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一、數(shù)與式的運(yùn)算1.1實(shí)數(shù)的分類及其根本性質(zhì)有理數(shù)都可以寫(xiě)成有限小數(shù)(包括整數(shù))或無(wú)限循環(huán)小數(shù)的形式;都可以表示成分?jǐn)?shù)(p、q是互質(zhì)的整數(shù),q≠0).反之,能表示成(p、q是互質(zhì)的整數(shù),q≠0)形式的數(shù)都是有理數(shù).無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù),不能寫(xiě)成(p、q是互質(zhì)的整數(shù),q≠0)的形式.有理數(shù)與無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù),具體分類如下:實(shí)數(shù)的根本性質(zhì):1.無(wú)界性:沒(méi)有最大的實(shí)數(shù),也沒(méi)有最小的實(shí)數(shù).2.稠密性:任何兩個(gè)實(shí)數(shù)之間有無(wú)數(shù)多個(gè)實(shí)數(shù).3.連續(xù)性:全體實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的所有點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.4.有序性:任何兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比擬大小.給定兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b,那么a>b、a=b、a<b三者之中有且僅有一個(gè)成立.在數(shù)軸上,右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大.5.運(yùn)算的封閉性:任何兩個(gè)實(shí)數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不為零)一定是實(shí)數(shù);任何一個(gè)實(shí)數(shù)都可以開(kāi)奇次方,其結(jié)果是實(shí)數(shù);只有當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí),才能開(kāi)偶次方,其結(jié)果是實(shí)數(shù).任何兩個(gè)有理數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不為零)一定是有理數(shù);但無(wú)理數(shù)不具有上述性質(zhì).設(shè)m為有理數(shù),n為無(wú)理數(shù),那么m+n、m–n是無(wú)理數(shù);假設(shè)m≠0,那么mn、、都是無(wú)理數(shù);假設(shè)m=0,那么mn、是有理數(shù).6.實(shí)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律.【例1】以下各數(shù):1、、–3、π+1、…、、2+、中,哪些是整數(shù)?哪些是有理數(shù)?哪些是無(wú)理數(shù)?練:以下各數(shù):–2、、0.35、、、π…、、2–中,哪些是整數(shù)?哪些是有理數(shù)?哪些是無(wú)理數(shù)?【例2】假設(shè)x是實(shí)數(shù),以下說(shuō)法對(duì)嗎?假設(shè)不對(duì),請(qǐng)給出成立的條件.–x<0;(2)2x是偶數(shù);(3)–|x|<0;(4)x+3>x;(5)(–x)2=–x2;(6)3x>2x.練:假設(shè)a是實(shí)數(shù),以下說(shuō)法對(duì)嗎?假設(shè)不對(duì),請(qǐng)給出成立的條件.–a2<0;(2)2a+1是奇數(shù);(3)|a|>0;(4)a–2<a;(5)(–a)3=–a3;(6)a<2【例3】假設(shè)3+a=2b–,求有理數(shù)a和b的值.練:設(shè)a、b是正有理數(shù)且(a+)a+(b–)b=25+,求a、b的值.【例4】求無(wú)理數(shù)π的純小數(shù)局部.練:1.求無(wú)理數(shù)的純小數(shù)局部.2.(2a–1)2=9,求a的值3.寫(xiě)出絕對(duì)值小于的所有整數(shù).1.2絕對(duì)值及其幾何意義數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值.其代數(shù)意義就是:正數(shù)的絕對(duì)值是它本身,負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù),零的絕對(duì)值是0.即:.|a|的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離.|a–b|的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與表示數(shù)b的點(diǎn)間的距離.