等差數(shù)列的前n項和公式

等差數(shù)列的前n項和公式一、教材分析（一）在本章中的地位與作用“等差數(shù)列前幾項和公式”是《數(shù)列》一章中的重要基礎知識，無論在知識上，還是在能力上，都是進一步學習其他數(shù)列知識的基礎。推導等差數(shù)列前n項的“例序相加法”是今后在數(shù)列求和的一種常用的重要方法，公式又有廣泛的實際應用，是今后繼續(xù)學習高等數(shù)學的基礎知識，且能體現(xiàn)解決數(shù)列問題的通性通法，又可考察運算能力和推理能力及等價轉化，函數(shù)方程，數(shù)形結合的重要數(shù)學思想方法，因此，等差數(shù)列前n項和公式在《數(shù)列》一章中具有極為重要的位置，也是高考命題熱點。（二）高考要求及命題特點：要求學生會推導，證明、應用等數(shù)列的前n項和公式，高考中主要在選擇題、填空題中出現(xiàn)。難度在容易題或中檔題，有時出以解答題形式出現(xiàn)，難度中等，重點突出公式的推導方法的應用。二、知識結構分析本節(jié)內(nèi)容是等差數(shù)列前n項和公式的推導和應用，首先通過具體的例子給出等差數(shù)列前n項和的思路，而后導出了一般公式，并加以應用，再與等差數(shù)列通項公式組成方程組，共同運用，解決有關問題。本節(jié)例題設置了4個例題，10個習題，6個練習題。例1是已知a1，an，n求sm，用第一個公式，一方面解決了前一節(jié)中提出的問題，另一方面讓學生體會，一個運動員要取及好成績常要付出艱辛的勞動，啟發(fā)學生在學習上要取得好成績，也要加倍努力。例2相當于已a1、d及sn，求n。體現(xiàn)方程思想。突出a1、d、sn、n中知三求一。結合例1，說明五個量中知三求二。例3體現(xiàn)了不等式，集合、數(shù)列的關系，引導學生從集合語言中通過解不等式和等式的正整數(shù)來確定集合中元素的個數(shù)，從而確定數(shù)列中的a1、an及n。例4體現(xiàn)方程思想，利用已知求出a1、d從而利用第二個公式求出Sn。進一步發(fā)散讓學生體會等差數(shù)列前n項和公式特征，使學生體會數(shù)列與函數(shù)的關系，進一步聯(lián)系簡易邏輯及出數(shù)列是等差數(shù)列的重要條件。練習題及習題充分體現(xiàn)了等差數(shù)列前n項和公式的推導方法的應用，公式的直接應用，變形使用以及解決實際問題中的應用。三、教學目標分析1、掌握等差數(shù)列前n項和公式，并能運用公式解決簡單的問題（1）了解等差數(shù)列前n項和的定義，了解倒序相加的原理，理解等差數(shù)列前n項和公式推導的過程，記憶公式的兩種形式。（2）用方程思想認識等差數(shù)列前n項和的公式，在等差數(shù)列通項公式和前n項和公式中涉及五個量，已知其中三個量求另兩個量。（3）會利用an、Sn來研究Sn的最值問題。2、通過公式的推導及應用，使學生體會到從特殊到一般，再從一般到特殊的思想規(guī)律，初步形成認識問題，解決問題的一般思路和方法。3、通過公式的推導過程教學，對學生進行思維靈活性廣闊性的訓練，發(fā)展學生思維水平。4、通過公式的推導過程，展現(xiàn)數(shù)學中的對稱美，通過有關內(nèi)容在實際問題中的應用，使學生再次感受數(shù)學源于生活，又服務于生活的實用性，引導學生善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問題，并運用數(shù)學知識解決問題。四、重、難點分析重點：等差數(shù)列前n項和公式的推導和應用。難點：公式推導和思路。五、教法建議：（１）本節(jié)內(nèi)容分為兩課時，一節(jié)為公式的推導及簡單應用，一節(jié)側重于通項公式與前n項和公式綜合應用。（２）前n項和公式的推導，建議由具體問題引入，使學生體會問題源于生活。另一方面突出推導的方法以及思路，可適當引導學生進行自己探索，讓學生體會到成功的喜悅。