何處，和本節(jié)學(xué)的角平分線(xiàn)性質(zhì)有關(guān)嗎？用哪一個(gè)性質(zhì)可以解決這個(gè)問(wèn)題？（2．比例尺為1：20000是什么意思？三、基礎(chǔ)練習(xí)1.到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在上。2.到三角形三邊的距離相等的點(diǎn)是三角形（）A.三條邊上的高線(xiàn)的交點(diǎn)；B.三個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)；C.三條邊上的中線(xiàn)的交點(diǎn)；D.以上結(jié)論都不對(duì)。3.在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC，BC=8cm,BD=5cm,則D到AB的距離是。4.已知：AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，BE，CD相交于點(diǎn)O，OB＝OC，求證:∠BAO=∠CAO四、拓展延伸已知:BD⊥AM于點(diǎn)D,CE⊥AN于點(diǎn)E,BD,CE交點(diǎn)F,CF=BF,求證:點(diǎn)F在∠A的平分線(xiàn)上.AAAAAAAAADNEBFMCA五、課堂小結(jié)六、當(dāng)堂檢測(cè)1、圖中的直線(xiàn)表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:()A.一處B.兩處C.三處D.四處2.如圖，OC是∠AOB的平分線(xiàn)，P是OC上的一點(diǎn)，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F(xiàn)是OC上的另一點(diǎn)，連接DF，EF，求證：DF＝EFA3.如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，且BE＝CF。A求證：AD是△ABC的角平分線(xiàn)。FEFECDBCDB12.3角的平分線(xiàn)的性質(zhì)《第1課時(shí)角平分線(xiàn)的性質(zhì)》同步練習(xí)一、選擇題1．下列說(shuō)法：①角的內(nèi)部任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；②到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上；③角的平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；④△ABC中∠BAC的平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)到三角形的三邊的距離相等，其中正確的（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)2.已知AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE⊥AB于E,且DE=3cm,則點(diǎn)D到AC的距離是()A.2cm;B.3cm;C.4cm;D.6cm3．如圖1，已知CE、CF分別是△ABC的內(nèi)角和外角平分線(xiàn)，則圖中與∠BCE互余的角有（）A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)4．如圖2，已知點(diǎn)P到AE、AD、BC的距離相等，則下列說(shuō)法：①點(diǎn)P在∠BAC的平分線(xiàn)上；②點(diǎn)P在∠CBE的平分線(xiàn)上；③點(diǎn)P在∠BCD的平分線(xiàn)上；④點(diǎn)P是∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分線(xiàn)的交點(diǎn)，其中正確的是（）A．①②③④B．①②③C．④D．②③（1）(2)(3)二、填空題5．用直尺和圓規(guī)平分已知角的依據(jù)是______________．6．角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到_______________相等；到____________________相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上．7．如圖3，AB∥CD，AP、CP分別平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=2cm，則AB與CD之間的距離是___________．三、解題題8．請(qǐng)你畫(huà)一個(gè)角，并用直尺和圓規(guī)把這個(gè)角兩等分．9．如圖，四邊形ABCD中AB=AD，CB=CD，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求證PE=PF．10．如圖，四邊形ABCD中AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，求證：PB=PC．參考答案:1．B2．B3．C4．A5．SSS6．角的兩邊的距離；角的兩邊的距離7.4cm8．略9．證明AC平分∠BCD10．先證Rt△ABC≌Rt△ADC，再證△APB≌△APD12.3角的平分線(xiàn)的性質(zhì)《第1課時(shí)角平分線(xiàn)的性質(zhì)》同步練習(xí)一、選擇題1.用尺規(guī)作已知角的平分線(xiàn)的理論依據(jù)是（）A．SASB．AASC．SSSD．ASA2.如圖，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A、PD＝PEB、OD＝OEC、∠DPO＝∠EPOD、PD＝OD3.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線(xiàn)BD交AC于D，若CD=3cm，則點(diǎn)D到AB的距離DE是（）A．5cmB．4cmC．3cmD．2cm4.如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，則△DEB的周長(zhǎng)為（）A.4㎝B.6㎝C.10㎝D.不能確定第2題圖第3題圖第4題圖5.如圖，OP平分，，，垂足分別為A，B．下列結(jié)論中不一定成立的是（）A. B.平分C. D.垂直平分6.如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線(xiàn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC交AC于點(diǎn)F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC長(zhǎng)是（）A．4B．3C．6D．5第5題圖第6題圖第7題圖7.