《17.2 勾股定理的逆定理》課件（2課時(shí)）

17.2勾股定理的逆定理第十七章勾股定理第1課時(shí)勾股定理的逆定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握勾股定理的逆定理，并會(huì)用它判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形.2.探究勾股定理的逆定理的證明方法.3.理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關(guān)系.2.一個(gè)三角形滿足什么條件是直角三角形？①有一個(gè)內(nèi)角是90°，那么這個(gè)三角形就是直角三角形;②如果一個(gè)三角形中，有兩個(gè)角的和是90°，那么這個(gè)三角形就是直角三角形.

我們是否可以不用角，而用三角形三邊的關(guān)系，來判斷是否為直角三角形呢？1.直角三角形有哪些性質(zhì)？(1)有一個(gè)角是直角；(2)兩銳角互余；(3)勾股定理；(4)直角三角形30°角的性質(zhì).問題引入

據(jù)說，古埃及人曾用下面的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后以3個(gè)結(jié)間距，4個(gè)結(jié)間距、5個(gè)結(jié)間距的長度為邊長，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是直角．你認(rèn)為結(jié)論正確嗎？（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）相傳，大禹治水時(shí)也用這類似的方法確定直角.合作探究活動(dòng)：探究勾股定理的逆定理的證明及應(yīng)用

如果三角形的三邊分別為3，4，5，這些數(shù)滿足關(guān)系：32+42=52，圍成的三角形是直角三角形．具體做法：把一根繩子打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后把第1個(gè)結(jié)和第13個(gè)結(jié)用木樁釘在一起，再分別用木樁把第４個(gè)結(jié)和第8個(gè)結(jié)釘牢（拉直繩子），這時(shí)構(gòu)成了一個(gè)三角形，其中有一個(gè)角是直角.實(shí)驗(yàn)操作：

下列各組數(shù)中的兩數(shù)平方和等于第三數(shù)的平方，分別以這些數(shù)為邊長畫出三角形（單位：cm），它們是直角三角形嗎？

①

2.5，6，6.5；

②4，7.5，8.5．

動(dòng)手畫一畫

（1）這二組數(shù)都滿足嗎？（2）它們都是直角三角形嗎？

（3）提出你的猜想：

命題2如果三角形的三邊長a、b、c滿足

a2+b2=c2那么這個(gè)三角形是直角三角形.命題2與上節(jié)命題1的題設(shè)和結(jié)論有何關(guān)系?由上面的幾個(gè)例子你有什么發(fā)現(xiàn)？命題1：直角三角形a2+b2=c2命題2：直角三角形a2+b2=c2題設(shè)結(jié)論

題設(shè)和結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題，叫做互逆命題，其中一個(gè)叫做原命題，另一個(gè)叫做原命題的逆命題.勾股定理

如果三角形的三邊長a、b、c滿足

a2+b2=c2那么這個(gè)三角形是直角三角形.

如果直角三角形的兩直角邊分別為a、b

，斜邊為c滿足a2+b2=c2.勾股定理的逆命題互逆命題△ABC≌△

△A′B′C′

？證明結(jié)論∠C是直角

△ABC是直角三角形

A

B

C

abc已知：如圖，△ABC的三邊長a，b，c，滿足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．構(gòu)造兩直角邊分別為a,b的Rt△A′B′C′證明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=900，A′C′=b，B′C′=a∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)∴∠C=∠C′=900△ABC是直角三角形.則ACaBbc已知：如圖，△ABC的三邊長a，b，c，滿足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．ACBabca2+b2=c2直角三角形特別說明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三邊長，且滿足兩條較小邊的平方和等于最長邊的平方，即可判斷此三角形為直角三角，最長邊所對(duì)角為直角.一個(gè)命題是真命題,它逆命題卻不一定是真命題.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些互逆的定理,如:1.勾股定理及其逆定理,2.兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行.想一想:互逆命題與互逆定理有何關(guān)系?如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題,那么它是一個(gè)定理,這兩個(gè)定理稱為互逆定理,其中一個(gè)定理稱另一個(gè)定理的逆定理.答：任何命題都有逆命題，因?yàn)槊}不管真假；但并不是所有的定理都有逆定理，因定理的逆命題不一定是真命題.(1)兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．(2)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等．例1說出下列命題的逆命題．這些命題的逆命題成立嗎?逆命題:內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行.

成立逆命題:如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等.

不成立逆命題:如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等.

不成立逆命題:對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形是全等三角形.

不成立一個(gè)命題是真命題,它逆命題卻不一定是真命題.(3)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等．(4)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．例2下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一個(gè)角是直角？(1)a=25b=20c=15;(2)a=13b=14c=15;(4)a:b:c=3:4:5;(3)a=1b=2c=;分析：由勾股定理的逆定理，判斷三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊的平方和是否等于最大邊的平方.