（３）強調(diào)從特殊到一般，再從一般到特殊的思考方法與研究方法。（４）補充等差數(shù)列前n項和公式的特征，進一步解決等差數(shù)列前n項和的最大值，最小值問題。六、教學設計示例：等差數(shù)列前n項和公式（１）目的：1、掌握等數(shù)列前n項和公式的推導思想；2、靈活運用等差數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單問題重難點：重點：等差數(shù)列前n項和公式及公式的應用難點：1、等差數(shù)列前n項和公式的應用 2、靈活運用公式解決一些簡單問題一、過程設計：1、復習1、等差數(shù)列的意義：an－an－1=d(n≥2，nN+)2、等差數(shù)列的通項公式：an=a1+（n－1）d或an=a1＋(n－m)d3、幾種計算公差d的方法：d=an－an－14、等差數(shù)列的性質(zhì)：m+n=p+qam+am=ap+aq(m、n、p、qN)二、引入1、數(shù)列前n項和的定義數(shù)列中，a1+a2+a3+…+an稱為數(shù)列的前n項和記為Sn。2、（1）在上節(jié)中，已知某長跑運動員7天里的訓練量，那么這位長跑運動員7天共跑了多少米？（2）在一個堆放鉛筆的V型架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面放了10支，問共有多少支鉛筆？這一節(jié)我們就來解決等差數(shù)列的求和問題（板書、課題）三、新課大家都聽說過小高斯的故事，高斯10歲時，他的數(shù)學老師問了這樣一個問題1+2+3+…+100=？其他同學忙著用筆在紙上計算，而小高斯卻很快求出他的結果，你知道他是怎樣計算的嗎？高斯的算法是：首項與末項的和：1+100=101第2項與倒數(shù)第2項的和：2+99=101第3項與倒數(shù)第3項的和：3+98=101…………第50次與倒數(shù)第50項的和：50+51=101一共有50個101，于是求的和為：101×50=（100+1）×=5050上面的問題可看成是求等差數(shù)列1、2……n……的前100次的和，請同學們分析一下高斯求和的過程中用到了什么樣的方法和等差數(shù)列的性質(zhì)。教師歸納：①解答過程中a1+an=a2+an-1=……=ak+an-k1-1②sn可用a1、an及n來表示再請同學們來解決引入中的第2問，檢驗它是否正確，若將以上數(shù)列換成一般的等差數(shù)列，情況怎樣呢？1、等差數(shù)列前n項和公式設等差數(shù)列的前n項和為Sn思路1：Sn=a1+a2+a3+…+an，把項的次序倒過來及 Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1+…+（an+a1）+…=an+a1即思路2、由等差數(shù)列的通項公式，Sn可寫成Sn=an+(a1+d)+(an+2d)+…+[a1+(n-1)d]，把項的次序倒過來，Sn=am+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d]…+（a1+an）=n(a1+an)歸納：等差數(shù)列的前n項和等于首末兩項的和與項數(shù)乘積的一半，現(xiàn)在用公式來計算：1+2+3+…+100=？1+2+3……+(n-1)=？由于an=a1+(n-1)d，請同學們將an的公式代入公式簡后及到或sn=a1+a2+a3+…+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[an+(n-1)d]=na1+[1+2+3+…+(n-1]d=na1+小結：我們知道了兩個計算等差數(shù)列前n項和的公式，由公式知，只要知道a1、n、an、d這4個量中的三個，就可以求出數(shù)列的前n項和。2、例題講解例1某長跑運動員7天里每天訓練量（單位：m）7500800085009000950010000105000這位長跑運動員7天共跑了多少米？