如圖，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為50和39，則△EDF的面積為（）A、11 B、5.5C、7 D、3.58.已知：如圖，△ABC中，∠C＝90o，點(diǎn)O為△ABC的三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，點(diǎn)D、E、F分別是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，則點(diǎn)O到三邊AB、AC和BC的距離分別等于（）（A）2cm、2cm、2cm．（B）3cm、3cm、3cm．（C）4cm、4cm、4cm．（D）2cm、3cm、5cm．二、填空題9．如圖，P是∠AOB的角平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，PC⊥OA于點(diǎn)C，PD⊥OB于點(diǎn)D，寫(xiě)出圖中一對(duì)相等的線(xiàn)段（只需寫(xiě)出一對(duì)即可）.10．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2cm，則點(diǎn)D到BC的距離為_(kāi)_______cm．11.如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點(diǎn)A，點(diǎn)Q是射線(xiàn)OM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PA=3，則PQ的最小值為．第9題圖第10題圖第11題圖12.如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分線(xiàn)BD交AC于點(diǎn)D，AD=3，BC=10，則△BDC的面積是．第12題圖第13題圖第15題圖13.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=10，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，且BD：CD=3：2，則點(diǎn)D到線(xiàn)段AB的距離為．14.已知△ABC中，AD是角平分線(xiàn)，AB=5，AC=3，且S△ADC=6，則S△ABD=．15.如圖，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，則EF與AD的關(guān)系是．16.通過(guò)學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道三角形的三條內(nèi)角平分線(xiàn)是交于一點(diǎn)的．如圖，P是△ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，已知P點(diǎn)到AB邊的距離為1，△ABC的周長(zhǎng)為10，則△ABC的面積為．17.如圖，AD∥BC，∠ABC的角平分線(xiàn)BP與∠BAD的角平分線(xiàn)AP相交于點(diǎn)P，作PE⊥AB于點(diǎn)E．若PE=2，則兩平行線(xiàn)AD與BC間的距離為．第16題圖第17題圖第18題圖18.如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別為40、50、60．其三條角平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，則S△ABO：S△BCO：S△CAO=．三、解答題AFAFCDEBBD＝CD，求證：∠B＝∠C.20.如圖，畫(huà)∠AOB=90°，并畫(huà)∠AOB的平分線(xiàn)OC，將三角尺的直角頂點(diǎn)落在OC的任意一點(diǎn)P上，使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊分別相交于點(diǎn)E、F，試猜想PE、PF的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．21.如圖，AB∥CD，以點(diǎn)A為圓心，小于AC長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，再分別以E，F(xiàn)為圓心，大于EF長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)P，作射線(xiàn)AP，交CD于點(diǎn)M．（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度數(shù)；（2）若CN⊥AM，垂足為N，求證：△ACN≌△MCN．22.如圖，已知△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于E，若∠A=90°，那么BC、BA、AE三者之間有何關(guān)系？并加以證明．23.如圖，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交∠BAC的平分線(xiàn)AE于點(diǎn)E，EF⊥AB于F，EG⊥AG交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于G．求證：BF=CG．12.3角的平分線(xiàn)的性質(zhì)第1課時(shí)角的平分線(xiàn)的性質(zhì)一、選擇題1.C2.D3.C4.B5.D6.B7.B8.A二、填空題9.PC=PD（答案不唯一）10.211.312.1513.414.1015.AD垂直平分EF16.517.418.4：5：6三、解答題19．證明：∵AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△DEB與Rt△DFC中，BD＝CD，DE＝DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠B＝∠C．20.解：PE=PF，理由是：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，則∠PME=∠PNF=90°，∵OP平分∠AOB，∴PM=PN，∵∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN，在△PEM和△PFN中∴△PEM≌△PFN，∴PE=PF．21.（1）解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°，又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°，由作法知，AM是∠CAB的平分線(xiàn)，∴∠MAB=∠CAB=33°（2）證明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA，∴∠CAM=∠CMA，又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC，在△ACN和△MCN中，∵，∴△ACN≌△MCN．