例2下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一個(gè)角是直角？(1)a=25b=20c=15;解：（1）因?yàn)?52+202=625，252=625，所以152+202=252，根據(jù)勾股定理的逆定理，這個(gè)三角形是直角三角形，且∠A是直角.(2)a=13b=14c=15;解：（2）因?yàn)?32+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，所以這個(gè)三角形不是直角三角形.(4)a:b:c=3:4:5;解：（4）設(shè)a=3k,b=4k,c=5k,因?yàn)椋?k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根據(jù)勾股定理的逆定理，這個(gè)三角形是直角三角形，∠C是直角.解：

例2下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一個(gè)角是直角？(3)a=1b=2c=;奇數(shù)類：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；等等偶數(shù)類：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；等等解題小結(jié)：勾股數(shù)：像15，20，25這樣，能成為直角三角形三條邊長的正整數(shù)，稱為勾股數(shù).常見勾股數(shù)：勾股數(shù)拓展性質(zhì)：

一組勾股數(shù)，都擴(kuò)大相同倍數(shù)k，得到一組新數(shù)，這組數(shù)同樣是勾股數(shù).（1）勾股定理的逆定理的內(nèi)容是什么？它有什么作用？內(nèi)容是：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2那么這個(gè)三角形是直角三角形.作用：把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，通過計(jì)算三角形三邊之間的關(guān)系來判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，它可作為直角三角形的判定依據(jù).課堂小結(jié)

經(jīng)歷了從實(shí)際問題引入數(shù)學(xué)問題然后發(fā)現(xiàn)定理，再到探索定理，最后學(xué)會(huì)驗(yàn)證定理及應(yīng)用定理解決實(shí)際問題的過程.（3）在探究勾股定理的逆定理的過程中，我們經(jīng)歷了哪些過程？（2）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了原命題，逆命題等知識(shí)，你能說出它們之間的關(guān)系嗎？

題設(shè)和結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題，叫做互逆命題，其中一個(gè)叫做原命題，另一個(gè)叫做原命題的逆命題.17.2勾股定理的逆定理第十七章勾股定理第2課時(shí)勾股定理的逆定理的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.應(yīng)用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問題.2.進(jìn)一步加深對(duì)勾股定理與其逆定理之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)．1.勾股定理的逆定理的內(nèi)容：如果三角形的三邊長a,b,c滿足

,那么這個(gè)三角形是直角三角形.a2+b2=c23.在△ABC中，AB=7，BC=24，AC=25.則

=90o.∠B2.三角形三邊長分別為8，15，17，那么最短邊上的高為()B復(fù)習(xí)引入

引例判斷以線段a,b,c為邊組成的三角形是否是直角三角形，其中a=,b=1,c=.小明的解法是：請(qǐng)問小明的解法對(duì)嗎？如對(duì)，請(qǐng)說明其依據(jù)是什么？如不對(duì)，錯(cuò)在哪里？寫出正確的解答過程.合作探究活動(dòng)：探究用勾股定理逆定理應(yīng)用舉例答：不對(duì)，錯(cuò)在沒有分清最長邊.

正確解答如下：判斷a,b,c能否構(gòu)成直角三角形，必須判斷兩較小邊的平方和是否等于最長邊的平方和.不能簡單地看某兩邊的平方和是否等于第三邊的平方，否則容易作出誤判.勾股定理逆定理使用“誤區(qū)”勾股定理及其逆定理使用方法解題時(shí)，注意勾股定理及其逆定理運(yùn)用的區(qū)別.勾股定理是在直角三角形中運(yùn)用的，而勾股定理的逆定理是判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形的.知識(shí)要點(diǎn)

例1已知：如圖，四邊形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積?ADBC341312連接AC，把四邊形分成兩個(gè)三角形.先用勾股定理求出AC的長度，再利用勾股定理的逆定理判斷△ACD是直角三角形.提示

例2已知：如圖，四邊形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積?ADBC341312連接AC.解:

例2如圖，南北方向PQ以東為我國領(lǐng)海，以西為公海，晚上10時(shí)28分，我邊防反偷渡巡邏101號(hào)艇在A處發(fā)現(xiàn)其正西方向的C處有一艘可疑船只正向我沿?？拷懔⒓赐ㄖ略赑Q上B處巡邏的103號(hào)艇注意其動(dòng)向，經(jīng)檢測(cè)，AC=10海里，BC=8海里，若該船只的速度為12.8海里/小時(shí)，則可疑船只最早何時(shí)進(jìn)入我領(lǐng)海？東北PABCQD分析：根據(jù)勾股定理的逆定可得出△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面積公式可求出PD的值，然后再利用勾股定理便可求出CD的長.東北PABCQD解：∵AC=10，AB=6，BC=8，∴AC2=AB2+BC2，即△ABC是直角三角形。設(shè)PQ與AC相交于點(diǎn)D，根據(jù)三角形面積公式有BC·AB=AC·BD即6×8=10BD，解得BD=24/5在Rt△BCD中，又∵該船只的速度為12.8海里/小時(shí)，∴需要6.4÷12.8=0.5小時(shí)=30分鐘進(jìn)入我領(lǐng)海，即最早晚上10時(shí)58分進(jìn)入我領(lǐng)海.解題反思：找出CD是為該船只進(jìn)入我領(lǐng)海的最短路線，也就是解題的關(guān)鍵所在.在解決航海的問題上，南北方向和東西方向是互相垂直的，可知PQ⊥AC，又由△ABC三邊的數(shù)量關(guān)系可判定△ABC是直角三角形，于