絕對(duì)值有如下運(yùn)算性質(zhì):(1)|ab|=|a||b|;(2)(b≠0);(3)||a|–|b||≤|a+b|≤|a|+|b|;左邊的等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0時(shí)取到,右邊的等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)取到;(4)||a|–|b||≤|a–b|≤|a|+|b|;左邊的等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)取到,右邊的等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0時(shí)取到.【例1】化簡(jiǎn):(1)|2x–1|;(2)|x–1|+|x–3|.練:1以下命題中哪些是真命題?(1)|ab|=|a||b|;(2)|a–b|=|b–a|;(3)假設(shè)|a|=b,那么a=b;(4)假設(shè)|a|>|b|,那么a>b;(5)|a+b|=|a|+|b|.2.假設(shè)|a–2|=2–a,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【例2】解方程:x2=|x|練:(1)|x–3|=2.(2)|x+1|+|x|=1;【例3】解不等式:(1)|x–1|≤1(2)|x+1|>2.練:1解不等式:(1)|x|>2;(2)|x–3|<5;(3)|x+2|≥1.2.假設(shè)|x|=1,=3,求x+y的值.3.假設(shè)a、b是實(shí)數(shù),且(a+3)2+|b–1|=0,求的值.1.3乘法公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了以下一些乘法公式:〔1〕平方差公式;〔2〕完全平方公式.〔1〕立方和公式;〔2〕立方差公式;〔3〕三數(shù)和平方公式;〔4〕兩數(shù)和立方公式;〔5〕兩數(shù)差立方公式.例1計(jì)算:.例2,,求的值.練:1.填空:〔1〕〔〕;〔2〕;〔3〕.2.選擇題:〔1〕假設(shè)是一個(gè)完全平方式,那么等于〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕不管,為何實(shí)數(shù),的值〔〕〔A〕總是正數(shù)〔B〕總是負(fù)數(shù)〔C〕可以是零〔D〕可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)1.4二次根式一般地,形如的代數(shù)式叫做二次根式.根號(hào)下含有字母、且不能夠開(kāi)得盡方的式子稱為無(wú)理式.例如,等是無(wú)理式,而,,等是有理式.1.分母〔子〕有理化把分母〔子〕中的根號(hào)化去,叫做分母〔子〕有理化.為了進(jìn)行分母〔子〕有理化,需要引入有理化因式的概念.兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘,如果它們的積不含有二次根式,我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式,例如與,與,與,與,等等.一般地,與,與,與互為有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根號(hào)的過(guò)程;而分子有理化那么是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根號(hào)的過(guò)程在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過(guò)程中,二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行,運(yùn)算中要運(yùn)用公式;而對(duì)于二次根式的除法,通常先寫(xiě)成分式的形式,然后通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算;二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似,應(yīng)在化簡(jiǎn)的根底上去括號(hào)與合并同類二次根式.2.二次根式的意義例1將以下式子化為最簡(jiǎn)二次根式:〔1〕;〔2〕;〔3〕.練:1.化簡(jiǎn):(1);(2)||;(3)|1+|(a>0);(4)–|1–m|(1<m<3)例2計(jì)算:.例3試比擬以下各組數(shù)的大小:〔1〕和;〔2〕和.練:比擬以下各組數(shù)的大?。?1)2與3;(2)+與+2.例4化簡(jiǎn):.例5化簡(jiǎn):〔1〕;〔2〕.練:化簡(jiǎn):〔1〕;〔2〕.練:1.填空:〔1〕=_____;〔2〕假設(shè),那么的取值范圍是_____;課后穩(wěn)固1.當(dāng)a<3時(shí),|a-3|-(3-a)的值為()A.6-2aB.0C.2a-6D.-2a2.x-3y=-3,那么5-x+3y的值是()A.0B.2C.5D.83.如果(x-2)(x-3)=x2+px+q,那么p,q的值是()A.p=-5,q=6B.p=1,q=-6C.p=1,q=6D.p=5,q=-64.假設(shè)式子的值為8,那么式子的值為〔〕A.1B.5C.3D.45.如圖13-16所示,數(shù)軸上的點(diǎn)P表示的數(shù)可能是()A.B.-C.-3.8D.-6..7.假設(shè),那么________
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