22.解：BC、BA、AE三者之間的關(guān)系：BC=BA+AE，理由如下：過(guò)E作ED⊥BC交BC于點(diǎn)D，∵BE平分∠ABC，BA⊥CA，∴AE=DE，∠EDC=∠A=∠BDE=90°，∵在Rt△BAE和Rt△BDE中，∴Rt△BAE≌Rt△BDE（HL），∴BA=BD，∵AB=AC，∠A=90°∴∠C=45°，∴∠CED=45°=∠C，∴DE=CD，∵AE=DE，∴AE=CD=DE，∴BC=BD+DC=BA+AE．23.證明：連接BE、EC，∵ED⊥BC，D為BC中點(diǎn)，∴BE=EC，∵EF⊥ABEG⊥AG，且AE平分∠FAG，∴FE=EG，在Rt△BFE和Rt△CGE中，∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），∴BF=CG《第1課時(shí)角平分線(xiàn)的性質(zhì)》同步練習(xí)班級(jí)學(xué)號(hào)姓名得分一、填空題（每題3分，共30分）1．到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)都在_________.2．∠AOB的平分線(xiàn)上一點(diǎn)M，M到OA的距離為1.5cm，則M到OB的距離為_(kāi)________.3．如圖，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，則∠DOC=_________.（第（第3題）（第4題）（第5題）4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分線(xiàn)，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，則BC=_________cm．5．如圖，已知AB、CD相交于點(diǎn)E，過(guò)E作∠AEC及∠AED的平分線(xiàn)PQ與MN，則直線(xiàn)MN與PQ的關(guān)系是_________．6．三角形內(nèi)一點(diǎn)到三角形的三邊的距離相等，則這個(gè)點(diǎn)是三角形_________的交點(diǎn)．7．△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，且BD：CD=3：2，BC=15cm，則點(diǎn)D到AB的距離是__________．8．角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：（第9（第9題）9．（1）如圖，已知∠1=∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，則DE____DF．（2）已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，且DE=DF，則∠1_____∠2．10．直角三角形兩銳角的平分線(xiàn)所夾的鈍角為_(kāi)______度．二、選擇題（每題3分，共24分）（第11題）11．如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C、（第11題）列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．PC=PDB．OC=ODC．∠CPO=∠DPOD．OC=PC（第12題）12．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠（第12題）DE⊥AB于E，若AC=10cm，則△DBE的周長(zhǎng)等于()A．10cmB．8cmC．6cmD．9cm13．到三角形三條邊的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的（）A．三條中線(xiàn)的交點(diǎn) B．三條高的交點(diǎn)C．三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn) D．三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)14．如圖所示，表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，=4\*GB3④=4\*GB3④=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③（第14題）Ａ．1處 Ｂ．2處 Ｃ．3處 Ｄ．4處15．給出下列結(jié)論，正確的有（）①到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線(xiàn)上；②角的平分線(xiàn)與三角形平分線(xiàn)都是射線(xiàn)；③任何一個(gè)命題都有逆命題；④假命題的逆命題一定是假命題A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)16．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，則D到AB的距離為（）A．18 B．16 C．14 D．12（第18題）（第18題）A．兩個(gè)三角形全等B．兩個(gè)三角形一定不全等C．如果還有一角相等，兩三角形就全等D．如果一對(duì)等角的角平分線(xiàn)相等，兩三角形全等18．如圖，OB、OC是∠AOD的任意兩條射線(xiàn)，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，則表示∠AOD的代數(shù)式為（）A．2α－β B．α－βC．α+β D．2α三、解答題（共46分）19．（7分）如圖，已知OE、OD分別平分∠AOB和∠BOC，若∠AOB=90°，∠EOD=70°，求∠BOC的度數(shù)．20．（7分）已知：有一塊三角形空地，若想在空地中找到一個(gè)點(diǎn)，使這個(gè)點(diǎn)到三邊的距離相等，試找出該點(diǎn)．（保留畫(huà)圖痕跡）21．（8分）如圖，點(diǎn)D、B分別在∠A的兩邊上，C是∠A內(nèi)一點(diǎn)，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F．求證：CE=CF22．（8分）已知：如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC．求證：BC=AB+AD23．（8分）如圖，PB和PC是△ABC的兩條外角平分線(xiàn)．①求證：∠BPC=90°-∠BAC．②根據(jù)第①問(wèn)的結(jié)論猜想：三角形的三條外角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)形成的三角形按角分類(lèi)屬于什么三角形？24．（8分）如圖，