分析①這位長跑運動員每天的訓練量構成怎樣的一個數(shù)列？②這個數(shù)列中哪些量是已知的？怎樣求和？解（略）例2：等差數(shù)列-10、-6、-2、2…的前多少項的和是54？分析：這里相當于已知a1、d及Sn求n，可設Sn=54由等差數(shù)列前n項和的公式可列出關于n的方程，求這個方程的正整數(shù)解，如果關于n的方程無正整數(shù)解，那么，這個等差數(shù)列的前n項和不可能是指定的數(shù)。（選例）例3：已知等差數(shù)列的奇數(shù)次和為51，偶數(shù)次和為42，首項為1，項數(shù)為奇數(shù)，求此數(shù)列的末項及通項公式。解法一：設這個等差數(shù)列含有n=2m+1項，依題意有S奇=a1+a3+a5+…+a2m+1=51……①S偶=a2+a4+a6+…+a2m=42……②即S奇=S偶=解約m=5am+1=8又即an=16由an=a1+10d有16=1+10d及d=（1≤n≤11，n∈N）解法二：由①+②得……③由①－②及S奇-S偶=a1+md=am+1=8……③由③④的m=5am+1=8四、課堂練習：教科書P118練習1①②③，2①②③五、小結：這節(jié)課主要學習等差數(shù)列前n項和公式，同學們要把握公式的推導思維，熟練運用兩個求和公式解決相關問題。六、課后作業(yè)

等差數(shù)列的前n項和（2）

教學目的：1、了解高等數(shù)列前n項和公式的函數(shù)特征，掌握等差數(shù)列的性質(zhì)。2、靈活運用同等差數(shù)列前n項和公式及有關性質(zhì)解題。3、加強學生的發(fā)散思維訓練，培養(yǎng)學生對知識進行總結的習慣，增強學生的應用意識。重點：等差數(shù)列的有關性質(zhì)難點：等差數(shù)列的有關性質(zhì)的靈活應用過程設計：一、復習導入學生回顧等差數(shù)列的兩個前n項和公式：根據(jù)方程思想，只要知道a1、an、n、Sn五個量中的三個，就可以求出另外兩個量。二、新課例1：求集合，nN*)中元素的個數(shù)，并求這些元素的和。分析：集合中元素的特征是什么？怎樣求出元素的個數(shù)？這些元素構成的數(shù)列是什么樣的數(shù)列？解：7n＜100得，故滿足不等式的正整數(shù)得7、7×2、7×3…7×4，它們構成一個以a1=7、d=7的等差數(shù)列，且有a14=98，答：集合的m中共有14個元素，它們的和等于735。鞏固練習教材P1314、5題例2：已知一個等差數(shù)列的前n項和為Sn，若Sn=310，S20=1220分析：由已知條件可列出關于a1與d的方程組，進而可求出a1及d，從而求出Sn。解：由條件得解a1=4d=6故 學生觀察，這個等差數(shù)列前n項和公式有何特征？我們可以看到，這個前n項和公式是一個關于n的二次函數(shù)，而且不含常數(shù)項，進一步思考，是不是所有的等差數(shù)列的前n項的公式都有這一特征呢？師生共同探討，對于等差數(shù)列=令a=(a、b為常數(shù))即是說任何一個等差數(shù)列的前n項和都可以寫成Sn=n2+bn(a、b為常數(shù)列)的形式反之，如果一個數(shù)列的前n項和公式為Sn=an2+bn(a、b為常數(shù))，那它是不是等差數(shù)列呢？（1）當n=1時，a1=S1=a+b（2）當n≥2時，an=Sn－Sn－1=an2+bn－a(n－1)2―b(n―1)=(2n―1)a+b(nN*且n≥2)而a1，滿足an。故是以a+b為首項，2a為公差的等差數(shù)列歸納：數(shù)列為等差數(shù)列其前n項和Sn=an2+b(a、b為常數(shù)列)說明：當d=0時，Sn=na1不是一個關于n的二次函數(shù)。d≠0時，Sn是一個關于n的二次函數(shù)鞏固練習1、根據(jù)數(shù)列的前n次和公式，判斷下列數(shù)列是否是等差數(shù)列（1）Sn=2n2－n （2）Sn=2n2－n+12、教材P131第6題